第四章 極限與連續性 (Limits and Continuity)
4.1 簡介 (Introduction)
讀者在初等微積分中已經熟悉極限的概念，通常會介紹幾種不同類型的極限。例如，實數數列 \{x_n\} 的極限，符號記為 \lim_{n \to \infty} x_n = A，意思是對於每個 \epsilon > 0，存在一個整數 N 使得當 n \ge N 時，|x_n - A| < \epsilon。這個極限過程傳達了一個直觀的想法：只要 n 足夠大，x_n 就可以任意接近 A。
還有函數的極限，記為 \lim_{x \to p} f(x) = A，這代表對於每個 \epsilon > 0，存在另一個數字 \delta > 0，使得當 0 < |x - p| < \delta 時，|f(x) - A| < \epsilon。這傳達了只要 x 足夠接近 p，f(x) 就可以任意接近 A 的概念。
微積分在三維空間中對幾何與物理問題的應用，以及對多變數函數的應用，使得將這些概念推廣到 R^n 成為必要。再進一步，將極限引入更一般的度量空間中也是同樣容易的。這樣可以藉由去除不必要的限制來簡化理論，同時涵蓋分析學中幾乎所有重要的層面。
首先我們討論度量空間中點數列的極限，然後討論函數的極限與連續性的概念。
4.2 度量空間中的收斂數列 (Convergent sequences in a metric space)
定義 4.1：在度量空間 (S, d) 中的數列 \{x_n\} 稱為收斂的 (convergent)，如果存在 S 中的一點 p 滿足以下性質：
對於每個 \epsilon > 0，存在一個整數 N 使得當 n \ge N 時，d(x_n, p) < \epsilon。
我們也稱 \{x_n\} 收斂至 p，並記為 x_n \to p (當 n \to \infty 時)，或簡寫為 x_n \to p。如果 S 中不存在這樣的 p，則稱該數列為發散的 (divergent)。
註：收斂的定義暗示了 x_n \to p 若且唯若 d(x_n, p) \to 0。數列 \{d(x_n, p)\} 收斂至 0 是在歐幾里得度量空間 R^1 中發生的。
範例：
- 在歐幾里得空間 R^1 中，數列 \{x_n\} 稱為遞增的，如果對所有 n 都有 x_n \le x_{n+1}。如果一個遞增數列有上界，則 \{x_n\} 收斂至其值域的上確界 \sup \{x_1, x_2, ...\}。同樣地，有下界的遞減數列會收斂至其值域的下確界。例如 \{1/n\} 收斂至 0。
- 如果 \{a_n\} 和 \{b_n\} 是收斂至 0 的實數數列，那麼 \{a_n + b_n\} 也收斂至 0。如果對所有 n 皆有 0 \le c_n \le a_n 且 \{a_n\} 收斂至 0，那麼 \{c_n\} 也收斂至 0。這些在 R^1 中數列的基本性質可以用來簡化一般度量空間中關於極限的某些證明。
- 在複數平面 C 中，設 z_n = 1 + n^{-2} + (2 - 1/n)i。則 \{z_n\} 收斂至 1 + 2i，因為 d(z_n, 1 + 2i)^2 = |z_n - (1 + 2i)|^2 = 1/n^4 + 1/n^2 \to 0 (當 n \to \infty 時)，所以 d(z_n, 1 + 2i) \to 0。
定理 4.2：度量空間 (S, d) 中的數列 \{x_n\} 最多只能收斂到 S 中的一個點。
證明：假設 x_n \to p 且 x_n \to q。我們將證明 p = q。由三角不等式可得 0 \le d(p, q) \le d(p, x_n) + d(x_n, q)。因為 d(p, x_n) \to 0 且 d(x_n, q) \to 0，這暗示了 d(p, q) = 0，所以 p = q。
如果數列 \{x_n\} 收斂，它所收斂到的唯一點稱為該數列的極限，記為 \lim x_n 或 \lim_{n \to \infty} x_n。
範例：在歐幾里得空間 R^1 中，我們有 \lim_{n \to \infty} 1/n = 0。同樣的數列在度量子空間 T = (0, 1] 中並不收斂，因為極限的唯一候選者是 0，而 0 \notin T。這個例子表明，數列的收斂或發散取決於所在的空間以及度量。
定理 4.3：在度量空間 (S, d) 中，假設 x_n \to p，並設 T = \{x_1, x_2, ...\} 為 \{x_n\} 的值域。則：
a) T 是有界的。
b) p 是 T 的附著點。
證明：a) 令 N 為收斂定義中對應於 \epsilon = 1 的整數。那麼每個 n \ge N 的 x_n 都落在球 B(p; 1) 中，所以 T 中的每個點都落在球 B(p; r) 中，其中 r = 1 + \max\{d(p, x_1), ..., d(p, x_{N-1})\}。因此 T 是有界的。
b) 因為每個球 B(p; \epsilon) 都包含 T 的一個點，所以 p 是 T 的附著點。
註：如果 T 是無窮集，每個球 B(p; \epsilon) 都包含 T 中無限多個點，因此 p 是 T 的聚點。
下一個定理提供了 (b) 部分的逆命題。
定理 4.4：給定度量空間 (S, d) 及子集 T \subseteq S。如果 S 中的一點 p 是 T 的附著點，則存在一個由 T 中點組成的數列 \{x_n\} 收斂至 p。
證明：對於每個整數 n \ge 1，在 T 中存在一個點 x_n 滿足 d(p, x_n) \le 1/n。因此 d(p, x_n) \to 0，所以 x_n \to p。
定理 4.5：在度量空間 (S, d) 中，數列 \{x_n\} 收斂至 p 若且唯若它的每一個子數列 \{x_{k(n)}\} 都收斂至 p。
證明：假設 x_n \to p 並考慮任何子數列 \{x_{k(n)}\}。對於每個 \epsilon > 0，存在一個 N 使得 n \ge N 蘊含 d(x_n, p) < \epsilon。因為 \{x_{k(n)}\} 是子數列，存在一個整數 M 使得當 n \ge M 時 k(n) \ge N。因此 n \ge M 蘊含 d(x_{k(n)}, p) < \epsilon，這證明了 x_{k(n)} \to p。逆命題顯然成立，因為 \{x_n\} 本身就是一個子數列。
4.3 柯西數列 (Cauchy sequences)
如果數列 \{x_n\} 收斂到極限 p，它的項最終必須接近 p，因此彼此之間也必定接近。
定理 4.6：假設 \{x_n\} 在度量空間 (S, d) 中收斂。則對於每個 \epsilon > 0，存在一個整數 N 使得：當 n \ge N 且 m \ge N 時，d(x_n, x_m) < \epsilon。
證明：設 p = \lim x_n。給定 \epsilon > 0，選擇 N 使得當 n \ge N 時 d(x_n, p) < \epsilon/2。那麼當 m \ge N 時也有 d(x_m, p) < \epsilon/2。若 n \ge N 且 m \ge N，由三角不等式可得
d(x_n, x_m) \le d(x_n, p) + d(p, x_m) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon。
4.7 柯西數列的定義：在度量空間 (S, d) 中的數列 \{x_n\} 稱為柯西數列，如果它滿足以下條件（稱為柯西條件）：
對於每個 \epsilon > 0 存在一個整數 N 使得當 n \ge N 且 m \ge N 時，d(x_n, x_m) < \epsilon。
定理 4.6 指出每個收斂數列都是柯西數列。其逆命題在一般度量空間中並不成立。例如，數列 \{1/n\} 在 R^1 的子空間 T = (0, 1] 中是柯西數列，但該數列在 T 中不收斂。然而，逆命題在每個歐幾里得空間 R^k 中皆成立。
定理 4.8：在歐幾里得空間 R^k 中，每一個柯西數列都是收斂的。
證明：設 \{x_n\} 為 R^k 中的柯西數列，並設 T = \{x_1, x_2, ...\} 為該數列的值域。如果 T 是有限集，那麼除了有限個項之外，數列 \{x_n\} 的其餘所有項皆相等，因此 \{x_n\} 收斂到這個共同值。
現在假設 T 是無窮集。我們使用柏札諾-魏爾斯特拉斯定理來證明 T 具有一個聚點 p，然後證明 \{x_n\} 收斂至 p。首先我們需要知道 T 是有界的。這可由柯西條件得出。事實上，當 \epsilon = 1 時，存在一個 N 使得 n \ge N 蘊含 ||x_n - x_N|| < 1。這表示所有滿足 n \ge N 的點 x_n 都落在以 x_N 為中心、半徑為 1 的球內，所以 T 落在以 0 為中心、半徑為 1 + M 的球內，其中 M 是數字 ||x_1||, ..., ||x_N|| 中的最大值。因此，因為 T 是一個有界的無窮集，它在 R^k 中有一個聚點 p（由柏札諾-魏爾斯特拉斯定理可知）。接下來我們證明 \{x_n\} 收斂至 p。
