第 3 章 基本矩陣運算與線性方程組

第 3 章 基本矩陣運算與線性方程組 (Elementary Matrix Operations and Systems of Linear Equations)

本章致力於兩個相關的目標：

1. 研究矩陣上某些「保秩 (rank-preserving)」的運算；
2. 將這些運算與線性變換理論應用於尋找線性方程組的解。

在第 3.3 節中，我們將線性方程組表示為單一矩陣方程式。在該方程組的表示法中，前述的運算即為矩陣的「基本列運算 (elementary row operations)」。這些運算為找出線性方程組的所有解提供了一種便利的計算方法。

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3.1 基本矩陣運算與基本矩陣

在本節中，我們定義貫穿本章使用的基本運算。在後續的小節中，我們將使用這些運算來獲得計算線性變換之秩以及解線性方程組的簡易計算方法。基本矩陣運算有兩種類型——列運算 (row operations) 與行運算 (column operations)。我們將會看到，列運算更為有用。它們源自於可用來消去線性方程組中變數的三種運算。

定義。設 A 為 m \times n 矩陣。對 A 的列 [行] 進行下列三種運算中的任何一種，稱為基本列 [行] 運算 (elementary row [column] operation)：
(1) 交換 A 的任意兩列 [行]；
(2) 將 A 的任意一列 [行] 乘以一個非零純量；
(3) 將 A 的某列 [行] 的純量倍數加到另一列 [行] 上。

這三種運算中的任何一種都稱為基本運算 (elementary operation)。根據其是由 (1)、(2) 或 (3) 獲得，基本運算分別被稱為第 1 型、第 2 型或第 3 型 (type 1, type 2, or type 3)。

例 1
設
A = \begin{pmatrix}1&2&3&4\\ 2&1&-1&3\\ 4&0&1&2\end{pmatrix}。
將 A 的第二列與第一列交換是第 1 型基本列運算的一個例子。結果得到的矩陣為
B = \begin{pmatrix}2&1&-1&3\\ 1&2&3&4\\ 4&0&1&2\end{pmatrix}。
將 A 的第二行乘以 3 是第 2 型基本行運算的一個例子。結果得到的矩陣為
C = \begin{pmatrix}1&6&3&4\\ 2&3&-1&3\\ 4&0&1&2\end{pmatrix}。
將 A 的第三列的 4 倍加到第一列是第 3 型基本列運算的一個例子。在這種情況下，結果得到的矩陣為
M = \begin{pmatrix}17&2&7&12\\ 2&1&-1&3\\ 4&0&1&2\end{pmatrix}。

請注意，如果矩陣 Q 可以透過對矩陣 P 進行基本列運算來獲得，那麼 P 也可以透過對 Q 進行同型別的基本列運算來獲得。（見習題 8。）因此，在例 1 中，A 可以透過將 M 的第三列的 -4 倍加到 M 的第一列來從 M 獲得。

定義。一個 n \times n 基本矩陣 (elementary matrix) 是透過對 I_n 執行一次基本運算所獲得的矩陣。根據對 I_n 執行的基本運算是第 1 型、第 2 型或第 3 型運算，該基本矩陣分別被稱為第 1 型、第 2 型或第 3 型。

例如，交換 I_3 的前兩列會產生基本矩陣
E = \begin{pmatrix}0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}。
請注意，E 也可以透過交換 I_3 的前兩行來獲得。事實上，任何基本矩陣都可以至少用兩種方式獲得——透過對 I_n 執行基本列運算，或是對 I_n 執行基本行運算。（見習題 4。）同理，
\begin{pmatrix}1&0&-2\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}
是一個基本矩陣，因為它可以透過對 I_3 進行第 3 型基本行運算（將 I_3 第一行的 -2 倍加到第三行）或是第 3 型基本列運算（將第三列的 -2 倍加到第一列）來獲得。

我們的第一個定理顯示，對矩陣進行基本列運算等同於將該矩陣乘上一個基本矩陣。

定理 3.1。設 A \in M_{m \times n}(F)，並假設 B 是透過對 A 進行一次基本列 [行] 運算所獲得的。那麼存在一個 m \times m [n \times n] 基本矩陣 E，使得 B = EA [B = AE]。事實上，E 是透過對 I_m [I_n] 執行與「從 A 獲得 B 所執行的基本列 [行] 運算」相同之運算所獲得的。反之，若 E 是一個 m \times m [n \times n] 基本矩陣，那麼 EA [AE] 便是透過對 A 執行「從 I_m [I_n] 產生 E 所用之相同基本列 [行] 運算」所獲得的矩陣。

我們省略其證明，該證明需要對每一種類型的基本列運算驗證定理 3.1。行運算的證明則可以透過使用矩陣轉置將行運算轉換為列運算來獲得。詳細過程留作習題。（見習題 7。）下一個例子說明了此定理的應用。

例 2
考慮例 1 中的矩陣 A 與 B。在該例中，B 是透過交換 A 的前兩列從 A 獲得的。對 I_3 執行相同的運算，我們得到基本矩陣
E = \begin{pmatrix}0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}。
請注意 EA = B。

在例 1 的第二部分中，C 是透過將 A 的第二行乘以 3 來從 A 獲得的。對 I_4 執行相同的運算，我們得到基本矩陣
E = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&3&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}。
觀察到 AE = C。

一個有用的事實是，基本矩陣的反矩陣也是一個基本矩陣。

定理 3.2。基本矩陣是可逆的，且基本矩陣的反矩陣是同型別的基本矩陣。

證明。設 E 為一個 n \times n 基本矩陣。那麼 E 可以透過對 I_n 進行一次基本列運算來獲得。透過反轉將 I_n 轉換為 E 的步驟，我們可以將 E 轉換回 I_n。結果是 I_n 可以透過對 E 進行同型別的基本列運算來獲得。根據定理 3.1，存在一個基本矩陣 \overline{E} 使得 \overline{E}E = I_n。因此，由 2.4 節的習題 10 可知，E 是可逆的且 E^{-1} = \overline{E}。

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習題 3.1

1. 將下列敘述標示為真（True）或假（False）。
(a) 基本矩陣必為方陣。
(b) 基本矩陣的元素只有 0 和 1。
(c) n \times n 單位矩陣是一個基本矩陣。
(d) 兩個 n \times n 基本矩陣的乘積是一個基本矩陣。
(e) 基本矩陣的反矩陣是一個基本矩陣。
(f) 兩個 n \times n 基本矩陣的和是一個基本矩陣。
(g) 基本矩陣的轉置矩陣是一個基本矩陣。
(h) 如果矩陣 B 可以透過對矩陣 A 進行基本列運算來獲得，那麼 B 也可以透過對 A 進行基本行運算來獲得。
(i) 如果矩陣 B 可以透過對矩陣 A 進行基本列運算來獲得，那麼 A 可以透過對 B 進行基本列運算來獲得。

2. 設 A = \begin{pmatrix}1&2&3\\ 1&0&1\\ 1&-1&1\end{pmatrix}、B = \begin{pmatrix}1&0&3\\ 1&-2&1\\ 1&-3&1\end{pmatrix}，且 C = \begin{pmatrix}1&0&3\\ 0&-2&-2\\ 1&-3&1\end{pmatrix}。找出一個能將 A 轉換為 B 的基本運算，以及一個能將 B 轉換為 C 的基本運算。藉由幾個額外的運算，將 C 轉換為 I_3。

3. 利用定理 3.2 的證明來求出下列各基本矩陣的反矩陣。
(a) \begin{pmatrix}0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\end{pmatrix}
(b) \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}
(c) \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ -2&0&1\end{pmatrix}

4. 證明第 149 頁上的斷言：任何 n \times n 基本矩陣都至少可以用兩種方式獲得——透過對 I_n 執行基本列運算，或是對 I_n 執行基本行運算。

5. 證明 E 為基本矩陣，若且唯若 E^t 為基本矩陣。

6. 設 A 為 m \times n 矩陣。證明若 B 可以透過對 A 進行一次基本列［行］運算而獲得，則 B^t 可以透過對 A^t 進行對應的基本行［列］運算而獲得。

7. 證明定理 3.1。

8. 證明如果矩陣 Q 可以透過對矩陣 P 進行一次基本列運算來獲得，那麼 P 可以透過對 Q 進行同型別的基本列運算來獲得。提示：分別處理每一種類型的基本列運算。

9. 證明任何第 1 型的基本列［行］運算，都可以透過連續進行三次第 3 型的基本列［行］運算，接著再進行一次第 2 型的基本列［行］運算來獲得。請造訪 goo.gl/oNJBFz 以獲取解答。

10. 證明任何第 2 型的基本列［行］運算，都可以透過將某列［行］除以一個非零純量來獲得。

11. 證明任何第 3 型的基本列［行］運算，都可以透過將某列［行］減去另一列［行］的某個倍數來獲得。

12. 設 A 為 m \times n 矩陣。證明存在一連串的第 1 型與第 3 型基本列運算，能將 A 轉換為一個上三角矩陣。

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3.2 矩陣的秩與反矩陣 (The Rank of a Matrix and Matrix Inverses)

在本節中，我們定義矩陣的秩 (rank)。接著我們使用基本運算來計算矩陣與線性變換的秩。本節最後介紹計算可逆矩陣之反矩陣的程序。

定義。若 A \in M_{m \times n}(F)，我們定義 A 的秩 (rank)，記為 \text{rank}(A)，為線性變換 L_A: F^n \rightarrow F^m 的秩。

定理 3.3。設 T: V \rightarrow W 為有限維向量空間之間的線性變換，並設 \beta 與 \gamma 分別為 V 與 W 的有序基底。則 \text{rank}(T) = \text{rank}([T]_\beta^\gamma)。

證明。這是第 2.4 節習題 20 的重述。

既然尋找線性變換之秩的問題已經簡化為尋找矩陣之秩的問題，我們需要一個結果，能允許我們對矩陣執行保秩 (rank-preserving) 的運算。下一個定理及其推論告訴我們該如何做到這一點。

定理 3.4。設 A 為 m \times n 矩陣。若 P 和 Q 分別為可逆的 m \times m 與 n \times n 矩陣，則
(a) \text{rank}(AQ) = \text{rank}(A)，
(b) \text{rank}(PA) = \text{rank}(A)，
且因此，
(c) \text{rank}(PAQ) = \text{rank}(A)。

證明。首先觀察到
R(L_{AQ}) = R(L_A L_Q) = L_A L_Q(F^n) = L_A(L_Q(F^n)) = L_A(F^n) = R(L_A)
因為 L_Q 是映成的 (onto)。因此
\text{rank}(AQ) = \dim(R(L_{AQ})) = \dim(R(L_A)) = \text{rank}(A)。
這便建立了 (a)。為了建立 (b)，將第 2.4 節的習題 17 應用於 T = L_P。我們省略詳細過程。最後，應用 (a) 與 (b)，我們有 \text{rank}(PAQ) = \text{rank}(PA) = \text{rank}(A)，證明了 (c)。

推論。基本列運算與行運算保秩。

證明。若 B 是透過對 A 進行基本列運算獲得的矩陣，則存在一個基本矩陣 E 使得 B = EA。由定理 3.2，E 是可逆的，所以由定理 3.4 得出 \text{rank}(B) = \text{rank}(EA) = \text{rank}(A)。行運算的證明留作習題（見習題 9）。

