第六章有界變差函數與可求長曲線 (FUNCTIONS OF BOUNDED VARIATION AND RECTIFIABLE CURVES)

6.1 簡介 (INTRODUCTION)

第四章已經推導了單調函數的一些基本性質。這簡短的一章將討論有界變差函數 (functions of bounded variation)，這是一類與單調函數密切相關的函數。我們將發現這些函數與具有有限弧長的曲線（可求長曲線）有著密切的關聯。它們在下一章將發展的黎曼-史蒂吉斯 (Riemann-Stieltjes) 積分理論中也扮演著重要的角色。

6.2 單調函數的性質 (PROPERTIES OF MONOTONIC FUNCTIONS)

定理 6.1：設 $f$ 為定義在 $[a, b]$ 上的遞增函數，並設 $x_0, x_1, ..., x_n$ 為滿足 $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$ 的 $n+1$ 個點。則我們有以下不等式：

\sum_{k=1}^{n-1} [f(x_k+) - f(x_k-)] \le f(b) - f(a).

證明：假設 $y_k \in (x_k, x_{k+1})$ 。對於 $1 \le k \le n-1$ ，我們有 $f(x_k+) \le f(y_k)$ 且 $f(y_{k-1}) \le f(x_k-)$ ，因此 $f(x_k+) - f(x_k-) \le f(y_k) - f(y_{k-1})$ 。如果我們將這些不等式相加，右邊的總和會對消 (telescopes) 成為 $f(y_{n-1}) - f(y_0)$ 。因為 $f(y_{n-1}) - f(y_0) \le f(b) - f(a)$ ，這完成了證明。

差值 $f(x_k+) - f(x_k-)$ 當然就是 $f$ 在 $x_k$ 處的跳躍值 (jump)。前述定理告訴我們，對於 $(a, b)$ 中的任意有限個點 $x_k$ 集合，在這些點的跳躍值總和總是受到 $f(b) - f(a)$ 的限制。這個結果可以用來證明下一個定理。

定理 6.2：如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上是單調的，則 $f$ 的不連續點集合是可數的。

證明：假設 $f$ 是遞增的，並設 $S_m$ 為 $(a, b)$ 中 $f$ 的跳躍值超過 $1/m$ 的點所組成的集合，其中 $m > 0$ 。如果 $x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1}$ 位於 $S_m$ 中，定理 6.1 告訴我們 $\frac{n-1}{m} \le f(b) - f(a)$ 。這代表 $S_m$ 必定是一個有限集。但是 $f$ 在 $(a, b)$ 內的不連續點集合是聯集 $\bigcup_{m=1}^\infty S_m$ 的子集，因此是可數的。（如果 $f$ 是遞減的，這個論證可以應用於 $-f$ 。）

6.3 有界變差函數 (FUNCTIONS OF BOUNDED VARIATION)

定義 6.3：若 $[a, b]$ 為一緊緻區間，滿足不等式 $a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b$ 的點集 $P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ 稱為 $[a, b]$ 的一個分割 (partition)。區間 $[x_{k-1}, x_k]$ 稱為 $P$ 的第 $k$ 個子區間，我們寫成 $\Delta x_k = x_k - x_{k-1}$ ，因此 $\sum_{k=1}^n \Delta x_k = b - a$ 。 $[a, b]$ 的所有可能分割的集合將記為 $\mathscr{P}[a, b]$ 。

定義 6.4：設 $f$ 定義在 $[a, b]$ 上。如果 $P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ 是 $[a, b]$ 的一個分割，寫成 $\Delta f_k = f(x_k) - f(x_{k-1})$ ( $k=1, 2, \dots, n$ )。如果存在一個正數 $M$ 使得對於 $[a, b]$ 的所有分割皆滿足 $\sum_{k=1}^n |\Delta f_k| \le M$ ，則稱 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的 (of bounded variation)。

接下來的兩個定理提供了有界變差函數的例子。

定理 6.5：如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上是單調的，則 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的。

證明：設 $f$ 是遞增的。那麼對於 $[a, b]$ 的每一個分割我們都有 $\Delta f_k \ge 0$ ，因此 $\sum_{k=1}^n |\Delta f_k| = \sum_{k=1}^n \Delta f_k = \sum_{k=1}^n [f(x_k) - f(x_{k-1})] = f(b) - f(a)$ 。

定理 6.6：如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上連續，且如果 $f'$ 在內部存在且有界，假設對於 $(a, b)$ 中的所有 $x$ 皆有 $|f'(x)| \le A$ ，則 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的。

證明：應用均值定理，我們有 $\Delta f_k = f(x_k) - f(x_{k-1}) = f'(t_k)(x_k - x_{k-1})$ ，其中 $t_k \in (x_{k-1}, x_k)$ 。這意味著 $\sum_{k=1}^n |\Delta f_k| = \sum_{k=1}^n |f'(t_k)|\Delta x_k \le A \sum_{k=1}^n \Delta x_k = A(b - a)$ 。