給定 \epsilon > 0，存在一個 N 使得當 n \ge N 且 m \ge N 時，||x_n - x_m|| < \epsilon/2。球 B(p; \epsilon/2) 包含一個點 x_m 滿足 m \ge N。因此若 n \ge N 我們有
||x_n - p|| \le ||x_n - x_m|| + ||x_m - p|| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon，
所以 \lim x_n = p。證明完畢。
範例：定理 4.8 經常用於在預先不知道極限的情況下證明數列的收斂性。例如，考慮 R^1 中的數列，其定義為
x_n = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdot\cdot\cdot + \frac{(-1)^{n-1}}{n}。
如果 m > n \ge N，我們發現（透過將相鄰兩項配對）
|x_m - x_n| = |\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \cdot\cdot\cdot \pm \frac{1}{m}| < \frac{1}{n} \le \frac{1}{N}，
因此只要 N > 1/\epsilon 就有 |x_m - x_n| < \epsilon。因此 \{x_n\} 是一個柯西數列，從而它收斂到某個極限。可以證明這個極限是 \log 2，這並不是立刻就能看出的。
4.4 完備度量空間 (Complete metric spaces)
定義 4.9：如果度量空間 (S, d) 中的每一個柯西數列都在 S 中收斂，則稱此空間為完備的 (complete)。若度量子空間 (T, d) 完備，則稱子集 T 為完備的。
範例 1：每一個歐幾里得空間 R^k 都是完備的 (定理 4.8)。特別是，R^1 是完備的，但子空間 T = (0, 1] 不完備。
範例 2：具備度量 d(x, y) = \max_{1 \le i \le n} |x_i - y_i| 的空間 R^n 是完備的。
下一個定理關聯了完備性與緊緻性。
定理 4.10：在任何度量空間 (S, d) 中，每一個緊緻子集 T 都是完備的。
證明：設 \{x_n\} 為 T 中的柯西數列，並設 A = \{x_1, x_2, ...\} 為其值域。如果 A 是有限的，那麼 \{x_n\} 收斂至 A 中的某個元素，因此 \{x_n\} 在 T 中收斂。
如果 A 是無窮集，定理 3.38 告訴我們，因為 T 是緊緻的，A 在 T 中必定有一個聚點 p。接下來我們證明 x_n \to p。給定 \epsilon > 0，選擇 N 使得當 n \ge N 且 m \ge N 時，d(x_n, x_m) < \epsilon/2。球 B(p; \epsilon/2) 包含一個點 x_m 滿足 m \ge N。因此若 n \ge N，三角不等式給出
d(x_n, p) \le d(x_n, x_m) + d(x_m, p) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon，
所以 x_n \to p。這證明 T 是完備的。
4.5 函數的極限 (Limit of a function)
在本節中，我們考慮兩個度量空間 (S, d_S) 與 (T, d_T)，其中 d_S 與 d_T 表示各自的度量。設 A 為 S 的子集，並設 f: A \to T 是從 A 映射到 T 的函數。
定義 4.11：如果 p 是 A 的聚點且 b \in T，符號
\lim_{x \to p} f(x) = b
的定義如下：對於每個 \epsilon > 0，存在一個 \delta > 0 使得
d_T(f(x), b) < \epsilon
只要 x \in A、x \ne p 且 d_S(x, p) < \delta。
這個符號讀作「當 x 趨近於 p 時，f(x) 的極限為 b」，或者「當 x 趨近於 p 時，f(x) 趨近於 b」。我們有時也寫成當 x \to p 時，f(x) \to b。
該定義傳達了直觀的想法：只要 x 充分接近 p，f(x) 就可以任意接近 b。我們要求 p 是 A 的聚點以確保存在足夠接近 p 且 x \ne p 的 A 中點 x。然而，p 不必在 f 的定義域內，b 也不必在 f 的值域內。
註：這個定義也可以用球來表述。上述條件成立若且唯若，對於每個球 B_T(b)，存在一個球 B_S(p) 使得 B_S(p) \cap A 非空，並且只要 x \in B_S(p) \cap A 且 x \ne p，f(x) \in B_T(b)。當用這種方式表述時，如果 p 或 b（或兩者）處於擴展實數系 R^* 或擴展複數系 C^* 中，該定義仍然有意義。但是，在接下來的討論中，我們將理解 p 和 b 是有限的，除非明確指出它們可以是無窮大。
下一個定理將函數的極限與收斂數列的極限聯繫起來。
定理 4.12：假設 p 是 A 的聚點且 b \in T。則 \lim_{x \to p} f(x) = b 若且唯若對於每一個在 A - \{p\} 中收斂至 p 的數列 \{x_n\}，皆有
\lim_{n \to \infty} f(x_n) = b。
證明：如果函數極限成立，則對於每個 \epsilon > 0，存在 \delta > 0 使得當 x \in A 且 0 < d_S(x, p) < \delta 時 d_T(f(x), b) < \epsilon。現在取任何在 A - \{p\} 中收斂至 p 的數列 \{x_n\}。對於這個 \delta，存在一個整數 N 使得 n \ge N 蘊含 d_S(x_n, p) < \delta。因此 n \ge N 蘊含 d_T(f(x_n), b) < \epsilon，從而 \{f(x_n)\} 收斂至 b。因此前向證明成立。
為了證明逆命題，我們假設數列的條件成立，並假設函數極限為假以得出矛盾。如果函數極限為假，那麼對於某個 \epsilon > 0 和每一個 \delta > 0，在 A 中存在一個點 x 使得
0 < d_S(x, p) < \delta 但 d_T(f(x), b) \ge \epsilon。
取 \delta = 1/n，n=1,2,...，這表示在 A-\{p\} 中存在相應的一點數列 \{x_n\} 使得
0 < d_S(x_n, p) < 1/n 但 d_T(f(x_n), b) \ge \epsilon。
顯然，這個數列 \{x_n\} 收斂至 p，但數列 \{f(x_n)\} 不收斂至 b，這與假設矛盾。
註：定理 4.12 與定理 4.2 共同表明，當 x \to p 時函數不可能有兩個不同的極限。
4.6 複數值函數的極限 (Limits of complex-valued functions)
設 (S, d) 為度量空間，設 A 為 S 的子集，並考慮兩個定義在 A 上的複數值函數 f 和 g：
f: A \to C, g: A \to C。
和 f+g 定義為一個函數，其在 A 的每一點 x 的值為複數 f(x)+g(x)。差 f-g、積 f \cdot g 與商 f/g 的定義也類似。不言而喻，商僅在那些滿足 g(x) \ne 0 的點 x 上有定義。
通常用來計算極限的規則在下一個定理中給出。
定理 4.13：設 f 和 g 是定義在度量空間 (S, d) 子集 A 上的複數值函數。設 p 是 A 的聚點，並假設
\lim_{x \to p} f(x) = a, \lim_{x \to p} g(x) = b。
則我們也有：
a) \lim_{x \to p} [f(x) \pm g(x)] = a \pm b，
b) \lim_{x \to p} f(x)g(x) = ab，
c) \lim_{x \to p} f(x)/g(x) = a/b，只要 b \ne 0。
證明：我們只證明 (b)，其餘部分留給讀者作為練習。給定 0 < \epsilon < 1，設 \epsilon' 是另一個滿足 0 < \epsilon' < 1 的數字，它將依賴於 \epsilon 以稍後描述的方式決定。存在 \delta > 0 使得如果 x \in A 且 d(x, p) < \delta，則
|f(x) - a| < \epsilon' 且 |g(x) - b| < \epsilon'。