定理 3.5。任意矩陣的秩等於其線性獨立行的最大數量；也就是說，矩陣的秩為由其各行生成的子空間的維度。

證明。對於任意 A \in M_{m \times n}(F)，
\text{rank}(A) = \text{rank}(L_A) = \dim(R(L_A))。
但 R(L_A) 就是 A 中各行所生成的子空間。為了看出這一點，可以將行向量 x \in F^n 寫成 x = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \dots + a_n e_n，其中 e_j 是 F^n 的標準向量。則
L_A(x) = Ax = A(a_1 e_1 + a_2 e_2 + \dots + a_n e_n) = a_1 Ae_1 + a_2 Ae_2 + \dots + a_n Ae_n。
因此，由定理 2.13(b) 可知，L_A(x) 是 A 的各行的線性組合。因此 R(L_A) \subseteq \text{span}(\{a_1, a_2, \dots, a_n\})，其中 a_j 為 A 的第 j 行。反之，如果 y \in \text{span}(\{a_1, a_2, \dots, a_n\})，則對某些純量 a_1, a_2, \dots, a_n，我們有
y = a_1 a_1 + a_2 a_2 + \dots + a_n a_n = a_1 Ae_1 + a_2 Ae_2 + \dots + a_n Ae_n = A(a_1 e_1 + a_2 e_2 + \dots + a_n e_n)。
令 x = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \dots + a_n e_n；則 y = Ax = L_A(x) \in R(L_A)。因此 \text{span}(\{a_1, a_2, \dots, a_n\}) \subseteq R(L_A)。
所以 R(L_A) = \text{span}(\{a_1, a_2, \dots, a_n\})。
\text{rank}(A) = \dim(R(L_A)) = \dim(\text{span}(\{a_1, a_2, \dots, a_n\}))。

例 1
設
A = \begin{pmatrix}1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&0&1\end{pmatrix}
觀察到 A 的第一行與第二行是線性獨立的，且第三行是前兩行的線性組合。因此
\text{rank}(A) = \dim(\text{span}(\{\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\})) = 2。

為計算矩陣 A 的秩，通常有用的作法是推遲使用定理 3.5，直到 A 藉由適當的基本列與行運算被適度修改，使得線性獨立行的數量變得顯而易見為止。定理 3.4 的推論保證了修改後矩陣的秩與 A 的秩相同。其中一種修改 A 的方式，是利用基本列與行運算引入零元素。下一個例子展示了此程序。

例 2
設
A = \begin{pmatrix}1&2&1\\ 1&0&3\\ 1&1&2\end{pmatrix}
如果我們從第 2 列與第 3 列減去 A 的第 1 列（第 3 型基本列運算），結果為
\begin{pmatrix}1&2&1\\ 0&-2&2\\ 0&-1&1\end{pmatrix}
如果我們現在將第 2 行減去第一行的兩倍，並將第 3 行減去第一行（第 3 型基本行運算），我們獲得
\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&-2&2\\ 0&-1&1\end{pmatrix}
現在很明顯，此矩陣的線性獨立行的最大數量為 2。因此 A 的秩為 2。

下一個定理利用此過程將矩陣轉換為一種特別簡單的形式。這個定理的威力可從其推論中看出。

定理 3.6。設 A 為一個 m \times n 矩陣，且其秩為 r。則 r \le m、r \le n，並且藉由有限次的基本列與行運算，A 可被轉換成以下矩陣
D = \begin{pmatrix}I_r&O_1\\ O_2&O_3\end{pmatrix}
其中 O_1、O_2 和 O_3 為零矩陣。因此對於 i \le r 有 D_{ii} = 1，而對於其他情況 D_{ij} = 0。

定理 3.6 及其推論非常重要。它的證明雖然容易理解，但閱讀起來較為繁瑣。作為理解該證明的一個輔助，我們先考慮一個例子。

例 3
考慮矩陣
A = \begin{pmatrix}0&2&4&2&2\\ 4&4&4&8&0\\ 8&2&0&10&2\\ 6&3&2&9&1\end{pmatrix}
藉由一連串的基本列與行運算，我們可以將 A 轉換成如同定理 3.6 中的矩陣 D。我們列出許多中間矩陣，但在有些情況下，一個矩陣是由前一個矩陣透過數個基本運算轉換而來的。箭頭上方的數字表示涉及了多少個基本運算。請試著識別下列矩陣轉換中每個基本運算的性質（列或行，以及類型）。

A \xrightarrow{1} \begin{pmatrix}4&4&4&8&0\\ 0&2&4&2&2\\ 8&2&0&10&2\\ 6&3&2&9&1\end{pmatrix} \xrightarrow{1} \begin{pmatrix}1&1&1&2&0\\ 0&2&4&2&2\\ 8&2&0&10&2\\ 6&3&2&9&1\end{pmatrix} \xrightarrow{2}
\begin{pmatrix}1&1&1&2&0\\ 0&2&4&2&2\\ 0&-6&-8&-6&2\\ 0&-3&-4&-3&1\end{pmatrix} \xrightarrow{3} \begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&2&4&2&2\\ 0&-6&-8&-6&2\\ 0&-3&-4&-3&1\end{pmatrix} \xrightarrow{1}
\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&2&1&1\\ 0&-6&-8&-6&2\\ 0&-3&-4&-3&1\end{pmatrix} \xrightarrow{2} \begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&2&1&1\\ 0&0&4&0&8\\ 0&0&2&0&4\end{pmatrix} \xrightarrow{3} \begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&4&0&8\\ 0&0&2&0&4\end{pmatrix} \xrightarrow{1}
\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&2\\ 0&0&2&0&4\end{pmatrix} \xrightarrow{1} \begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&2\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix} \xrightarrow{1} \begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix} = D

根據定理 3.4 的推論，\text{rank}(A) = \text{rank}(D)。但很明顯地 \text{rank}(D) = 3，所以 \text{rank}(A) = 3。

請注意，在例 3 中的前兩個基本運算使得 1,1 位置出現 1，接下來的數個運算（第 3 型）使得除了 1,1 位置外，第 1 列和第 1 行的其他所有元素皆變為 0。後續的基本運算並不會改變第 1 列與第 1 行。記住這個例子，我們繼續進行定理 3.6 的證明。

定理 3.6 的證明。如果 A 是零矩陣，由習題 3 可知 r = 0。在這種情況下，結論成立且 D = A。
現在假設 A \ne O 且 r = \text{rank}(A)；則 r > 0。我們對 m (A 的列數) 進行數學歸納法證明。
假設 m = 1。藉由最多一次第 1 型行運算與最多一次第 2 型行運算，A 可以被轉換成 1,1 位置為 1 的矩陣。藉由最多 n-1 次的第 3 型行運算，該矩陣可被進一步轉換為矩陣
\begin{pmatrix}1&0&\dots&0\end{pmatrix}。
注意到 D 中只有一個線性獨立行。因此根據定理 3.4 的推論與定理 3.5，\text{rank}(D) = \text{rank}(A) = 1。因此對 m=1 此定理成立。
接下來假設對某個整數 m > 1，定理對任何至多 m-1 列的矩陣皆成立。我們必須證明定理對任何具 m 列的矩陣亦成立。
假設 A 是任意 m \times n 矩陣。如果 n = 1，定理 3.6 可以用類似 m=1 的方式建立（見習題 10）。
我們現在假設 n > 1。因為 A \ne O，對某組 i, j，我們有 A_{ij} \ne 0。藉由最多各一次的（第 1 型）基本列和行運算，我們能將該非零元素移至 1,1 位置（如同例 3 所做的）。藉由最多再增加一次的第 2 型運算，我們能確保 1,1 位置為 1。（請看例 3 中的第二個運算。）藉由最多 m-1 次第 3 型列運算與最多 n-1 次第 3 型行運算，我們可以消除第一列與第一行中除了 1,1 位置外的所有非零元素。（在例 3 中，我們用了兩個列運算與三個行運算來做到這一點。）因此，藉由有限次的基本運算，A 可被轉換成如下的矩陣
B = \begin{pmatrix}1&0&\dots&0\\ 0&&&\\ \vdots&&B^{\prime}&\\ 0&&&\end{pmatrix}
其中 B^{\prime} 是一個 (m-1) \times (n-1) 矩陣。例如在例 3 中，
B^{\prime} = \begin{pmatrix}2&4&2&2\\ -6&-8&-6&2\\ -3&-4&-3&1\end{pmatrix}
根據習題 11，B^{\prime} 的秩比 B 小 1。因為 \text{rank}(A) = \text{rank}(B) = r，所以 \text{rank}(B^{\prime}) = r - 1。因此根據歸納法假設，r - 1 \le m - 1 且 r - 1 \le n - 1。故 r \le m 且 r \le n。
同樣由歸納法假設可知，B^{\prime} 可藉由有限次基本列與行運算轉換為 (m-1) \times (n-1) 矩陣 D^{\prime}，使得
D^{\prime} = \begin{pmatrix}I_{r-1}&O_4\\ O_5&O_6\end{pmatrix}。
對 B 執行與對 B^{\prime} 執行以產生 D^{\prime} 之對應的基本運算（見習題 12），這將使 B 轉換為
D = \begin{pmatrix}1&0\\ 0&D^{\prime}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I_r&O_1\\ O_2&O_3\end{pmatrix}。
這便完成了對 m 的歸納法證明。

推論 1。設 A 為一個 m \times n 矩陣，且其秩為 r。則存在可逆矩陣 B 和 C (其大小分別為 m \times m 與 n \times n)，使得 D = BAC，其中
D = \begin{pmatrix}I_r&O_1\\ O_2&O_3\end{pmatrix}
為定理 3.6 中所述之 m \times n 矩陣。

證明。由定理 3.6 可知，藉由有限次基本列與行運算可以將 A 轉換為 D。因此，應用定理 3.1（第 149 頁）及其對應的行運算版本，存在基本 m \times m 矩陣 E_1, E_2, \dots, E_p 與基本 n \times n 矩陣 G_1, G_2, \dots, G_q 使得
D = E_p E_{p-1} \dots E_2 E_1 A G_1 G_2 \dots G_q。
由定理 3.2（第 150 頁）可知，每個 E_j 與 G_j 皆可逆。令 B = E_p E_{p-1} \dots E_1 以及 C = G_1 G_2 \dots G_q。由第 2.4 節習題 4 可知，B 與 C 是可逆的，且 D = BAC。

推論 2。設 A 為 m \times n 矩陣。則
(a) \text{rank}(A^t) = \text{rank}(A)。
(b) 任意矩陣的秩等於其線性獨立列的最大數量；也就是說，矩陣的秩為其各列生成之子空間的維度。
(c) 矩陣的列秩（row rank）等於其行秩（column rank）。

推論 3。每個可逆矩陣皆可表示為基本矩陣的乘積。

我們現在利用前述定理來建立一些與矩陣乘積之秩相關的結果。

定理 3.7。設 T: V \rightarrow W 與 U: W \rightarrow Z 為有限維向量空間上的線性變換，且 A 和 B 分別為 m \times n 與 n \times p 矩陣。則
(a) \text{rank}(UT) \le \text{rank}(U)。
(b) \text{rank}(UT) \le \text{rank}(T)。
(c) \text{rank}(AB) \le \text{rank}(A)。
(d) \text{rank}(AB) \le \text{rank}(B)。

證明。我們按 (a)、(c)、(d) 與 (b) 的順序證明。
(a) 顯然有 R(T) \subseteq W。因此
R(UT) = UT(V) = U(T(V)) = U(R(T)) \subseteq U(W) = R(U)。
故
\text{rank}(UT) = \dim(R(UT)) \le \dim(R(U)) = \text{rank}(U)。
(c) 根據 (a)，
\text{rank}(AB) = \text{rank}(L_{AB}) = \text{rank}(L_A L_B) \le \text{rank}(L_A) = \text{rank}(A)。
(d) 根據 (c) 以及定理 3.6 的推論 2，
\text{rank}(AB) = \text{rank}((AB)^t) = \text{rank}(B^t A^t) \le \text{rank}(B^t) = \text{rank}(B)。
(b) 設 \alpha、\beta 與 \gamma 分別為 V、W 與 Z 的有序基底，且設 A^{\prime} = [U]_\beta^\gamma 以及 B^{\prime} = [T]_\alpha^\beta。由定理 2.11（第 89 頁）可知 A^{\prime}B^{\prime} = [UT]_\alpha^\gamma。因此，根據定理 3.3 與 (d)，
\text{rank}(UT) = \text{rank}(A^{\prime}B^{\prime}) \le \text{rank}(B^{\prime}) = \text{rank}(T)。