定理 6.7：如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的，假設對於 $[a, b]$ 的所有分割有 $\Sigma |\Delta f_k| \le M$ ，則 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界的。事實上，對於 $[a, b]$ 中的所有 $x$ 皆有 $|f(x)| \le |f(a)| + M$ 。

證明：假設 $x \in (a, b)$ 。使用特殊分割 $P = \{a, x, b\}$ ，我們得到 $|f(x) - f(a)| + |f(b) - f(x)| \le M$ 。這暗示了 $|f(x) - f(a)| \le M$ ，也就是 $|f(x)| \le |f(a)| + M$ 。如果 $x = a$ 或 $x = b$ ，相同的不等式依然成立。

範例：

很容易建構一個連續但非有界變差的函數。例如，令 $f(x) = x \cos\{\pi/(2x)\}$ 若 $x \ne 0$ ， $f(0) = 0$ 。則 $f$ 在 $$ 上連續，但如果我們考慮將其分割成 $2n$ 個子區間的分割 $P = \{0, \frac{1}{2n}, \frac{1}{2n-1}, \dots, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1\}$ [(註：來源文本於此處截斷，跳至下一節)]

6.4 總變差 (TOTAL VARIATION)

定義 6.8：設 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的，並設 $\Sigma(P)$ 表示對應於 $[a, b]$ 的分割 $P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ 的總和 $\sum_{k=1}^n |\Delta f_k|$ 。數字

V_f(a, b) = \sup\{\Sigma(P) : P \in \mathscr{P}[a, b]\},

稱為 $f$ 在區間 $[a, b]$ 上的總變差 (total variation)。

註：當沒有誤解的危險時，我們將寫成 $V_f$ 來代替 $V_f(a, b)$ 。

因為 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的，所以數字 $V_f$ 是有限的。同時， $V_f \ge 0$ ，因為每個總和 $\Sigma(P) \ge 0$ 。此外， $V_f(a, b) = 0$ 若且唯若 $f$ 在 $[a, b]$ 上是常數。

定理 6.9：假設 $f$ 和 $g$ 在 $[a, b]$ 上皆為有界變差。則它們的和、差與積也是有界變差的。同時，我們有 $V_{f \pm g} \le V_f + V_g$ 以及 $V_{f \cdot g} \le A V_f + B V_g$ ，其中
$A = \sup\{|g(x)| : x \in [a, b]\}$ ，
$B = \sup\{|f(x)| : x \in [a, b]\}$ 。

證明：令 $h(x) = f(x)g(x)$ 。對於 $[a, b]$ 的每一個分割 $P$ ，我們有
$|\Delta h_k| = |f(x_k)g(x_k) - f(x_{k-1})g(x_{k-1})|$
$= |[f(x_k)g(x_k) - f(x_{k-1})g(x_k)] + [f(x_{k-1})g(x_k) - f(x_{k-1})g(x_{k-1})]| \le A|\Delta f_k| + B|\Delta g_k|$ 。
這意味著 $h$ 是有界變差的且 $V_h \le A V_f + B V_g$ 。和與差的證明較為簡單，在此省略。

註：前面的定理沒有包含商，因為一個有界變差函數的倒數不一定是有界變差的。例如，如果當 $x \to x_0$ 時 $f(x) \to 0$ ，那麼 $1/f$ 在任何包含 $x_0$ 的區間上就不會有界，且（根據定理 6.7） $1/f$ 在這樣的區間上不可能是有界變差的。要將定理 6.9 擴展到商的情況，只需排除其值可任意接近於零的函數即可。

定理 6.10：設 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的，並假設 $f$ 的值遠離零 (bounded away from zero)；也就是說，假設存在一個正數 $m$ 使得對於 $[a, b]$ 中的所有 $x$ 皆有 $0 < m \le |f(x)|$ 。則 $g = 1/f$ 在 $[a, b]$ 上也是有界變差的，並且 $V_g \le V_f / m^2$ 。

證明： $|\Delta g_k| = \left|\frac{1}{f(x_k)} - \frac{1}{f(x_{k-1})}\right| = \left|\frac{\Delta f_k}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right| \le \frac{|\Delta f_k|}{m^2}$ 。

6.5 總變差的加性性質 (ADDITIVE PROPERTY OF TOTAL VARIATION)

在前兩個定理中，區間 $[a, b]$ 是固定的，而 $V_f(a, b)$ 被視為 $f$ 的函數。如果我們保持 $f$ 固定，並將總變差視為區間 $[a, b]$ 的函數來研究，我們可以證明以下的加性性質。

定理 6.11：設 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的，並假設 $c \in (a, b)$ 。則 $f$ 在 $[a, c]$ 和 $[c, b]$ 上是有界變差的，並且我們有

V_f(a, b) = V_f(a, c) + V_f(c, b).

