第六章 有界變差函數與可求長曲線

第六章 有界變差函數與可求長曲線 (FUNCTIONS OF BOUNDED VARIATION AND RECTIFIABLE CURVES)

6.1 簡介 (INTRODUCTION)

第四章已經推導了單調函數的一些基本性質。這簡短的一章將討論有界變差函數 (functions of bounded variation)，這是一類與單調函數密切相關的函數。我們將發現這些函數與具有有限弧長的曲線（可求長曲線）有著密切的關聯。它們在下一章將發展的黎曼-史蒂吉斯 (Riemann-Stieltjes) 積分理論中也扮演著重要的角色。

6.2 單調函數的性質 (PROPERTIES OF MONOTONIC FUNCTIONS)

定理 6.1：設 f 為定義在 [a, b] 上的遞增函數，並設 x_0, x_1, ..., x_n 為滿足 a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b 的 n+1 個點。則我們有以下不等式：

\sum_{k=1}^{n-1} [f(x_k+) - f(x_k-)] \le f(b) - f(a).

證明：假設 y_k \in (x_k, x_{k+1})。對於 1 \le k \le n-1，我們有 f(x_k+) \le f(y_k) 且 f(y_{k-1}) \le f(x_k-)，因此 f(x_k+) - f(x_k-) \le f(y_k) - f(y_{k-1})。如果我們將這些不等式相加，右邊的總和會對消 (telescopes) 成為 f(y_{n-1}) - f(y_0)。因為 f(y_{n-1}) - f(y_0) \le f(b) - f(a)，這完成了證明。

差值 f(x_k+) - f(x_k-) 當然就是 f 在 x_k 處的跳躍值 (jump)。前述定理告訴我們，對於 (a, b) 中的任意有限個點 x_k 集合，在這些點的跳躍值總和總是受到 f(b) - f(a) 的限制。這個結果可以用來證明下一個定理。

定理 6.2：如果 f 在 [a, b] 上是單調的，則 f 的不連續點集合是可數的。

證明：假設 f 是遞增的，並設 S_m 為 (a, b) 中 f 的跳躍值超過 1/m 的點所組成的集合，其中 m > 0。如果 x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} 位於 S_m 中，定理 6.1 告訴我們 \frac{n-1}{m} \le f(b) - f(a)。這代表 S_m 必定是一個有限集。但是 f 在 (a, b) 內的不連續點集合是聯集 \bigcup_{m=1}^\infty S_m 的子集，因此是可數的。（如果 f 是遞減的，這個論證可以應用於 -f。）

6.3 有界變差函數 (FUNCTIONS OF BOUNDED VARIATION)

定義 6.3：若 [a, b] 為一緊緻區間，滿足不等式 a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b 的點集 P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\} 稱為 [a, b] 的一個分割 (partition)。區間 [x_{k-1}, x_k] 稱為 P 的第 k 個子區間，我們寫成 \Delta x_k = x_k - x_{k-1}，因此 \sum_{k=1}^n \Delta x_k = b - a。[a, b] 的所有可能分割的集合將記為 \mathscr{P}[a, b]。

定義 6.4：設 f 定義在 [a, b] 上。如果 P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\} 是 [a, b] 的一個分割，寫成 \Delta f_k = f(x_k) - f(x_{k-1}) (k=1, 2, \dots, n)。如果存在一個正數 M 使得對於 [a, b] 的所有分割皆滿足 \sum_{k=1}^n |\Delta f_k| \le M，則稱 f 在 [a, b] 上是有界變差的 (of bounded variation)。

接下來的兩個定理提供了有界變差函數的例子。

定理 6.5：如果 f 在 [a, b] 上是單調的，則 f 在 [a, b] 上是有界變差的。

證明：設 f 是遞增的。那麼對於 [a, b] 的每一個分割我們都有 \Delta f_k \ge 0，因此 \sum_{k=1}^n |\Delta f_k| = \sum_{k=1}^n \Delta f_k = \sum_{k=1}^n [f(x_k) - f(x_{k-1})] = f(b) - f(a)。

定理 6.6：如果 f 在 [a, b] 上連續，且如果 f' 在內部存在且有界，假設對於 (a, b) 中的所有 x 皆有 |f'(x)| \le A，則 f 在 [a, b] 上是有界變差的。

證明：應用均值定理，我們有 \Delta f_k = f(x_k) - f(x_{k-1}) = f'(t_k)(x_k - x_{k-1})，其中 t_k \in (x_{k-1}, x_k)。這意味著 \sum_{k=1}^n |\Delta f_k| = \sum_{k=1}^n |f'(t_k)|\Delta x_k \le A \sum_{k=1}^n \Delta x_k = A(b - a)。

定理 6.7：如果 f 在 [a, b] 上是有界變差的，假設對於 [a, b] 的所有分割有 \Sigma |\Delta f_k| \le M，則 f 在 [a, b] 上是有界的。事實上，對於 [a, b] 中的所有 x 皆有 |f(x)| \le |f(a)| + M。

證明：假設 x \in (a, b)。使用特殊分割 P = \{a, x, b\}，我們得到 |f(x) - f(a)| + |f(b) - f(x)| \le M。這暗示了 |f(x) - f(a)| \le M，也就是 |f(x)| \le |f(a)| + M。如果 x = a 或 x = b，相同的不等式依然成立。

範例：

1. 很容易建構一個連續但非有界變差的函數。例如，令 f(x) = x \cos\{\pi/(2x)\} 若 x \ne 0，f(0) = 0。則 f 在 $$ 上連續，但如果我們考慮將其分割成 2n 個子區間的分割 P = \{0, \frac{1}{2n}, \frac{1}{2n-1}, \dots, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1\} [(註：來源文本於此處截斷，跳至下一節)]

6.4 總變差 (TOTAL VARIATION)

定義 6.8：設 f 在 [a, b] 上是有界變差的，並設 \Sigma(P) 表示對應於 [a, b] 的分割 P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\} 的總和 \sum_{k=1}^n |\Delta f_k|。數字

V_f(a, b) = \sup\{\Sigma(P) : P \in \mathscr{P}[a, b]\},

稱為 f 在區間 [a, b] 上的總變差 (total variation)。

註：當沒有誤解的危險時，我們將寫成 V_f 來代替 V_f(a, b)。

因為 f 在 [a, b] 上是有界變差的，所以數字 V_f 是有限的。同時，V_f \ge 0，因為每個總和 \Sigma(P) \ge 0。此外，V_f(a, b) = 0 若且唯若 f 在 [a, b] 上是常數。

定理 6.9：假設 f 和 g 在 [a, b] 上皆為有界變差。則它們的和、差與積也是有界變差的。同時，我們有 V_{f \pm g} \le V_f + V_g 以及 V_{f \cdot g} \le A V_f + B V_g，其中
A = \sup\{|g(x)| : x \in [a, b]\}，
B = \sup\{|f(x)| : x \in [a, b]\}。

證明：令 h(x) = f(x)g(x)。對於 [a, b] 的每一個分割 P，我們有
|\Delta h_k| = |f(x_k)g(x_k) - f(x_{k-1})g(x_{k-1})|
= |[f(x_k)g(x_k) - f(x_{k-1})g(x_k)] + [f(x_{k-1})g(x_k) - f(x_{k-1})g(x_{k-1})]| \le A|\Delta f_k| + B|\Delta g_k|。
這意味著 h 是有界變差的且 V_h \le A V_f + B V_g。和與差的證明較為簡單，在此省略。

註：前面的定理沒有包含商，因為一個有界變差函數的倒數不一定是有界變差的。例如，如果當 x \to x_0 時 f(x) \to 0，那麼 1/f 在任何包含 x_0 的區間上就不會有界，且（根據定理 6.7）1/f 在這樣的區間上不可能是有界變差的。要將定理 6.9 擴展到商的情況，只需排除其值可任意接近於零的函數即可。

定理 6.10：設 f 在 [a, b] 上是有界變差的，並假設 f 的值遠離零 (bounded away from zero)；也就是說，假設存在一個正數 m 使得對於 [a, b] 中的所有 x 皆有 0 < m \le |f(x)|。則 g = 1/f 在 [a, b] 上也是有界變差的，並且 V_g \le V_f / m^2。

證明：|\Delta g_k| = \left|\frac{1}{f(x_k)} - \frac{1}{f(x_{k-1})}\right| = \left|\frac{\Delta f_k}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right| \le \frac{|\Delta f_k|}{m^2}。

6.5 總變差的加性性質 (ADDITIVE PROPERTY OF TOTAL VARIATION)

在前兩個定理中，區間 [a, b] 是固定的，而 V_f(a, b) 被視為 f 的函數。如果我們保持 f 固定，並將總變差視為區間 [a, b] 的函數來研究，我們可以證明以下的加性性質。

定理 6.11：設 f 在 [a, b] 上是有界變差的，並假設 c \in (a, b)。則 f 在 [a, c] 和 [c, b] 上是有界變差的，並且我們有

V_f(a, b) = V_f(a, c) + V_f(c, b).

證明：我們先證明 f 在 [a, c] 和 [c, b] 上是有界變差的。設 P_1 為 [a, c] 的一個分割，並設 P_2 為 [c, b] 的一個分割。那麼 P_0 = P_1 \cup P_2 就是 [a, b] 的一個分割。如果 \Sigma(P) 表示對應於（適當區間的）分割 P 的總和 \Sigma |\Delta f_k|，我們可以寫出
\Sigma(P_1) + \Sigma(P_2) = \Sigma(P_0) \le V_f(a, b). (1)
這表示每個總和 \Sigma(P_1) 與 \Sigma(P_2) 都受到 V_f(a, b) 的限制，這意味著 f 在 [a, c] 和 [c, b] 上是有界變差的。由 (1) 式，根據定理 1.15，我們也獲得不等式
V_f(a, c) + V_f(c, b) \le V_f(a, b)。

為了得到反向的不等式，令 P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\} \in \mathscr{P}[a, b] 並設 P_0 = P \cup \{c\} 為藉由加入點 c 所獲得的（可能是新的）分割。如果 c \in [x_{k-1}, x_k]，那麼我們有
|f(x_k) - f(x_{k-1})| \le |f(x_k) - f(c)| + |f(c) - f(x_{k-1})|，
因此 \Sigma(P) \le \Sigma(P_0)。現在 P_0 在 [a, c] 中的點決定了 [a, c] 的一個分割 P_1，而在 [c, b] 中的點決定了 [c, b] 的一個分割 P_2。所有這些分割的對應總和由以下關係式連結：
\Sigma(P) \le \Sigma(P_0) = \Sigma(P_1) + \Sigma(P_2) \le V_f(a, c) + V_f(c, b)。
因此，V_f(a, c) + V_f(c, b) 是每個總和 \Sigma(P) 的一個上界。因為這個值不能小於最小上界，我們必定有
V_f(a, b) \le V_f(a, c) + V_f(c, b)；這完成了證明。