能夠計算任何矩陣的秩是很重要的。我們可以使用定理 3.4 的推論、定理 3.5 與 3.6，以及定理 3.6 的推論 2 來實現這個目標。
目標是透過基本列與行運算來「簡化」矩陣（使得變換後的矩陣擁有許多零元素），直到我們能單憑簡單觀察就決定矩陣有多少線性獨立列或行，進而決定其秩的程度。

例 4
(a) 設
A = \begin{pmatrix}1&2&1&1\\ 1&1&-1&1\end{pmatrix}
請注意 A 的第一列和第二列是線性獨立的，因為一列並非另一列的倍數。因此 \text{rank}(A) = 2。

(b) 設
A = \begin{pmatrix}1&3&1&1\\ 1&0&1&1\\ 0&3&0&0\end{pmatrix}
在此情況下，有幾種進行方式。假設我們開始時利用一個基本列運算，讓 2,1 位置變為零。將第二列減去第一列，我們得到
\begin{pmatrix}1&3&1&1\\ 0&-3&0&0\\ 0&3&0&0\end{pmatrix}
現在注意到第三列是第二列的倍數，且第一列與第二列為線性獨立。因此 \text{rank}(A) = 2。
作為替代方法，注意到 A 的第一、第三與第四行是完全相同的，且 A 的第一與第二行是線性獨立的。因此 \text{rank}(A) = 2。

(c) 設
A = \begin{pmatrix}1&2&3&1\\ 2&1&1&1\\ 1&-1&1&0\end{pmatrix}
利用基本列運算，我們可以將 A 轉換如下：
A \longrightarrow \begin{pmatrix}1&2&3&1\\ 0&-3&-5&-1\\ 0&-3&-2&-1\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}1&2&3&1\\ 0&-3&-5&-1\\ 0&0&3&0\end{pmatrix}
很明顯，最後一個矩陣具有三列線性獨立列，因此其秩為 3。

總結來說，持續執行列與行運算直到矩陣被簡化至足以明顯看出線性獨立列或行的最大數量為止。

矩陣的反矩陣 (The Inverse of a Matrix)

我們已經提到過，一個 n \times n 矩陣是可逆的若且唯若其秩為 n。因為我們知道如何計算任何矩陣的秩，所以我們總是可以測試一個矩陣以判斷其是否可逆。我們現在提供一種利用基本列運算來計算矩陣之反矩陣的簡單技術。

定義。設 A 與 B 分別為 m \times n 與 m \times p 矩陣。所謂的增廣矩陣 (augmented matrix) (A|B)，是指一個 m \times (n+p) 矩陣 (A \quad B)，也就是說，該矩陣的前 n 行是 A 的各行，而最後的 p 行是 B 的各行。

設 A 為一個可逆的 n \times n 矩陣，並考慮 n \times 2n 增廣矩陣 C = (A|I_n)。由習題 15 可知，我們有
A^{-1}C = (A^{-1}A|A^{-1}I_n) = (I_n|A^{-1})。 (1)
根據定理 3.6 的推論 3，A^{-1} 是基本矩陣的乘積，設 A^{-1} = E_p E_{p-1} \dots E_1。因此 (1) 式變為
E_p E_{p-1} \dots E_1 (A|I_n) = (I_n|A^{-1})。
因為將矩陣乘以基本矩陣相當於執行基本列運算，所以 (1) 式表明，藉由執行一連串的基本列運算，我們可以將矩陣 (A|I_n) 轉換為 (I_n|A^{-1})。
然而，假設我們藉由有限次的基本列運算將 (A|I_n) 轉換成某個矩陣 (I_n|B)。那麼
E_p E_{p-1} \dots E_1(A|I_n) = (I_n|B)。
令 M = E_p E_{p-1} \dots E_1，由 (2) 式我們可得
(MA|M) = M(A|I_n) = (I_n|B) (2)。
因此 MA = I_n 且 M = B。由此推得 M = A^{-1}。所以 B = A^{-1}。於是我們得到以下結論：如果 A 是可逆的 n \times n 矩陣，且矩陣 (A|I_n) 藉由有限次基本列運算被轉換成 (I_n|B) 形式的矩陣，那麼 B = A^{-1}。

另一方面，如果 A 是一個不可逆的 n \times n 矩陣，則 \text{rank}(A) < n。因此，任何試圖利用基本列運算將 (A|I_n) 轉換成 (I_n|B) 形式的嘗試必定會失敗，因為若非如此，A 就可以利用相同的列運算被轉換成 I_n。然而這是不可能的，因為基本列運算保秩。事實上，A 會被轉換成包含一整列全為零的矩陣，這會得出下列結論：如果 A 是一個不可逆的 n \times n 矩陣，則任何試圖利用基本列運算將 (A|I_n) 轉換為 (I_n|B) 形式的嘗試，都會產生一列，其前 n 個元素皆為零。

接下來的兩個例子示範了這些討論。

例 5
我們判斷矩陣
A = \begin{pmatrix}0&2&4\\ 2&4&2\\ 3&3&1\end{pmatrix}
是否為可逆，且若為可逆，我們將計算其反矩陣。

我們嘗試使用基本列運算將
(A|I) = \begin{pmatrix}0&2&4&1&0&0\\ 2&4&2&0&1&0\\ 3&3&1&0&0&1\end{pmatrix}
轉換為 (I|B) 形式的矩陣。完成此轉換的一種方法是依序改變 A 的每一行，從第一行開始，使其變成 I 對應的行。因為我們需要在 1,1 位置有一個非零元素，所以我們從互換第 1 列和第 2 列開始。結果為
\begin{pmatrix}2&4&2&0&1&0\\ 0&2&4&1&0&0\\ 3&3&1&0&0&1\end{pmatrix}
為了將 1 放在 1,1 的位置，我們必須將第 1 列乘以 \frac{1}{2}；此運算產生
\begin{pmatrix}1&2&1&0&\frac{1}{2}&0\\ 0&2&4&1&0&0\\ 3&3&1&0&0&1\end{pmatrix}
現在我們完成第一行的工作，將第 1 列的 -3 倍加到第 3 列，得到
\begin{pmatrix}1&2&1&0&\frac{1}{2}&0\\ 0&2&4&1&0&0\\ 0&-3&-2&0&-\frac{3}{2}&1\end{pmatrix}
為了將上述矩陣的第二行轉換為 I 的第二行，我們將第 2 列乘以 \frac{1}{2}，在 2,2 位置得到 1。此運算產生
\begin{pmatrix}1&2&1&0&\frac{1}{2}&0\\ 0&1&2&\frac{1}{2}&0&0\\ 0&-3&-2&0&-\frac{3}{2}&1\end{pmatrix}
我們現在透過將第 2 列的 -2 倍加到第 1 列，並將第 2 列的 3 倍加到第 3 列，完成第二行的工作。結果是
\begin{pmatrix}1&0&-3&-1&\frac{1}{2}&0\\ 0&1&2&\frac{1}{2}&0&0\\ 0&0&4&\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}&1\end{pmatrix}
只剩下第三行需要改變。為了將 1 放在 3,3 位置，我們將第 3 列乘以 \frac{1}{4}；此運算產生
\begin{pmatrix}1&0&-3&-1&\frac{1}{2}&0\\ 0&1&2&\frac{1}{2}&0&0\\ 0&0&1&\frac{3}{8}&-\frac{3}{8}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}
將適當倍數的第 3 列加到第 1 和第 2 列即可完成此程序，並給出
\begin{pmatrix}1&0&0&0&\frac{1}{8}&-\frac{5}{8}&\frac{3}{4}\\ 0&1&0&-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\ 0&0&1&\frac{3}{8}&-\frac{3}{8}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}
因此 A 是可逆的，而且
A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{8}&-\frac{5}{8}&\frac{3}{4}\\ -\frac{1}{4}&\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\ \frac{3}{8}&-\frac{3}{8}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}

例 6
我們判斷矩陣
A = \begin{pmatrix}1&2&1\\ 2&1&-1\\ 1&5&4\end{pmatrix}
是否為可逆，且若為可逆，我們將計算其反矩陣。利用與例 5 中類似的策略，我們嘗試使用基本列運算將
(A|I) = \begin{pmatrix}1&2&1&1&0&0\\ 2&1&-1&0&1&0\\ 1&5&4&0&0&1\end{pmatrix}
轉換為 (I|B) 形式的矩陣。我們首先將第 1 列的 -2 倍加到第 2 列，並將第 1 列的 -1 倍加到第 3 列。接著我們將第 2 列加到第 3 列。結果，
\begin{pmatrix}1&2&1&1&0&0\\ 2&1&-1&0&1&0\\ 1&5&4&0&0&1\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}1&2&1&1&0&0\\ 0&-3&-3&-2&1&0\\ 0&3&3&-1&0&1\end{pmatrix}
\longrightarrow \begin{pmatrix}1&2&1&1&0&0\\ 0&-3&-3&-2&1&0\\ 0&0&0&-3&1&1\end{pmatrix}
是一個包含一整列其前 3 個元素為零的矩陣。因此 A 不是可逆的。

能夠測試是否可逆並計算矩陣的反矩陣，使我們在定理 2.18（第 102 頁）及其推論的幫助下，能夠測試線性變換是否可逆並在可逆時計算其反函數。下一個例子展示了這個技術。

例 7
設 T: P_2(R) \rightarrow P_2(R) 定義為 T(f(x)) = f(x) + f^{\prime}(x) + f^{\prime\prime}(x)，其中 f^{\prime}(x) 與 f^{\prime\prime}(x) 分別代表 f(x) 的一階與二階導數。我們使用定理 2.18 的推論 1（第 103 頁）來測試 T 的可逆性，並在 T 可逆時計算其反函數。取 \beta 為 P_2(R) 的標準有序基底，我們有
[T]_\beta = \begin{pmatrix}1&1&2\\ 0&1&2\\ 0&0&1\end{pmatrix}
利用例 5 和例 6 中的方法，我們可以證明 [T]_\beta 是可逆的，其反矩陣為
([T]_\beta)^{-1} = \begin{pmatrix}1&-1&0\\ 0&1&-2\\ 0&0&1\end{pmatrix}
因此 T 是可逆的，且 ([T]_\beta)^{-1} = [T^{-1}]_\beta。因此由定理 2.14（第 92 頁），我們有
[T^{-1}(a_0 + a_1 x + a_2 x^2)]_\beta = \begin{pmatrix}1&-1&0\\ 0&1&-2\\ 0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_0\\ a_1\\ a_2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}a_0 - a_1\\ a_1 - 2a_2\\ a_2\end{pmatrix}
所以
T^{-1}(a_0 + a_1 x + a_2 x^2) = (a_0 - a_1) + (a_1 - 2a_2)x + a_2 x^2。

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習題 3.2

1. 將下列敘述標示為真（True）或假（False）。
(a) 矩陣的秩等於其非零行的最大數量。
(b) 兩個行向量相同之矩陣的乘積必為零矩陣。
(c) 兩個具有相同秩之矩陣相乘的秩不超過該秩。
(d) 對於任意的矩陣 A 和 B，若 AB 有定義，則 \text{rank}(AB) \le \text{rank}(A)。
(e) \text{rank}(A) 恆等於 \text{rank}(A^t)。
(f) 若矩陣 A 具備反矩陣，則該反矩陣的秩等於 A 的秩。
(g) 矩陣的反矩陣可以完全透過基本列運算來計算。
(h) 一個 n \times n 矩陣的秩至多為 n。
(i) 一個秩為 n 的 n \times n 矩陣是可逆的。

2. 求下列矩陣的秩。
(a) \begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&1\\ 1&1&0\end{pmatrix} (b) \begin{pmatrix}1&1&0\\ 2&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix} (c) \begin{pmatrix}1&0&2\\ 1&1&4\end{pmatrix}
(d) \begin{pmatrix}1&2&1\\ 2&4&2\end{pmatrix}
(e) \begin{pmatrix}1&2&3&1&1\\ 1&4&0&1&2\\ 0&2&-3&0&1\\ 1&0&0&0\end{pmatrix}
(f) \begin{pmatrix}1&2&0&1&1\\ 2&4&1&3&0\\ 3&6&2&5&1\\ -4&-8&1&-3&1\end{pmatrix}
(g) \begin{pmatrix}1&1&0&1\\ 2&2&0&2\\ 1&1&0&1\\ 1&1&0&1\end{pmatrix}