那麼 |f(x)| = |a + (f(x) - a)| < |a| + \epsilon' < |a| + 1。寫作 f(x)g(x) - ab = f(x)g(x) - bf(x) + bf(x) - ab，我們有
|f(x)g(x) - ab| \le |f(x)||g(x) - b| + |b||f(x) - a| < (|a| + 1)\epsilon' + |b|\epsilon' = \epsilon'(|a| + |b| + 1)。
如果我們選擇 \epsilon' = \epsilon / (|a| + |b| + 1)，我們會看到只要 x \in A 且 d(x, p) < \delta，|f(x)g(x) - ab| < \epsilon，這證明了 (b)。
4.7 向量值函數的極限 (Limits of vector-valued functions)
同樣，設 (S, d) 為度量空間，A 為 S 的子集。考慮兩個定義在 A 上且值位於 R^k 的向量值函數 f 和 g，
f: A \to R^k, g: A \to R^k。
向量值函數的商沒有被定義（如果 k > 2），但我們可以透過以下公式分別定義每個 x 上的和 f+g、純量積 \lambda f (如果 \lambda 是實數)，以及內積 f \cdot g：
(f+g)(x) = f(x) + g(x), (\lambda f)(x) = \lambda f(x), (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)。
我們同樣有以下的向量值函數極限運算規則。
定理 4.14：設 p 是 A 的聚點並假設 \lim_{x \to p} f(x) = a, \lim_{x \to p} g(x) = b。則我們也有：
a) \lim_{x \to p} [f(x) + g(x)] = a + b，
b) \lim_{x \to p} \lambda f(x) = \lambda a 對每個純量 \lambda，
c) \lim_{x \to p} f(x) \cdot g(x) = a \cdot b，
d) \lim_{x \to p} ||f(x)|| = ||a||。
證明：我們只證明 (c) 和 (d) 部分。為了證明 (c)，我們寫出
f(x) \cdot g(x) - a \cdot b = [f(x) - a] \cdot [g(x) - b] + a \cdot [g(x) - b] + b \cdot [f(x) - a]。
三角不等式和柯西-施瓦茨不等式給出
0 \le |f(x) \cdot g(x) - a \cdot b| \le ||f(x) - a|| ||g(x) - b|| + ||a|| ||g(x) - b|| + ||b|| ||f(x) - a||。
這很容易推出 (c)。為了證明 (d)，我們只需使用可以從歐幾里得距離的三角不等式中推導出來的不等式：0 \le |||f(x)|| - ||a||| \le ||f(x) - a||。
註：設 f_1, ..., f_n 表示映射 f 到 R^n 的分量。那麼
f(x) = f_1(x)u_1 + \dots + f_n(x)u_n。
如果 a = (a_1, ..., a_n)，那麼對於每個 r = 1, 2, ..., n，我們有
|f_r(x) - a_r| \le ||f(x) - a|| \le \sum_{r=1}^n |f_r(x) - a_r|。
這些不等式顯示 \lim_{x \to p} f(x) = a 若且唯若對每個 r，\lim_{x \to p} f_r(x) = a_r。
4.8 連續函數 (Continuous functions)
初等微積分中提出的連續性定義可以推廣到從一個度量空間到另一個度量空間的函數。
定義 4.15：設 (S, d_S) 與 (T, d_T) 為度量空間，並設 f: S \to T 是從 S 到 T 的函數。如果對於每個 \epsilon > 0，存在一個 \delta > 0 使得只要 d_S(x, p) < \delta，就有
d_T(f(x), f(p)) < \epsilon，
則稱函數 f 在 S 中的點 p 是連續的 (continuous)。如果在子集 A 的每一點都連續，則稱 f 在 A 上連續。
如果 p 是 S 的聚點，連續性的定義意味著 \lim_{x \to p} f(x) = f(p)。如果 p 是 S 的孤立點（即 S 中不是聚點的點），那麼每個在 p 處有定義的 f 都會在 p 處連續，因為對足夠小的 \delta，滿足 d_S(x, p) < \delta 的唯一點就是 x=p，而 d_T(f(p), f(p)) = 0。
定理 4.16：設 f: S \to T 是從度量空間 (S, d_S) 到 (T, d_T) 的函數，並假設 p \in S。則 f 在 p 點連續若且唯若，對於每一個在 S 中收斂至 p 的數列 \{x_n\}，其在 T 中的數列 \{f(x_n)\} 皆收斂至 f(p)；以符號表示為：
\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(\lim_{n \to \infty} x_n)。
證明：此定理的證明與定理 4.12 相似，留給讀者作為練習。（這個結果也可以從 4.12 中推導出來，但因為數列 \{x_n\} 的某些項可能等於 p，所以在論證上會有微小的複雜性。）
這個定理通常被描述為：對於連續函數，極限符號可以與函數符號交換。在交換這些符號時需要小心，因為有時即使 \{x_n\} 發散，\{f(x_n)\} 也有可能收斂。
範例：如果 x_n \to x 且 y_n \to y 在度量空間 (S, d) 中，則 d(x_n, y_n) \to d(x, y)。讀者可以驗證 d 在度量空間 (S \times S, \rho) 上是連續的。
註：函數 f 在一點 p 的連續性被稱為 f 的局部性質 (local property)，因為它只依賴於 f 在 p 的直接鄰域內的行為。關於 f 整個定義域的性質被稱為全域性質 (global property)。因此，f 在其定義域上的連續性是全域性質。
4.9 合成函數的連續性 (Continuity of composite functions)
定理 4.17：設 (S, d_S)、(T, d_T) 以及 (U, d_U) 為度量空間。設 f: S \to T 及 g: f(S) \to U 為函數，並設 h 為定義在 S 上的合成函數，由方程式給出
h(x) = g(f(x)) 對所有 S 中的 x。
如果 f 在 p 點連續且 g 在 f(p) 點連續，則 h 在 p 點連續。
證明：設 b = f(p)。給定 \epsilon > 0，存在一個 \delta > 0 使得只要 d_T(y, b) < \delta，就有 d_U(g(y), g(b)) < \epsilon。對於這個 \delta，存在一個 \delta' 使得只要 d_S(x, p) < \delta'，就有 d_T(f(x), f(p)) < \delta。結合這兩個敘述並取 y = f(x)，我們發現只要 d_S(x, p) < \delta'，就有 d_U(h(x), h(p)) < \epsilon，所以 h 在 p 點連續。
4.10 連續的複數值與向量值函數 (Continuous complex-valued and vector-valued functions)
定理 4.18：設 f 和 g 是在度量空間 (S, d) 中的點 p 處連續的複數值函數。則 f+g、f-g 以及 f \cdot g 每一項都在 p 點連續。商 f/g 在 p 點也連續，前提是 g(p) \ne 0。
證明：如果 p 是 S 的孤立點，結果是顯然的。如果 p 是 S 的聚點，我們從定理 4.13 中獲得該結果。
當然，對於向量值函數也有一個對應的定理，它是使用定理 4.14 以相同的方式證明的。
定理 4.19：設 f 和 g 是在度量空間 (S, d) 中的點 p 處連續的函數，並假設 f 和 g 取值於 R^n 中。則以下各項在 p 點都連續：和 f+g、純量積 \lambda f（對於每個實數 \lambda）、內積 f \cdot g，以及範數 ||f||。
定理 4.20：設 f_1, ..., f_n 是定義在度量空間 (S, d_S) 子集 A 上的 n 個實值函數，並設 f = (f_1, ..., f_n)。則 f 在 A 中的點 p 處連續，若且唯若函數 f_1, ..., f_n 每一個都在 p 點連續。