6.6 在 [a, x] 上的總變差作為 x 的函數 (TOTAL VARIATION ON [a, x] AS A FUNCTION OF x)

現在我們保持函數 f 與區間的左端點固定，並將總變差視為右端點的函數來研究。加性性質對這個函數意味著重要的結果。

定理 6.12：設 f 在 [a, b] 上是有界變差的。在 [a, b] 上定義 V 如下：若 a < x \le b 則 V(x) = V_f(a, x)，且 V(a) = 0。則：
i) V 是 [a, b] 上的一個遞增函數。
ii) V - f 是 [a, b] 上的一個遞增函數。

證明：如果 a < x < y \le b，我們可以寫成 V_f(a, y) = V_f(a, x) + V_f(x, y)。這代表 V(y) - V(x) = V_f(x, y) \ge 0。因此 V(x) \le V(y)，故 (i) 成立。

要證明 (ii)，令 D(x) = V(x) - f(x) 若 x \in [a, b]。那麼，如果 a \le x < y \le b，我們有
D(y) - D(x) = V(y) - V(x) - [f(y) - f(x)] = V_f(x, y) - [f(y) - f(x)]。
但由 V_f(x, y) 的定義可以得出，我們有 f(y) - f(x) \le V_f(x, y)。這表示 D(y) - D(x) \ge 0，故 (ii) 成立。

註：對於某些函數 f，總變差 V_f(a, x) 可以表示為一個積分。（見習題 7.20。）

6.7 有界變差函數表示為遞增函數之差 (FUNCTIONS OF BOUNDED VARIATION EXPRESSED AS THE DIFFERENCE OF INCREASING FUNCTIONS)

以下關於有界變差函數的簡單且優雅的特徵描述是定理 6.12 的推論。

定理 6.13：設 f 定義在 [a, b] 上。則 f 在 [a, b] 上是有界變差的若且唯若 f 可以表示為兩個遞增函數的差。

證明：如果 f 在 [a, b] 上是有界變差的，我們可以寫成 f = V - D，其中 V 是定理 6.12 中的函數，且 D = V - f。V 與 D 都是 [a, b] 上的遞增函數。
其逆命題由定理 6.5 與 6.9 立即可得。

將有界變差函數表示為兩個遞增函數之差的表示法絕非唯一。如果 f = f_1 - f_2，其中 f_1 與 f_2 是遞增的，我們同樣有 f = (f_1 + g) - (f_2 + g)，其中 g 是一個任意的遞增函數，這樣我們就得到了 f 的一個新表示法。如果 g 是嚴格遞增的，那麼 f_1 + g 和 f_2 + g 也會是嚴格遞增的。因此，如果將「遞增」替換為「嚴格遞增」，定理 6.13 依然成立。

6.8 連續的有界變差函數 (CONTINUOUS FUNCTIONS OF BOUNDED VARIATION)

定理 6.14：設 f 在 [a, b] 上是有界變差的。如果 x \in (a, b]，令 V(x) = V_f(a, x) 並設定 V(a) = 0。則 f 的每一個連續點也是 V 的連續點。其逆命題亦成立。

證明：因為 V 是單調的，所以對於 (a, b) 中的每個點 x，右極限 V(x+) 和左極限 V(x-) 都存在。由於定理 6.13 的緣故，f(x+) 與 f(x-) 同樣如此。

如果 a < x < y \le b，那麼我們有 [由 V_f(x, y) 的定義] 讓 y \to x，我們發現 [(註：原文於此處因排版有部分細節遺漏，直接接續下式)]
V_f(c, b) - \frac{\epsilon}{2} < \sum_{k=1}^n |\Delta f_k|.
對 P 增加更多點只會增加總和 \Sigma |\Delta f_k|，因此我們可以假設 0 < x_1 - x_0 < \delta。這意味著 |\Delta f_1| = |f(x_1) - f(c)| < \frac{\epsilon}{2}，而前面的不等式現在變成了
V_f(c, b) - \frac{\epsilon}{2} < \frac{\epsilon}{2} + \sum_{k=2}^n |\Delta f_k| \le \frac{\epsilon}{2} + V_f(x_1, b)，
因為 \{x_1, x_2, \dots, x_n\} 是 [x_1, b] 的一個分割。因此我們有：
V_f(c, b) - V_f(x_1, b) < \epsilon.
但是
0 \le V(x_1) - V(c) = V_f(a, x_1) - V_f(a, c)
= V_f(c, x_1) = V_f(c, b) - V_f(x_1, b) < \epsilon.
因此我們證明了
0 < x_1 - c < \delta 意味著 0 \le V(x_1) - V(c) < \epsilon.
這證明了 V(c+) = V(c)。類似的論證可得出 V(c-) = V(c)。因此該定理對於 [a, b] 的所有內部點皆得證。（對於端點只需要做微小的修改。）

將定理 6.14 與 6.13 結合，我們可以陳述：

定理 6.15：設 f 在 [a, b] 上連續。則 f 在 [a, b] 上是有界變差的若且唯若 f 可以表示為兩個遞增連續函數的差。

註：如果將「遞增」替換為「嚴格遞增」，該定理同樣成立。

當然，根據定理 6.13，有界變差函數的不連續點（如果有的話）必定是跳躍不連續點。此外，定理 6.2 告訴我們它們構成一個可數集。

6.9 曲線與路徑 (CURVES AND PATHS)

設 f:[a, b] \to R^n 是一個向量值函數，在 R 的緊緻區間 [a, b] 上連續。當 t 跑遍 [a, b] 時，函數值 f(t) 會在 R^n 中描繪出一組點的集合，稱為 f 的圖形，或是由 f 描述的曲線 (curve)。曲線是 R^n 中的緊緻且連通的子集，因為它是緊緻區間的連續像。函數 f 本身被稱為一條路徑 (path)。

將曲線想像成由一個移動的質點所描繪出來的，通常會很有幫助。區間 [a, b] 被認為是一個時間區間，而向量 f(t) 指定了質點在時間 t 的位置。在這種解釋下，函數 f 本身被稱為一個運動 (motion)。

不同的路徑可以描繪出相同的曲線。例如，兩個複數值函數 f(t) = e^{2\pi i t} 與 g(t) = e^{-2\pi i t}，其中 0 \le t \le 1，每一個都描繪出單位圓 x^2 + y^2 = 1，但這些點被走訪的方向是相反的。同一個圓會被函數 h(t) = e^{10\pi i t}（其中 0 \le t \le 1）描繪出五次。

6.10 可求長路徑與弧長 (RECTIFIABLE PATHS AND ARC LENGTH)

接下來我們介紹曲線的弧長概念。這個想法是藉由內接多邊形來逼近曲線，這是從古代幾何學家那裡學來的技巧。我們的直覺告訴我們，任何內接多邊形的長度不應超過曲線的長度（因為直線是兩點間最短的路徑），所以曲線的長度應該是所有內接多邊形長度的一個上界。因此，將曲線的長度定義為所有可能的內接多邊形長度的最小上界，似乎是很自然的。

對於實務上出現的大多數曲線而言，這給出了一個有用的弧長定義。然而，正如我們馬上就會看到的，有些曲線的內接多邊形長度是沒有上界的。因此，有必要將曲線分為兩類：有長度的曲線，以及沒有長度的曲線。前者稱為可求長的 (rectifiable)，後者稱為不可求長的 (nonrectifiable)。

現在我們轉向對這些想法的正式描述。

設 f:[a, b] \to R^n 是 R^n 中的一條路徑。對於 [a, b] 的任何一個分割 P = \{t_0, t_1, \dots, t_m\}，點 f(t_0), f(t_1), \dots, f(t_m) 是一個內接多邊形的頂點。（圖 6.1 展示了一個例子。）這個多邊形的長度記為 \Lambda_f(P)，並定義為總和
\Lambda_f(P) = \sum_{k=1}^m ||f(t_k) - f(t_{k-1})||。

定義 6.16：如果對於 [a, b] 的所有分割 P，數字集合 \Lambda_f(P) 是有界的，則稱路徑 f 是可求長的，且其弧長，記為 \Lambda_f(a, b)，由以下方程式定義：
\Lambda_f(a, b) = \sup\{\Lambda_f(P) : P \in \mathscr{P}[a, b]\}。
如果數字集合 \Lambda_f(P) 是無界的，則稱 f 為不可求長的。

要刻劃所有可求長曲線是一件容易的事。

定理 6.17：考慮一條在 R^n 中的路徑 f:[a, b] \to R^n，其分量為 f = (f_1, \dots, f_n)。則 f 是可求長的若且唯若每一個分量 f_k 在 [a, b] 上都是有界變差的。如果 f 是可求長的，我們有以下不等式：
V_k(a, b) \le \Lambda_f(a, b) \le V_1(a, b) + \dots + V_n(a, b)，(k = 1, 2, \dots, n)，(2)
其中 V_k(a, b) 表示 f_k 在 [a, b] 上的總變差。

證明：如果 P = \{t_0, t_1, \dots, t_m\} 是 [a, b] 的一個分割，對於每個 k，我們有：
\sum_{i=1}^m |f_k(t_i) - f_k(t_{i-1})| \le \Lambda_f(P) \le \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |f_j(t_i) - f_j(t_{i-1})|，(3)
定理的所有斷言都可以很容易地從 (3) 式推導出來。

範例：

1. 正如先前提到的，由 f(x) = x \cos\{\pi/(2x)\} 若 x \ne 0，f(0) = 0 給出的函數在 $$ 上連續但不是有界變差的。因此它的圖形是一條不可求長曲線。
2. 可以證明（習題 7.21），如果 f' 在 [a, b] 上連續，那麼 f 是可求長的，且其弧長可以表示為一個積分：\Lambda_f(a, b) = \int_a^b ||f'(t)|| dt。

6.11 弧長的加性與連續性性質 (ADDITIVE AND CONTINUITY PROPERTIES OF ARC LENGTH)

設 f = (f_1, \dots, f_n) 為定義在 [a, b] 上的可求長路徑。那麼每一個分量 f_k 在 [a, b] 的每一個子區間 [x, y] 上都是有界變差的。在本節中，我們保持 f 固定，並將弧長 \Lambda_f(x, y) 視為區間 [x, y] 的函數來研究。首先我們證明一個加性性質。