3. 證明對於任意 m \times n 矩陣 A，\text{rank}(A) = 0 若且唯若 A 是零矩陣。

4. 利用基本列與行運算，將下列每一個矩陣轉換成滿足定理 3.6 條件的矩陣 D，然後決定每一個矩陣的秩。
(a) \begin{pmatrix}1&1&1&2\\ 2&0&-1&2\\ 1&1&1&2\end{pmatrix}
(b) \begin{pmatrix}2&1\\ -1&2\\ 2&1\end{pmatrix}

5. 對於下列每一個矩陣，計算其秩，並在反矩陣存在時計算出反矩陣。
(a) \begin{pmatrix}1&2\\ 1&1\end{pmatrix} (b) \begin{pmatrix}1&2\\ 2&4\end{pmatrix} (c) \begin{pmatrix}1&2&1\\ -1&1&2\\ 1&0&1\end{pmatrix}
(d) \begin{pmatrix}0&-2&4\\ 1&1&-1\\ 2&4&-5\end{pmatrix} (e) \begin{pmatrix}1&2&1\\ 1&3&4\\ 2&3&-1\end{pmatrix} (f) \begin{pmatrix}1&2&1\\ 1&0&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}
(g) \begin{pmatrix}1&2&1&0\\ 2&5&5&1\\ -2&-3&0&3\\ 3&4&-2&-3\end{pmatrix} (h) \begin{pmatrix}1&0&1&1\\ 1&1&-1&2\\ 2&0&1&0\\ 0&-1&1&-3\end{pmatrix}

6. 對於下列每一個線性變換 T，判斷 T 是否可逆，若反函數存在則計算 T^{-1}。
(a) T: P_2(R) \rightarrow P_2(R) 定義為 T(f(x)) = f^{\prime\prime}(x) + 2f^{\prime}(x) - f(x)。
(b) T: P_2(R) \rightarrow P_2(R) 定義為 T(f(x)) = (x+1)f^{\prime}(x)。
(c) T: R^3 \rightarrow R^3 定義為 T(a_1, a_2, a_3) = (a_1 + 2a_2 + a_3, -a_1 + a_2 + 2a_3, a_1 + a_3)。-
(d) T: R^3 \rightarrow P_2(R) 定義為 T(a_1, a_2, a_3) = (a_1 + a_2 + a_3) + (a_1 - a_2 + a_3)x + a_1 x^2。
(e) T: P_2(R) \rightarrow R^3 定義為 T(f(x)) = (f(-1), f(0), f(1))。
(f) T: M_{2\times 2}(R) \rightarrow R^4 定義為 T(A) = (\text{tr}(A), \text{tr}(A^t), \text{tr}(EA), \text{tr}(AE))，其中 E = \begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}。

7. 將可逆矩陣 \begin{pmatrix}1&2&1\\ 1&0&1\\ 1&1&2\end{pmatrix} 表示為基本矩陣的乘積。-

8. 設 A 為 m \times n 矩陣。證明若 c 是任意非零純量，則 \text{rank}(cA) = \text{rank}(A)。

9. 藉由證明基本行運算也保秩，來完成定理 3.4 之推論的證明。 （訪問 goo.gl/7KgM6F 以獲取解答。）

10. 對於 A 是 m \times 1 矩陣的情況，證明定理 3.6。

11. 設
B = \begin{pmatrix}1&0&\dots&0\\ 0&&&\\ \vdots&&B^{\prime}&\\ 0&&&\end{pmatrix}
其中 B^{\prime} 是一個 m \times n 矩陣。證明如果 \text{rank}(B) = r，那麼 \text{rank}(B^{\prime}) = r - 1。

12. 設 B^{\prime} 與 D^{\prime} 為 m \times n 矩陣，並設 B 與 D 分別為由以下定義的 (m+1) \times (n+1) 矩陣：
B = \begin{pmatrix}1&0&\dots&0\\ 0&&&\\ \vdots&&B^{\prime}&\\ 0&&&\end{pmatrix} 以及 D = \begin{pmatrix}1&0&\dots&0\\ 0&&&\\ \vdots&&D^{\prime}&\\ 0&&&\end{pmatrix}
證明如果 B^{\prime} 可以藉由基本列［行］運算轉換為 D^{\prime}，則 B 可以藉由基本列［行］運算轉換為 D。

13. 證明定理 3.6 推論 2 的 (b) 與 (c)。

14. 設 T, U: V \rightarrow W 為線性變換。
(a) 證明 R(T+U) \subseteq R(T) + R(U)。（見第 22 頁向量空間子集之和的定義。）
(b) 證明 \text{rank}(T+U) \le \text{rank}(T) + \text{rank}(U)。
(c) 演繹出若 A, B 是大小相同的矩陣，則 \text{rank}(A+B) \le \text{rank}(A) + \text{rank}(B)。

15. 設 A, B 與 C 為使得 A(B|C) 有定義的矩陣。 證明 A(B|C) = (AB|AC)。

16. 設 Ax=b 為具有可逆係數矩陣 A 之線性方程式組的矩陣表示法。 利用擴充矩陣將增廣矩陣 (A|b) 轉換為 (I|A^{-1}b) 之基本列運算序列，證明相同的序列必定會將 A 轉換為 I。 這證明了第 161 頁第二個段落中所做的斷言。

17. 設 A \in M_{n \times n}(F)。 證明如果 A^2 = O，則 \text{rank}(A) \le n/2。 在此，O 是 n \times n 零矩陣。

18. 設 A 為 m \times n 矩陣，且 B 為 n \times p 矩陣。 證明 AB 可以寫成 n 個秩至多為 1 的矩陣之和。

19. 設 A 為秩為 m 的 m \times n 矩陣，且 B 為秩為 n 的 n \times p 矩陣。 決定 AB 的秩並解釋你的答案。

20. 設
A = \begin{pmatrix}1&0&-1&2&1\\ -1&1&3&-1&0\\ -2&1&4&-1&3\\ 3&-1&-5&1&-6\end{pmatrix}
(a) 找出一個秩為 2 的 5 \times 5 矩陣 M，使得 AM = O，其中 O 為 4 \times 5 的零矩陣。
(b) 假設 B 為一個 5 \times 5 矩陣使得 AB = O。 證明 \text{rank}(B) \le 2。

21. 設 A 為秩為 m 的 m \times n 矩陣。 證明存在一個 n \times m 矩陣 B，使得 AB = I_m。

22. 設 B 為秩為 m 的 n \times m 矩陣。 證明存在一個 m \times n 矩陣 A，使得 AB = I_m。

3.3 線性方程組——理論探討 (Systems of Linear Equations—Theoretical Aspects)

本節與下一節致力於研究在物理和社會科學中自然出現的線性方程組。在本節中，我們將應用第 2 章的結果，將線性方程組的解集合描述為向量空間的子集。在第 3.4 節中，我們將使用基本列運算來提供一種計算方法，以找出此類方程組的所有解。

由 n 個未知數 x_1, x_2, \dots, x_n 組成的 m 個線性方程式之系統 (system) 具有以下形式：

a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}
\vdots
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}

其中 a_{ij} 與 b_{i} (1 \le i \le m \text{ 且 } 1 \le j \le n) 皆為體 F 中的純量，而 x_1, x_2, \dots, x_n 為取值於 F 中的變數。

m \times n 矩陣 A 定義為 A_{ij} = a_{ij}，稱為該系統 (S) 的係數矩陣 (coefficient matrix)。
如果我們令
x=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{pmatrix} 且 b=\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{m}\end{pmatrix}

那麼系統 (S) 可以改寫為單一矩陣方程式

Ax=b。

為了運用我們先前發展出的結果，我們經常將線性方程組視為單一矩陣方程式。

系統 (S) 的一個解 (solution) 是一個在 F^n 中的 n-元組

s=\begin{pmatrix}s_{1}\\ s_{2}\\ \vdots\\ s_{n}\end{pmatrix}\in F^{n}

使得 As=b。系統 (S) 的所有解所形成的集合稱為該系統的解集合 (solution set)。如果系統 (S) 的解集合不是空集合，我們稱該系統為相容的 (consistent)；否則稱其為不相容的 (inconsistent)。

例 1
(a) 考慮方程組
x_{1}+x_{2}=3
x_{1}-x_{2}=1
使用熟悉的方法，我們可以解出上述方程組並得出它只有一個解：x_1=2，x_2=1；也就是說，
s=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}
寫成矩陣形式，該系統可寫為
\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix}
因此 A=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-1\end{pmatrix} 且 b=\begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix}。

(b) 考慮
2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=1
x_{1}-x_{2}+2x_{3}=6
也就是
\begin{pmatrix}2&3&1\\ 1&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 6\end{pmatrix}
這個方程組有許多解，例如 s=\begin{pmatrix}-6\\ 2\\ 7\end{pmatrix} 和 s=\begin{pmatrix}8\\ -4\\ -3\end{pmatrix}。

(c) 考慮
x_{1}+x_{2}=0
x_{1}+x_{2}=1
也就是
\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}
很明顯地，這個方程組沒有解。

從此我們可以看出，一個線性方程組可能有一個解、多個解，或沒有解。我們必須能夠識別方程組何時有解，接著能夠描述它的所有解。本節與下一節即致力於此目標。

我們從檢查齊次 (homogeneous) 線性方程組的類別開始研究。我們的第一個結果（定理 3.8）表明，由 n 個未知數組成的 m 個齊次線性方程式的解集合會構成 F^n 的一個子空間。然後我們就可以將向量空間的理論應用到這組解的集合上。例如，可以找到該解空間的一個基底，且任何解都可以表示為基底向量的線性組合。

定義。若 b=0，則由 n 個未知數構成的 m 個線性方程式之系統 Ax=b 稱為齊次的 (homogeneous)。否則，該系統稱為非齊次的 (nonhomogeneous)。

定理 3.8。設 Ax=0 為一個佈於體 F 上的 m 個線性方程式、n 個未知數的齊次線性方程組。令 K 表示此系統的所有解之集合。則 K 是 F^n 的一個子空間，且其維度為 n - \text{rank}(A)。

證明。很明顯地，K = \{s \in F^n : As=0\} = N(L_A)。因此 K 是 F^n 的一個子空間。由維度定理（第 70 頁）可知
\dim(K) = \dim(N(L_A)) = \dim(F^n) - \dim(R(L_A)) = n - \text{rank}(L_A) = n - \text{rank}(A)。

推論。如果 m < n，則系統 Ax=0 具有一個非零解。

證明。假設 m < n。則 \text{rank}(A) = \text{rank}(L_A) \le m。因此
\dim(K) = n - \text{rank}(L_A) \ge n - m > 0，其中 K = N(L_A)。
因為 \dim(K) > 0，所以 K \ne \{0\}。因此存在一個非零向量 s \in K，即 s 為 Ax=0 的一個非零解。

例 2
(a) 考慮以下系統：
x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0
x_{1}-x_{2}-x_{3}=0
令 A=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 1&-1&-1\end{pmatrix} 為此系統的係數矩陣。顯然 \text{rank}(A)=2。如果 K 是這個系統的解集合，那麼 \dim(K) = 3 - 2 = 1。因此，任何非零解都可以構成 K 的一個基底。例如，因為 \begin{pmatrix}1\\ -2\\ 3\end{pmatrix} 是已知系統的一個解，所以 \left\{\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 3\end{pmatrix}\right\} 是 K 的一個基底。因此 K 中的任何向量具有形式 t\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\\ -2t\\ 3t\end{pmatrix}，其中 t \in R。