證明：如果 p 是 A 的孤立點，沒有什麼需要證明的。如果 p 是聚點，我們注意到當 x \to p 時 f(x) \to f(p) 若且唯若對每個 k = 1, 2, ..., n 皆有 f_k(x) \to f_k(p)。
4.11 連續函數的範例 (Examples of continuous functions)
設 S = C 為複數平面。證明下列複數值函數在 C 上連續是一個簡單的練習：
a) 常數函數，定義為對所有 C 中的 z，f(z) = c；
b) 恆等函數，定義為對所有 C 中的 z，f(z) = z。
重複應用定理 4.18 可以確立每個多項式函數的連續性：
f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdot\cdot\cdot + a_n z^n，
其中 a_i 為複數。
如果 S 是 C 的一個多項式 f 不會消失（不為零）的子集，則 1/f 在 S 上連續。因此，有理函數 g/f（其中 g 和 f 是多項式）在 C 中分母不為零的點上是連續的。
初等微積分中熟悉的實值函數，如指數、三角函數和對數函數，在它們被定義的任何地方都是連續的。這些基本函數的連續性證明了藉由代入「自變數」的極限值來評估某些極限的常見做法是合理的；例如，
\lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1。
複指數函數和三角函數的連續性是相應實值函數的連續性與定理 4.20 的結果。
4.12 連續性與開集或閉集的反像 (Continuity and inverse images of open or closed sets)
反像的概念可以用來給出連續函數的兩個重要全域描述。
4.21 反像的定義：設 f: S \to T 是從集合 S 到集合 T 的函數。如果 Y 是 T 的子集，Y 在 f 下的反像，記為 f^{-1}(Y)，定義為 S 中被 f 映射到 Y 的最大子集；也就是說，
f^{-1}(Y) = \{x : x \in S \text{ 且 } f(x) \in Y\}。
註：如果 f 有反函數 f^{-1}，則 Y 在 f 下的反像就與 Y 在 f^{-1} 下的像相同，在這種情況下，符號 f^{-1}(Y) 沒有歧義。還要注意，如果 A \subseteq B \subseteq T，則 f^{-1}(A) \subseteq f^{-1}(B)。
定理 4.22：設 f: S \to T 是從 S 到 T 的函數。如果 X \subseteq S 且 Y \subseteq T，則我們有：
a) X = f^{-1}(Y) 蘊含 f(X) \subseteq Y
b) Y = f(X) 蘊含 X \subseteq f^{-1}(Y)。
定理 4.22 的證明是符號 f^{-1}(Y) 和 f(X) 定義的直接翻譯，留給讀者。值得注意的是，一般來說，我們無法得出 Y = f(X) 蘊含 X = f^{-1}(Y)。（請見圖 4.3 中的例子。）
注意，定理 4.22 中的敘述也可以表達如下：f[f^{-1}(Y)] \subseteq Y，X \subseteq f^{-1}[f(X)]。還要留意，對於 T 的所有子集 A 和 B，f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)。
定理 4.23：設 f: S \to T 為從一個度量空間 (S, d_S) 到另一個度量空間 (T, d_T) 的函數。則 f 在 S 上連續，若且唯若對於 T 中的每個開集 Y，其反像 f^{-1}(Y) 也是 S 中的開集。
證明：設 f 在 S 上連續，設 Y 是 T 中的開集，並設 p 為 f^{-1}(Y) 的任意一點。我們將證明 p 是 f^{-1}(Y) 的內部點。設 y = f(p)。因為 Y 是開集，對於某個 \epsilon > 0，我們有 B_T(y; \epsilon) \subseteq Y。因為 f 在 p 點連續，存在一個 \delta > 0 使得 f(B_S(p; \delta)) \subseteq B_T(y; \epsilon)。因此，
B_S(p; \delta) \subseteq f^{-1}(B_T(y; \epsilon)) \subseteq f^{-1}(Y)，
這證明了 p 是內部點，因此 f^{-1}(Y) 在 S 中是開集。
為了證明逆命題，假設對於 T 中的每個開集 Y，其反像在 S 中是開集。選擇 p \in S，給定 \epsilon > 0。開球 Y = B_T(f(p); \epsilon) 在 T 中是開集，因此它的反像 f^{-1}(Y) 在 S 中也是開集。由於 p \in f^{-1}(Y)，存在一個 \delta > 0 使得 B_S(p; \delta) \subseteq f^{-1}(Y)。換句話說，d_S(x, p) < \delta 蘊含 f(x) \in Y，即 d_T(f(x), f(p)) < \epsilon。這表示 f 在 p 點連續，因為 p 是任意的，所以 f 在 S 上連續。
定理 4.24：設 f: S \to T 為從一個度量空間 (S, d_S) 到另一個度量空間 (T, d_T) 的函數。則 f 在 S 上連續，若且唯若對於 T 中的每個閉集 Y，其反像 f^{-1}(Y) 也是 S 中的閉集。
證明：如果 Y 在 T 中是閉集，則 T - Y 在 T 中是開集，而且
f^{-1}(T - Y) = S - f^{-1}(Y)。
現在應用定理 4.23。
範例：開集在連續映射下的像不一定是開集。一個簡單的反例是常數函數，它將整個 S 映射到 R^1 中的一個單一點。同樣，閉集在連續映射下的像也不一定是閉集。例如，實值函數 f(x) = \arctan x 將 R^1 映射到開區間 (-\pi/2, \pi/2)。
4.13 緊緻集上的連續函數 (Functions continuous on compact sets)
下一個定理表明，緊緻集的連續像是緊緻的。這是連續函數的另一個全域性質。
定理 4.25：設 f: S \to T 為從度量空間 (S, d_S) 到 (T, d_T) 的函數。如果 f 在 S 的緊緻子集 X 上連續，則其像 f(X) 也是 T 中的緊緻子集；特別是，f(X) 在 T 中是閉且有界的。
證明：設 F 為 f(X) 的開覆蓋，使得 f(X) \subseteq \bigcup_{A \in F} A。我們將證明 F 中的有限個集合 A 能覆蓋 f(X)。由於 f 在度量子空間 (X, d_S) 上連續，我們可以應用定理 4.23 得出每個集合 f^{-1}(A) 在 (X, d_S) 中是開集。這些集合 f^{-1}(A) 構成了 X 的開覆蓋，並且因為 X 是緊緻的，所以其中有限個覆蓋了 X，假設為 X \subseteq f^{-1}(A_1) \cup \cdot\cdot\cdot \cup f^{-1}(A_p)。因此
f(X) \subseteq f[f^{-1}(A_1) \cup \cdot\cdot\cdot \cup f^{-1}(A_p)] = f[f^{-1}(A_1)] \cup \cdot\cdot\cdot \cup f[f^{-1}(A_p)] \subseteq A_1 \cup \cdot\cdot\cdot \cup A_p，
所以 f(X) 是緊緻的。作為定理 3.38 的推論，我們看出 f(X) 是閉集且有界的。
定義 4.26：一個函數 f: S \to R^k 稱為在 S 上是有界的 (bounded)，如果存在一個正數 M 使得對於所有在 S 中的 x，都有 ||f(x)|| \le M。
因為 f 在 S 上有界若且唯若 f(S) 是 R^k 的有界子集，我們有定理 4.25 的以下推論。
定理 4.27：設 f: S \to R^k 為從度量空間 S 到歐幾里得空間 R^k 的函數。如果 f 在 S 的緊緻子集 X 上連續，則 f 在 X 上是有界的。
這個定理對實值函數有重要的含義。如果 f 是實值函數且在 X 上有界，則 f(X) 是 R 的有界子集，因此它有上確界 \sup f(X) 和下確界 \inf f(X)。而且，
\inf f(X) \le f(x) \le \sup f(X) 對每個 X 中的 x 成立。
下一個定理表明，如果 X 是緊緻的，連續的 f 實際上會取得其值 \sup f(X) 和 \inf f(X)。
定理 4.28：設 f: S \to R 為從度量空間 S 映射到歐幾里得空間 R 的實值函數。假設 f 在 S 的緊緻子集 X 上連續。則在 X 中存在點 p 和 q 使得
f(p) = \inf f(X) 且 f(q) = \sup f(X)。
