(統計)Hypergeometric distribution，超幾何分布

Hypergeometric distribution，超幾何分布

總數為$N$，設其中某一類有$D$個，則非此類有$N-D$個，抽取$n$個，$X$為抽中$D$類的個數。

抽取不放回為超幾何分布。

$p(x)=\cfrac{\pmatrix{N-D\\n-x}\pmatrix{D\\x}}{\pmatrix{N\\n}}$

$E(x)=\displaystyle\sum_{x=0}^nxp(x)=\displaystyle\sum_{x=1}^n\frac{\dbinom{N-D}{n-x}\cfrac{D(D-1)!}{x(x-1)!(D-x)!}}{\cfrac{N(N-1)!}{(N-n)!n(n-1)!}}\\=n\cfrac{D}{N}\displaystyle\sum_{x=1}^n\cfrac{\dbinom{(N-1)-(D-1)}{(n-1)-(x-1)}\dbinom{D-1}{x-1}}{\dbinom{N-1}{n-1}}=n\frac{D}{N}$

$Var(X)=n\cfrac{D}{N}\cfrac{N-D}{N}\cfrac{N-n}{N-1}$            ，$\left(\cfrac{N-n}{N-1}\right)$是取後不放回校正因子

$HG(N,a,n)\xrightarrow{N\to \infty,\ a\to \infty,\ p=\frac{a}{N} }B(n,p)$