筆記

  F-distribution，F-分布 $U\sim\chi^2(r_1)$，$V\sim\chi^2(r_2)$，$U$ and $V$ are independent. 查表右尾 $F=\cfrac{\frac{U}{r_1}}{\frac{V}{r_2}}$ $F \sim F(n_1,n_2)$ $\implies$ $\cfrac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)$ $F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\cfrac{1}{F_{\alpha}(n_2,n_1)}$

  Normal distribution，常態分配 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ $f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{\cfrac{(X-\mu)^2}{2\sigma^2}}$    ，$-\infty<x<\infty$ $M(t)=e^{\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2}$ $E(X)=\mu$ $Var(X)=\sigma^2$

  Student's t-distribution，學生t分布 $Z\sim N(0,1)$   ，$V\sim\chi^2(r)$ ，$Z$ and $V$ are independent. $T=\cfrac{Z}{\sqrt{\cfrac{V}{r}}}$ ，$T\sim t(n)$ ，自由度為n $\cfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1)$

  Beta ($\beta$) distribution，貝它分布  $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cfrac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)+\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\ \ &,0<x<1\\0\ \ &,o.w\end{array}\right.$ $\mu=\cfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ $\sigma^2=\cfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)^2}$

  Chi-squared ($\chi^2$) distribution，卡方分布 $\Gamma(\frac{r}{2},2)$ $f(x)=\left\{\begin{array}{l} \cfrac{1}{\Gamma(\cfrac{r}{2})2^{(\frac{r}{2})}}x^{(\frac{r}{2}-1)}e^{(\frac{-x}{2})}\ \ &,0<x<\infty\\0\ \ &,o.w\end{array}\right.$ $M(t)=(1-2t)^{\frac{-r}{2}}$ $Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$ $\stackrel{ iid}{\sim}\ N(0,1)$ $\implies$ $X=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}Z_i^2\ \sim \chi^2(n)$ $E(X)=n$，$Var(X)=2n$ $\mu$已知，$\cfrac{nS^2}{\sigma^2}\ \sim \chi^2(n)$，$\mu$未知， 用$\overline{X}$取代，$\cfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\ \sim \chi^2(n-1)$ 證: 設   $\cfrac{X_i-\mu}{\sigma}\ \sim\ N(0,1)$ $\implies$ $\cfrac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\ \sim \chi^2(1)$ $\implies$ $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\cfrac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}=\cfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\ \sim\chi^2(n)$

  Gamma ($\Gamma$) distribution，伽瑪分布 在一個滿足poisson過程實驗，$X(r.v.)$為直到$\alpha$次成功之時間。每單位時間內成功平均次數$\lambda$。(每平均\beta時間成功1次) $\alpha >0$    $\lambda>0$ $\Gamma(\alpha,\lambda)=f_X(x)=\left\{\begin{array}{l}\cfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}\ \ &，0<x<\infty \\0\ \ &，o.w \end{array}\right.$ $\alpha >0$    $\beta>0$ $\Gamma(\alpha,\beta)=f_X(x)=\left\{\begin{array}{l}\cfrac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}\ \ &，0<x<\infty \\0\ \ &，o.w \end{array}\right.$ E(X),V(X) $E(X)=\cfrac{\alpha}{\lambda}=\alpha \beta$ $V(X)=\cfrac{\alpha^2}{\lambda}=\alpha \beta^2$ m.g.f. $M(t)=\cfrac{1}{({1-\beta })^{\alpha}}$，  $t<\cfrac{1}{\beta}$ 伽瑪分配和卡方分配隨機變數之變數變換 若$X\sim \Gamma(\alpha,\lambda) \implies Y=2\lambda X\sim \chi^2_{2\alpha}$ 若 $X\sim \chi^2_r \implies Y=\cfrac{aX}{b}\sim \Gamma(\cfrac{r}{2},\lambda=\cfrac{1}{2 \frac{a}{b}}) $

  Continuous uniform distribution，連續型均勻分布 $X\sim U(a,b)$ $f(x)=\cfrac{1}{b-a}$ ， $a<x<b$ $E(X)=\cfrac{a+b}{2}$ $Var(X)=\cfrac{(b-a)^2}{12}$ $M(t)=\cfrac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$

  Poisson distribution，卜瓦松分布 單位時間內，發生$X$次。單位時間內，平均發生$\lambda$次。 $p(x)=\left\{\begin{array}{l}\cfrac{\lambda^xe^{-\lambda } }{x!}\ \ &，x=0,1,2,\cdots, \lambda>0 \\0\ \ &，o.w \end{array}\right.$    $M(t)=e^{\lambda(e^t-1)}$ $E(X)=Var(X)=\lambda$ $X\sim P_o(\lambda_1)$，$Y\sim P_o(\lambda_2)$ ， $X$ 和 $Y$ indep. $\implies$ $X+Y\sim P_o(\lambda_1+\lambda_2)$ $X \sim B(n,p)\xrightarrow{n\to \infty,\ \ p\to 0,\ \lambda=np  }p_o(\lambda)$ 事件之間互為獨立

