(統計)(機率論) 先贏問題

1.甲乙丙三人按順序(甲->乙->丙)投擲一公正硬幣，先出現正面者贏，試問甲、乙、丙獲勝機率為何?

甲贏: 正 ，反反反正，反反反 反反反正，$\cdots$。

乙贏: 反正 ，反反反反正，反反反 反反反 反正，$\cdots$。

丙贏: 反反正 ，反反反反反正，反反反 反反反 反反正，$\cdots$。

$P(甲贏)=\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^3\times(\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2})^6\times(\cfrac{1}{2}) \cdots=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{1-(\cfrac{1}{2})^3}=\cfrac{4}{7}$

$P(乙贏)=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^4\times(\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2})^7\times(\cfrac{1}{2}) \cdots=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{\cfrac{1}{2}}{1-(\cfrac{1}{2})^3}=\cfrac{2}{7}$

$P(丙贏)=(\cfrac{1}{2})^2\times\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^5\times\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^8\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{(\cfrac{1}{2})^2}{1-(\cfrac{1}{2})^3}=\cfrac{1}{7}$

2.重複投擲兩個均勻骰子，若出現點數和為8，則甲贏，若先出現點數和為10，則乙贏。當比賽出現勝負時，甲乙兩人贏的機率為何？