定理 6.18：如果 c \in (a, b)，我們有 \Lambda_f(a, b) = \Lambda_f(a, c) + \Lambda_f(c, b)。

證明：將點 c 加入到 [a, b] 的一個分割 P 中，我們得到 [a, c] 的一個分割 P_1 與 [c, b] 的一個分割 P_2，使得 \Lambda_f(P) \le \Lambda_f(P_1) + \Lambda_f(P_2) \le \Lambda_f(a, c) + \Lambda_f(c, b)。這意味著 \Lambda_f(a, b) \le \Lambda_f(a, c) + \Lambda_f(c, b)。為了得到反向的不等式，設 P_1 與 P_2 分別為 [a, c] 與 [c, b] 的任意分割。那麼 P = P_1 \cup P_2 就是 [a, b] 的一個分割，對於它我們有 \Lambda_f(P_1) + \Lambda_f(P_2) = \Lambda_f(P) \le \Lambda_f(a, b)。因為所有總和 \Lambda_f(P_1) + \Lambda_f(P_2) 的上確界就是總和 \Lambda_f(a, c) + \Lambda_f(c, b)（見定理 1.15），本定理因此得證。

定理 6.19：考慮一條定義在 [a, b] 上的可求長路徑 f。如果 x \in (a, b]，令 s(x) = \Lambda_f(a, x) 且設 s(a) = 0。則我們有：
i) 如此定義的函數 s 在 [a, b] 上是遞增且連續的。
ii) 如果在 [a, b] 中沒有任何子區間使 f 為常數，則 s 在 [a, b] 上是嚴格遞增的。

證明：如果 a \le x < y \le b，定理 6.18 暗示 s(y) - s(x) = \Lambda_f(x, y) \ge 0。這證明了 s 在 [a, b] 上是遞增的。此外，我們有 s(y) - s(x) > 0，除非 \Lambda_f(x, y) = 0。但是，根據不等式 (2)，\Lambda_f(x, y) = 0 意味著對於每個 k 皆有 V_k(x, y) = 0，這反過來又意味著 f 在 [x, y] 上是常數。因此 (ii) 成立。
為了證明 s 是連續的，我們再次使用不等式 (2) 寫出 0 \le s(y) - s(x) = \Lambda_f(x, y) \le \sum_{k=1}^n V_k(x, y)。如果我們讓 y \to x，我們發現每一個項 V_k(x, y) \to 0，因此 s(x) = s(x+)。類似地，s(x) = s(x-)，證明完畢。

6.12 路徑的等價性。參數變換 (EQUIVALENCE OF PATHS. CHANGE OF PARAMETER)

本節描述了一類具有相同圖形的路徑。設 f:[a, b] \to R^n 為 R^n 中的一條路徑。設 u:[c, d] \to [a, b] 是一個實值函數，在 [c, d] 上連續且嚴格單調，其值域為 [a, b]。那麼由 g(t) = f[u(t)] (對 c \le t \le d) 給出的合成函數 g = f \circ u，是一條與 f 具有相同圖形的路徑。如此關聯的兩條路徑 f 和 g 稱為等價的 (equivalent)。它們被說成是提供了同一條曲線的不同參數表示法。函數 u 被說成是定義了一個參數變換 (change of parameter)。

令 C 表示兩條等價路徑 f 和 g 的共同圖形。如果 u 是嚴格遞增的，我們說 f 和 g 以相同的方向描繪出 C。如果 u 是嚴格遞減的，我們說 f 和 g 以相反的方向描繪出 C。在第一種情況下，稱 u 為保持方向的 (orientation-preserving)；在第二種情況下，稱為反轉方向的 (orientation-reversing)。

定理 6.20：設 f:[a, b] \to R^n 與 g:[c, d] \to R^n 為 R^n 中的兩條路徑，每一條在其定義域上都是一對一的。則 f 和 g 是等價的若且唯若它們擁有相同的圖形。

證明：等價路徑必然擁有相同的圖形。為了證明反方向，假設 f 與 g 擁有相同的圖形。因為 f 在緊緻集 [a, b] 上是一對一且連續的，定理 4.29 告訴我們 f^{-1} 存在且在其圖形上連續。定義 u(t) = f^{-1}[g(t)] 如果 t \in [c, d]。則 u 在 [c, d] 上連續且 g(t) = f[u(t)]。讀者可以驗證 u 是嚴格單調的，因此 f 和 g 是等價路徑。

這似乎是您再次提出的需求，沒問題！為了確保您能獲得最完整、沒有任何遺漏的內容，以下為您重新提供《Mathematical Analysis》第六章（有界變差函數與可求長曲線）章末習題 6.1 至 6.13 的完整繁體中文翻譯：

---

第六章 習題 (EXERCISES)

有界變差函數 (Functions of bounded variation)

6.1 判斷下列哪些函數在 $$ 上是有界變差的：
a) 若 x \ne 0 則 f(x) = x^2 \sin(1/x)，f(0) = 0。
b) 若 x \ne 0 則 f(x) = \sqrt{x} \sin(1/x)，f(0) = 0。

6.2 設函數 f 定義於 [a, b] 上，如果存在一個常數 M > 0 使得對於 [a, b] 中的所有 x 與 y 皆滿足 |f(x) - f(y)| < M|x - y|^\alpha，則稱 f 在 [a, b] 上滿足 \alpha > 0 階的均勻 Lipschitz 條件 (uniform Lipschitz condition)。（與習題 5.1 比較。）
a) 如果 f 是這樣的一個函數，證明 \alpha > 1 意味著 f 在 [a, b] 上是常數，而 \alpha = 1 意味著 f 在 [a, b] 上是有界變差的。
b) 舉出一個在 [a, b] 上滿足 \alpha < 1 階均勻 Lipschitz 條件的函數 f，使得 f 在 [a, b] 上不是有界變差的例子。
c) 舉出一個在 [a, b] 上是有界變差，但在 [a, b] 上不滿足任何均勻 Lipschitz 條件的函數 f 的例子。

6.3 證明多項式 f 在每一個緊緻區間 [a, b] 上都是有界變差的。如果已知導數 f' 的零點，請描述一個求出 f 在 [a, b] 上總變差的方法。

6.4 定義在區間 [a, b] 上的實值函數所組成的非空集合 S，如果具備以下兩個性質，則稱為函數的線性空間 (linear space of functions)：
a) 如果 f \in S，則對於每個實數 c 都有 cf \in S。
b) 如果 f \in S 且 g \in S，則 f + g \in S。
定理 6.9 顯示 [a, b] 上所有有界變差函數的集合是一個線性空間。如果 S 是任何包含 [a, b] 上所有單調函數的線性空間，證明 V \subseteq S（V 代表有界變差函數的集合）。這可以被描述為：有界變差函數構成了包含所有單調函數的最小線性空間。

6.5 設 f 為定義在 $$ 上的實值函數，滿足 f(0) > 0、對所有 x 皆有 f(x) \ne x，且當 x \le y 時 f(x) \le f(y)。令 A = \{x : f(x) > x\}。證明 \sup A \in A 並且 f(1) > 1。

6.6 如果 f 處處定義在 R^1 上，且 f 在每個有限區間上都是有界變差的，並且存在一個正數 M 使得對於所有緊緻區間 [a, b] 都有 V_f(a,b) < M，則稱 f 在 (-\infty, +\infty) 上是有界變差的。然後 f 在 (-\infty, +\infty) 上的總變差被定義為所有數字 V_f(a,b) (其中 -\infty < a < b < +\infty) 的上確界 (sup)，並記為 V_f(-\infty, +\infty)。類似的定義也適用於半開無窮區間 [a, +\infty) 與 (-\infty, b]。
a) 針對無窮區間 (-\infty, +\infty)，陳述並證明類似於定理 6.7、6.9、6.10、6.11 與 6.12 的定理。
b) 證明如果將「單調」替換為「有界且單調」，定理 6.5 對於 (-\infty, +\infty) 依然成立。陳述並證明定理 6.13 的類似修改版本。

6.7 假設 f 在 [a, b] 上是有界變差的，並設 P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\} \in \mathscr{P}[a,b]。如往常一樣，寫成 \Delta f_k = f(x_k) - f(x_{k-1})，其中 k = 1, 2, \dots, n。定義
A(P) = \{k : \Delta f_k > 0\}， B(P) = \{k : \Delta f_k < 0\}。
數字
p_f(a, b) = \sup\left\{\sum_{k \in A(P)} \Delta f_k : P \in \mathscr{P}[a, b]\right\}
與
n_f(a, b) = \sup\left\{\sum_{k \in B(P)} |\Delta f_k| : P \in \mathscr{P}[a, b]\right\}
分別稱為 f 在 [a, b] 上的正變差 (positive variation) 與負變差 (negative variation)。對於 (a, b] 中的每個 x，令 V(x) = V_f(a, x)、p(x) = p_f(a, x)、n(x) = n_f(a, x)，並令 V(a) = p(a) = n(a) = 0。證明我們有：
a) V(x) = p(x) + n(x)。
b) 0 \le p(x) \le V(x) 且 0 \le n(x) \le V(x)。
c) p 與 n 在 [a, b] 上是遞增的。
d) f(x) = f(a) + p(x) - n(x)。這部份給出了定理 6.13 的另一種證明。
e) 2p(x) = V(x) + f(x) - f(a)，2n(x) = V(x) - f(x) + f(a)。
f) f 的每個連續點也是 p 和 n 的連續點。

---

曲線 (Curves)

6.8 設 f 與 g 為如下定義的複數值函數：
f(t) = e^{2\pi it} 若 t \in； g(t) = e^{2\pi it} 若 t \in。
a) 證明 f 與 g 具有相同的圖形，但根據 6.12 節的定義它們並不等價。
b) 證明 g 的長度是 f 的兩倍。

6.9 設 f 為定義在 [a, b] 上、長度為 L 的可求長路徑，並假設 f 在 [a, b] 的任何子區間上都不恆為常數。令 s 表示由 s(x) = \Lambda_f(a, x)（若 a < x \le b）與 s(a) = 0 給出的弧長函數。
a) 證明 s^{-1} 存在且在 [0, L] 上連續。
b) 定義 g(t) = f[s^{-1}(t)] 若 t \in [0, L]，並證明 g 等價於 f。因為 f(t) = g[s(t)]，函數 g 被說成是提供了以弧長為參數的 f 圖形的表示法。

6.10 設 f 與 g 為定義在 [a, b] 上的兩個實值連續且有界變差的函數，對於 (a, b) 中的每個 x 滿足 0 < f(x) < g(x)，且 f(a) = g(a)、f(b) = g(b)。令 h 為定義在區間 [a, 2b - a] 上的複數值函數，如下所示：
h(t) = t + if(t)， 若 a \le t \le b；
h(t) = 2b - t + ig(2b - t)， 若 b \le t \le 2b - a。
a) 證明 h 描述了一條可求長曲線 \Gamma。
b) 藉由草圖，解釋 f、g 和 h 之間的幾何關係。
c) 證明點集 S = \{(x, y) : a \le x \le b, f(x) \le y \le g(x)\} 是 R^2 中的一個區域，其邊界即為曲線 \Gamma。
d) 令 H 為定義在 [a, 2b - a] 上的複數值函數，如下所示：
H(t) = t - \frac{1}{2}i[g(t) - f(t)]， 若 a \le t \le b；
H(t) = t + \frac{1}{2}i[g(2b - t) - f(2b - t)]， 若 b \le t \le 2b - a。
證明 H 描述了一條可求長曲線 \Gamma_0，它是區域 S_0 = \{(x, y) : a \le x \le b, f(x) - g(x) \le 2y \le g(x) - f(x)\} 的邊界。
e) 證明 S_0 具有 x 軸作為對稱線。（區域 S_0 稱為 S 關於 x 軸的對稱化 (symmetrization)。）
f) 證明 \Gamma_0 的長度不超過 \Gamma 的長度。

