(統計)Binomial distribution，二項分布

 

Binomial distribution，二項分布

$(a+b)^n=\sum_{x=0}^n\pmatrix{n\\x}b^xa^{n-x}$  (二項式定理)

抽取放回為二項分布。

進行$n$次相互獨立且成功機率$p$相同之伯努力實驗，$r.v.X$為"成功"之總次數。

$p(X=x)=f_X(x)=\left\{\begin{array}{l}\pmatrix{n\\x}p^x(1-p)^{n-x}\ \ &，x=0,1,2,\cdots,n \\0\ \ &，o.w \end{array}\right.$       ($p$成功機率)

$E(X)=np$

$V(X)=np(1-p)$

m.g.f.

$M_X(t)=E(e^{tx})=[(1-p)+pe^t]^n$

加成性

$X_i \stackrel{ indep.}{\sim} Bin(n_i,p)$ ,$i=1,2,\cdots,k$

則 $Y=\displaystyle\sum_{x=1}^{k}X_i  \sim Bin(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}n_i,p) $ (注意:$p$需相同)

$X\sim B(n,p)\xrightarrow{n\to \infty,\ CLT}N(\mu=np,\ \sigma^2=np(1-p))$

EX:$X\sim B(n,p)$ ，$Y\sim B(m,p)$，$X \perp Y$ 

$P(X=x \vert X+Y=z)=\cfrac{P(X=x 且 Y=z-x)}{P(X+Y=z)}=\cfrac{P(X=x)P(Y=z-x)}{P(X+Y=z)}\\=\cfrac{\dbinom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\dbinom{m}{z-x}p^{z-x}(1-p)^{m-z+x}}{\dbinom{n+m}{z}p^z(1-p)^{n+m-z}}=\cfrac{\dbinom{n}{x}\dbinom{m}{z-x}}{\dbinom{n+m}{z}}\ \ \ \ \ x=0,1,2,\cdots,z$
為超幾何分配。