註：因為 f(p) \le f(x) \le f(q) 對所有 X 中的 x 成立，數字 f(p) 和 f(q) 分別被稱為 f 在 X 上的絕對 (或全域) 最小值與最大值。
證明：定理 4.25 表明 f(X) 是 R 中的一個閉且有界子集。設 m = \inf f(X)。則 m 附著於 f(X)，且因為 f(X) 是閉集，m \in f(X)。因此對 X 中的某個 p 有 m = f(p)。同理，對於 X 中的某個 q，有 f(q) = \sup f(X)。
定理 4.29：設 f: S \to T 為從度量空間 (S, d_S) 到 (T, d_T) 的函數。假設 f 在 S 上是一對一的，使得反函數 f^{-1} 存在。如果 S 是緊緻的且 f 在 S 上連續，則 f^{-1} 在 f(S) 上也是連續的。
證明：由定理 4.24（應用於 f^{-1}）我們只需證明對於 S 中的每個閉集 X，其像 f(X) 在 T 中也是閉集。（注意 f(X) 是 X 在 f^{-1} 下的反像。）因為 X 是閉集且 S 是緊緻的，X 也是緊緻的（由定理 3.39），所以 f(X) 是緊緻的（由定理 4.25），因此 f(X) 是閉集（由定理 3.38）。這完成了證明。
範例：這個例子表明 S 的緊緻性是定理 4.29 不可或缺的一部分。設 S = [0, 1)，具有 R^1 的通常度量，並考慮由以下方程式定義的複數值函數 f：
f(x) = e^{2\pi ix}，對於 0 \le x < 1。
這是從半開區間 [0, 1) 到複數平面上單位圓 |z| = 1 上的一對一連續映射。然而，f^{-1} 在點 f(0) 處不連續。例如，如果 x_n = 1 - 1/n，數列 \{f(x_n)\} 收斂至 f(0)，但 \{x_n\} 在 S 中不收斂。
4.14 拓樸映射 (Topological mappings / homeomorphisms)
定義 4.30：設 f: S \to T 為從度量空間 (S, d_S) 到另一個度量空間 (T, d_T) 的函數。也假設 f 在 S 上是一對一的，使得反函數 f^{-1} 存在。如果 f 在 S 上連續且 f^{-1} 在 f(S) 上連續，則 f 稱為拓樸映射或同胚 (homeomorphism)，而度量空間 (S, d_S) 與 (f(S), d_T) 稱為是同胚的 (homeomorphic)。
如果 f 是同胚，則 f^{-1} 也是同胚。定理 4.23 表明，同胚會將 S 的開子集映射到 f(S) 的開子集。它也會將 S 的閉子集映射到 f(S) 的閉子集。
在每個拓樸映射下保持不變的集合性質被稱為拓樸性質。因此，成為開集、閉集或緊緻集的性質都是拓樸性質。
同胚的一個重要例子是等距同構 (isometry)。這是一個在一對一的函數 f: S \to T，且它保留度量；即對於 S 中的所有點 x 和 y，都有 d_T(f(x), f(y)) = d_S(x, y)。如果存在從 (S, d_S) 到 (f(S), d_T) 的等距同構，則稱這兩個度量空間為等距的 (isometric)。
拓樸映射在空間曲線的理論中特別重要。例如，簡單弧是區間的拓樸像，而簡單閉曲線是圓的拓樸像。
4.15 柏札諾定理 (Bolzano's Theorem)
本節致力於探討柏札諾的一個著名定理，這涉及定義在 R 的緊緻區間 [a, b] 上連續的實值函數的全域性質。如果 f 的圖形在 a 點位於 x 軸上方，在 b 點位於 x 軸下方，柏札諾定理斷言該圖形必定在 a 和 b 之間的某處穿過該軸。我們的證明將基於連續函數的局部性質，即所謂的保號性質 (sign-preserving property)。
定理 4.31：設 f 定義在 R 中的區間 S 上。假設 f 在 S 中的點 c 處連續，且 f(c) \ne 0。則存在一個 1-球 B(c; \delta) 使得在 B(c; \delta) \cap S 內 f(x) 的符號與 f(c) 相同。
證明：假設 f(c) > 0。對於每個 \epsilon > 0，存在 \delta > 0 使得當 x \in B(c; \delta) \cap S 時，有 f(c) - \epsilon < f(x) < f(c) + \epsilon。取對應於 \epsilon = f(c)/2 的 \delta（此 \epsilon 是正的）。那麼當 x \in B(c; \delta) \cap S 時，我們有 \frac{1}{2}f(c) < f(x) < \frac{3}{2}f(c)，所以 f(x) 在 B(c; \delta) \cap S 內與 f(c) 同號。如果 f(c) < 0 證明也類似，只需取 \epsilon = -\frac{1}{2}f(c)。
定理 4.32 (柏札諾定理)：設 f 為在 R 中的緊緻區間 [a, b] 上連續的實值函數，並假設 f(a) 與 f(b) 異號；亦即，假設 f(a)f(b) < 0。則在開區間 (a, b) 中至少存在一點 c 使得 f(c) = 0。
證明：為了明確起見，假設 f(a) > 0 且 f(b) < 0。設
A = \{x : x \in [a, b] \text{ 且 } f(x) \ge 0\}。
集合 A 是非空的（因為 a \in A）且它有一個上界 b。令 c = \sup A。因為 a \in A 且 b \notin A，顯然 a \le c \le b。我們將證明 f(c) = 0。
如果 f(c) > 0，必定有 c < b。利用定理 4.31，存在一個區間 (c - \delta, c + \delta) 在其中 f 為正。因此，f(x) > 0 對於某個 x > c。這表示 x 在 A 中，與 c 是 A 的上界矛盾。
如果 f(c) < 0，則必定有 a < c。再次利用定理 4.31，存在一個區間 (c - \delta, c + \delta)，在其中 f 為負。這表示在區間 (c - \delta, c] 內 A 沒有點。因此 c - \delta 是 A 的一個上界，與 c 是 A 的最小上界矛盾。我們排除了 f(c) > 0 與 f(c) < 0 兩種可能，故得 f(c) = 0。當然，點 c 不可能是 a 也不可能是 b，所以 c \in (a, b)。
定理 4.33 (中間值定理)：假設 f 在 R 的緊緻區間 S 上連續。對於 S 中任意兩點 \alpha < \beta，如果 f(\alpha) \ne f(\beta)，則 f 在區間 (\alpha, \beta) 內會取遍所有介於 f(\alpha) 與 f(\beta) 之間的值。
證明：設 k 為介於 f(\alpha) 與 f(\beta) 之間的數字，並將柏札諾定理應用於定義在 [\alpha, \beta] 上的函數 g，其方程式為 g(x) = f(x) - k。
中間值定理連同定理 4.28 暗示，在實值連續函數下，緊緻區間 S 的像也是一個緊緻區間，即 [\inf f(S), \sup f(S)]。（如果 f 在 S 上是常數，這將是一個退化的區間。）下一節將在度量空間的更一般設定中擴展這個屬性。
4.16 連通性 (Connectedness)
本節描述連通性的概念及其與連續性的關係。
定義 4.34：如果度量空間 S 可表示為 S = A \cup B，其中 A 和 B 是 S 中不相交的非空開集，則稱 S 是非連通的 (disconnected)。如果 S 不是非連通的，我們稱 S 是連通的 (connected)。
註：度量空間 S 的子集 X 稱為連通的，如果在將其視為 S 的度量子空間時，它是一個連通的度量空間。
- 每個度量空間 S 都包含非空的連通子集。事實上，對於 S 中的每個 p，集合 \{p\} 是連通的。
為了將連通性與連續性聯繫起來，我們引入雙值函數 (two-valued function) 的概念。
定義 4.35：若在度量空間 S 上連續的實值函數 f 滿足 f(S)\subseteq\{0,1\}，則稱 f 在 S 上是雙值的。
換句話說，雙值函數是一個唯一可能的值為 0 和 1 的連續函數。這可以被視為從 S 到度量空間 T=\{0,1\} 的連續函數，其中 T 具有離散度量。我們回顧一下，離散度量空間 T 的每個子集在 T 中既是開集也是閉集。
定理 4.36：度量空間 S 是連通的，若且唯若 S 上的每個雙值函數都是常數函數。
證明：假設 S 是連通的，並設 f 為 S 上的雙值函數。我們必須證明 f 是常數。設 A=f^{-1}(\{0\}) 且 B=f^{-1}(\{1\}) 為子集 \{0\} 和 \{1\} 的反像。由於 \{0\} 和 \{1\} 是離散度量空間 \{0, 1\} 的開子集，所以 A 和 B 在 S 中都是開集。因此，S=A\cup B，其中 A 和 B 是不相交的開集。但因為 S 是連通的，要麼 A 是空集且 B=S，要麼 B 是空集且 A=S。無論哪種情況，f 在 S 上都是常數。