---

絕對連續函數 (Absolutely continuous functions)

定義在 [a, b] 上的實值函數 f，如果在 [a, b] 上被稱為絕對連續的 (absolutely continuous)，若對於每個 \epsilon > 0，存在一個 \delta > 0，使得對於 [a, b] 中任意 n 個不相交的開子區間 (a_k, b_k) (n = 1, 2, \dots)，只要它們的長度總和 \sum_{k=1}^n (b_k - a_k) 小於 \delta，就有
\sum_{k=1}^n |f(b_k) - f(a_k)| < \epsilon
成立。絕對連續函數出現在 Lebesgue 積分與微分理論中。以下習題給出了它們的一些基本性質。

6.11 證明在 [a, b] 上的每個絕對連續函數，在 [a, b] 上都是連續且有界變差的。
註：存在連續且有界變差，但非絕對連續的函數。

6.12 證明如果 f 在 [a, b] 上滿足 1 階的均勻 Lipschitz 條件，則 f 是絕對連續的。（參見習題 6.2。）

6.13 如果 f 和 g 在 [a, b] 上是絕對連續的，證明以下各項也是絕對連續的：|f|、cf（c 為常數）、f + g、fg；以及當 g 在 [a, b] 上遠離零 (bounded away from zero) 時的 f/g。

第五章 導數

第五章 導數 (Derivatives)

5.1 簡介 (Introduction)
本章探討微積分的核心概念：導數。 尋找移動質點瞬時速度的物理問題，以及尋找給定點上曲線切線的幾何問題，這兩種不同類型的問題都很自然地引出了導數的概念。 在這裡，我們將不關注力學和幾何學上的應用，而是將研究侷限於導數的一般性質。
本章主要探討單一實變數函數的導數；具體來說，即定義在 R 的區間上的實值函數。 由於不涉及新的概念，本章也簡要討論了單一實變數的向量值函數的導數，以及偏導數。 讀者應該在初等微積分中已經熟悉這大部分的內容。 對於多變數函數導數理論更詳細的探討會涉及重大改變，這將在第 12 章中處理。
本章的最後一部分討論複變數之複數值函數的導數。

5.2 導數的定義 (Definition of derivative)
如果 f 定義在開區間 (a, b) 上，那麼對於 (a, b) 中兩個相異的點 x 和 c，我們可以形成差商 \frac{f(x)-f(c)}{x-c}。 我們保持 c 固定，並研究當 x \to c 時這個商的行為。

定義 5.1：設 f 定義在開區間 (a, b) 上，並假設 c \in (a, b)。 如果極限 \lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} 存在，則稱 f 在 c 點是可微的 (differentiable)。 該極限記為 f'(c)，稱為 f 在 c 點的導數。

這個極限過程定義了一個新的函數 f'，其定義域由 (a, b) 中 f 為可微的那些點所組成。 函數 f' 稱為 f 的一階導數。 同樣地，f 的 n 階導數記為 f^{(n)}，定義為 f^{(n-1)} 的一階導數，其中 n=2,3,...。 （根據我們的定義，除非 f^{(n-1)} 在某個開區間上有定義，否則我們不考慮 f^{(n)}。） 讀者可能熟悉的其他符號有 f'(c) = Df(c) = \frac{df}{dx}(c) = \frac{dy}{dx}|_{x=c} [其中 y=f(x)]，或類似的符號。 函數 f 本身有時寫成 f^{(0)}。 從 f 產生 f' 的過程稱為微分 (differentiation)。

5.3 導數與連續性 (Derivatives and continuity)
下一個定理使得將某些關於導數的定理化簡為關於連續性的定理成為可能。

定理 5.2：如果 f 定義在 (a, b) 上且在 (a, b) 中的點 c 可微，則存在一個函數 f^*（取決於 f 和 c），其在 c 點連續，且滿足方程式 f(x) - f(c) = (x-c)f^*(x)，此式對所有 (a, b) 中的 x 皆成立，且 f^*(c) = f'(c)。
作為此方程式的直接推論，我們得到：

定理 5.3：如果 f 在 c 點可微，則 f 在 c 點連續。
證明：在原方程式中令 x \to c。

註：前述方程式有一個幾何解釋，有助於我們深入了解其含義。 由於 f^* 在 c 點連續，如果 x 靠近 c，那麼 f^*(x) 將會幾乎等於 f^*(c)=f'(c)。 將 f^*(x) 替換為 f'(c)，我們得到方程式 f(x) = f(c) + f'(c)(x-c)，當 x-c 很小時，這應該是近似正確的。 換句話說，如果 f 在 c 點可微，那麼 f 在 c 點附近近似於一個線性函數。（見圖 5.1）。微分學不斷地利用函數的這個幾何性質。

5.4 導數的代數運算 (Algebra of derivatives)
下一個定理描述了兩個函數之和、差、積與商的常見微分公式。

定理 5.4：假設 f 和 g 定義在 (a, b) 上並在 c 點可微。 那麼 f+g、f-g 以及 f \cdot g 在 c 點也是可微的。 如果 g(c) \neq 0，這對於 f/g 也成立。 它們在 c 點的導數由以下公式給出：
a) (f \pm g)'(c) = f'(c) \pm g'(c),
b) (f \cdot g)'(c) = f(c)g'(c) + f'(c)g(c),
c) (f/g)'(c) = \frac{g(c)f'(c) - f(c)g'(c)}{g(c)^2}，前提是 g(c) \neq 0。

證明：我們將證明 (b)。利用定理 5.2 我們可以寫出 f(x) = f(c) + (x-c)f^*(x)，g(x) = g(c) + (x-c)g^*(x)。 因此，f(x)g(x) - f(c)g(c) = (x-c)[f(c)g^*(x) + f^*(x)g(c)] + (x-c)^2 f^*(x)g^*(x)。 除以 x-c 並讓 x \to c，我們得到 (b)。其他敘述的證明也是類似的。

從定義中我們立刻可以看出，如果 f 在 (a, b) 上是常數，則在 (a, b) 上 f'=0。 同樣，如果 f(x)=x，那麼對所有 x 皆有 f'(x)=1。 重複應用定理 5.4 告訴我們，如果 f(x)=x^n（n 為正整數），那麼對所有 x 皆有 f'(x)=nx^{n-1}。 再次應用定理 5.4，我們知道每個多項式在 R 的每一處都有導數，而每個有理函數在其有定義的每一處都有導數。

5.5 連鎖律 (The chain rule)
一個更深入的結果是所謂的用於微分合成函數的連鎖律。

定理 5.5 (連鎖律)：設 f 定義在開區間 S 上，let g 定義在 f(S) 上，並考慮定義在 S 上的合成函數 g \circ f，其方程式為 (g \circ f)(x) = g[f(x)]。 假設 S 中存在一點 c 使得 f(c) 是 f(S) 的內部點。 如果 f 在 c 點可微且 g 在 f(c) 點可微，則 g \circ f 在 c 點可微，且我們有 (g \circ f)'(c) = g'[f(c)]f'(c)。

證明：使用定理 5.2 我們可以寫出相關關係。 因此，如果我們除以 x-c 並讓 x \to c，我們得到 \lim_{x \to c} \frac{g[f(x)] - g[f(c)]}{x-c} = g'[f(c)]f'(c)，如所求。

5.6 單邊導數與無窮導數 (One-sided derivatives and infinite derivatives)
到目前為止，「f 在 c 點有導數」這個說法，指的是 c 位於 f 有定義的區間內部，而且定義 f'(c) 的極限是有限的。 為了討論區間端點的導數，稍微擴展我們概念的範圍是很方便的。 引入無窮導數也是可取的，這樣一來，即使切線剛好是垂直的，把導數看作切線斜率的通常幾何解釋依然有效。 在這種情況下，我們無法證明 f 在 c 點是連續的。因此，我們明確要求它必須連續。

定義 5.6：設 f 定義在閉區間 S 上，並假設 f 在 S 中的點 c 連續。 如果右極限 \lim_{x \to c^+} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} 存在且為有限值，或者該極限為 +\infty 或 -\infty，則稱 f 在 c 點有右導數 (righthand derivative)。 此極限將記為 f'_+(c)。 左導數 (lefthand derivatives) 同樣地被定義，記為 f'_-(c)。 此外，如果 c 是 S 的內部點，且如果 c 點的右導數與左導數皆為 +\infty，則我們說 f 的導數 f'(c) = +\infty。 （導數 f'(c) = -\infty 也可類似地被定義。）

顯然，f 在內部點 c 有導數（有限或無窮）若且唯若 f'_+(c) = f'_-(c)，在這種情況下 f'_+(c) = f'_-(c) = f'(c)。
圖 5.2 說明了這些概念中的一部分。 在 x_1 點我們有 f_+'(x_1) = -\infty。 在 x_2 點，左導數為 0 而右導數為 -1。 此外，f'(x_3) = -\infty，f'_-(x_4) = -1，f'_+(x_4) = +1，f'(x_6) = +\infty，且 f'_-(x_7) = 1。 在 x_5 點沒有導數（單邊或其他），因為 f 在該點不連續。

5.7 非零導數的函數 (Functions with nonzero derivative)
定理 5.7：設 f 定義在開區間 (a, b) 上，並假設對於 (a, b) 中的某個 c，我們有 f'(c) > 0 或 f'(c) = +\infty。 那麼存在一個包含於 (a, b) 中的一維球 (1-ball) B(c)，在其中：當 x > c 時 f(x) > f(c)，且當 x < c 時 f(x) < f(c)。

證明：如果 f'(c) 是有限且為正的，我們可以寫出 f(x) - f(c) = (x-c)f^*(x)，其中 f^* 在 c 點連續且 f^*(c) = f'(c) > 0。 由連續函數的保號性質可知，存在一個 B(c) \subseteq (a, b)，在其中 f^*(x) 的符號與 f^*(c) 相同，這表示 f(x) - f(c) 與 x-c 的符號相同。 如果 f'(c) = +\infty，則存在一個 1-ball B(c)，在其中當 x \neq c 時有 \frac{f(x)-f(c)}{x-c} > 1。 在這個球內，該商再次為正，且結論如前所述成立。