(b) 考慮包含三個未知數的一個方程式系統：x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0。如果 A=\begin{pmatrix}1&-2&1\end{pmatrix} 是係數矩陣，則 \text{rank}(A)=1。因此，若 K 為解集合，則 \dim(K) = 3 - 1 = 2。注意到 \begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 1\end{pmatrix} 和 \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 0\end{pmatrix} 是 K 中兩個線性獨立的向量。因此它們構成了 K 的一個基底，所以
K=\left\{t_{1}\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 0\end{pmatrix}+t_{2}\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}:t_{1},t_{2}\in R\right\}。

在 3.4 節中，將探討尋找齊次系統解集合基底的具體計算方法。

我們現在轉向研究非齊次系統。我們的下一個結果顯示，非齊次系統 Ax=b 的解集合可以用對應的齊次系統 Ax=0 的解集合來描述。我們將方程式 Ax=0 稱為對應於 Ax=b 的齊次系統。

定理 3.9。設 K 為相容之線性方程組 Ax=b 的解集合，並設 K_H 為其對應的齊次系統 Ax=0 的解集合。那麼對於 Ax=b 的任意解 s，
K = \{s\} + K_H = \{s+k : k \in K_H\}。

證明。設 s 為 Ax=b 的任意解。我們必須證明 K = \{s\} + K_H。
若 w \in K，則 Aw=b。因此
A(w-s) = Aw - As = b - b = 0。
所以 w-s \in K_H。因此存在 k \in K_H 使得 w-s=k。可推得 w = s+k \in \{s\} + K_H，因此
K \subseteq \{s\} + K_H。
反之，若 w \in \{s\} + K_H，則對某個 k \in K_H，w = s+k。因此
Aw = A(s+k) = As + Ak = b + 0 = b。
所以 w \in K，於是 \{s\} + K_H \subseteq K。此定理得證。

例 3
(a) 考慮系統
2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=1
x_{1}-x_{2}+2x_{3}=6
在例 1(b) 中，我們看到 s=\begin{pmatrix}-6\\ 2\\ 7\end{pmatrix} 是一個解。對應齊次系統的解集合 K_H 是
K_{H}=\left\{t\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 3\end{pmatrix}:t\in R\right\}
（由定理 3.9）。因此，給定系統的解集合 K 可以寫成
K=\left\{\begin{pmatrix}-6\\ 2\\ 7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 3\end{pmatrix}:t\in R\right\}

(b) 考慮系統 x_{1}-2x_{2}+x_{3}=4。其對應的齊次系統是例 2(b) 中的系統。因為 s=\begin{pmatrix}4\\ 0\\ 0\end{pmatrix} 是給定系統的一個解，解集合 K 可以寫為
K=\left\{\begin{pmatrix}4\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+t_{1}\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 0\end{pmatrix}+t_{2}\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}:t_{1},t_{2}\in R\right\}。

下面的定理為我們提供了一種計算特定線性方程組之解的方法。

定理 3.10。設 Ax=b 為包含 n 個未知數的 n 個線性方程式之系統。如果 A 是可逆的，那麼該系統有唯一的一個解，即 A^{-1}b。反之，如果該系統恰好有一個解，那麼 A 是可逆的。

證明。假設 A 是可逆的。將 A^{-1}b 代入系統，我們有 A(A^{-1}b) = (AA^{-1})b = b。因此 A^{-1}b 是一個解。如果 s 是一個任意解，則 As=b。兩邊同乘以 A^{-1} 得到 s=A^{-1}b。因此該系統有且只有一個解，即 A^{-1}b。

反之，假設該系統恰好有一個解 s。令 K_H 表示對應齊次系統 Ax=0 的解集合。由定理 3.9可知 \{s\} = \{s\} + K_H。但這只有當 K_H = \{0\} 時才成立。因此 N(L_A) = \{0\}，故 A 為可逆。

例 4
考慮以下包含三個未知數的三個線性方程式系統：
2x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=3
2x_{2}+4x_{3}=2
3x_{1}+3x_{2}+x_{3}=1
在第 3.2 節的例 5 中，我們計算出了這個系統之係數矩陣 A 的反矩陣。因此，該系統恰好有一個解，即
\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix}=A^{-1}b=\begin{pmatrix}\frac{1}{8}&-\frac{5}{8}&\frac{3}{4}\\ -\frac{1}{4}&\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\ \frac{3}{8}&-\frac{3}{8}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{8}\\ \frac{1}{4}\\ \frac{5}{8}\end{pmatrix}

我們在結束本節的應用範例中，將使用此技巧來解具有可逆係數矩陣的線性方程組。

定理 3.11。設 Ax=b 為一線性方程組。則該系統相容（consistent）若且唯若 \text{rank}(A) = \text{rank}(A|b)。

證明。為了證明這個結果，我們將 Ax 表示為 A 的行之線性組合。令 c_j 代表 A 的第 j 個行。那麼對任何 x \in F^n，Ax = x_1c_1 + x_2c_2 + \dots + x_nc_n。這表明該系統 Ax=b 有一個解若且唯若 b 可以寫為 A 之行的線性組合。換句話說，Ax=b 是一相容系統若且唯若 b \in \text{span}(\{c_1, c_2, \dots, c_n\})。但 b \in \text{span}(\{c_1, c_2, \dots, c_n\}) 若且唯若
\text{span}(\{c_1, c_2, \dots, c_n\}) = \text{span}(\{c_1, c_2, \dots, c_n, b\})
而這若且唯若
\dim(\text{span}(\{c_1, c_2, \dots, c_n\})) = \dim(\text{span}(\{c_1, c_2, \dots, c_n, b\}))
也就是說，若且唯若 \text{rank}(A) = \text{rank}(A|b)。

例 5
我們應用定理 3.11 在例 1(c) 中的系統
x_{1}+x_{2}=0
x_{1}+x_{2}=1
因為
A=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix} 且 (A|b)=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&1&1\end{pmatrix}，
\text{rank}(A)=1 且 \text{rank}(A|b)=2。因為這兩個秩不相等，這個系統沒有解。

例 6
我們可以使用定理 3.11 來判定 (3,3,2) 是否在由下列定義之線性變換 T: R^3 \to R^3 的值域 (range) 中：
T(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1}+a_{2}+a_{3},a_{1}-a_{2}+a_{3},a_{1}+a_{3})。
現在 (3,3,2) \in R(T) 若且唯若 R^3 中存在一個向量 s=(x_1, x_2, x_3) 使得 T(s)=(3,3,2)。這個向量 s 必須是以下系統的解：
x_{1}+x_{2}+x_{3}=3
x_{1}-x_{2}+x_{3}=3
x_{1}+x_{3}=2
因為此系統的係數矩陣與增廣矩陣的秩分別為 2 與 3，可推得此系統無解。因此 (3,3,2) \notin R(T)。

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應用

在 1973 年，Wassily Leontief (華西里·列昂惕夫) 因其發展可用來描述各種經濟現象的數學模型之工作而獲得了諾貝爾經濟學獎。我們透過應用所學的一些概念來說明他的兩個特例，作為本節的結束。

我們先考慮一個由三個參與者（產業）構成的簡單社會——一個種植所有食物的農夫、一個製作所有衣服的裁縫，以及一個建造所有房屋的木匠。我們假設每個人都向一個中央池出售與購買物品，而且所有生產出來的東西都被消費掉了。因為沒有任何商品進入或離開該系統，所以這種情況被稱為封閉模型 (closed model)。

這三個個體中，每一個都會消費社會中所生產的三種商品。假設每個人消費每種商品的比例由下表給出。請注意，該表的每一行總和必須為 1。

	食物 (Food)	衣服 (Clothing)	房屋 (Housing)
農夫	0.40	0.20	0.20
裁縫	0.10	0.70	0.20
木匠	0.50	0.10	0.60

令 p_1, p_2, p_3 分別代表農夫、裁縫和木匠的收入。為了確保這個社會能生存下去，我們要求每個人的消費等於其收入。注意到農夫消費了 20% 的衣服。因為所有衣服的總成本是 p_2（裁縫的收入），所以農夫在衣服上的花費是 0.20p_2。

此外，農夫在食物、衣服與房屋上的總花費必定等於農夫的收入，所以我們得到以下方程式：
0.40p_{1}+0.20p_{2}+0.20p_{3}=p_{1}。
描述裁縫與木匠支出的類似方程式會產生以下的線性方程組：
0.40p_{1}+0.20p_{2}+0.20p_{3}=p_{1}
0.10p_{1}+0.70p_{2}+0.20p_{3}=p_{2}
0.50p_{1}+0.10p_{2}+0.60p_{3}=p_{3}。

這組方程組可以寫成 Ap=p，其中
p=\begin{pmatrix}p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3}\end{pmatrix}
且 A 是此系統的係數矩陣。在此脈絡下，A 被稱為投入產出矩陣 (input-output matrix) 或消費矩陣 (consumption matrix)，而 Ap=p 則被稱為平衡條件 (equilibrium condition)。

為了讓我們的社會存在，必須有一個使得 p_1, p_2, p_3 皆為非負的解存在。在這些條件下，p 稱為非負向量 (nonnegative vector)，我們用 p \ge 0 來表示。如果一個矩陣的所有元素均為非負數，則稱該矩陣為非負的 (nonnegative)，而如果所有元素均為正數，則稱該矩陣為正矩陣 (positive matrix)。如果 p_i > 0 表示第 i 個產業具有正收入（且因此能存活）。因此，我們的問題是要問在齊次系統 (I-A)p=0 中是否具有非負解，其中 A 是一個元素非負且其各行總和皆為 1 的矩陣。這個方向上一個有用的定理陳述如下：

定理 3.12。設 A 為具有以下形式的 n \times n 投入產出矩陣
A=\begin{pmatrix}B&C\\ D&E\end{pmatrix}
其中 D 是一個 1 \times (n-1) 的正向量，C 是一個 (n-1) \times 1 的正向量。那麼 (I-A)x=0 具有由一個非負向量生成的 1 維解集合。

在開放模型 (open model) 中，我們假設對生產的每種商品都有外部需求 (outside demand)。回到我們先前的簡單社會，令 x_1, x_2, x_3 為所生產之食物、衣服、房屋的貨幣價值，且其對應的外部需求分別為 d_1, d_2, d_3。設 A 為一個 3 \times 3 矩陣，使得 A_{ij} 代表生產 1 貨幣單位之第 j 種商品所需的第 i 種商品數量（以固定貨幣單位，例如美元，計價）。那麼社會中食物的剩餘價值為：
x_{1}-(A_{11}x_{1}+A_{12}x_{2}+A_{13}x_{3})，
也就是，所生產的食物價值減去生產這三種商品過程中所消耗的食物價值。所有生產出來的東西都被消費的這個假設為我們提供了一個關於開放模型的類似平衡條件：這三種商品的剩餘價值必定等於相對應的外部需求。因此
x_{i}-\sum_{j=1}^{3}A_{ij}x_{j}=d_{i}
其中 i=1,2,3。

一般而言，我們必須找尋 (I-A)x=d 的一個非負解，其中 A 是一個元素非負且每行元素之和不超過 1 的矩陣，並且 d \ge 0。很容易可以看出，如果 (I-A)^{-1} 存在且為非負的，那麼想要的解就是 (I-A)^{-1}d。

回想對於實數 a，如果 |a|<1，級數 1+a+a^2+\cdots 收斂至 (1-a)^{-1}。同樣地，可以證明如果 \{A^m\} 收斂至零矩陣，則級數 I+A+A^2+\cdots 收斂至 (I-A)^{-1}。在這種情況下，(I-A)^{-1} 是非負的，因為矩陣 I, A, A^2, \dots 皆為非負的。