Hypergeometric distribution，超幾何分布 總數為$N$，設其中某一類有$D$個，則非此類有$N-D$個，抽取$n$個，$X$為抽中$D$類的個數。 抽取不放回為超幾何分布。 $p(x)=\cfrac{\pmatrix{N-D\\n-x}\pmatrix{D\\x}}{\pmatrix{N\\n}}$ $E(x)=\displaystyle\sum_{x=0}^nxp(x)=\displaystyle\sum_{x=1}^n\frac{\dbinom{N-D}{n-x}\cfrac{D(D-1)!}{x(x-1)!(D-x)!}}{\cfrac{N(N-1)!}{(N-n)!n(n-1)!}}\\=n\cfrac{D}{N}\displaystyle\sum_{x=1}^n\cfrac{\dbinom{(N-1)-(D-1)}{(n-1)-(x-1)}\dbinom{D-1}{x-1}}{\dbinom{N-1}{n-1}}=n\frac{D}{N}$ $Var(X)=n\cfrac{D}{N}\cfrac{N-D}{N}\cfrac{N-n}{N-1}$            ，$\left(\cfrac{N-n}{N-1}\right)$是取後不放回校正因子 $HG(N,a,n)\xrightarrow{N\to \infty,\ a\to \infty,\ p=\frac{a}{N} }B(n,p)$

  Geometric distribution，幾何分布 第一次成功之前所失敗的次數。 $r=1$之負二項分布。 $p_Y(y)=p(1-p)^y\ ，\ \ y=0,1,2,\cdots$ $M(t)= \cfrac{pe^t}{1-(1-p)e^t} $ $E(X)=\cfrac{1}{p}$ $Var(X)=\cfrac{1-p}{p^2}$ 無記憶性 (同指數分布) $P(X\geq i+j \vert X\geq i)=P(X\geq j)$

  Negative Binomial distribution，負二項分布 到第$r$次成功時，前面有$Y$次失敗的機率。最後一次成功，前面是$(y+r-1)$次中$(r-1)$成功的二項分布和最後一次成功之機率。 $p_Y(y)=\left\{\begin{array}{l}\pmatrix{y+r-1\\r-1}p^r(1-p)^{y}\ \ &，y=0,1,2,\cdots,n \\0\ \ &，o.w \end{array}\right.$  $M(t)= \left(\cfrac{pe^t}{1-(1-p)e^t}\right)^r $ $E(X)=\cfrac{r}{p}$ $Var(X)=\cfrac{r(1-p)}{p^2}$

  Multinomial distribution，多項分佈 n次試驗，有k種現象，其出現機率 $p_i$，$i=1,2,\cdots k$。(二項分布只有兩種) $P(x_1,x_2,\cdots ,x_{k-1})=\cfrac{n!}{x_1!x_2! \cdots x_k!}p_1^{x_1} \cdots p_{k-1}^{x_{k-1}}\ p_{k}^{x_{k}}\ ，\ \ where\ \ x_{k}=n- x_1-\cdots-x_{k-1}$ 三項分布 joint pdf $f(x,y)=\cfrac{n!}{x!y!(n-x-y)!}p_1^{x}p_2^{y}(1-p_1-p_2)^{n-x-y}$      $x,y,x+y=0,1,2,\cdots,n$ marginal pdf $f(x)=\displaystyle\sum_{y=0}^{n-x}\cfrac{n!}{x!y!(n-x-y)!}p_1^{x}p_2^{y}(1-p_1-p_2)^{n-x-y}\\=\cfrac{n!\ p_1^{x}}{x!(n-x)!}\displaystyle\sum_{y=0}^{n-x}\cfrac{(n-x)!}{y!(n-x-y)!}p_2^{y}(1-p_1-p_2)^{n-x-y}\\=\cfrac{n!\ p_1^{x}}{x!(n-x)!}(p_2+1-p_1-p_2)^{n-x}=\dbinom{n}{x}p_1^{x}(1-p_1)^{n-x}\implies\ X\sim B(n,p_1)$ ，同理 $Y\sim B(n,p_2)$。 conditional pdf $f(x\vert Y=y)=\cfrac{f(x,y)}{f(y)}=\cfrac{\cfrac{n!}{x!y!(n-x-y)!}p_1^{x}p_2^{y}(1-p_1-p_2)^{n-x-y}}{\dbinom{n}{y}p_2^y(1-p)^{n-y}}\\=\cfrac{(n-y)!}{x!(n-x-y)!}(\cfrac{p_1}{1-p_2})^x(\cfrac{1-p_1-p_2}{1-p_2})^{n-x-y}\implies\ (X\vert Y=y)\sim B(n-y,\cfrac{p_1}{1-p_2})$ $(Y\vert X=

