(統計)聯合機率密度函數(Joint p.d.f.)，邊際機率密度函數(marginal p.d.f.)，條件機率密度函數(conditional p.d.f.)

已知 聯合機率密度函數 $f(x,y)$

邊際機率密度函數:

$$f(x)=\sum_yf(x,y)\quad\text{(離散)}$$ 

$$f(y)=\sum_xf(x,y)\quad\text{(離散)}$$ 

$$f(x)=\int_yf(x,y)\quad\text{(連續)}$$ 

$$f(y)=\int_xf(x,y)\quad\text{(連續)}$$ 

若 $f(x,y)=f(x)\cdot f(y)$       $X與Y獨立$

EX: 設一 joint p.d.f. $f(x,y)=e^{-x_1-x_2}\ \ \ ，0\lt x_1 \lt \infty ，\ 0\lt x_2 \lt \infty $，其他值為0。求$P(X_1\leq X_2)$ 。

(1). $P(X_1\leq X_2)=\int_0^\infty\int_0^{x_2}\;e^{-x_1-x_2}dx_1dx_2=\frac{1}{2}$

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條件機率密度函數(conditional p.d.f.)

$$f(x\vert y)=\cfrac{f(x,y)}{f(y)}$$

$$f(y\vert x)=\cfrac{f(x,y)}{f(x)}$$

$E[X\vert Y=y]$ ，$E[X^2\vert Y=y]$，$var[X\vert Y=y]$ 因為已經對X積分(summation)，所以是$y$的函數，

所以 $E[var[X\vert Y=y]]=\displaystyle\int_{-\infty }^{\infty }var[X\vert Y=y]f_ydy\ \  (乘f_y對Y積分 )$

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$f(x,y)$

	$X=1$	$X=2$	$X=3$
$Y=0$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$
$Y=1$	$0$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{9}$
$Y=2$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{9}$

$E(Y\vert X+Y=3)=\sum_{y=0}^2y\cfrac{f(3-y,y)}{p(X+Y=3)}=\cfrac{12}{5}\sum_{y=0}^2yf(3-y,y)\\=\cfrac{12}{5}[0\times f(3,0)+1\times f(2,1)+2\times f(1,2)]=\cfrac{19}{15}$

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$$E[E(X\vert Y)]=EX$$(去頭去尾)

$因為E(X\vert Y) 是Y函數，E[E(X\vert Y)]=\int_yE(X\vert Y)f_ydy=\int_y\int_x xf(x\vert y)f_ydydx\\=\int_y\int_x xf(x,y)dydx=E(X)$

$$var(X)=E[var(X\vert Y)]+var[E(X\vert Y)]$$

$$var(Y)=E[var(Y\vert X)]+var[E(Y\vert X)]$$

$E[var(X\vert Y)]+var[E(X\vert Y)]=E[E[X^2\vert Y]-[E[X\vert Y]]^2]+E[E[X\vert Y]^2]-[E[E(X\vert Y)]]^2\\=E(X^2)-E(X)^2=var(X)$