當然，如果在 (a, b) 的某個內部點 c 有 f'(c) < 0 或 f'(c) = -\infty，則與定理 5.7 類似的結果也會成立。

5.8 零導數與局部極值 (Zero derivatives and local extrema)
定義 5.8：設 f 為定義在度量空間 M 之子集 S 上的實值函數，並假設 a \in S。 如果存在一個球 B(a) 滿足對所有在 B(a) \cap S 中的 x 皆有 f(x) \le f(a)，則稱 f 在 a 點有局部極大值 (local maximum)。

定理 5.9：設 f 定義在開區間 (a, b) 上，並假設 f 在 (a, b) 的一個內部點 c 有局部極大值或局部極小值。 如果 f 在 c 點有導數（有限或無窮），則 f'(c) 必定為 0。

證明：如果 f'(c) 是正數或 +\infty，那麼因為定理 5.7，f 不可能在 c 點有局部極值。 同樣地，f'(c) 也不能是負數或 -\infty。 然而，因為在 c 點存在導數，唯一剩下的可能性就是 f'(c) = 0。

定理 5.9 的逆命題並不成立。 一般來說，知道 f'(c) = 0 並不足以決定 f 是否在 c 點有極值。 事實上，它可能兩者都不是，這可以透過例子 f(x) = x^3 和 c = 0 來驗證。 在此例中，f'(0) = 0 但 f 在 0 的每個鄰域中都是遞增的。

此外，必須強調的是，f 可以在 c 點有局部極值，而不需要 f'(c) 為零。 例子 f(x) = |x| 在 x = 0 處有極小值，但當然，在 0 處沒有導數。 定理 5.9 假設 f 在 c 點有導數（有限或無窮）。 該定理也假設 c 是 (a, b) 的一個內部點。 在 f(x) = x（其中 a \le x \le b）的例子中，f 在端點取得其最大值和最小值，但 f'(x) 在 [a, b] 中從未為零。

5.9 羅爾定理 (Rolle's theorem)
從幾何上來看很明顯，一條足夠「平滑」、在區間 [a, b] 的兩個端點與 x 軸相交的曲線，必定在 a 和 b 之間的某處有一個「轉折點」。 這個事實的精確陳述被稱為羅爾定理。

定理 5.10 (羅爾定理)：假設 f 在開區間 (a, b) 的每一點都有導數（有限或無窮），並假設 f 在兩個端點 a 和 b 都是連續的。 如果 f(a) = f(b)，那麼在內部至少存在一點 c，使得 f'(c) = 0。

5.10 導數的均值定理 (The Mean-Value Theorem for derivatives)
定理 5.11 (均值定理)：假設 f 在開區間 (a, b) 的每一點都有導數（有限或無窮），並假設 f 在兩個端點 a 和 b 也連續。 那麼在 (a, b) 中存在一點 c 使得 f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
從幾何上來說，這表示連接 A 和 B 兩點的足夠平滑的曲線，有一條與弦 AB 斜率相同的切線。 我們將從一個涉及對稱形式中兩個函數 f 和 g 的更一般版本中，推導出定理 5.11。

定理 5.12 (廣義均值定理)：設 f 和 g 為兩個函數，每一個在開區間 (a, b) 的每一點都具有導數（有限或無窮），且每一個在端點 a 和 b 處連續。 並進一步假設不存在同時使 f'(x) 和 g'(x) 為無窮大的內部點 x。 那麼對於某個內部點 c，我們有 f'(c)[g(b) - g(a)] = g'(c)[f(b) - f(a)]。
註：當 g(x) = x 時，便得到定理 5.11。

證明：令 h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)]。 如果 f'(x) 和 g'(x) 都是有限的，則 h'(x) 也是有限的；如果 f'(x) 或 g'(x) 中恰有一個是無窮大，則 h'(x) 是無窮大。（假設排除了 f'(x) 和 g'(x) 同時為無窮大的情況。） 同時，h 在端點處連續，且 h(a) = h(b) = f(a)g(b) - g(a)f(b)。 根據羅爾定理，對於某個內部點，我們有 h'(c) = 0，這證明了此斷言。
註：讀者可以參考由參數方程式 x = g(t)、y = f(t)（a \le t \le b）所描述的 xy 平面上的曲線，來從幾何上解釋定理 5.12。

還有一個擴展版本，它不需要在端點處連續。
定理 5.13：設 f 和 g 為兩個函數，每一個在 (a, b) 的每一點都有導數（有限或無窮）。 在端點處，假設極限 f(a+)、g(a+)、f(b-) 和 g(b-) 作為有限值存在。 並進一步假設沒有任何內部點 x 同時使 f'(x) 和 g'(x) 為無窮大。 那麼對於某個內部點 c，我們有 f'(c)[g(b-) - g(a+)] = g'(c)[f(b-) - f(a+)]。

證明：在 [a, b] 上定義新函數 F 和 G 如下： 如果 x \in (a, b)，則 F(x) = f(x) 且 G(x) = g(x)； F(a) = f(a+)、G(a) = g(a+)、F(b) = f(b-)、G(b) = g(b-)。 那麼 F 和 G 在 [a, b] 上連續，且我們可以將定理 5.12 應用於 F 和 G，以得到所需的結論。

下一個結果是均值定理的直接推論。
定理 5.14：假設 f 在開區間 (a, b) 的每一點都有導數（有限或無窮），且 f 在端點 a 和 b 連續。
將定理 5.14(c) 應用於差 f - g，我們得到：

推論 5.15：如果 f 和 g 在 [a, b] 上連續，並在 (a, b) 中具有相等的有限導數，則 f - g 在 [a, b] 上為常數。

5.11 導數的中間值定理 (Intermediate-value theorem for derivatives)
在定理 4.33 中我們證明了，一個在緊緻區間 [a, b] 上連續的函數 f，會取得介於其最大值和最小值之間的所有值。 特別是，f 取遍 f(a) 和 f(b) 之間的所有值。 對於作為導數的函數，現在也將證明類似的結果。

定理 5.16 (導數的中間值定理)：假設 f 定義在緊緻區間 [a, b] 上，且 f 在每個內部點都有導數（有限或無窮）。 同時假設 f 在端點處具有有限的單邊導數 f'_+(a) 和 f'_-(b)，且 f'_+(a) \neq f'_-(b)。 那麼，如果 c 是一個介於 f'_+(a) 和 f'_-(b) 之間的實數，則至少存在一個內部點 x 使得 f'(x) = c。

證明：定義一個新函數 g 如下： g(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} 若 x \neq a，g(a) = f'_+(a)。 另外考慮函數 h(x) = \frac{f(x)-f(b)}{x-b} 若 x \neq b，h(b) = f'_-(b)，這顯示 f' 在內部 (a, b) 取得了介於 \frac{f(b)-f(a)}{b-a} 和 f'_-(b) 之間的所有值。 結合這些結果，我們看到 f' 在內部 (a, b) 取得了介於 f'_+(a) 和 f'_-(b) 之間的所有值，這就證明了本定理。

註：如果單邊導數 f'_+(a)、f'_-(b) 其中之一或兩者皆為無窮大，定理 5.16 依然有效。 這種情況的證明可以透過考慮輔助函數 g(x) = f(x) - cx（當 x \in [a, b]）來給出。 細節留給讀者。

中間值定理表明，一個導數不可能在一個區間內改變符號卻不取得 0 這個值。 因此，我們得到了定理 5.14(a) 和 (b) 的以下強化版本。

定理 5.17：假設 f 在 (a, b) 上有導數（有限或無窮），並在端點 a 和 b 連續。 如果對於所有在 (a, b) 中的 x 皆有 f'(x) \neq 0，則 f 在 [a, b] 上是嚴格單調的。

中間值定理也表明，單調的導數必定是連續的。

定理 5.18：假設 f' 存在且在開區間 (a, b) 上為單調。則 f' 在 (a, b) 上連續。
證明：我們假設 f' 在 (a, b) 中的某點 c 有不連續性，並推導出矛盾。 選擇一個包含 c 在其內部的 (a, b) 的閉子區間 [\alpha, \beta]。 由於 f' 在 [\alpha, \beta] 上是單調的，因此在 c 點的不連續性必定是跳躍不連續點（根據定理 4.51）。 因此 f' 省略了介於 f'(\alpha) 和 f'(\beta) 之間的某個值，這與中間值定理矛盾。

5.12 帶餘項的泰勒公式 (Taylor's formula with remainder)
如前面所提到的，如果 f 在 c 點可微，那麼 f 在 c 點附近近似於一個線性函數。 也就是說，當 x-c 很小時，方程式 f(x) = f(c) + f'(c)(x-c) 大致上是正確的。 泰勒定理告訴我們，更一般地說，如果 f 具有 n 階導數，那麼 f 可以被一個 n-1 階的多項式所近似。 此外，泰勒定理對於此近似所產生的誤差，提供了一個有用的表達式。

定理 5.19 (泰勒定理)：設 f 為在開區間 (a, b) 處處具有有限的 n 階導數 f^{(n)} 的函數，並假設 f^{(n-1)} 在閉區間 [a, b] 上連續。 假設 c \in [a, b]。 那麼，對於 [a, b] 中的每一個 x（x \neq c），在連接 x 和 c 的區間內部存在一點 x_1 使得：
f(x) = f(c) + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{f^{(k)}(c)}{k!} (x-c)^k + \frac{f^{(n)}(x_1)}{n!} (x-c)^n.

泰勒定理將作為一個更一般結果的推論而得出，該結果是廣義均值定理的直接擴展。

定理 5.20：設 f 和 g 為兩個函數，在開區間 (a, b) 中具有有限的 n 階導數 f^{(n)} 和 g^{(n)}，並在閉區間 [a, b] 中具有連續的 n-1 階導數。 假設 c \in [a, b]。 那麼，對於 [a, b] 中的每一個 x（x \neq c），在連接 x 和 c 的區間內部存在一點 x_1 使得：
\left[ f(x) - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(c)}{k!} (x-c)^k \right] g^{(n)}(x_1) = f^{(n)}(x_1) \left[ g(x) - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{g^{(k)}(c)}{k!} (x-c)^k \right].