為了說明開放模型，假設生產 1 美元的食物需要價值 30 美分的食物、10 美分的衣服，以及 30 美分的房屋。同樣地，假設生產 1 美元的衣服需要 20 美分的食物、40 美分的衣服，以及 20 美分的房屋。最後，假設生產 1 美元的房屋需要 30 美分的食物、10 美分的衣服，以及 30 美分的房屋。那麼投入產出矩陣為：
A=\begin{pmatrix}0.30&0.20&0.30\\ 0.10&0.40&0.10\\ 0.30&0.20&0.30\end{pmatrix}
透過高斯消去法或本節稍早考慮的其他方法，(I-A) 的反矩陣可以被確定為：
(I-A)^{-1}=\begin{pmatrix}2&1&1\\ 0.5&2&0.5\\ 1&1&2\end{pmatrix}
如果食物、衣服與房屋的外部需求分別為 30 億美元、20 億美元與 10 億美元，那麼
d=\begin{pmatrix}30\\ 20\\ 10\end{pmatrix}
且
x=(I-A)^{-1}d=\begin{pmatrix}90\\ 60\\ 70\end{pmatrix}
因此，總共需要生產 90 億美元的食物、60 億美元的衣服，以及 70 億美元的房屋，以滿足預期的需求。

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習題 3.3

1. 將下列敘述標示為真（True）或假（False）。
(a) 任何線性方程組都至少有一個解。
(b) 任何線性方程組至多只有一個解。
(c) 任何齊次線性方程組都至少有一個解。
(d) 任何 n 個變數的 n 個線性方程式組至多只有一個解。
(e) 任何 n 個變數的 n 個線性方程式組至少有一個解。
(f) 如果給定線性方程組所對應的齊次系統具有解，那麼該給定系統必定有解。
(g) 如果 n 個未知數的 n 個齊次線性方程式系統的係數矩陣為可逆的，那麼該系統沒有非零解。
(h) 任何 n 個變數的 m 個線性方程式系統的解集合，皆為 F^n 的一個子空間。

2. 針對下列各齊次線性方程組，找出其解空間的維度並給出一個基底。
(a)
x_{1}+3x_{2}=0
x_{1}+x_{2}-x_{3}=0

(b)
2x_{1}+6x_{2}=0
4x_{1}+x_{2}-2x_{3}=0

(c)
x_{1}+2x_{2}-x_{3}=0
2x_{1}+x_{2}-x_{3}=0

(d)
2x_{1}+x_{2}+x_{3}=0
x_{1}-x_{2}+x_{3}=0
x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=0

(e)
x_{1}+2x_{2}-3x_{3}+x_{4}=0

(f)
x_{1}+2x_{2}=0
x_{1}-x_{2}=0

(g)
x_{1}+2x_{2}+x_{3}+x_{4}=0
x_{2}-x_{3}+x_{4}=0

3. 利用習題 2 的結果，找出下列各系統的所有解。
(a)
x_{1}+3x_{2}=5
x_{1}+x_{2}-x_{3}=1

(b)
2x_{1}+6x_{2}=10
4x_{1}+x_{2}-2x_{3}=3

(c)
x_{1}+2x_{2}-x_{3}=3
2x_{1}+x_{2}-x_{3}=5

(d)
2x_{1}+x_{2}+x_{3}=6
x_{1}-x_{2}+x_{3}=1
x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=4

(e)
x_{1}+2x_{2}-3x_{3}+x_{4}=1

(f)
x_{1}+2x_{2}=5
x_{1}-x_{2}=-1

(g)
x_{1}+2x_{2}+x_{3}+x_{4}=1
x_{2}-x_{3}+x_{4}=1

4. 對於下列每個具有可逆係數矩陣 A 的線性方程組：
(1) 計算 A^{-1}。
(2) 使用 A^{-1} 解出該系統。

(a)
x_{1}+3x_{2}=4
2x_{1}+5x_{2}=3

(b)
x_{1}+2x_{2}-x_{3}=5
x_{1}+x_{2}+x_{3}=1
2x_{1}-2x_{2}+x_{3}=4

5. 舉出一個包含 n 個未知數與 n 個方程式、並且有無限多組解的線性方程組例子。

6. 設 T: R^3 \to R^2 定義為 T(a,b,c) = (a+b, 2a-c)。求 T^{-1}(1,11)。

7. 判斷下列哪些線性方程組有解。
(a)
x_{1}+x_{2}-x_{3}+2x_{4}=2
x_{1}+x_{2}+2x_{3}=1
2x_{1}+2x_{2}+x_{3}+2x_{4}=4

(b)
x_{1}+x_{2}-x_{3}=1
2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=2

(c)
x_{1}+x_{2}+3x_{3}-x_{4}=0
x_{1}+x_{2}-x_{3}=0
x_{1}-2x_{2}+x_{3}-x_{4}=1
4x_{1}+x_{2}+8x_{3}-x_{4}=0

(d)
x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=1
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1
x_{1}+2x_{2}+x_{3}=3

(e)
x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1
2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=3
x_{1}-4x_{2}+7x_{3}=4

8. 設 T: R^3 \to R^3 定義為 T(a,b,c) = (a+b, b-2c, a+2c)。針對 R^3 中的每一個向量 v，判斷 v \in R(T) 是否成立。
(a) v = (1,3,-2)
(b) v = (2,1,1)

9. 證明線性方程組 Ax=b 有解若且唯若 b \in R(L_A)。

10. 針對以下敘述給出證明或反例：如果一個包含 n 個未知數與 m 個方程式之系統的係數矩陣的秩為 m，則該系統有解。

11. 在以食物、衣服、房屋作為基礎產業之 Leontief 封閉模型中，假設投入產出矩陣為：
A=\begin{pmatrix}\frac{7}{16}&\frac{1}{2}&\frac{3}{16}\\ \frac{5}{16}&\frac{1}{6}&\frac{5}{16}\\ \frac{1}{4}&\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}
為了達到平衡，農夫、裁縫與木匠必須依據何種比例生產？

12. 某經濟體由兩個部門組成：商品與服務。假設所有的商品中有 60%，以及所有服務中有 30% 被用於生產商品。請問經濟總產出中有多少比例用於生產商品？

13. 使用 Leontief 開放模型的符號，假設
A=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{5}\\ \frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{pmatrix}
以及
d=\begin{pmatrix}2\\ 5\end{pmatrix}
分別為投入產出矩陣與需求向量。要滿足此需求，每種商品必須生產多少？

14. 一個由商品與服務兩部門構成之特定經濟體支持著一個防禦系統，該系統從經濟體中消耗 90 億美元的商品與 20 億美元的服務，但對經濟生產沒有貢獻。假設生產 1 美元的商品需要 50 美分的商品與 20 美分的服務，且生產 1 美元的服務需要 30 美分的商品與 60 美分的服務。為支持這個防禦系統，經濟系統的總產出必須是多少？

3.4 線性方程組——計算探討 (Systems of Linear Equations—Computational Aspects)

在 3.3 節中，我們獲得了線性方程組具有解的充要條件（第 174 頁定理 3.11），並學習了如何將非齊次系統的解表示為對應之齊次系統的解（第 172 頁定理 3.9）。後一個結果使我們能夠在找到給定系統的一個解，以及對應之齊次系統解集合的基底時，決定給定系統的所有解。在本節中，我們使用基本列運算來同時達成這兩個目標。這項技術的本質是將給定的線性方程組轉換成一個具有相同解，但更容易求解的系統（如同 1.4 節中所述）。

...（因為每個 E_i 皆為可逆的，所以 C 亦為可逆的。現有 A^{\prime} = CA 且 b^{\prime} = Cb。因此根據定理 3.13，系統 A^{\prime}x = b^{\prime} 與系統 Ax = b 是等價的。）

我們現在描述一種解任意線性方程組的方法。舉例來說，考慮以下線性方程組：
3x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=1
x_{1}+x_{2}+x_{3}=3
x_{1}+2x_{2}+x_{3}-x_{4}=2.

首先，我們構造增廣矩陣
\begin{pmatrix}3&2&3&-2&1\\ 1&1&1&0&3\\ 1&2&1&-1&2\end{pmatrix}

利用基本列運算，我們將此增廣矩陣轉換為一個上三角矩陣，其中每一列的第一個非零元素皆為 1，且該元素所在的行必須位於前一列之第一個非零元素所在行的右側。

1. 在最左邊的非零行中，於第一列製造出一個 1。在我們的例子中，我們可以透過互換第一列和第三列來完成這個步驟。結果得到的矩陣為
   \begin{pmatrix}1&2&1&-1&2\\ 1&1&1&0&3\\ 3&2&3&-2&1\end{pmatrix}

2. 藉由第 3 型列運算，使用第一列在最左邊非零行的剩餘位置上製造出 0。在我們的例子中，我們必須將第一列的 -1 倍加到第二列，接著將第一列的 -3 倍加到第三列，得到
   \begin{pmatrix}1&2&1&-1&2\\ 0&-1&0&1&1\\ 0&-4&0&1&-5\end{pmatrix}

3. 在最左邊可能的行中，於下一列製造出一個 1，且不能使用先前的列。在我們的例子中，第二行是最左邊可能的行，我們可以藉由將第二列乘以 -1，在第二列第二行的位置得到 1。此運算產生
   \begin{pmatrix}1&2&1&-1&2\\ 0&1&0&-1&-1\\ 0&-4&0&1&-5\end{pmatrix}

4. 現在使用第 3 型基本列運算，在前面步驟中建立的 1 下方製造出 0。在我們的例子中，我們必須將第二列的 4 倍加到第三列。結果得到的矩陣為
   \begin{pmatrix}1&2&1&-1&2\\ 0&1&0&-1&-1\\ 0&0&0&-3&-9\end{pmatrix}

5. 對後續每一列重複步驟 3 與 4，直到不再有非零列為止。（這會在每一列的第一個非零元素下方建立出 0。）在我們的例子中，這可以透過將第三列乘以 -1/3 來完成。此運算產生
   \begin{pmatrix}1&2&1&-1&2\\ 0&1&0&-1&-1\\ 0&0&0&1&3\end{pmatrix}

我們現在已經獲得了想要的矩陣。為了完成增廣矩陣的簡化，我們必須讓每一列的第一個非零元素成為其所在行中唯一的非零元素。（這對應於從除了一個方程式之外的所有方程式中消去某些未知數。）

6. 從最後一個非零列開始往上進行，並將該列的倍數加到其上方的列。（這會在每一列的第一個非零元素上方建立出 0。）在我們的例子中，第三列是最後一個非零列，且該列的第一個非零元素位於第 4 行。因此我們將第三列加到第一列與第二列，以在第 1 列第 4 行及第 2 列第 4 行中得到 0。結果得到的矩陣為
   \begin{pmatrix}1&2&1&0&5\\ 0&1&0&0&2\\ 0&0&0&1&3\end{pmatrix}

7. 對前面每一列重複步驟 6 描述的過程，直到對第二列執行完畢，此時化簡過程即告完成。在我們的例子中，我們必須將第二列的 -2 倍加到第一列，以使第一列第二行的元素變為零。此運算產生
   \begin{pmatrix}1&0&1&0&1\\ 0&1&0&0&2\\ 0&0&0&1&3\end{pmatrix}

我們現在已經獲得了增廣矩陣所需的化簡形式。這個矩陣對應於以下的線性方程組：
x_{1}+x_{3}=1
x_{2}=2
x_{4}=3.