證明：我們先證明 $f$ 在 $[a, c]$ 和 $[c, b]$ 上是有界變差的。設 $P_1$ 為 $[a, c]$ 的一個分割，並設 $P_2$ 為 $[c, b]$ 的一個分割。那麼 $P_0 = P_1 \cup P_2$ 就是 $[a, b]$ 的一個分割。如果 $\Sigma(P)$ 表示對應於（適當區間的）分割 $P$ 的總和 $\Sigma |\Delta f_k|$ ，我們可以寫出
$\Sigma(P_1) + \Sigma(P_2) = \Sigma(P_0) \le V_f(a, b).$ (1)
這表示每個總和 $\Sigma(P_1)$ 與 $\Sigma(P_2)$ 都受到 $V_f(a, b)$ 的限制，這意味著 $f$ 在 $[a, c]$ 和 $[c, b]$ 上是有界變差的。由 (1) 式，根據定理 1.15，我們也獲得不等式
$V_f(a, c) + V_f(c, b) \le V_f(a, b)$ 。

為了得到反向的不等式，令 $P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\} \in \mathscr{P}[a, b]$ 並設 $P_0 = P \cup \{c\}$ 為藉由加入點 $c$ 所獲得的（可能是新的）分割。如果 $c \in [x_{k-1}, x_k]$ ，那麼我們有
$|f(x_k) - f(x_{k-1})| \le |f(x_k) - f(c)| + |f(c) - f(x_{k-1})|$ ，
因此 $\Sigma(P) \le \Sigma(P_0)$ 。現在 $P_0$ 在 $[a, c]$ 中的點決定了 $[a, c]$ 的一個分割 $P_1$ ，而在 $[c, b]$ 中的點決定了 $[c, b]$ 的一個分割 $P_2$ 。所有這些分割的對應總和由以下關係式連結：
$\Sigma(P) \le \Sigma(P_0) = \Sigma(P_1) + \Sigma(P_2) \le V_f(a, c) + V_f(c, b)$ 。
因此， $V_f(a, c) + V_f(c, b)$ 是每個總和 $\Sigma(P)$ 的一個上界。因為這個值不能小於最小上界，我們必定有
$V_f(a, b) \le V_f(a, c) + V_f(c, b)$ ；這完成了證明。

6.6 在 $[a, x]$ 上的總變差作為 $x$ 的函數 (TOTAL VARIATION ON [a, x] AS A FUNCTION OF x)

現在我們保持函數 $f$ 與區間的左端點固定，並將總變差視為右端點的函數來研究。加性性質對這個函數意味著重要的結果。

定理 6.12：設 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的。在 $[a, b]$ 上定義 $V$ 如下：若 $a < x \le b$ 則 $V(x) = V_f(a, x)$ ，且 $V(a) = 0$ 。則：
i) $V$ 是 $[a, b]$ 上的一個遞增函數。
ii) $V - f$ 是 $[a, b]$ 上的一個遞增函數。

證明：如果 $a < x < y \le b$ ，我們可以寫成 $V_f(a, y) = V_f(a, x) + V_f(x, y)$ 。這代表 $V(y) - V(x) = V_f(x, y) \ge 0$ 。因此 $V(x) \le V(y)$ ，故 (i) 成立。

要證明 (ii)，令 $D(x) = V(x) - f(x)$ 若 $x \in [a, b]$ 。那麼，如果 $a \le x < y \le b$ ，我們有
$D(y) - D(x) = V(y) - V(x) - [f(y) - f(x)] = V_f(x, y) - [f(y) - f(x)]$ 。
但由 $V_f(x, y)$ 的定義可以得出，我們有 $f(y) - f(x) \le V_f(x, y)$ 。這表示 $D(y) - D(x) \ge 0$ ，故 (ii) 成立。

註：對於某些函數 $f$ ，總變差 $V_f(a, x)$ 可以表示為一個積分。（見習題 7.20。）

6.7 有界變差函數表示為遞增函數之差 (FUNCTIONS OF BOUNDED VARIATION EXPRESSED AS THE DIFFERENCE OF INCREASING FUNCTIONS)

以下關於有界變差函數的簡單且優雅的特徵描述是定理 6.12 的推論。

定理 6.13：設 $f$ 定義在 $[a, b]$ 上。則 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的若且唯若 $f$ 可以表示為兩個遞增函數的差。

證明：如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的，我們可以寫成 $f = V - D$ ，其中 $V$ 是定理 6.12 中的函數，且 $D = V - f$ 。 $V$ 與 $D$ 都是 $[a, b]$ 上的遞增函數。
其逆命題由定理 6.5 與 6.9 立即可得。