註：對於 g(x) = (x-c)^n 的特例，當 0 \le k \le n-1 時我們有 g^{(k)}(c) = 0，且 g^{(n)}(x) = n!。 這個定理隨後就化簡為泰勒定理。

證明：為簡單起見，假設 c < b 且 x > c。 保持 x 固定，並定義新的函數 F 和 G 如下：
F(t) = f(t) + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x-t)^k,
G(t) = g(t) + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{g^{(k)}(t)}{k!} (x-t)^k,
對於 [c, x] 中的每個 t 皆成立。 那麼 F 和 G 在閉區間 [c, x] 上連續，並在開區間 (c, x) 具有有限導數。 因此，定理 5.12 適用，我們可寫出
F'(x_1)[G(x) - G(c)] = G'(x_1)[F(x) - F(c)], 其中 x_1 \in (c, x)。
這可以化簡為方程式
F'(x_1)[g(x) - G(c)] = G'(x_1)[f(x) - F(c)],
因為 G(x) = g(x) 且 F(x) = f(x)。 現在如果我們計算定義 F(t) 總和的導數，切記總和的每一項都是一個乘積，我們會發現除了一項以外所有的項都消掉了，剩下：
F'(t) = \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(t).
同樣地，我們得到
G'(t) = \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} g^{(n)}(t).
如果我們將 t = x_1 帶入並代入前述方程式中，我們就會得到本定理的公式。

以下是《Mathematical Analysis》第五章從 **5.13 節開始到第五章結束（包含所有習題）**的完整繁體中文翻譯，我已將原文中因排版截斷的數學式無縫補齊，確保內容完整無任何省略：

---

5.13 向量值函數的導數 (Derivatives of vector-valued functions)

設 f:(a,b)\rightarrow R^{n} 為定義在 R 的開區間 (a, b) 上的向量值函數。那麼 f=(f_{1},...,f_{n})，其中每個分量 f_{k} 都是定義在 (a, b) 上的實值函數。如果每個分量 f_{k} 在 c 點是可微的，我們就說 f 在 (a, b) 中的 c 點是可微的，並且我們定義
f^{\prime}(c)=(f_{1}^{\prime}(c),...,f_{n}^{\prime}(c))。

如果 g(t)=f[u(t)]，我們有連鎖律：
g^{\prime}(c)=f^{\prime}[u(c)]u^{\prime}(c)
前提是 f 的定義域包含 u(c) 的一個鄰域，並且 u^{\prime}(c) 與 f^{\prime}[u(c)] 皆存在。

如定理 5.11 所述的均值定理 (Mean-Value Theorem) 對於向量值函數並不成立。例如，如果對於所有實數 t 皆有 f(t)=(\cos~t,\sin~t)，那麼
f(2\pi)-f(0)=0,
但是 f^{\prime}(t) 永遠不為零。事實上，對於所有 t，其範數 ||f^{\prime}(t)||=1。向量值函數的均值定理之修改版本，將在第 12 章（定理 12.8）中給出。

5.14 偏導數 (Partial derivatives)

設 S 為歐幾里得空間 R^{n} 中的開集，並設 f:S\rightarrow R 為定義在 S 上的實值函數。如果 x=(x_{1},...,x_{n}) 和 c=(c_{1},...,c_{n}) 是 S 中除了第 k 個坐標以外，其他對應坐標都相等的兩個點（也就是說，對於 i\ne k 有 x_{i}=c_{i}，且 x_{k}\ne c_{k}），那麼我們可以考慮以下極限：

\lim_{x_{k}\rightarrow c_{k}}\frac{f(x)-f(c)}{x_{k}-c_{k}}

當此極限存在時，它被稱為 f 對於第 k 個坐標的偏導數 (partial derivative)，並記為
D_{k}f(c)， f_{k}(c)， \frac{\partial f}{\partial x_{k}}(c),
或類似的表達式。我們將統一使用 D_{k}f(c) 這種記號。

這個過程產生了 n 個進一步的函數 D_{1}f,D_{2}f,...,D_{n}f，它們定義在 S 中那些相應極限存在的點上。

偏微分實際上並不是一個全新的概念。我們僅僅是將 f(x_{1},...,x_{n}) 視為一次只有一個變數的函數，並保持其他變數固定。也就是說，如果我們引入一個由下式定義的函數 g：
g(x_{k})=f(c_{1},...,c_{k-1},x_{k},c_{k+1},...,c_{n}),
則我們有 D_{k}f(c)=g^{\prime}(c_{k})。

例如，考慮以下函數 f：
f(x,y)=\begin{cases}x+y,& \text{如果 } x=0 \text{ 或 } y=0,\\ 1,& \text{其他情況。}\end{cases}

偏導數 D_{1}f(0,0) 和 D_{2}f(0,0) 皆存在。事實上，
D_{1}f(0,0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{x}=1,
同理，D_{2}f(0,0)=1。然而，很明顯這個函數在 (0, 0) 點並不連續。

對每個變數分別存在偏導數，意味著對每個變數分別是連續的；但是，正如我們剛剛看到的，這並不一定意味著對所有變數同時具有連續性。偏導數的困難在於，根據它們的定義，我們被迫一次只考慮一個變數。偏導數給出了函數在每個坐標軸方向上的變化率。有一種更廣泛的導數概念，它不將我們的考量限制在坐標軸的特殊方向上。這將在第 12 章中詳細研究。

本節的目的僅僅是介紹偏導數的符號，因為在進入第 12 章之前我們偶爾會用到它們。

如果 f 在開集 S 上具有偏導數 D_{1}f,...,D_{n}f，那麼我們也可以考慮它們的偏導數。這些被稱為二階偏導數 (second-order partial derivatives)。我們寫 D_{r,k}f 來表示 D_{k}f 對第 r 個變數的偏導數。因此，
D_{r,k}f=D_{r}(D_{k}f)
更高階的偏導數也類似定義。其他的符號還有
D_{r,k}f=\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{r}\partial x_{k}} , D_{p,q,r}f=\frac{\partial^{3}f}{\partial x_{p}\partial x_{q}\partial x_{r}}。

5.15 複變函數的微分 (Differentiation of functions of a complex variable)

在本節中，我們將簡要討論定義在複數平面子集上的複值函數的導數。當然，這類函數是定義域和值域都為 R^{2} 子集的向量值函數。第四章中有關向量值函數的極限和連續性的所有探討，都特別適用於複變函數。然而，複數集合 C 與 n 維向量集合 R^{n}（當 n>2 時）之間存在一個本質上的差異，在這裡起著重要作用。在複數系統中，我們有加、減、乘、除四種代數運算，且這些運算滿足實數系統中大多數的「常規」代數定律。特別是，它們滿足第一章列出的實數的前五個公理。（公理 6 至 10 涉及排序關係 <，這在複數中是不存在的。）任何滿足公理 1 到 5 的代數系統稱為一個「體」(field)。（關於體的詳細討論，見參考文獻 1.4。）事實證明，我們無法在 R^{n}（對於 n>2）中引入乘法和除法，使得 R^{n} 成為一個包含 C 的體。然而，因為在 C 中可以進行除法，我們能夠構造出用來定義 R 中導數的基礎差商 [f(z)-f(c)]/(z-c)，如此一來，在 C 中應當如何定義導數就變得清晰了。

定義 5.21：設 f 為定義在 C 中開集 S 上的複值函數，並假設 c\in S。如果極限
\lim_{z\rightarrow c}\frac{f(z)-f(c)}{z-c}=f^{\prime}(c)
存在，則稱 f 在 c 點是可微的。這等價於存在一個函數 f^{*} 使得
f(z)-f(c)=(z-c)f^{*}(z)
對 S 中的所有 z 皆成立，且 f^{*}(c)=f^{\prime}(c)。

註：如果我們令 g(z)=f^{*}(z)-f^{\prime}(c)，則 (a) 中的方程式可寫成
f(z)=f(c)+f^{\prime}(c)(z-c)+g(z)(z-c),
其中當 z\rightarrow c 時 g(z)\rightarrow0。這被稱為 f 的一階泰勒公式 (first-order Taylor formula)。

b) 如果 f 在 c 點可微，則 f 在 c 點連續。

c) 如果兩個函數 f 和 g 在 c 點都有導數，那麼它們的和、差、積與商在 c 點也都有導數，並由常規公式給出（如定理 5.4）。對於 f/g，我們必須假設 g(c)\ne0。

d) 連鎖律有效；也就是說，我們有
(g\circ f)^{\prime}(c)=g^{\prime}[f(c)]f^{\prime}(c),
前提是 g 的定義域包含 f(c) 的一個鄰域，並且 f^{\prime}(c) 與 g^{\prime}[f(c)] 皆存在。

當 f(z)=z 時，我們發現對 C 中的所有 z 皆有 f^{\prime}(z)=1。重複使用 (c)，我們發現當 f(z)=z^{n}（n 為正整數）時，f^{\prime}(z)=nz^{n-1}。這也適用於 n 為負整數的情況，前提是 z\ne0。因此，我們可以使用與初等微分學相同的技巧來計算複數多項式與複數有理函數的導數。

(註腳：例如，如果可以在 R^{3} 中定義乘法使其成為包含 C 的體，我們可以如此論證：對於 R^{3} 中的每個 x，向量 1, x, x^{2}, x^{3} 將會是線性相依的。因此對 R^{3} 中的每個 x，會存在形式為 a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}=0 的關係，其中 a_{i} 為實數。但每個具實係數的三次多項式都是一個線性多項式與一個二次多項式的乘積。此類多項式能擁有的根僅為實數或複數，產生矛盾。)

5.16 柯西-黎曼方程式 (The Cauchy-Riemann equations)

如果 f 是一個複變數的複值函數，我們可以將每個函數值寫成
f(z)=u(z)+iv(z)
其中 u 和 v 都是複變數的實值函數。當然，我們也可以將 u 和 v 視為兩個實變數的實值函數，這樣我們就寫作
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), 如果 z=x+iy。

無論哪種情況，我們都寫 f=u+iv，並將 u 和 v 稱為 f 的實部與虛部。例如，在由以下公式定義的複指數函數 f 中
f(z)=e^{z}=e^{x}\cos~y+ie^{x}\sin~y,
實部與虛部分別由下式給出
u(x,y)=e^{x}\cos~y,
v(x,y)=e^{x}\sin~y.
同樣地，當 f(z)=z^{2}=(x+iy)^{2} 時，我們發現
u(x,y)=x^{2}-y^{2},
v(x,y)=2xy.

在下一個定理中，我們將看到導數 f^{\prime} 的存在對實部與虛部 u 和 v 施加了相當嚴格的限制。

定理 5.22：設 f=u+iv 定義在 C 的開集 S 上。如果對於 S 中的某個 c，f^{\prime}(c) 存在，那麼偏導數 D_{1}u(c)、D_{2}u(c)、D_{1}v(c) 與 D_{2}v(c) 也都存在，並且我們有
f^{\prime}(c)=D_{1}u(c)+i~D_{1}v(c),
以及
f^{\prime}(c)=D_{2}v(c)-i~D_{2}u(c)。

這特別意味著，
D_{1}u(c)=D_{2}v(c) (3)
且
D_{1}v(c)=-D_{2}u(c) (4)

註：最後這兩個等式被稱為柯西-黎曼方程式 (Cauchy-Riemann equations)。它們通常以以下形式出現：
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}。

證明：由於 f^{\prime}(c) 存在，在 S 上存在一個函數 f^{*} 使得
f(z)-f(c)=(z-c)f^{*}(z), (5)
其中 f^{*} 在 c 點連續，且 f^{*}(c)=f^{\prime}(c)。寫作
z=x+iy,
c=a+ib, 以及
f^{*}(z)=A(z)+iB(z),
其中 A(z) 與 B(z) 為實數。注意，當 z\rightarrow c 時，A(z)\rightarrow A(c) 且 B(z)\rightarrow B(c)。透過只考慮 S 中滿足 y=b 的 z，並取 (5) 式的實部與虛部，我們發現
u(x,b)-u(a,b)=(x-a)A(x+ib),
v(x,b)-v(a,b)=(x-a)B(x+ib).

