(統計)全機率定理

全機率定理(Law of Total Probability:)

若$B_1, B_2,B_3 \cdots$ 是樣本空間$S$的一分割(partiton)，對任意 $A\subseteq  S $，則有

$$P(A)=\sum_{i}P(A\cap B_i)=\sum_{i}P(A\vert B_i)P(B_i)$$ 

(1). $B_i \cap B_j=\varnothing$   (2). $S=\bigcup_{i}B_i$ (3) $A\cap B_i 互斥$

EX:

一實驗鼠有長毛短毛兩種，公鼠$\cfrac{3}{4}$是短毛，$\cfrac{3}{4}$是長毛，母鼠也是相同比例。已知兩隻長毛鼠下一代必是長毛，但兩隻短毛鼠下一代有$\cfrac{7}{9}$是短毛，父母親一隻長毛一隻短毛，則$\cfrac{3}{5}$後代是短毛，求已知後代是長毛鼠，父母親一長毛一短毛機率為何?

$A=${兩長毛} $B=${兩短毛} $C=${一長一短} $D=${子代長毛}

$A,B,C互斥，且構成樣本空間。$

$P(A)=\cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{4}= \cfrac{1}{16}$

$P(B)=\cfrac{3}{4}\times\cfrac{3}{4}=\cfrac{9}{16}$

$P(C)=\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{8}$

$P(D\vert A)=\cfrac{1}{16}$    ,  $P(D\vert B)=\cfrac{1}{8}$   ,  $P(D\vert C)=\cfrac{3}{20}$

$P(D)=P(D\vert A)P(A)+P(D\vert B)P(B)+P(D\vert C)P(C)=0.3375$

$P(C\vert D)=\cfrac{P(C\cap D)}{P(D)}=0.4444$