將有界變差函數表示為兩個遞增函數之差的表示法絕非唯一。如果 $f = f_1 - f_2$ ，其中 $f_1$ 與 $f_2$ 是遞增的，我們同樣有 $f = (f_1 + g) - (f_2 + g)$ ，其中 $g$ 是一個任意的遞增函數，這樣我們就得到了 $f$ 的一個新表示法。如果 $g$ 是嚴格遞增的，那麼 $f_1 + g$ 和 $f_2 + g$ 也會是嚴格遞增的。因此，如果將「遞增」替換為「嚴格遞增」，定理 6.13 依然成立。

6.8 連續的有界變差函數 (CONTINUOUS FUNCTIONS OF BOUNDED VARIATION)

定理 6.14：設 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的。如果 $x \in (a, b]$ ，令 $V(x) = V_f(a, x)$ 並設定 $V(a) = 0$ 。則 $f$ 的每一個連續點也是 $V$ 的連續點。其逆命題亦成立。

證明：因為 $V$ 是單調的，所以對於 $(a, b)$ 中的每個點 $x$ ，右極限 $V(x+)$ 和左極限 $V(x-)$ 都存在。由於定理 6.13 的緣故， $f(x+)$ 與 $f(x-)$ 同樣如此。

如果 $a < x < y \le b$ ，那麼我們有 [由 $V_f(x, y)$ 的定義] 讓 $y \to x$ ，我們發現 [(註：原文於此處因排版有部分細節遺漏，直接接續下式)]
$V_f(c, b) - \frac{\epsilon}{2} < \sum_{k=1}^n |\Delta f_k|.$
對 $P$ 增加更多點只會增加總和 $\Sigma |\Delta f_k|$ ，因此我們可以假設 $0 < x_1 - x_0 < \delta$ 。這意味著 $|\Delta f_1| = |f(x_1) - f(c)| < \frac{\epsilon}{2}$ ，而前面的不等式現在變成了
$V_f(c, b) - \frac{\epsilon}{2} < \frac{\epsilon}{2} + \sum_{k=2}^n |\Delta f_k| \le \frac{\epsilon}{2} + V_f(x_1, b)$ ，
因為 $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ 是 $[x_1, b]$ 的一個分割。因此我們有：
$V_f(c, b) - V_f(x_1, b) < \epsilon$ .
但是
$0 \le V(x_1) - V(c) = V_f(a, x_1) - V_f(a, c)$
$= V_f(c, x_1) = V_f(c, b) - V_f(x_1, b) < \epsilon.$
因此我們證明了
$0 < x_1 - c < \delta$ 意味著 $0 \le V(x_1) - V(c) < \epsilon.$
這證明了 $V(c+) = V(c)$ 。類似的論證可得出 $V(c-) = V(c)$ 。因此該定理對於 $[a, b]$ 的所有內部點皆得證。（對於端點只需要做微小的修改。）

將定理 6.14 與 6.13 結合，我們可以陳述：

定理 6.15：設 $f$ 在 $[a, b]$ 上連續。則 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的若且唯若 $f$ 可以表示為兩個遞增連續函數的差。

註：如果將「遞增」替換為「嚴格遞增」，該定理同樣成立。

當然，根據定理 6.13，有界變差函數的不連續點（如果有的話）必定是跳躍不連續點。此外，定理 6.2 告訴我們它們構成一個可數集。

6.9 曲線與路徑 (CURVES AND PATHS)

設 $f:[a, b] \to R^n$ 是一個向量值函數，在 $R$ 的緊緻區間 $[a, b]$ 上連續。當 $t$ 跑遍 $[a, b]$ 時，函數值 $f(t)$ 會在 $R^n$ 中描繪出一組點的集合，稱為 $f$ 的圖形，或是由 $f$ 描述的曲線 (curve)。曲線是 $R^n$ 中的緊緻且連通的子集，因為它是緊緻區間的連續像。函數 $f$ 本身被稱為一條路徑 (path)。

將曲線想像成由一個移動的質點所描繪出來的，通常會很有幫助。區間 $[a, b]$ 被認為是一個時間區間，而向量 $f(t)$ 指定了質點在時間 $t$ 的位置。在這種解釋下，函數 $f$ 本身被稱為一個運動 (motion)。

不同的路徑可以描繪出相同的曲線。例如，兩個複數值函數 $f(t) = e^{2\pi i t}$ 與 $g(t) = e^{-2\pi i t}$ ，其中 $0 \le t \le 1$ ，每一個都描繪出單位圓 $x^2 + y^2 = 1$ ，但這些點被走訪的方向是相反的。同一個圓會被函數 $h(t) = e^{10\pi i t}$ （其中 $0 \le t \le 1$ ）描繪出五次。

6.10 可求長路徑與弧長 (RECTIFIABLE PATHS AND ARC LENGTH)

接下來我們介紹曲線的弧長概念。這個想法是藉由內接多邊形來逼近曲線，這是從古代幾何學家那裡學來的技巧。我們的直覺告訴我們，任何內接多邊形的長度不應超過曲線的長度（因為直線是兩點間最短的路徑），所以曲線的長度應該是所有內接多邊形長度的一個上界。因此，將曲線的長度定義為所有可能的內接多邊形長度的最小上界，似乎是很自然的。

