1.不偏性: 準確

$E(\hat{\theta})=\theta$

2.有效性:精確

$MSE(\hat{\theta})=E(\hat{\theta}-\theta)^2=Var(\hat{\theta})+[E(\hat{\theta})-\theta]^2(計算用)$

$ if \ E(\hat{\theta})=\theta \ ,\ MSE(\hat{\theta})=V(\hat{\theta})$

MSE 越小越有效。

3.一致性 : 機率收斂

$\forall \varepsilon>0$，滿足 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}P(\mid \hat{\theta}-\theta \mid < \varepsilon)=1$ ，則 $\hat{\theta}$ 為 $\theta$ 一致估計量。

計算用:

若$\displaystyle\lim_{x\to\infty}MSE(\hat{\theta})=0$，則 $\hat{\theta}$ 為 $\theta$ 一致估計量。

即 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}E(\hat{\theta})=\theta$，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}Var(\hat{\theta})=0$

4.充分性: 設 $T(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 為 $\theta$ 之統計量，若滿足 $P((X_1,X_2,\cdots,X_n)\mid T(X_1,X_2,\cdots,X_n)=t)$ 與 $\theta$ 無關，則稱 $T(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 為 $\theta$之充分統計量。

只要能求出統計值$t$與參數$\theta$的函數關係$g(t;\theta)$，則可由$t$值充分掌握$\theta$值之大小，因此稱$t$為$\theta$之充分統計量。

（法緒）名詞解釋

職權主義：指審判機關立於主導的地位，相關程序進行均由法院依職權為之，當事人並無自由處分的權限。

當事人主義：係指訴訟程序之開始、進行和終結悉依當事人之意思而為決定。

衡平法（Equity）：英國法特有的衡平法（Equity），則是在普通法之外，提供更彈性的法，例如普通法遵循損害填補原則，但衡平法不受限於此，可以因個案作不同的調整，以追求衡平。

（法緒）法學派別

1.分析、純粹法學：成文法，法位階理論，凱爾森，惡法亦法

2.歷史法學：習慣法，

3.比較法學

4.自然、超實證法學

5.社會、自由法學

(法緒) 修憲門檻

憲法之修改，需立法委員$\cfrac{1}{4}$ 提議，

$\cfrac{3}{4}$ 出席，

出席之立法委員$\cfrac{3}{4}$ 決議，提出憲法修正案，

公告半年後

選舉人複決超過$\cfrac{1}{2}$ 通過。

(統計)順序統計量，Order Statistics

設$X_1,X_2,\cdots,X_n\ \stackrel{ iid}{\sim}f(x)_{連續} 且X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq ,\cdots,\leq X_{(n)} $，則順序統計量 joint pdf

$f_{X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq ,\cdots,\leq X_{(n)}}(x_1,x_2 ,\cdots,x_n)=n!f(x_1,x_2 ,\cdots,x_n)$

因為沒有順序的樣本機率值為零，為了機率加總=1，順序統計量 joint pdf需乘$n!$

$f_{X(1)}(x)=n[1-F(x)]^{n-1}f(x)$ n個樣本中，比$x$大的有$n-1$個，恰有一個等於$x$。

$f_{X(n)}(x)=n[F(x)]^{n-1}f(x)$ n個樣本中，比$x$小的有$n-1$個，恰有一個等於$x$。

$f_{X(j)}(x)=\cfrac{n!}{(j-1)!(n-j)!}[F(x)]^{j-1}[1-F(x)]^{n-j}f(x)$ ，

第$j$個排序樣本，$j-1$個比$x$小，$n-j$個比$x$大，恰有一個等於$x$。

(統計) 中央極限定理 central limit theorem，CLT

對任意母體，$\mu$ 和 $\sigma$ 存在，當隨機樣本數$n$夠大，則樣本平均數$\overline{X}$抽樣分配近似常態分配

設 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ $\stackrel{ iid }{\sim}f(x)$ 且$E(X_i)=\mu <\infty$, $Var(X_i)=\sigma^2<\infty$，

若$\overline{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}$ 則$\overline{X}\xrightarrow{n \to \infty }N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

(統計)抽樣分配

設 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ $\stackrel{ iid}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$，則$\overline{X}\ \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

$\mu$已知，$\cfrac{nS^2}{\sigma^2}\ \sim \chi^2(n)$，

$\mu$未知，用$\overline{X}$取代，$\cfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\ \sim \chi^2(n-1)$

設$X_1,X_2,\cdots,X_n$ $\stackrel{ iid}{\sim} N(\mu_1,\sigma_1^2)$

$Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$ $\stackrel{ iid}{\sim} N(\mu_2,\sigma_2^2)$

$\implies $ $\overline{X}- \overline{Y}\ \stackrel{ iid}{\sim}N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n}+\frac{\sigma_2^2}{n})$

(統計)統計量和抽樣分配

設一組樣本 $X_1,X_2,\cdots,X_n$，則 $T=(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 為統計量，若用來估計未知參數

稱為估計量，則此統計量之機率密度函數稱為抽樣分配。

插入 Word 分隔線方法

在「常用」的選單下，找到「邊框」的圖案

點擊後選擇「水平線」就會插入一條分隔線了

筆記

(統計)估計式之評估準則。