(統計)變數變換

 Jacobian (r.v.連續型)

單變數

設$f_X(x)$ 為舊p.d.f.，$f_Y(y)$為新p.d.f.。

$Y=g(X)\implies X=g^{-1}(Y)$

$J=\left|\cfrac{dx}{dy}\right|=\left|\cfrac{d舊}{d新}\ \right|$

則 $f_Y(y)=f_X(x=g(y)^{-1})|J| $

雙變數

設$f_{X_1,X_2(x_1,x_2)}$為舊p.d.f.，$f_{Y_1,Y_2(y_1,y_2)}$為新p.d.f.。

$(Y_1,Y_2)=g(X_1,X_2)\implies (X_1,X_2)=g^{-1}(Y_1,Y_2) $

$J=\begin{vmatrix} \cfrac{\partial x_1}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_1}{\partial y_2} \\ \cfrac{\partial x_2}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_2}{\partial y_2} \end{vmatrix}$

$J=\begin{vmatrix} \cfrac{\partial 舊_1}{\partial 新_1} & \cfrac{\partial 舊_1}{\partial 新_2} \\ \cfrac{\partial 舊_2}{\partial 新_1} & \cfrac{\partial 舊_2}{\partial 新_2} \end{vmatrix}$

列舊行新。

變數縮減

$(X,Y)\to(W)$，增一變數 $V=g(X)\ or\ V=g(Y)  $，使得 $(X,Y)\to(W,V)$，同雙變數變數變換運算。

C.D.F法

min，max，$X^{2n}$ 時使用