對於實務上出現的大多數曲線而言，這給出了一個有用的弧長定義。然而，正如我們馬上就會看到的，有些曲線的內接多邊形長度是沒有上界的。因此，有必要將曲線分為兩類：有長度的曲線，以及沒有長度的曲線。前者稱為可求長的 (rectifiable)，後者稱為不可求長的 (nonrectifiable)。

現在我們轉向對這些想法的正式描述。

設 $f:[a, b] \to R^n$ 是 $R^n$ 中的一條路徑。對於 $[a, b]$ 的任何一個分割 $P = \{t_0, t_1, \dots, t_m\}$ ，點 $f(t_0), f(t_1), \dots, f(t_m)$ 是一個內接多邊形的頂點。（圖 6.1 展示了一個例子。）這個多邊形的長度記為 $\Lambda_f(P)$ ，並定義為總和
$\Lambda_f(P) = \sum_{k=1}^m ||f(t_k) - f(t_{k-1})||$ 。

定義 6.16：如果對於 $[a, b]$ 的所有分割 $P$ ，數字集合 $\Lambda_f(P)$ 是有界的，則稱路徑 $f$ 是可求長的，且其弧長，記為 $\Lambda_f(a, b)$ ，由以下方程式定義：
$\Lambda_f(a, b) = \sup\{\Lambda_f(P) : P \in \mathscr{P}[a, b]\}$ 。
如果數字集合 $\Lambda_f(P)$ 是無界的，則稱 $f$ 為不可求長的。

要刻劃所有可求長曲線是一件容易的事。

定理 6.17：考慮一條在 $R^n$ 中的路徑 $f:[a, b] \to R^n$ ，其分量為 $f = (f_1, \dots, f_n)$ 。則 $f$ 是可求長的若且唯若每一個分量 $f_k$ 在 $[a, b]$ 上都是有界變差的。如果 $f$ 是可求長的，我們有以下不等式：
$V_k(a, b) \le \Lambda_f(a, b) \le V_1(a, b) + \dots + V_n(a, b)$ ， $(k = 1, 2, \dots, n)$ ，(2)
其中 $V_k(a, b)$ 表示 $f_k$ 在 $[a, b]$ 上的總變差。

證明：如果 $P = \{t_0, t_1, \dots, t_m\}$ 是 $[a, b]$ 的一個分割，對於每個 $k$ ，我們有：
$\sum_{i=1}^m |f_k(t_i) - f_k(t_{i-1})| \le \Lambda_f(P) \le \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |f_j(t_i) - f_j(t_{i-1})|$ ，(3)
定理的所有斷言都可以很容易地從 (3) 式推導出來。

範例：

正如先前提到的，由 $f(x) = x \cos\{\pi/(2x)\}$ 若 $x \ne 0$ ， $f(0) = 0$ 給出的函數在 $$ 上連續但不是有界變差的。因此它的圖形是一條不可求長曲線。
可以證明（習題 7.21），如果 $f'$ 在 $[a, b]$ 上連續，那麼 $f$ 是可求長的，且其弧長可以表示為一個積分： $\Lambda_f(a, b) = \int_a^b ||f'(t)|| dt$ 。

6.11 弧長的加性與連續性性質 (ADDITIVE AND CONTINUITY PROPERTIES OF ARC LENGTH)

設 $f = (f_1, \dots, f_n)$ 為定義在 $[a, b]$ 上的可求長路徑。那麼每一個分量 $f_k$ 在 $[a, b]$ 的每一個子區間 $[x, y]$ 上都是有界變差的。在本節中，我們保持 $f$ 固定，並將弧長 $\Lambda_f(x, y)$ 視為區間 $[x, y]$ 的函數來研究。首先我們證明一個加性性質。

定理 6.18：如果 $c \in (a, b)$ ，我們有 $\Lambda_f(a, b) = \Lambda_f(a, c) + \Lambda_f(c, b)$ 。

證明：將點 $c$ 加入到 $[a, b]$ 的一個分割 $P$ 中，我們得到 $[a, c]$ 的一個分割 $P_1$ 與 $[c, b]$ 的一個分割 $P_2$ ，使得 $\Lambda_f(P) \le \Lambda_f(P_1) + \Lambda_f(P_2) \le \Lambda_f(a, c) + \Lambda_f(c, b)$ 。這意味著 $\Lambda_f(a, b) \le \Lambda_f(a, c) + \Lambda_f(c, b)$ 。為了得到反向的不等式，設 $P_1$ 與 $P_2$ 分別為 $[a, c]$ 與 $[c, b]$ 的任意分割。那麼 $P = P_1 \cup P_2$ 就是 $[a, b]$ 的一個分割，對於它我們有 $\Lambda_f(P_1) + \Lambda_f(P_2) = \Lambda_f(P) \le \Lambda_f(a, b)$ 。因為所有總和 $\Lambda_f(P_1) + \Lambda_f(P_2)$ 的上確界就是總和 $\Lambda_f(a, c) + \Lambda_f(c, b)$ （見定理 1.15），本定理因此得證。

