(統計)動差母函數(moment-generating function)，機率母函數(probability-generating function)

$X$ is  $r.v.$

$M_X(t)=E(e^{tX})$   $t\in \mathbb{R}$  

$M_X^{'}(0)=E(X)$  , $M_X^{''}(0)=E(X^2)$ $\cdots\cdots$ , $M_X^{k}(0)=E(X^k)$ (對$t$ 微分)

$M_X^{k}(0)=E(X^k)$    (k階原動差)

$M_{X-\mu}^{k}(0)=E(X-\mu)^k$   (k階中心動差)

$\star$ $m.g.f$ 唯一決定其 $c.d.f.$ 

若1.間斷型分配。2.r.v.為有限可數。

則

機率母函數，$p.g.f.$ :

$P_x(t)=M_x(\ln t)=E(t^x)$