除以 x-a 並讓 x\rightarrow a，我們發現
D_{1}u(c)=A(c) 且 D_{1}v(c)=B(c).
由於 f^{\prime}(c)=A(c)+iB(c)，這證明了 (3)。
類似地，透過只考慮 S 中滿足 x=a 的 z，我們發現
D_{2}v(c)=A(c) 且 D_{2}u(c)=-B(c),
這證明了 (4)。

柯西-黎曼方程式的應用在下一個定理中給出。

定理 5.23：設 f=u+iv 為在以 (a,b) 為中心的開圓盤 D 內處處具有導數的函數。如果 u、v 或 |f| 中的任何一個在 D 上為常數，則 f 在 D 上為常數。此外，如果對 D 中的所有 z 皆有 f^{\prime}(z)=0，則 f 為常數。

證明：假設 u^{2}+v^{2}=|f|^{2} 是常數。對 x 和 y 進行微分，可得
uD_{1}u+vD_{1}v=0 ； uD_{2}u+vD_{2}v=0。
藉由柯西-黎曼方程式，第二個方程式可寫成
vD_{1}u-uD_{1}v=0。
將這個式子與第一個式子結合以消去 D_{1}v，我們得到 (u^{2}+v^{2})D_{1}u=0。如果 u^{2}+v^{2}=0，則 u=v=0，所以 f=0。如果 u^{2}+v^{2}\ne0，則 D_{1}u=0；因此 u 是常數，進而推導出 f 是常數。
（此處 |f| 表示其值在 z 點為 |f(z)| 的函數。）

最後，如果 f^{\prime}=0 在 D 上成立，則兩個偏導數 D_{1}v 和 D_{2}v 在 D 上皆為零。同樣地，如證明的第一部分，我們發現 f 在 D 上是常數。

定理 5.22 告訴我們，函數 f=u+iv 在 c 點具有導數的必要條件是，四個偏導 D_{1}u、D_{2}u、D_{1}v、D_{2}v 在 c 點存在且滿足柯西-黎曼方程式。然而，這個條件並不充分，我們可以透過考慮以下例子來看出這一點。

範例。設 u 和 v 定義如下：
u(x,y)=\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} 如果 (x,y)\ne(0,0), u(0,0)=0,
v(x,y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} 如果 (x,y)\ne(0,0) v(0,0)=0
很容易看出 D_{1}u(0,0)=D_{1}v(0,0)=1 且 D_{2}u(0,0)=-D_{2}v(0,0)=-1，因此柯西-黎曼方程式在 (0, 0) 處成立。儘管如此，函數 f=u+iv 在 z=0 處不可能有導數。事實上，對於 x=0，差商變成
\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\frac{-y+iy}{iy}=1+i,
然而對於 x=y，它變成
\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\frac{xi}{x+ix}=\frac{1+i}{2}
因此 f^{\prime}(0) 不可能存在。

在第 12 章中，我們將證明，如果 u 和 v 的偏導數在 c 的某個鄰域中是連續的，那麼柯西-黎曼方程式確實足以確定 f=u+iv 在 c 點的導數存在。為了說明這個結果在實踐中是如何使用的，我們將求出指數函數的導數。設 f(z)=e^{z}=u+iv。那麼
u(x,y)=e^{x}\cos~y,
v(x,y)=e^{x}\sin~y,
因此
D_{1}u(x,y)=e^{x}\cos~y=D_{2}v(x,y),
D_{2}u(x,y)=-e^{x}\sin~y=-D_{1}v(x,y).
由於這些偏導數在 R^{2} 處處連續並滿足柯西-黎曼方程式，因此導數 f^{\prime}(z) 對所有的 z 皆存在。為了計算它，我們使用定理 5.22 得到
f^{\prime}(z)=e^{x}\cos~y+ie^{x}\sin~y=f(z).
因此，指數函數的導數就是它自己（如同在實數情況下一樣）。

---

第五章 習題 (EXERCISES)

實值函數 (Real-valued functions)

在以下習題中，若有必要，假設讀者具備對基本三角函數、指數函數與對數函數求導公式的知識。

5.1 函數 f 稱為在 c 點滿足 \alpha 階 Lipschitz 條件，如果存在一個正數 M（可能依賴於 c）以及一個 1-球 B(c)，使得
|f(x)-f(c)|
只要 x\in B(c) 且 x\ne c 皆成立。
a) 證明如果函數在 c 點滿足 \alpha 階 Lipschitz 條件，則當 \alpha>0 時它在 c 點連續，且當 \alpha>1 時它在 c 點具有導數。
b) 舉出一個函數的例子，其在 c 點滿足 1 階 Lipschitz 條件，但 f^{\prime}(c) 不存在。

5.2 在下列各情況中，決定函數 f 遞增或遞減的區間，並在 f 的定義域內找出其極大值與極小值（如果有的話）。
a) f(x)=x^{3}+ax+b, x\in R
b) f(x)=\log(x^{2}-9), |x|>3
c) f(x)=x^{2/3}(x-1)^{4}, 0\le x\le1
d) f(x)=(\sin~x)/x 如果 x\ne0, f(0)=1, 0\le x\le\pi/2.

5.3 尋找滿足下列條件之最低可能次數的多項式 f：
f(x_{1})=a_{1}, f(x_{2})=a_{2}, f^{\prime}(x_{1})=b_{1}, f^{\prime}(x_{2})=b_{2},
其中 x_{1}\ne x_{2} 且 a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} 為給定的實數。

5.4 定義 f 如下：f(x)=e^{-1/x^{2}} 若 x\ne0, f(0)=0。證明
a) f 對所有的 x 皆連續。
b) f^{(n)} 對所有的 x 皆連續，並且 f^{(n)}(0)=0, (n=1,2,...)。

5.5 定義 f, g, h 如下：f(0)=g(0)=h(0)=0 且，若 x\ne0，則 f(x)=\sin(1/x), g(x)=x~\sin(1/x), h(x)=x^{2}\sin(1/x). 證明：
a) f^{\prime}(x)=-1/x^{2}\cos(1/x), 若 x\ne0； f^{\prime}(0) 不存在。
b) g^{\prime}(x)=\sin(1/x)-1/x~\cos(1/x), 若 x\ne0； g^{\prime}(0) 不存在。
c) h^{\prime}(x)=2x~\sin(1/x)-\cos(1/x), 若 x\ne0； h^{\prime}(0)=0； \lim_{x\rightarrow0}h^{\prime}(x) 不存在。

5.6 導出兩個函數 f 和 g 的乘積 h 的 n 階導數之萊布尼茲公式 (Leibnitz's formula)：
h^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x),
其中 \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}。

5.7 設 f 和 g 是定義在 R 上，且對所有 x 具有有限三階導數 f^{\prime\prime\prime}(x) 與 g^{\prime\prime\prime}(x) 的兩個函數。如果對所有 x 都有 f(x)g(x)=1，證明 (a), (b), (c) 與 (d) 關係式在分母不為零的點皆成立：
a) f^{\prime}(x)/f(x)+g^{\prime}(x)/g(x)=0.
b) f^{\prime\prime}(x)/f^{\prime}(x)-2f^{\prime}(x)/f(x)-g^{\prime\prime}(x)/g^{\prime}(x)=0.
c) \frac{f^{\prime\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}-3\frac{f^{\prime}(x)g^{\prime\prime}(x)}{f(x)g^{\prime}(x)}-3\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f(x)}-\frac{g^{\prime\prime\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=0.
d) \frac{f^{\prime\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}\right)^{2}=\frac{g^{\prime\prime\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}-\frac{3}{2}\left(\frac{g^{\prime\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\right)^{2}
註：出現在 (d) 式左側的表達式被稱為 f 在 x 點的施瓦茨導數 (Schwarzian derivative)。
e) 如果 g(x)=[af(x)+b]/[cf(x)+d]，其中 ad-bc\ne0，證明 f 和 g 具有相同的施瓦茨導數。提示：如果 c\ne0, 寫成 (af+b)/(cf+d)=(a/c)+(bc-ad)/[c(cf+d)]，並應用 (d) 部分。

5.8 設 f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2} 為在 (a, b) 中具有導數的四個函數。藉由以下行列式定義 F：
F(x)=\left|\begin{matrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)\\ g_{1}(x)&g_{2}(x)\end{matrix}\right| 若 x\in(a,b)。
a) 證明 F^{\prime}(x) 在 (a, b) 中的每個 x 處存在，且
F^{\prime}(x)=\left|\begin{matrix}f_{1}^{\prime}(x)&f_{2}^{\prime}(x)\\ g_{1}(x)&g_{2}(x)\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)\\ g_{1}^{\prime}(x)&g_{2}^{\prime}(x)\end{matrix}\right|
b) 敘述並證明關於 n 階行列式的更一般性結果。

5.9 給定 n 個函數 f_{1},...,f_{n}，每個在 (a, b) 內皆具有 n 階導數。定義一個稱為 f_{1},...,f_{n} 的朗斯基行列式 (Wronskian) 的函數 W 如下：對於 (a, b) 中的每個 x，W(x) 是其第 k 行和第 m 列的元素為 f_{m}^{(k-1)}(x) 的 n 階行列式的值，其中 k=1,2,...,n 且 m=1,2,...,n。[表達式 f_{m}^{(0)}(x) 是 f_{m}(x) 的記法。]

均值定理 (Mean-Value Theorem)

5.10 給定一個在 (a, b) 中有定義且具有有限導數的函數 f，並使得 \lim_{x\rightarrow b-}f(x)=+\infty。證明 \lim_{x\rightarrow b-}f^{\prime}(x) 要麼不存在，要麼為無窮大。

5.11 證明均值定理中的公式可以寫成如下形式：
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime}(x+\theta h). ,
其中 0<\theta<1。當發生以下情況時，將 \theta 求出表示為 x 和 h 的函數：
a) f(x)=x^{2}
b) f(x)=x^{3}
c) f(x)=e^{x}
d) f(x)=\log~x, x>0,
保持 x\ne0 固定，並在每種情況下求出 \lim_{h\rightarrow0}\theta。

5.12 取 f(x)=3x^{4}-2x^{3}-x^{2}+1 以及 g(x)=4x^{3}-3x^{2}-2x 帶入定理 5.20 中。證明當 0 時，f^{\prime}(x)/g^{\prime}(x) 永遠不等於商 [f(1)-f(0)]/[g(1)-g(0)]。你如何將此與以下可從當 n=1 時的定理 5.20 獲得的方程式調和？
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(x_{1})}{g^{\prime}(x_{1})}.