定理 6.19：考慮一條定義在 $[a, b]$ 上的可求長路徑 $f$ 。如果 $x \in (a, b]$ ，令 $s(x) = \Lambda_f(a, x)$ 且設 $s(a) = 0$ 。則我們有：
i) 如此定義的函數 $s$ 在 $[a, b]$ 上是遞增且連續的。
ii) 如果在 $[a, b]$ 中沒有任何子區間使 $f$ 為常數，則 $s$ 在 $[a, b]$ 上是嚴格遞增的。

證明：如果 $a \le x < y \le b$ ，定理 6.18 暗示 $s(y) - s(x) = \Lambda_f(x, y) \ge 0$ 。這證明了 $s$ 在 $[a, b]$ 上是遞增的。此外，我們有 $s(y) - s(x) > 0$ ，除非 $\Lambda_f(x, y) = 0$ 。但是，根據不等式 (2)， $\Lambda_f(x, y) = 0$ 意味著對於每個 $k$ 皆有 $V_k(x, y) = 0$ ，這反過來又意味著 $f$ 在 $[x, y]$ 上是常數。因此 (ii) 成立。
為了證明 $s$ 是連續的，我們再次使用不等式 (2) 寫出 $0 \le s(y) - s(x) = \Lambda_f(x, y) \le \sum_{k=1}^n V_k(x, y)$ 。如果我們讓 $y \to x$ ，我們發現每一個項 $V_k(x, y) \to 0$ ，因此 $s(x) = s(x+)$ 。類似地， $s(x) = s(x-)$ ，證明完畢。

6.12 路徑的等價性。參數變換 (EQUIVALENCE OF PATHS. CHANGE OF PARAMETER)

本節描述了一類具有相同圖形的路徑。設 $f:[a, b] \to R^n$ 為 $R^n$ 中的一條路徑。設 $u:[c, d] \to [a, b]$ 是一個實值函數，在 $[c, d]$ 上連續且嚴格單調，其值域為 $[a, b]$ 。那麼由 $g(t) = f[u(t)]$ (對 $c \le t \le d$ ) 給出的合成函數 $g = f \circ u$ ，是一條與 $f$ 具有相同圖形的路徑。如此關聯的兩條路徑 $f$ 和 $g$ 稱為等價的 (equivalent)。它們被說成是提供了同一條曲線的不同參數表示法。函數 $u$ 被說成是定義了一個參數變換 (change of parameter)。

令 $C$ 表示兩條等價路徑 $f$ 和 $g$ 的共同圖形。如果 $u$ 是嚴格遞增的，我們說 $f$ 和 $g$ 以相同的方向描繪出 $C$ 。如果 $u$ 是嚴格遞減的，我們說 $f$ 和 $g$ 以相反的方向描繪出 $C$ 。在第一種情況下，稱 $u$ 為保持方向的 (orientation-preserving)；在第二種情況下，稱為反轉方向的 (orientation-reversing)。

定理 6.20：設 $f:[a, b] \to R^n$ 與 $g:[c, d] \to R^n$ 為 $R^n$ 中的兩條路徑，每一條在其定義域上都是一對一的。則 $f$ 和 $g$ 是等價的若且唯若它們擁有相同的圖形。

證明：等價路徑必然擁有相同的圖形。為了證明反方向，假設 $f$ 與 $g$ 擁有相同的圖形。因為 $f$ 在緊緻集 $[a, b]$ 上是一對一且連續的，定理 4.29 告訴我們 $f^{-1}$ 存在且在其圖形上連續。定義 $u(t) = f^{-1}[g(t)]$ 如果 $t \in [c, d]$ 。則 $u$ 在 $[c, d]$ 上連續且 $g(t) = f[u(t)]$ 。讀者可以驗證 $u$ 是嚴格單調的，因此 $f$ 和 $g$ 是等價路徑。

這似乎是您再次提出的需求，沒問題！為了確保您能獲得最完整、沒有任何遺漏的內容，以下為您重新提供《Mathematical Analysis》第六章（有界變差函數與可求長曲線）章末習題 6.1 至 6.13 的完整繁體中文翻譯：

第六章習題 (EXERCISES)

有界變差函數 (Functions of bounded variation)

6.1 判斷下列哪些函數在 $$ 上是有界變差的：
a) 若 $x \ne 0$ 則 $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ ， $f(0) = 0$ 。
b) 若 $x \ne 0$ 則 $f(x) = \sqrt{x} \sin(1/x)$ ， $f(0) = 0$ 。