回顧根據定理 3.13 的推論，這個系統與原始系統是等價的。但這個系統很容易求解。顯然 x_{2}=2 且 x_{4}=3。此外，x_{1} 和 x_{3} 可以是任何值，只要它們的和為 1 即可。令 x_{3}=t，那麼我們有 x_{1}=1-t。因此原始系統的任意解具有以下形式：
\begin{pmatrix}1-t\\ 2\\ t\\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 0\\ 3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}

觀察到
\left\{\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\right\}
是對應於給定系統的齊次方程組的解集合的基底。

在前面的例子中，我們對系統的增廣矩陣執行了基本列運算，直到獲得一個具有第 28 頁所述之性質 1、2 與 3 的系統的增廣矩陣。這樣的一個矩陣有一個特殊的名稱。

定義。若一個矩陣滿足以下三個條件，則稱其為簡化列梯陣形式 (reduced row echelon form)。
(a) 任何包含非零元素的列，皆必須位於任何所有元素皆為零的列（如果有的話）之上。
(b) 每一列的第一個非零元素是其所在行中唯一的非零元素。
(c) 每一列的第一個非零元素是 1，且它出現在前一列第一個非零元素所在行的右側行中。

例 1
(a) 位於第 184 頁的矩陣屬於簡化列梯陣形式。請注意，每一列的第一個非零元素都是 1，而且包含每個這樣元素的行，其餘元素皆為 0。另外也請注意，每次我們往下移動到新的一列時，都必須向右移動一行或多行才能找到新一列的首個非零元素。

(註：部分內容缺失，接續) 可以證明（見定理 3.16 的推論），一個矩陣的簡化列梯陣形式是唯一的；也就是說，如果使用不同的基本列運算序列將一個矩陣轉換為皆處於簡化列梯陣形式的矩陣 Q 與 Q^{\prime}，則 Q = Q^{\prime}。因此，儘管有許多不同的基本列運算序列可以用來將給定矩陣轉換為簡化列梯陣形式，但它們產生的結果都是相同的。

在第 182-184 頁描述的將增廣矩陣化簡為簡化列梯陣形式的過程被稱為高斯消去法 (Gaussian elimination)。它包含兩個獨立的部分。

1. 在前向替換 (forward pass)（步驟 1-5）中，增廣矩陣被轉換為一個上三角矩陣，其中每一列的第一個非零元素是 1，且它出現在前一列第一個非零元素所在行的右側行中。
2. 在後向替換 (backward pass) 或回代 (back-substitution)（步驟 6-7）中，上三角矩陣藉由讓每一列的第一個非零元素成為其所在行中唯一的非零元素，而被轉換為簡化列梯陣形式。

當一個矩陣處於簡化列梯陣形式時，對應的線性方程組很容易求解。我們將在下面介紹一種方法，用於解任何增廣矩陣處於簡化列梯陣形式的線性方程組。然而首先我們要注意到，每個矩陣都可以透過高斯消去法轉換為簡化列梯陣形式。在前向替換中，我們滿足了簡化列梯陣形式定義中的條件 (a) 與 (c)，並藉此將每一列第一個非零元素下方的所有元素都變為 0。然後在後向替換中，我們將每一列第一個非零元素上方的所有元素都變為 0，藉此滿足了簡化列梯陣形式定義中的條件 (b)。

定理 3.14。高斯消去法可以將任何矩陣轉換為其簡化列梯陣形式。

現在我們描述一種方法，用於解增廣矩陣為簡化列梯陣形式的系統。為了說明此過程，我們考慮系統
2x_{1}+3x_{2}+x_{3}+4x_{4}-9x_{5}=17
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}-3x_{5}=6
x_{1}+x_{2}+x_{3}+2x_{4}-5x_{5}=8
2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+3x_{4}-8x_{5}=14
其增廣矩陣為
\begin{pmatrix}2&3&1&4&-9&17\\ 1&1&1&1&-3&6\\ 1&1&1&2&-5&8\\ 2&2&3&-8&14\end{pmatrix}

對該系統的增廣矩陣應用高斯消去法，產生以下的矩陣序列。
\begin{pmatrix}2&3&1&4&-9&17\\ 1&1&1&1&-3&6\\ 1&1&1&2&-5&8\\ 2&2&3&-8&14\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&1&-3&6\\ 2&3&1&4&-9&17\\ 1&1&1&2&-5&8\\ 2&2&3&-8&14\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}1&1&1&1&-3&6\\ 0&1&-1&2&-3&5\\ 0&0&0&1&-2&2\\ 0&0&0&1&-2&2\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&1&-3&6\\ 0&1&-1&2&-3&5\\ 0&0&0&1&-2&2\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}1&1&1&0&-1&4\\ 0&1&-1&0&1&1\\ 0&0&0&1&-2&2\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&2&0&-2&3\\ 0&1&-1&0&1&1\\ 0&0&0&1&-2&2\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}.
對應於這最後一個矩陣的線性方程組為
x_{1}+2x_{3}-2x_{5}=3
x_{2}-x_{3}+x_{5}=1
x_{4}-2x_{5}=2.

若要解這個系統，我們只需設定 x_{3} = t_{1} 且 x_{5} = t_{2}，然後解出具有首個非零係數（均為 1）的未知數。這產生了
x_{1}=-2x_{3}+2x_{5}+3=-2t_{1}+2t_{2}+3
x_{2}=x_{3}-x_{5}+1=t_{1}-t_{2}+1
x_{4}=2x_{5}+2=2t_{2}+2.
因此，一個任意解具有以下形式：
\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\\ x_{5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2t_{1}+2t_{2}+3\\ t_{1}-t_{2}+1\\ t_{1}\\ 2t_{2}+2\\ t_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 0\\ 2\\ 0\end{pmatrix}+t_{1}\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+t_{2}\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}
其中 t_{1}, t_{2} \in R。請注意
\left\{\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}\right\}
是對應之齊次方程組解集合的一個基底，而且
\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 0\\ 2\\ 0\end{pmatrix}
是原系統的一個特解。

因此，在將系統的增廣矩陣簡化為簡化列梯陣形式的過程中，我們實際上是在同時尋找原系統的特解，以及相關齊次系統解集合的基底。此外，這個程序還能偵測系統何時為不相容；因為由習題 3 可知，當且僅當在將增廣矩陣化簡為簡化列梯陣形式的過程中，我們沒有獲得一個唯一非零元素位於最後一行的列時，解才會存在。

對於具有 r 個非零方程式和 n 個未知數的系統（其增廣矩陣處於簡化列梯陣形式，且此系統為相容系統），利用剛才描述的程序所獲得的解稱為該系統的一般解 (general solution)。一般解以 n-r 個參數表達了 Ax = b 的任意解。下一個定理指出 s 無法用少於 n-r 個參數來表示。

定理 3.15。設 Ax=b 是一個由 r 個非零方程式與 n 個未知數構成的系統。假設 rank(A) = rank(A|b)，且 (A|b) 處於簡化列梯陣形式。那麼：
(a) rank(A) = r。
(b) 如果用上述程序得出的一般解形式為
s=s_{0}+t_{1}u_{1}+t_{2}u_{2}+\cdot\cdot\cdot+t_{n-r}u_{n-r},
則 \{u_{1},u_{2},...,u_{n-r}\} 是對應之齊次系統解集合的基底，且 s_{0} 是原系統的一個解。

證明。因為 (A|b) 處於簡化列梯陣形式，(A|b) 必定恰有 r 個非零列。顯然地，根據簡化列梯陣形式的定義，這些列是線性獨立的，因此 rank(A|b) = r。所以 rank(A) = r。(其餘證明略)

定理 3.16。設 A 為秩為 r（其中 r > 0）的 m \times n 矩陣，並設 B 為 A 的簡化列梯陣形式。則：
(a) B 中非零列的數量為 r。
(b) 對於每一個 i = 1, 2, ..., r，B 中存在一行 b_{j_{i}} 使得 b_{j_{i}} = e_{i}。
(c) A 中編號為 j_{1}, j_{2}, ..., j_{r} 的行是線性獨立的。
(d) 對於每一個 k = 1, 2, ..., n，若 B 的第 k 行為 d_{1}e_{1} + d_{2}e_{2} + \cdot\cdot\cdot + d_{r}e_{r}，則 A 的第 k 行為 d_{1}a_{j_{1}} + d_{2}a_{j_{2}} + \cdot\cdot\cdot + d_{r}a_{j_{r}}。

證明。(證明略)

推論。一個矩陣的簡化列梯陣形式是唯一的。

例 2
設
A=\begin{pmatrix}2&4&6&2&4\\ 1&2&3&1&1\\ 2&4&8&0&0\\ 3&6&7&5&9\end{pmatrix}
A 的簡化列梯陣形式為
B=\begin{pmatrix}1&2&0&4&0\\ 0&0&1&-1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}
因為 B 有三個非零列，A 的秩為 3。B 的第 1、第 3 和第 5 行分別為 e_{1}、e_{2} 和 e_{3}；因此定理 3.16(c) 斷言 A 的第 1、第 3 和第 5 行為線性獨立。

令 A 的各行記為 a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}。因為 B 的第二行為 2e_{1}，由定理 3.16(d) 可推得 a_{2} = 2a_{1}，這很容易被驗證。此外，由於 B 的第四行為 4e_{1} + (-1)e_{2}，同理可說明
a_{4}=4a_{1}+(-1)a_{3}.

在第 1.6 節的例 6 中，我們從生成集
S=\{(2,-3,5),(8,-12,20),(1,0,-2),(0,2,-1),(7,2,0)\}
中提取了 R^{3} 的一個基底。透過使用定理 3.16，上述的過程可以被簡化。我們首先注意到如果 S 是線性獨立的，那麼 S 就會是 R^{3} 的基底。在這種情況下，S 顯然是線性相依的，因為 S 包含超過 dim(R^{3}) = 3 個向量。儘管如此，思考為了判斷 S 究竟是線性獨立或相依而必須進行的計算是很有啟發性的。回想若存在不全為零的純量 c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5} 使得其線性組合為零，則 S 為線性相依。

利用本節稍早描述的技術，我們可以找到前面系統的非零解，證實 S 為線性相依。然而，定理 3.16(c) 給了我們額外的資訊。因為 B 的第 1、第 3 及第 4 行為 e_{1}, e_{2}, e_{3}，我們可以得出結論：A 的第 1、第 3 及第 4 行為線性獨立。而 A 中除了最後一行（即零向量）之外的其他行，都是 S 中的向量。因此
\beta=\{(2,-3,5),(1,0,-2),(0,2,-1)\}
是 S 的一個線性獨立子集。根據替換定理推論 2 的 (b)（第 48 頁），\beta 是 R^{3} 的一個基底。

因為每個體 F 上的有限維向量空間，對某個 n 來說，都同構於 F^{n}，所以也可以用類似的方法將任何有限的生成集化簡為基底。這個技術將在下一個例子中說明。

例 3
集合
S=\{2+x+2x^{2}+3x^{3},4+2x+4x^{2}+6x^{3},6+3x+8x^{2}+7x^{3},2+x+5x^{3},4+x+9x^{3}\}
生成了 P_{3}(R) 的一個子空間 V。為找到 S 中能作為 V 基底的子集，我們考慮子集
S^{\prime}=\{(2,1,2,3),(4,2,4,6),(6,3,8,7),(2,1,0,5),(4,1,0,9)\}
它是由 S 中的多項式在關於標準有序基底的標準表示法下轉換成的像所組成。注意到以 S^{\prime} 中的向量作為行的 4 \times 5 矩陣，正是例 2 中的矩陣 A。從 A 的簡化列梯陣形式（即例 2 中的矩陣 B），我們可以看出 A 的第 1、第 3 與第 5 行為線性獨立，而 A 的第 2 與第 4 行為第 1、第 3 與第 5 行的線性組合。因此
\{(2,1,2,3),(6,3,8,7),(4,1,0,9)\}
是 S^{\prime} 在 R^{4} 中生成之子空間的基底。由此可推得
\{2+x+2x^{2}+3x^{3},6+3x+8x^{2}+7x^{3},4+x+9x^{3}\}
是 P_{3}(R) 的子空間 V 的一個基底。

我們在本節結尾描述一種將有限維向量空間 V 中的線性獨立子集 S 擴充為 V 之基底的方法。回想由替換定理推論 2 的 (c) 可知，這是絕對可行的。我們的方法是基於替換定理，並假設我們可以找到 V 的一個顯式基底 \beta。令 S^{\prime} 為包含 S 的向量接著包含 \beta 的向量的有序集合。因為 \beta \subseteq S^{\prime}，所以集合 S^{\prime} 生成 V。我們接著就可以應用上述技術將此生成集化簡為包含 S 的 V 之基底。

例 4
設
V=\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})\in R^{5}:x_{1}+7x_{2}+5x_{3}-4x_{4}+2x_{5}=0\}.
很容易可以驗證 V 是 R^{5} 的子空間，並且
S=\{(-2,0,0,-1,-1),(1,1,-2,-1,-1),(-5,1,0,1,1)\}
是 V 的一個線性獨立子集。