反之，假設 S 是非連通的，因此 S=A\cup B，其中 A 和 B 是 S 中不相交的非空開子集。我們將展示一個在 S 上非常數的雙值函數。令 f(x)=0 若 x\in A；f(x)=1 若 x\in B。由於 A 和 B 皆非空，f 會取到 0 和 1 兩個值，所以 f 不是常數。此外，f 在 S 上是連續的，因為 \{0, 1\} 的每個開子集的反像在 S 中都是開集。
接下來我們證明，連通集的連續像是連通的。
定理 4.37：設 f:S\rightarrow M 為從度量空間 S 到另一個度量空間 M 的函數。設 X 為 S 的連通子集。如果 f 在 X 上連續，則 f(X) 是 M 的連通子集。
證明：設 g 為 f(X) 上的雙值函數。我們將證明 g 是常數。考慮定義在 X 上的合成函數 h，其方程式為 h(x)=g(f(x))。那麼 h 在 X 上連續且只能取 0 和 1 的值，所以 h 在 X 上是雙值的。因為 X 是連通的，h 在 X 上是常數，這意味著 g 在 f(X) 上是常數。因此 f(X) 是連通的。
範例：因為 R^{1} 中的區間 X 是連通的，每個連續像 f(X) 都是連通的。如果 f 具有實數值，則像 f(X) 是另一個區間。如果 f 具有 R^{n} 中的值，則像 f(X) 稱為 R^{n} 中的一條曲線 (curve)。因此，R^{n} 中的每條曲線都是連通的。
作為定理 4.37 的推論，我們有以下柏札諾定理的推廣。
定理 4.38 (實值連續函數的中間值定理)：設 f 為在 R^{n} 的連通子集 S 上的實值連續函數。如果 f 在 S 中取到兩個不同的值，假設為 a 和 b，那麼對於介於 a 和 b 之間的每個實數 c，在 S 中必存在一點 x 使得 f(x)=c。
證明：像 f(S) 是 R^{1} 的連通子集。因此，f(S) 是一個包含 a 和 b 的區間 (見習題 4.38)。如果某個介於 a 和 b 之間的值 c 不在 f(S) 中，那麼 f(S) 將是非連通的。
4.17 度量空間的分支 (Components of a metric space)
本節表明每個度量空間 S 都可以用唯一的方式表示為連通「區塊」的聯集，這些區塊稱為分支。首先我們證明以下定理：
定理 4.39：設 F 為度量空間 S 的連通子集族，使得交集 T=\bigcap_{A\in F}A 非空。則聯集 U=\bigcup_{A\in F}A 是連通的。
證明：因為 T\ne\emptyset，在 T 中存在某點 t。設 f 為 U 上的雙值函數。我們將透過證明對所有 U 中的 x 皆有 f(x)=f(t)，來證明 f 在 U 上是常數。如果 x\in U，則 x\in A 對於 F 中的某個 A 成立。因為 A 是連通的，f 在 A 上是常數，而且因為 t\in A，f(x)=f(t)。
度量空間 S 中的每一點 x 皆屬於 S 的至少一個連通子集，即 \{x\}。根據定理 4.39，包含 x 的所有連通子集的聯集也是連通的。我們稱這個聯集為 S 的一個分支 (component)，並記為 U(x)。因此，U(x) 是 S 中包含 x 的最大連通子集。
定理 4.40：度量空間 S 的每一點皆屬於一個唯一確定的分支。換句話說，S 的分支構成了一個不相交集合的族，其聯集為 S。
證明：兩個不同的分支不能包含同一個點 x；否則 (根據定理 4.39) 它們的聯集將會是一個包含 x 的更大連通集。
4.18 弧連通性 (Arcwise connectedness)
本節描述一種稱為弧連通性的特殊性質，歐幾里得空間 R^{n} 中的某些 (但非全部) 連通集具有此性質。
定義 4.41：若對於 R^{n} 中集合 S 的任意兩點 a 和 b，存在連續函數 f:\rightarrow S 使得 f(0)=a 且 f(1)=b，則稱 S 是弧連通的 (arcwise connected)。
註：這樣的函數被稱為從 a 到 b 的路徑 (path)。如果 f(0)\ne f(1)，$$ 在 f 下的像被稱為連接 a 與 b 的弧 (arc)。因此，S 是弧連通的，若 S 中每一對相異點都能被一條位於 S 內的弧連接。弧連通集也稱為路徑連通的 (pathwise connected)。如果 f(t)=tb+(1-t)a 對於 0\le t\le1，則連接 a 與 b 的曲線被稱為線段 (line segment)。
範例：
- R^{n} 中的每一個凸集都是弧連通的，因為連接該集合中兩點的線段完全位於該集合內。特別是，每個 n-球都是弧連通的。
- 圖 4.4 中的集合（兩個相切的閉圓盤的聯集）是弧連通的。
- 圖 4.5 中的集合由曲線 y=sin(1/x) (0
下一個定理將弧連通性與連通性聯繫起來。
定理 4.42：R^{n} 中的每個弧連通集 S 都是連通的。
證明：設 g 在 S 上是雙值的。我們將證明 g 在 S 上是常數。在 S 中選擇一點 a。如果 x\in S，用一條位於 S 中的弧 \Gamma 將 a 連接至 x。因為 \Gamma 是連通的，g 在 \Gamma 上是常數，所以 g(x)=g(a)。但因為 x 是 S 的任意一點，這表明 g 在 S 上是常數，所以 S 是連通的。
我們已經注意到存在連通但不是弧連通的集合。然而，這兩個概念對於開集是等價的。
定理 4.43：R^{n} 中的每一個開連通集都是弧連通的。
註：路徑 f:\rightarrow S 稱為多邊形的 (polygonal)，如果 $$ 在 f 下的像是有限個線段的聯集。用於證明定理 4.43 的相同論證也表明，R^{n} 中的每一個開連通集都是多邊形連通的 (polygonally connected)。也就是說，該集合中的每對點都可以通過一條位於集合內的多邊形弧連接。
定理 4.44：R^{n} 中的每一個開集 S 都可以用唯一的方式表示為可數個不相交的開連通集的聯集。
證明：根據定理 4.40，S 的分支構成了一個不相交集合族，其聯集為 S。S 的每個分支 T 都是開集，因為如果 x\in T，那麼存在一個包含在 S 中的 n-球 B(x)。因為 B(x) 是連通的，所以 B(x)\subseteq T，因此 T 是開集。由林德勒夫定理 (定理 3.28)，S 的分支構成一個可數族，且由定理 4.40，這種分解成各分支的表示法是唯一的。
定義 4.45：R^{n} 中的集合被稱為區域 (region)，如果它是一個開連通集與其部分、無或全部邊界點的聯集。如果不包含任何邊界點，該區域稱為開區域 (open region)。如果包含了所有邊界點，該區域稱為閉區域 (closed region)。
註：有些作者使用域 (domain) 這個詞來代替開區域，特別是在複數平面中。
4.19 均勻連續 (Uniform continuity)
假設 f 定義在度量空間 (S,d_{S}) 上，並取值於另一個度量空間 (T,d_{T}) 中，且假設 f 在 S 的子集 A 上連續。那麼，給定 A 中的任意點 p 以及任何 \epsilon>0，存在一個 \delta>0（依賴於 p 和 \epsilon），使得如果 x\in A，當 d_{s}(x,p)<\delta 時，會有 d_{T}(f(x),f(p))<\epsilon。
一般來說，我們不能期望對於固定的 \epsilon，同一個 \delta 值能同樣適用於 A 中的每個點 p。然而，這種情況是可能發生的。當這種情況發生時，該函數被稱為在 A 上均勻連續 (uniformly continuous)。
定義 4.46：設 f:S\rightarrow T 為從一個度量空間 (S,d_{S}) 到另一個度量空間 (T,d_{T}) 的函數。則稱 f 在 S 的子集 A 上是均勻連續的，如果滿足以下條件：對於每個 \epsilon>0，存在一個 \delta>0 (僅依賴於 \epsilon)，使得如果 x\in A 且 p\in A，只要 d_{s}(x,p)<\delta，就有 d_{T}(f(x),f(p))<\epsilon (6)。
為了強調在 A 上的連續性與在 A 上的均勻連續性之間的差異，我們考慮以下實值函數的例子。
範例：1. 設 f(x)=1/x 對於 x>0 成立，並取 A=(0,1]。這個函數在 A 上連續，但在 A 上不均勻連續。為了證明這一點，令 \epsilon=10，並假設我們能找到一個 \delta (0<\delta<1) 來滿足定義的條件。取 x=\delta，p=\delta/11，我們得到 |x-p|<\delta 且 [(註：來源文本於此處截斷)]...