6.2 設函數 $f$ 定義於 $[a, b]$ 上，如果存在一個常數 $M > 0$ 使得對於 $[a, b]$ 中的所有 $x$ 與 $y$ 皆滿足 $|f(x) - f(y)| < M|x - y|^\alpha$ ，則稱 $f$ 在 $[a, b]$ 上滿足 $\alpha > 0$ 階的均勻 Lipschitz 條件 (uniform Lipschitz condition)。（與習題 5.1 比較。）
a) 如果 $f$ 是這樣的一個函數，證明 $\alpha > 1$ 意味著 $f$ 在 $[a, b]$ 上是常數，而 $\alpha = 1$ 意味著 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的。
b) 舉出一個在 $[a, b]$ 上滿足 $\alpha < 1$ 階均勻 Lipschitz 條件的函數 $f$ ，使得 $f$ 在 $[a, b]$ 上不是有界變差的例子。
c) 舉出一個在 $[a, b]$ 上是有界變差，但在 $[a, b]$ 上不滿足任何均勻 Lipschitz 條件的函數 $f$ 的例子。

6.3 證明多項式 $f$ 在每一個緊緻區間 $[a, b]$ 上都是有界變差的。如果已知導數 $f'$ 的零點，請描述一個求出 $f$ 在 $[a, b]$ 上總變差的方法。

6.4 定義在區間 $[a, b]$ 上的實值函數所組成的非空集合 $S$ ，如果具備以下兩個性質，則稱為函數的線性空間 (linear space of functions)：
a) 如果 $f \in S$ ，則對於每個實數 $c$ 都有 $cf \in S$ 。
b) 如果 $f \in S$ 且 $g \in S$ ，則 $f + g \in S$ 。
定理 6.9 顯示 $[a, b]$ 上所有有界變差函數的集合是一個線性空間。如果 $S$ 是任何包含 $[a, b]$ 上所有單調函數的線性空間，證明 $V \subseteq S$ （ $V$ 代表有界變差函數的集合）。這可以被描述為：有界變差函數構成了包含所有單調函數的最小線性空間。

6.5 設 $f$ 為定義在 $$ 上的實值函數，滿足 $f(0) > 0$ 、對所有 $x$ 皆有 $f(x) \ne x$ ，且當 $x \le y$ 時 $f(x) \le f(y)$ 。令 $A = \{x : f(x) > x\}$ 。證明 $\sup A \in A$ 並且 $f(1) > 1$ 。

6.6 如果 $f$ 處處定義在 $R^1$ 上，且 $f$ 在每個有限區間上都是有界變差的，並且存在一個正數 $M$ 使得對於所有緊緻區間 $[a, b]$ 都有 $V_f(a,b) < M$ ，則稱 $f$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上是有界變差的。然後 $f$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上的總變差被定義為所有數字 $V_f(a,b)$ (其中 $-\infty < a < b < +\infty$ ) 的上確界 (sup)，並記為 $V_f(-\infty, +\infty)$ 。類似的定義也適用於半開無窮區間 $[a, +\infty)$ 與 $(-\infty, b]$ 。
a) 針對無窮區間 $(-\infty, +\infty)$ ，陳述並證明類似於定理 6.7、6.9、6.10、6.11 與 6.12 的定理。
b) 證明如果將「單調」替換為「有界且單調」，定理 6.5 對於 $(-\infty, +\infty)$ 依然成立。陳述並證明定理 6.13 的類似修改版本。

6.7 假設 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界變差的，並設 $P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\} \in \mathscr{P}[a,b]$ 。如往常一樣，寫成 $\Delta f_k = f(x_k) - f(x_{k-1})$ ，其中 $k = 1, 2, \dots, n$ 。定義
$A(P) = \{k : \Delta f_k > 0\}$ ， $B(P) = \{k : \Delta f_k < 0\}$ 。
數字
$p_f(a, b) = \sup\left\{\sum_{k \in A(P)} \Delta f_k : P \in \mathscr{P}[a, b]\right\}$
與
$n_f(a, b) = \sup\left\{\sum_{k \in B(P)} |\Delta f_k| : P \in \mathscr{P}[a, b]\right\}$
分別稱為 $f$ 在 $[a, b]$ 上的正變差 (positive variation) 與負變差 (negative variation)。對於 $(a, b]$ 中的每個 $x$ ，令 $V(x) = V_f(a, x)$ 、 $p(x) = p_f(a, x)$ 、 $n(x) = n_f(a, x)$ ，並令 $V(a) = p(a) = n(a) = 0$ 。證明我們有：
a) $V(x) = p(x) + n(x)$ 。
b) $0 \le p(x) \le V(x)$ 且 $0 \le n(x) \le V(x)$ 。
c) $p$ 與 $n$ 在 $[a, b]$ 上是遞增的。
d) $f(x) = f(a) + p(x) - n(x)$ 。這部份給出了定理 6.13 的另一種證明。
e) $2p(x) = V(x) + f(x) - f(a)$ ， $2n(x) = V(x) - f(x) + f(a)$ 。
f) $f$ 的每個連續點也是 $p$ 和 $n$ 的連續點。