為了將 S 擴充為 V 的基底，我們先求出 V 的基底 \beta。為此，我們解出定義 V 的線性方程組。因為在這種情況下 V 僅由一個方程式定義，我們只需要將方程式寫成
x_{1}=-7x_{2}-5x_{3}+4x_{4}-2x_{5}
並賦予 x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} 參數值。若 x_{2}=t_{1}, x_{3}=t_{2}, x_{4}=t_{3}, x_{5}=t_{4}，則 V 中的向量具有形式
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(-7t_{1}-5t_{2}+4t_{3}-2t_{4},t_{1},t_{2},t_{3},t_{4})
=t_{1}(-7,1,0,0,0)+t_{2}(-5,0,1,0,0)+t_{3}(4,0,0,1,0)+t_{4}(-2,0,0,0,1).
因此
\beta=\{(-7,1,0,0,0),(-5,0,1,0,0),(4,0,0,1,0),(-2,0,0,0,1)\}
依定理 3.15 是 V 的一個基底。

以 S 的向量接著 \beta 的向量所組成行的矩陣為
\begin{pmatrix}-2&1&-5&-7&-5&4&-2\\ 0&1&1&1&0&0&0\\ 0&-2&0&0&1&0&0\\ -1&-1&1&0&0&1&0\\ -1&-1&1&0&0&0&1\end{pmatrix}
其簡化列梯陣形式為
\begin{pmatrix}1&0&0&1&1&0&-1\\ 0&1&0&0&-5&0&0\\ 0&0&1&1&5&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&-1\\ 0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}
因此
\{(-2,0,0,-1,-1),(1,1,-2,-1,-1),(-5,1,0,1,1),(4,0,0,1,0)\}
是包含 S 的 V 的一個基底。

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習題 3.4

1. 將下列敘述標示為真（True）或假（False）。

(a) 如果 (A^{\prime}|b^{\prime}) 是由 (A|b) 透過有限次的基本行運算獲得的，那麼系統 Ax=b 與 A^{\prime}x=b^{\prime} 等價。（False）
(b) 如果 (A^{\prime}|b^{\prime}) 是由 (A|b) 透過有限次的基本列運算獲得的，那麼系統 Ax=b 與 A^{\prime}x=b^{\prime} 等價。（True）
(c) 如果 A 是一個秩為 n 的 n \times n 矩陣，則 A 的簡化列梯陣形式為 I_{n}。（True）
(d) 任何矩陣都可以透過有限次的基本列運算轉換為簡化列梯陣形式。（True）

2. 利用高斯消去法解下列線性方程組。

(a)
x_{1}-2x_{2}-x_{3}=1
2x_{1}+2x_{2}+x_{3}=1
x_{1}+2x_{2}-x_{3}=-1

(b)
2x_{1}-3x_{2}+x_{3}=6
3x_{1}-5x_{2}=7
3x_{1}+5x_{2}-2x_{3}=-1

(c)
x_{1}+2x_{2}+2x_{4}=6
3x_{1}+5x_{2}-x_{3}+6x_{4}=17
2x_{1}+4x_{2}+x_{3}+2x_{4}=12
2x_{1}-7x_{3}+11x_{4}=7

(d)
x_{1}-x_{2}-2x_{3}+3x_{4}=-7
2x_{1}-x_{2}+6x_{3}+6x_{4}=-2
-2x_{1}+x_{2}-4x_{3}-3x_{4}=0
3x_{1}-2x_{2}+9x_{3}+10x_{4}=-5

(e)
x_{1}-4x_{2}-x_{3}+x_{4}=3
2x_{1}-8x_{2}+x_{3}-4x_{4}=9
-x_{1}+4x_{2}-2x_{3}+5x_{4}=-6

(f)
x_{1}+2x_{2}-x_{3}+3x_{4}=2
2x_{1}+4x_{2}-x_{3}+6x_{4}=5
x_{2}+2x_{4}=3

(g)
2x_{1}-2x_{2}-x_{3}+6x_{4}-2x_{5}=1
x_{1}-x_{2}+x_{3}+2x_{4}-x_{5}=2
4x_{1}-4x_{2}+5x_{3}+7x_{4}-x_{5}=6

(h)
3x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+2x_{5}=5
x_{1}-x_{2}-x_{3}-2x_{4}-x_{5}=2
5x_{1}-2x_{2}+x_{3}-3x_{4}+3x_{5}=10
2x_{1}-x_{2}-2x_{4}+x_{5}=5

(i)
3x_{1}-x_{2}+2x_{3}+4x_{4}+x_{5}=2
x_{1}-x_{2}+2x_{3}+3x_{4}+x_{5}=-1
2x_{1}-3x_{2}+6x_{3}+9x_{4}+4x_{5}=-5
7x_{1}-2x_{2}+4x_{3}+8x_{4}+x_{5}=6

(j)
2x_{1}+3x_{3}-4x_{5}=5
3x_{1}-4x_{2}+8x_{3}+3x_{4}=8
x_{1}-x_{2}+2x_{3}+x_{4}-x_{5}=2
-2x_{1}+5x_{2}-9x_{3}-3x_{4}-5x_{5}=-8

3. 假設系統 Ax=b 的增廣矩陣透過有限次基本列運算轉換為簡化列梯陣形式之矩陣 (A^{\prime}|b^{\prime})。
(a) 證明 rank(A^{\prime}) \ne rank(A^{\prime}|b^{\prime}) 若且唯若 (A^{\prime}|b^{\prime}) 中包含一個除了最後一行的元素為非零外，其餘元素皆為零的列。
(b) 推導出 Ax=b 是相容的，若且唯若 (A^{\prime}|b^{\prime}) 中不包含任何只有最後一行為非零的列。

4. 對於下列每個系統，應用習題 3 來決定該系統是否為相容。如果系統為相容，找出所有解。最後，找出對應之齊次系統解集合的一個基底。

(a)
x_{1}+2x_{2}-x_{3}+x_{4}=2
2x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=3
x_{1}+2x_{2}-3x_{3}+2x_{4}=2

(b)
x_{1}+x_{2}-3x_{3}+x_{4}=1
x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=2
x_{1}+x_{2}-x_{3}=0

(c)
x_{1}+x_{2}-3x_{3}+x_{4}=-2
x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=2
x_{1}+x_{2}-x_{3}=0

5. 設 A 的簡化列梯陣形式為
\begin{pmatrix}1&0&2&0&-2\\ 0&1&-5&0&-3\\ 0&0&0&1&6\end{pmatrix}
決定 A，已知 A 的第 1、第 2 及第 4 行分別為
\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 3\end{pmatrix}，\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 1\end{pmatrix}，及 \begin{pmatrix}1\\ -2\\ 0\end{pmatrix}。

6. 設 A 的簡化列梯陣形式為
\begin{pmatrix}1&-3&0&4&0&5\\ 0&0&1&3&0&2\\ 0&0&0&0&1&-1\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}.
決定 A，已知 A 的第 1、第 3 及第 6 行分別為
\begin{pmatrix}1\\ -2\\ -1\\ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 2\\ -4\end{pmatrix}, 及 \begin{pmatrix}3\\ -9\\ 2\\ 5\end{pmatrix}。

7. 已知向量 u_{1}=(2,-3,1), u_{2}=(1,4,-2), u_{3}=(-8,12,-4), u_{4}=(1,37,-17), 及 u_{5}=(-3,-5,8) 生成了 R^{3}。找出 \{u_{1},u_{2},u_{3},u_{4},u_{5}\} 的一個子集，使其為 R^{3} 的一個基底。

8. 設 W 表示 R^{5} 的子空間，該子空間由所有座標總和為零的向量組成。向量
u_{1}=(2,-3,4,-5,2), u_{2}=(-6,9,-12,15,-6),
u_{3}=(3,-2,7,-9,1), u_{4}=(2,-8,2,-2,6),
u_{5}=(-1,1,2,1,-3), u_{6}=(0,-3,-18,9,12),
u_{7}=(1,0,-2,3,-2), 及 u_{8}=(2,-1,1,-9,7)
生成了 W。找出 \{u_{1},u_{2},...,u_{8}\} 的一個子集，使其為 W 的一個基底。

9. 設 W 為 M_{2\times2}(R) 中由對稱 2 \times 2 矩陣組成的子空間。集合
S=\left\{\begin{pmatrix}0&-1\\ -1&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2\\ 2&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2&1\\ 1&9\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&-2\\ -2&4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1&2\\ 2&-1\end{pmatrix}\right\}
生成了 W。找出 S 的一個子集，使其為 W 的一個基底。

10. 設
V=\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})\in R^{5}:x_{1}-2x_{2}+3x_{3}-x_{4}+2x_{5}=0\}.
(a) 證明 S=\{(0,1,1,1,0)\} 是 V 的一個線性獨立子集。
(b) 將 S 擴充為 V 的一個基底。

11. 設 V 如習題 10 所述。
(a) 證明 S=\{(1,2,1,0,0)\} 是 V 的一個線性獨立子集。
(b) 將 S 擴充為 V 的一個基底。

12. 設 V 表示以下線性方程組所有解構成的集合
x_{1}+x_{2}+2x_{4}-3x_{5}+x_{6}=0
2x_{1}-x_{2}-x_{3}+3x_{4}-4x_{5}+4x_{6}=0.
(a) 證明 S=\{(0,-1,0,1,1,0), (1, 0, 1, 1, 1, 0)\} 是 V 的一個線性獨立子集。
(b) 將 S 擴充為 V 的一個基底。

13. 設 V 如習題 12 所述。
(a) 證明 S=\{(1,0,1,1,1,0), (0, 2, 1, 1, 0, 0)\} 是 V 的一個線性獨立子集。
(b) 將 S 擴充為 V 的一個基底。

14. 若 (A|b) 處於簡化列梯陣形式，證明 A 也處於簡化列梯陣形式。

15. 證明定理 3.16 的推論：矩陣的簡化列梯陣形式是唯一的。請造訪 goo.gl/cZVzxM 以獲取解答。

以下是第 3 章結尾的「名詞定義索引（Index of Definitions）」完整翻譯：

第 3 章 名詞定義索引（INDEX OF DEFINITIONS FOR CHAPTER 3）

• Augmented matrix (增廣矩陣) 160
• Augmented matrix of a system of linear equations (線性方程組的增廣矩陣) 174
• Backward pass (後向替換 / 回代) 186
• Closed model of a simple economy (簡單經濟的封閉模型) 175
• Coefficient matrix of a system of linear equations (線性方程組的係數矩陣) 168
• Consistent system of linear equations (相容的線性方程組) 169
• Elementary column operation (基本行運算) 148
• Elementary matrix (基本矩陣) 149
• Elementary operation (基本運算) 148
• Elementary row operation (基本列運算) 148
• Equilibrium condition for a simple economy (簡單經濟的平衡條件) 176
• Equivalent systems of linear equations (等價的線性方程組) 181
• Forward pass (前向替換) 186
• Gaussian elimination (高斯消去法) 186
• General solution of a system of linear equations (線性方程組的一般解) 188
• Homogeneous system corresponding to a nonhomogeneous system (對應於非齊次系統的齊次系統) 172
• Homogeneous system of linear equations (齊次線性方程組) 170
• Inconsistent system of linear equations (不相容的線性方程組) 169
• Input-output matrix (投入產出矩陣) 176
• Nonhomogeneous system of linear equations (非齊次線性方程組) 170
• Nonnegative vector (非負向量) 176
• Open model of a simple economy (簡單經濟的開放模型) 177
• Positive matrix (正矩陣) 176
• Rank of a matrix (矩陣的秩) 152
• Reduced row echelon form of a matrix (矩陣的簡化列梯陣形式) 185
• Solution to a system of linear equations (線性方程組的解) 169
• Solution set of a system of equations (方程組的解集合) 169
• System of linear equations (線性方程組) 168
• Type 1, 2, and 3 elementary operations (第 1、2 與 3 型基本運算) 148