一個有啟發性的習題是去證明範例 2 中的函數在 R^{1} 上不是均勻連續的。
4.20 均勻連續與緊緻集 (Uniform continuity and compact sets)
在集合 A 上的均勻連續性蘊含在 A 上的連續性。(讀者應自行驗證這一點。) 如果 A 是緊緻的，其逆命題也成立。
定理 4.47 (海涅定理, Heine)：設 f:S\rightarrow T 為從度量空間 (S,d_{S}) 到 (T,d_{T}) 的函數。設 A 為 S 的緊緻子集，並假設 f 在 A 上連續。則 f 在 A 上必定是均勻連續的。
證明：給定 \epsilon>0。那麼 A 中的每個點 a 都有一個相關聯的球 B_{S}(a;r)（r 依賴於 a），使得只要 x\in B_{S}(a;r)\cap A，就有 d_{T}(f(x),f(a))<\frac{\epsilon}{2}。
考慮以半徑為 r/2 的球族 B_{S}(a;r/2)。這些球覆蓋了 A，且因為 A 是緊緻的，所以其中有限個球也能覆蓋 A，假設為 A\subseteq\bigcup_{k=1}^{m}B_{S}(a_{k};\frac{r_{k}}{2})。
在半徑為兩倍的任何球 B(a_{k};r_{k}) 中，只要 x\in B_{S}(a_{k};r_{k})\cap A，我們就有 d_{T}(f(x),f(a_{k}))<\frac{\epsilon}{2}。
[(註：來源文本於此處省略了部分證明細節)]... d_{T}(f(x),f(p))\le d_{T}(f(x),f(a_{k}))+d_{T}(f(a_{k}),f(p))<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon。這完成了證明。
4.21 壓縮映射的不動點定理 (Fixed-point theorem for contractions)
設 f:S\rightarrow S 為從度量空間 (S, d) 映射回自身的函數。若 S 中的點 p 滿足 f(p)=p，則稱 p 為 f 的不動點 (fixed point)。如果存在一個正數 \alpha<1 (稱為壓縮常數 contraction constant)，使得對 S 中所有的 x, y 都有 d(f(x),f(y))\le\alpha~d(x,y) (7)，則稱函數 f 是 S 的一個壓縮映射 (contraction)。
顯然，任何度量空間的壓縮映射在 S 上都是均勻連續的。
定理 4.48 (不動點定理)：完備度量空間 S 上的壓縮映射 f 擁有唯一的一個不動點 p。
證明：如果 p 和 p^{\prime} 是兩個不動點，(7) 暗示 d(p,p^{\prime})\le\alpha d(p,p^{\prime})，所以 d(p,p^{\prime})=0 且 p=p^{\prime}。因此 f 最多只有一個不動點。
為了證明它有一個不動點，取 S 中的任意點 x 並考慮其迭代數列：x, f(x), f(f(x)), \dots。也就是說，以歸納方式定義數列 \{p_{n}\} 如下：P_{0}=x，p_{n+1}=f(p_{n})，其中 n=0,1,2,...。
我們將證明 \{p_{n}\} 收斂至 f 的不動點。首先我們證明 \{p_{n}\} 是一個柯西數列。由 (7) 我們有 d(p_{n+1},p_{n})=d(f(p_{n}),f(p_{n-1}))\le\alpha d(p_{n},p_{n-1})，因此，透過歸納法，我們發現 d(p_{n+1},p_{n})\le\alpha^{n}d(p_{1},p_{0})=c\alpha^{n}，其中 c=d(p_{1},p_{0})。
當 m>n 時，使用三角不等式我們發現：d(p_{m},p_{n})\le\sum_{k=n}^{m-1}d(p_{k+1},p_{k})\le c\sum_{k=n}^{m-1}\alpha^{k}=c\frac{\alpha^{n}-\alpha^{m}}{1-\alpha}<\frac{c}{1-\alpha}\alpha^{n}。
[(註：來源文本於此處省略了其餘證明)]
4.22 實值函數的不連續性 (Discontinuities of real-valued functions)
本章的其餘部分致力於探討定義在 R 的子區間上的實值函數的特殊性質。
設 f 定義在區間 (a, b) 上。假設 c\in[a,b)。如果當 x 透過大於 c 的值趨近於 c 時，f(x)\rightarrow A，我們稱 A 為 f 在 c 點的右極限 (righthand limit)，並記為 lim_{x\rightarrow c+}f(x)=A。
右極限 A 也記為 f(c+)。用 \epsilon, \delta 的術語來說，這表示對於每個 \epsilon>0，存在一個 \delta>0 使得只要 c
注意，f 不一定需要在點 c 本身有定義。如果 f 在 c 有定義且 f(c+)=f(c)，我們稱 f 在 c 點右連續 (continuous from the right)。
同理，若 c\in(a,b]，可以類似地定義左極限與在 c 點左連續。
如果 a
如果 f 在 c 點不連續，我們稱 c 為 f 的不連續點 (discontinuity)。在這種情況下，必定滿足以下條件之一：
a) f(c+) 或 f(c-) 其中一個不存在。
b) f(c+) 與 f(c-) 皆存在但值不相等。
c) f(c+) 與 f(c-) 皆存在且 f(c+)=f(c-)\ne f(c)。
在情況 (c) 中，點 c 稱為可去不連續點 (removable discontinuity)，因為我們可以透過將 f 在 c 點的值重新定義為 f(c+)=f(c-) 來消除這個不連續性。在情況 (a) 與 (b) 中，我們稱 c 為不可去不連續點 (irremovable discontinuity)，因為這個不連續性無法透過重新定義 f 在 c 點的值來消除。
定義 4.49：設 f 定義在閉區間 [a,b] 上。如果 f(c+) 和 f(c-) 在某個內部點 c 皆存在，那麼：
a) f(c)-f(c-) 稱為 f 在 c 點的左跳躍值 (lefthand jump)。
b) f(c+)-f(c) 稱為 f 在 c 點的右跳躍值 (righthand jump)。
c) f(c+)-f(c-) 稱為 f 在 c 點的跳躍值 (jump)。
如果這三個數字中任何一個不等於 0，那麼 c 稱為 f 的跳躍不連續點 (jump discontinuity)。
對於端點 a 和 b，只考慮單側的跳躍，即在 a 點的右跳躍值 f(a+)-f(a)，與在 b 點的左跳躍值 f(b)-f(b-)。
範例：
- 定義為 f(x)=x/|x| (若 x\ne0)，f(0)=A 的函數 f，在 0 處有一個跳躍不連續點，無論 A 的值為何。此處 f(0+)=1 且 f(0-)=-1。
- 定義為 f(x)=1 (若 x\ne0)，f(0)=0 的函數 f，在 0 處有一個可去的跳躍不連續點。在此情況下 f(0+)=f(0-)=1。
- 定義為 f(x)=1/x (若 x\ne0)，f(0)=A 的函數 f，在 0 處有一個不可去不連續點。在此情況下 f(0+) 和 f(0-) 都不存在。
- 定義為 f(x)=sin(1/x) (若 x\ne0)，f(0)=A 的函數 f，在 0 處有一個不可去不連續點，因為 f(0+) 和 f(0-) 都不存在。
- 定義為 f(x)=x~sin(1/x) (若 x\ne0)，f(0)=1 的函數 f，在 0 處有一個可去的跳躍不連續點，因為 f(0+)=f(0-)=0。
4.23 單調函數 (Monotonic functions)
定義 4.50：設 f 為定義在 R 的子集 S 上的實值函數。如果對於 S 中的每一對點 x 和 y，x
如果 x
如果 f 是一個遞增函數，那麼 -f 就是一個遞減函數。由於這個簡單的事實，在許多涉及單調函數的情況下，只需考慮遞增函數的情況就足夠了。
我們將證明，在緊緻區間上單調的函數總是具有有限的左右極限。因此，它們的不連續點（如果有的話）必定是跳躍不連續點。
定理 4.51：如果 f 在 [a, b] 上是遞增的，那麼對於 (a, b) 中的每個 c，f(c+) 和 f(c-) 皆存在，且我們有 f(c-)\le f(c)\le f(c+)。在端點處我們有 f(a)\le f(a+) 以及 f(b-)\le f(b)。
證明：設 A=\{f(x):a
為此我們必須證明，對於每個 \epsilon>0，存在一個 \delta>0 使得 c-\delta
但因為 \alpha=sup~A，A 中存在一個元素 f(x_{1}) 使得 \alpha-\epsilon
當然，對於遞減函數也有一個對應的定理，讀者可以自行表述。
定理 4.52：設 f 在 R 的集合 S 上嚴格遞增。則反函數 f^{-1} 存在且在 f(S) 上也是嚴格遞增的。
證明：因為 f 是嚴格遞增的，它在 S 上是一對一的，所以 f^{-1} 存在。為了看出 f^{-1} 是嚴格遞增的，令 y_{1}
定理 4.52 與定理 4.29 一起給出了：
定理 4.53：設 f 在緊緻區間 [a, b] 上是連續且嚴格遞增的。則 f^{-1} 在區間 [f(a),f(b)] 上也是連續且嚴格遞增的。
註：定理 4.53 告訴我們，一個連續的嚴格遞增函數是一個拓樸映射。反之，從區間 [a, b] 到區間 [c, d] 的每個拓樸映射都必定是一個嚴格單調函數。驗證這個事實對讀者來說將是一個有啟發性的習題（習題 4.62）。
第四章 習題 (Exercises)
數列的極限 (Limits of sequences)
4.1 證明關於複數平面 C 中數列的以下各敘述：
a) 若 |z| < 1，則 z^n \to 0；若 |z| > 1，則數列 \{z^n\} 發散。
b) 若 z_n \to 0 且 \{c_n\} 是有界的，則 \{c_n z_n\} \to 0。
c) 對於任意複數 z，z^n/n! \to 0。