曲線 (Curves)

6.8 設 $f$ 與 $g$ 為如下定義的複數值函數：
$f(t) = e^{2\pi it}$ 若 $t \in$ ； $g(t) = e^{2\pi it}$ 若 $t \in$ 。
a) 證明 $f$ 與 $g$ 具有相同的圖形，但根據 6.12 節的定義它們並不等價。
b) 證明 $g$ 的長度是 $f$ 的兩倍。

6.9 設 $f$ 為定義在 $[a, b]$ 上、長度為 $L$ 的可求長路徑，並假設 $f$ 在 $[a, b]$ 的任何子區間上都不恆為常數。令 $s$ 表示由 $s(x) = \Lambda_f(a, x)$ （若 $a < x \le b$ ）與 $s(a) = 0$ 給出的弧長函數。
a) 證明 $s^{-1}$ 存在且在 $[0, L]$ 上連續。
b) 定義 $g(t) = f[s^{-1}(t)]$ 若 $t \in [0, L]$ ，並證明 $g$ 等價於 $f$ 。因為 $f(t) = g[s(t)]$ ，函數 $g$ 被說成是提供了以弧長為參數的 $f$ 圖形的表示法。

6.10 設 $f$ 與 $g$ 為定義在 $[a, b]$ 上的兩個實值連續且有界變差的函數，對於 $(a, b)$ 中的每個 $x$ 滿足 $0 < f(x) < g(x)$ ，且 $f(a) = g(a)$ 、 $f(b) = g(b)$ 。令 $h$ 為定義在區間 $[a, 2b - a]$ 上的複數值函數，如下所示：
$h(t) = t + if(t)$ ，若 $a \le t \le b$ ；
$h(t) = 2b - t + ig(2b - t)$ ，若 $b \le t \le 2b - a$ 。
a) 證明 $h$ 描述了一條可求長曲線 $\Gamma$ 。
b) 藉由草圖，解釋 $f$ 、 $g$ 和 $h$ 之間的幾何關係。
c) 證明點集 $S = \{(x, y) : a \le x \le b, f(x) \le y \le g(x)\}$ 是 $R^2$ 中的一個區域，其邊界即為曲線 $\Gamma$ 。
d) 令 $H$ 為定義在 $[a, 2b - a]$ 上的複數值函數，如下所示：
$H(t) = t - \frac{1}{2}i[g(t) - f(t)]$ ，若 $a \le t \le b$ ；
$H(t) = t + \frac{1}{2}i[g(2b - t) - f(2b - t)]$ ，若 $b \le t \le 2b - a$ 。
證明 $H$ 描述了一條可求長曲線 $\Gamma_0$ ，它是區域 $S_0 = \{(x, y) : a \le x \le b, f(x) - g(x) \le 2y \le g(x) - f(x)\}$ 的邊界。
e) 證明 $S_0$ 具有 $x$ 軸作為對稱線。（區域 $S_0$ 稱為 $S$ 關於 $x$ 軸的對稱化 (symmetrization)。）
f) 證明 $\Gamma_0$ 的長度不超過 $\Gamma$ 的長度。

絕對連續函數 (Absolutely continuous functions)

定義在 $[a, b]$ 上的實值函數 $f$ ，如果在 $[a, b]$ 上被稱為絕對連續的 (absolutely continuous)，若對於每個 $\epsilon > 0$ ，存在一個 $\delta > 0$ ，使得對於 $[a, b]$ 中任意 $n$ 個不相交的開子區間 $(a_k, b_k)$ ( $n = 1, 2, \dots$ )，只要它們的長度總和 $\sum_{k=1}^n (b_k - a_k)$ 小於 $\delta$ ，就有
$\sum_{k=1}^n |f(b_k) - f(a_k)| < \epsilon$
成立。絕對連續函數出現在 Lebesgue 積分與微分理論中。以下習題給出了它們的一些基本性質。

6.11 證明在 $[a, b]$ 上的每個絕對連續函數，在 $[a, b]$ 上都是連續且有界變差的。
註：存在連續且有界變差，但非絕對連續的函數。

6.12 證明如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上滿足 1 階的均勻 Lipschitz 條件，則 $f$ 是絕對連續的。（參見習題 6.2。）

6.13 如果 $f$ 和 $g$ 在 $[a, b]$ 上是絕對連續的，證明以下各項也是絕對連續的： $|f|$ 、 $cf$ （ $c$ 為常數）、 $f + g$ 、 $fg$ ；以及當 $g$ 在 $[a, b]$ 上遠離零 (bounded away from zero) 時的 $f/g$ 。

筆記