  Binomial distribution，二項分布 $(a+b)^n=\sum_{x=0}^n\pmatrix{n\\x}b^xa^{n-x}$  (二項式定理) 抽取放回 為二項分布。 進行$n$次相互獨立且成功機率$p$相同之伯努力實驗，$r.v.X$為"成功"之總次數。 $p(X=x)=f_X(x)=\left\{\begin{array}{l}\pmatrix{n\\x}p^x(1-p)^{n-x}\ \ &，x=0,1,2,\cdots,n \\0\ \ &，o.w \end{array}\right.$       ($p$成功機率) $E(X)=np$ $V(X)=np(1-p)$ m.g.f. $M_X(t)=E(e^{tx})=[(1-p)+pe^t]^n$ 加成性 $X_i \stackrel{ indep.}{\sim} Bin(n_i,p)$ ,$i=1,2,\cdots,k$ 則 $Y=\displaystyle\sum_{x=1}^{k}X_i  \sim Bin(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}n_i,p) $ (注意:$p$需相同) $X\sim B(n,p)\xrightarrow{n\to \infty,\ CLT}N(\mu=np,\ \sigma^2=np(1-p))$ EX:$X\sim B(n,p)$ ，$Y\sim B(m,p)$，$X \perp Y$  $P(X=x \vert X+Y=z)=\cfrac{P(X=x 且 Y=z-x)}{P(X+Y=z)}=\cfrac{P(X=x)P(Y=z-x)}{P(X+Y=z)}\\=\cfrac{\dbinom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\dbinom{m}{z-x}p^{z-x}(1-p)^{m-z+x}}{\dbinom{n+m}{z}p^z(1-p)^{n+m-z}}=\cfrac{\dbinom{n}{x}\dbinom{m}{z-x}}{\dbinom{n+m}{z}}\ \ \ \ \ x=0,1,2,\cdots,z$ 為超幾何分配。

Bernoulli distribution，伯努利分布 $p(x)=p^x(1-p)^{1-x}，\ \ x=0,1$       ($p$成功機率) $\mu=E(X)=p$ $\sigma^2=Var(X)=p(1-p)$ 

  Discrete uniform distribution，離散型均勻分布 $p(x)=\left\{\begin{array}{l}\cfrac{1}{n}\ \ &，x=0,1,2,\cdots,n \\0\ \ &，o.w \end{array}\right.$ $E(x)=\displaystyle\sum_{x=1}^nx\cfrac{1}{n}=\cfrac{n(n+1)}{2}\cfrac{1}{n}=\cfrac{n+1}{2}$ $E(x^2)=\displaystyle\sum_{x=1}^nx^2\cfrac{1}{n}=\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\cfrac{1}{n}=\cfrac{(n+1)(2n+1)}{6}$ $Var(x)=\cfrac{(n+1)(2n+1)}{6}-(\cfrac{n+1}{2})^2=\cfrac{n^2-1}{12}$

 因為連續機率分布單點機率值=0，求$P_{離散}(X=x)$需用$P_{連續常態分佈}(x-0.5<X<x+0.5)$。

廠商 車型名稱 最大馬力(kW) 最大馬力轉速(rpm) 排氣量(c.c.) 和泰汽車股份有限公司 TOYOTA C-HR 1197c.c. CVT 5D 4WD 85 5600 1197 和泰汽車股份有限公司 TOYOTA C-HR 1197c.c. CVT 5D 85 5600 1197 嘉鎷興業股份有限公司 LAMBORGHINI URUS 3996c.c. A8 5D 478 6000 3996 嘉鎷興業股份有限公司 LOTUS EXIGE CUP 430 3456c.c. M6 2D 321 7000 3456 嘉鎷興業股份有限公司 LOTUS EXIGE SPORT 390 3456c.c. M6 2D 296 7000 3456 台灣賓士股份有限公司 MERCEDES-BENZ AMG A35 1991c.c. A7 5D 225 5800-6100 1991 台灣賓士股份有限公司 MERCEDES-BENZ AMG CLA35 1991c.c. A7 4D 225 5800-6100 1991 台灣賓士股份有限公司 MERCEDES-BENZ AMG CLA35 1991c.c. A7 5D 225 5800-6100 1991 台灣賓士股份有限公司 MERCEDES-BENZ AMG A35 1991c.c. A7 4D 225 5800-6100 1991 台灣賓士股份有限公司 MERCEDES-BENZ AMG GLB35 1991c.c. A8 5D 225 5800-6100 1991 台灣賓士股份有限公司 MERCEDES-BENZ AMG GLA35 1991c.c. A8 5D 225 5800-6100 1991 台灣賓士股份有限公司 MERCEDES-BENZ GLC300 4MATIC Coupe 1991c.c. A9 5D 190 5800-6100 1991 台灣賓士股份有限公司 MERCEDES-BENZ GLC200 4MATIC Coupe 1991c.c. A9 5D 145 5500-6100 1991 台灣賓士股