(統計)(機率論) 柴比雪夫不等式 Chebyshev's Inequality，馬可夫不等式(Markov's inequality)

$X為任意r.v$，$\mu和\sigma^2 存在$

馬可夫不等式

$ x \geq 0 $，$a>0$
則 $ P(X\geq a)\leq \cfrac{E(X)}{a}$ (上界，單邊尾端機率)， $ P(X<a)\geq 1-\cfrac{E(X)}{a}$(下界)。

柴比雪夫不等式 

$-\infty<x<\infty$，$k>0$

則 $P(\mid X-\mu\mid \geq k\sigma )\leq \cfrac{1}{k^2}$(上界，雙邊尾端機率)

單邊柴比雪夫不等式

$P(X\geq \mu+k)\leq \cfrac{\sigma^2}{\sigma^2+k^2}$ ，$k>0$