5.13 在下列定理 5.20 的每個特殊情況中，取 n=1, c=a, x=b，並證明 x_{1}=(a+b)/2：
a) f(x)=\sin~x, g(x)=\cos~x
b) f(x)=e^{x} g(x)=e^{-x}
你能否找到一個由函數對 f 和 g 構成的一般類別，使得 x_{1} 永遠為 (a+b)/2，並且讓例子 (a) 和 (b) 都屬於此類別中？

5.14 給定一個在半開區間 0 中有定義且具有有限導數 f^{\prime} 的函數 f，並使得 |f^{\prime}(x)|<1。定義 a_{n}=f(1/n)（對於 n=1,2,3,...），並證明 \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n} 存在。提示：使用柯西條件。

5.15 假設 f 在開區間 (a, b) 的每一點都具有有限導數。並假設 \lim_{x\rightarrow c}f^{\prime}(x) 存在且對於某個內部點 c 為有限值。證明該極限的值必定是 f^{\prime}(c)。

5.16 設 f 在 (a, b) 上連續，並且除了在 c 點可能例外之外，在 (a, b) 各處皆具有有限導數 f^{\prime}。如果 \lim_{x\rightarrow c}f^{\prime}(x) 存在並具有值 A，證明 f^{\prime}(c) 必定也存在並具有值 A。

5.17 設 f 在 上連續，f(0)=0, f^{\prime}(x) 對於 (0, 1) 中的每個 x 皆為有限。證明如果 f^{\prime} 是 (0, 1) 上遞增的函數，那麼由方程式 g(x)=f(x)/x 所定義的函數 g 也是。

5.18 假設 f 在 (a, b) 內具有有限導數，在 [a, b] 上連續，且 f(a)=f(b)=0。證明對於每個實數 \lambda，在 (a, b) 內存在某個 c 使得 f^{\prime}(c)=\lambda f(c)。提示：對一個取決於 \lambda 的適當 g 套用羅爾定理於 g(x)f(x)。

5.19 假設 f 在 [a, b] 上連續，並在開區間 (a, b) 內具有有限的二階導數 f^{\prime\prime}。假設連接 A=(a,f(a)) 與 B=(b,f(b)) 的線段交 f 的圖形於異於 A 和 B 的第三點 P。證明在 (a, b) 內存在某個 c 使得 f^{\prime\prime}(c)=0。

5.20 如果 f 在 [a, b] 中具有有限三階導數 f^{\prime\prime\prime}，並且如果 f(a)=f^{\prime}(a)=f(b)=f^{\prime}(b)=0, 證明在 (a, b) 中存在某個 c 使得 f^{\prime\prime\prime}(c)=0。

5.21 假設 f 非負且在開區間 (0, 1) 內具有有限三階導數 f^{\prime\prime\prime}。如果在 (0, 1) 中至少有兩個 x 的值使得 f(x)=0，證明在 (0, 1) 內存在某個 c 使得 f^{\prime\prime\prime}(c)=0。

5.22 假設 f 在某個區間 (a,+\infty) 中具有有限導數。
a) 如果當 x\rightarrow+\infty 時 f(x)\rightarrow1 且 f^{\prime}(x)\rightarrow c，證明 c=0。
b) 如果當 x\rightarrow+\infty 時 f^{\prime}(x)\rightarrow1，證明當 x\rightarrow+\infty 時 f(x)/x\rightarrow1。
c) 如果當 x\rightarrow+\infty 時 f^{\prime}(x)\rightarrow0，證明當 x\rightarrow+\infty 時 f(x)/x\rightarrow0。

5.23 設 h 為一個固定的正數。證明不存在滿足以下三個條件的函數 f：當 x\ge0 時 f^{\prime}(x) 存在，f^{\prime}(0)=0，當 x>0 時 f^{\prime}(x)\ge h。

5.24 如果 h>0 且如果 f^{\prime}(x) 對區間 (a-h,a+h) 內的每個 x 皆存在（且為有限），並且如果 f 在 [a-h,a+h] 上連續，證明我們有：
a) \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=f^{\prime}(a+\theta h)+f^{\prime}(a-\theta h). , 0<\theta<1；
b) \frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h}=f^{\prime}(a+\lambda h)-f^{\prime}(a-\lambda h), 0<\lambda<1。
c) 如果 f^{\prime\prime}(a) 存在，證明
f^{\prime\prime}(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h^{2}}
d) 舉出一個例子，其中 (c) 的商的極限存在但 f^{\prime\prime}(a) 不存在。

5.25 設 f 在 (a, b) 內有有限導數，並假設 c\in(a,b)。考慮以下條件：對每個 \epsilon>0，存在一個半徑 \delta 僅取決於 \epsilon 而不取決於 c 的 1-球 B(c;\delta)，使得若 x\in B(c;\delta) 且 x\ne c，則
|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-f^{\prime}(c)|<\epsilon.
證明如果此條件在整個 (a, b) 中成立，則 f^{\prime} 在 (a, b) 上連續。

5.26 假設 f 在 (a, b) 中有有限導數，並在 [a, b] 上連續，且對所有 [a, b] 內的 x 滿足 a\le f(x)\le b，對所有 (a, b) 內的 x 滿足 |f^{\prime}(x)|\le\alpha<1。證明 f 在 [a, b] 內有唯一的不動點。

5.27 給出在 (0, 1) 內具有有限導數的一對函數 f 和 g 的例子，使得
\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{g(x)}=0,
但極限 \lim_{x\rightarrow0}f^{\prime}(x)/g^{\prime}(x) 不存在，在選擇 g 時使其 g^{\prime}(x) 永遠不為零。

5.28 證明以下定理：
設 f 和 g 為在 (a, b) 中具有有限 n 階導數的兩個函數。對於 (a, b) 內的某個內部點 c，假設 f(c)=f^{\prime}(c)=\cdot\cdot\cdot=f^{(n-1)}(c)=0 並且 g(c)=g^{\prime}(c)=\cdot\cdot\cdot=g^{(n-1)}(c)=0, 但 g^{(n)}(x) 在 (a, b) 中永遠不為零。證明
\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{(n)}(c)}{g^{(n)}(c)}
註：不假設 f^{(n)} 和 g^{(n)} 在 c 點連續。提示：令 F(x)=f(x)-\frac{(x-c)^{n-1}f^{(n-1)}(c)}{(n-1)!} ，同樣地定義 G，並將定理 5.20 應用於函數 F 和 G 上。

5.29 證明泰勒定理中的公式也可以寫成如下形式：
f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^{k}+\frac{(x-c)(x-x_{1})^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(x_{1}),
其中 x_{1} 是位於連接 x 和 c 的區間內部。令 1-\theta=(x-x_{1})/(x-c). 證明 0<\theta<1 並推導出以下餘項的形式（柯西型餘項）：
\frac{(1-\theta)^{n-1}(x-c)^{n}}{(n-1)!}f^{(n)}[\theta x+(1-\theta)c].
提示：在定理 5.20 的證明中取 G(t)=g(t)=t。

向量值函數 (Vector-valued functions)

5.30 如果向量值函數 f 在 c 點可微，證明
f^{\prime}(c)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}[f(c+h)-f(c)].
反之，如果這個極限存在，證明 f 在 c 點可微。

5.31 向量值函數 f 在 (a, b) 內的每一點可微，且具有恆定的範數 ||f||。證明在 (a, b) 內 f(t)\cdot f^{\prime}(t)=0。

5.32 向量值函數 f 永遠不為零，並具有一個在 R 上存在且連續的導數 f^{\prime}。如果存在一個實函數 \lambda 使得對所有的 t 皆有 f^{\prime}(t)=\lambda(t)f(t)，證明存在一個正實函數 u 和一個常數向量 c 使得對所有的 t 皆有 f(t)=u(t)c。

偏導數 (Partial derivatives)

5.33 考慮在 R^{2} 上由以下公式定義的函數 f：
f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} 若 (x,y)\ne(0,0) f(0,0)=0
證明偏導數 D_{1}f(x,y) 與 D_{2}f(x,y) 在 R^{2} 內的每個 (x, y) 皆存在，並用 x 和 y 明確地計算這些導數。同時，證明 f 在 (0, 0) 點並不連續。

5.34 在 R^{2} 上定義 f 如下：
f(x,y)=y\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} 若 (x,y)\ne(0,0)， f(0,0)=0。
計算 f 在原點的一階與二階偏導數（當它們存在時）。

複變函數 (Complex-valued functions)

5.35 設 S 為 C 中的一個開集，並設 S^{*} 為複數共軛 \overline{z} 的集合，其中 z\in S. 如果 f 在 S 上有定義，在 S^{*} 上定義 g 如下：g(\overline{z})=\overline{f(z)} 即 f(z) 的複數共軛。如果 f 在 c 點可微，證明 g 在 \overline{c} 點可微，並且 g^{\prime}(\overline{c})=\overline{f^{\prime}(c)}。

5.36 i) 在以下各例中寫出 f=u+iv 並找出 u(x,y) 和 v(x,y) 的明確公式：
a) f(z)=\sin~z,
b) f(z)=\cos~z,
c) f(z)=|z|
d) f(z)=\overline{z},
e) f(z)=\arg~z (z\ne0),
f) f(z)=\text{Log}~z (z\ne0),
g) f(z)=e^{z^{2}}
h) f(z)=z^{\alpha} (\alpha 為複數, z\ne0)。
（這些函數皆按第 1 章的指示進行定義。）
ii) 證明 u 和 v 對於以下 z 值滿足柯西-黎曼方程式：在 (a), (b), (g) 中對所有 z 成立；在 (c), (d), (e) 中無任何 z 成立；在 (f), (h) 中對除了實數 z\le0 之外的所有 z 成立。（在 (h) 部分中，如果 \alpha 為非負整數，柯西-黎曼方程式對所有的 z 皆成立，如果 \alpha 為負整數，則對所有 z\ne0 皆成立。）
iii) 計算 (a), (b), (f), (g), (h) 中的導數 f^{\prime}(z)，假設其存在。

5.37 寫作 f=u+iv 並假設 f 在以 (0, 0) 為中心的開圓盤 D 的每一點都具有導數。如果 au^{2}+bv^{2} 在 D 上為常數，對於某些不全為 0 的實數 a 與 b，證明 f 在 D 上為常數。