d) 若 a_n = \sqrt{n^2+2} - n，則 a_n \to 0。
4.2 若對於所有 n \ge 1 皆有 a_{n+2} = (a_{n+1} + a_n)/2，證明 a_n \to (a_1 + 2a_2)/3。
提示：a_{n+2} - a_{n+1} = -\frac{1}{2}(a_{n+1} - a_n)。
4.3 若 0 < x_1 < 1 且對所有 n \ge 1 皆有 x_{n+1} = 1 - \sqrt{1 - x_n}，證明 \{x_n\} 是一個極限為 0 的遞減數列。並證明 x_{n+1}/x_n \to 1/2。
4.4 兩個正整數數列 \{a_n\} 與 \{b_n\} 由以下遞迴關係定義：取 a_1 = b_1 = 1，並在以下方程式中比較有理部與無理部：
a_n + b_n\sqrt{2} = (a_{n-1} + b_{n-1}\sqrt{2})^2，當 n \ge 2。
證明對於 n \ge 2，有 a_n^2 - 2b_n^2 = 1。由此推導出 a_n/b_n 透過大於 \sqrt{2} 的值收斂至 \sqrt{2}，且 2b_n/a_n 透過小於 \sqrt{2} 的值收斂至 \sqrt{2}。
4.5 實數數列 \{x_n\} 滿足對於 n \ge 1 有 7x_{n+1} = x_n^3 + 6。若 x_1 = 1/2，證明該數列遞增並求其極限。若 x_1 = 3/2 或 x_1 = 5/2，會發生什麼情況？
4.6 若對於所有 n \ge 1，有 |a_n| < 2 且 |a_{n+2} - a_{n+1}| \le \frac{1}{8}|a_{n+1}^2 - a_n^2|，證明 \{a_n\} 收斂。
4.7 在度量空間 (S, d) 中，假設 x_n \to x 且 y_n \to y。證明 d(x_n, y_n) \to d(x, y)。
4.8 證明在緊緻度量空間 (S, d) 中，S 內的每個數列都有一個在 S 內收斂的子數列。這項性質也意味著 S 是緊緻的，但你不需要證明這一點。
4.9 設 A 為度量空間 S 的子集。若 A 是完備的，證明 A 是閉集。證明若 S 是完備的，其逆命題也成立。
函數的極限 (Limits of functions)
註：在習題 4.10 至 4.28 中，所有函數皆假設為實值函數。
4.10 設 f 定義在開區間 (a, b) 上，並假設 x \in (a, b)。考慮以下兩個敘述：
a) \lim_{h \to 0} |f(x+h) - f(x)| = 0 ；
b) \lim_{h \to 0} |f(x+h) - f(x-h)| = 0。
證明 (a) 總是蘊含 (b)，並給出一個 (b) 成立但 (a) 不成立的例子。
4.11 設 f 定義在 R^2 上。如果雙重極限 \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L 存在，且一維極限 \lim_{x \to a} f(x,y) 與 \lim_{y \to b} f(x,y) 皆存在，證明
\lim_{x \to a} [\lim_{y \to b} f(x,y)] = \lim_{y \to b} [\lim_{x \to a} f(x,y)] = L。
現在考慮以下定義在 R^2 上的函數 f：
a) f(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} ，若 (x,y) \neq (0,0)，f(0,0) = 0。
b) f(x,y) = \frac{(xy)^2}{(xy)^2 + (x-y)^2} ，若 (x,y) \neq (0,0)，f(0,0) = 0。
c) f(x,y) = \frac{1}{x} \sin(xy) ，若 x \neq 0，f(0,y) = y。
d) f(x,y) = (x+y)\sin(1/x)\sin(1/y) ，若 x \neq 0 且 y \neq 0；若 x=0 或 y=0 則 f(x,y) = 0。
e) f(x,y) = \frac{\sin x - \sin y}{\tan x - \tan y} ，若 \tan x \neq \tan y；若 \tan x = \tan y 則 f(x,y) = \cos^3 x。
在上述每個例子中，判斷以下極限是否存在，若存在則計算其值：
\lim_{x \to 0} [\lim_{y \to 0} f(x,y)] ; \lim_{y \to 0} [\lim_{x \to 0} f(x,y)] ; \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)。
4.12 若 x \in，證明以下極限存在：
\lim_{m \to \infty} [\lim_{n \to \infty} \cos^{2n}(m! \pi x)]，
且根據 x 為無理數或有理數，其值分別為 0 或 1。
實值函數的連續性 (Continuity of real-valued functions)
4.13 設 f 在 [a, b] 上連續，且當 x 為有理數時 f(x)=0。證明對於 [a, b] 中的每個 x 皆有 f(x)=0。
4.14 設 f 在 R^n 中的點 a = (a_1, a_2, \dots, a_n) 處連續。保持 a_2, a_3, \dots, a_n 固定，並透過方程式 g(x) = f(x, a_2, \dots, a_n) 定義一個單實變數的新函數 g。證明 g 在點 x = a_1 處連續。
4.15 舉出一個例子說明習題 4.14 中敘述的逆命題在一般情況下並不成立。
4.16 設 f, g, h 定義在 上如下：
當 x 為無理數時，f(x) = g(x) = h(x) = 0；
當 x 為有理數時，f(x) = 1 且 g(x) = x；
如果 x 是有理數 m/n（最簡分數形式），則 h(x) = 1/n；h(0) = 1。
證明 f 在 上的任何地方都不連續，g 僅在 x=0 處連續，而 h 僅在 中的無理數點連續。
4.17 對於 中的每個 x，若 x 為有理數則 f(x) = x，若 x 為無理數則 f(x) = 1-x。證明：
a) 對於 中的所有 x，f(f(x)) = x。
b) 對於 中的所有 x，f(x) + f(1-x) = 1。
c) f 僅在點 x = 1/2 處連續。
d) f 會取遍所有介於 0 和 1 之間的值。
e) 對於 中的所有 x 與 y，f(x+y) - f(x) - f(y) 皆為有理數。
4.18 設 f 定義在 R 上，並假設 R 中至少存在一點 x_0 使得 f 於該點連續。同時假設對於 R 中的所有 x 與 y，f 滿足方程式 f(x+y) = f(x) + f(y)。證明存在一個常數 a 使得對所有 x 皆有 f(x) = ax。
4.19 設 f 在 [a, b] 上連續，並定義 g 如下：g(a) = f(a)，並且當 a < x \le b 時，令 g(x) 為 f 在子區間 [a, x] 中的最大值。證明 g 在 [a, b] 上連續。
4.20 設 f_1, \dots, f_m 是定義在 R^n 中集合 S 上的 m 個實值函數。假設每個 f_k 皆在 S 中的點 a 處連續。定義一個新函數 f 如下：對於 S 中的每個 x，f(x) 是 f_1(x), \dots, f_m(x) m 個數字中的最大值。討論 f 在 a 點的連續性。
4.21 設 f: S \to R 在 R^n 中的開集 S 上連續，假設 p \in S，且假設 f(p) > 0。證明存在一個 n-球 B(p; r) 使得對該球內的每個 x 皆有 f(x) > 0。
4.22 設 f 在 R 中的閉集 S 上定義且連續。令 A = \{x : x \in S \text{ 且 } f(x) = 0\}。證明 A 是 R 中的閉子集。
4.23 給定函數 f: R \to R，在 R^2 中定義兩個集合 A 與 B 如下：
A = \{(x, y) : y < f(x)\}， B = \{(x, y) : y > f(x)\}。
證明 f 在 R 上連續，若且唯若 A 和 B 都是 R^2 中的開子集。
4.24 設 f 定義在 R 中的緊緻區間 S 上且有界。若 T \subseteq S，數字 \Omega_f(T) = \sup\{f(x) - f(y) : x \in T, y \in T\} 稱為 f 在 T 上的振幅 (oscillation)。若 x \in S，f 在 x 處的振幅定義為 \omega_f(x) = \lim_{h \to 0+} \Omega_f(B(x; h) \cap S)。證明這個極限總是存在，而且 \omega_f(x) = 0 若且唯若 f 在 x 處連續。
4.25 設 f 在緊緻區間 [a, b] 上連續。假設 f 在 x_1 處有局部極大值，在 x_2 處也有局部極大值。證明在 x_1 與 x_2 之間必有第三點，在該點 f 有局部極小值。
4.26 設 f 為一個定義在 上的實值連續函數，且具有以下性質：對於每個實數 y，要麼在 中不存在滿足 f(x)=y 的 x，要麼恰好存在一個這樣的 x。證明 f 在 上嚴格單調。
4.27 設 f 為定義在 上具有以下性質的函數：對於每個實數 y，要麼在 中不存在滿足 f(x)=y 的 x，要麼恰好存在兩個在 中的 x 滿足 f(x)=y。
a) 證明 f 不可能在 上連續。
b) 構造一個具有上述性質的函數 f。
c) 證明任何具備此性質的函數在 上都有無限多個不連續點。
4.28 在每一種情況中，舉出一個在 S 上連續且滿足 f(S) = T 的函數 f 的例子，或者解釋為什麼不可能存在這樣的 f：
a) S = (0, 1), T = (0, 1].
b) S = (0, 1), T = (0, 1) \cup (1, 2).
c) S = R^1, T = 有理數的集合。
d) S = \cup, T = \{0, 1\}.
e) S = \times, T = R^2.
f) S = \times, T = (0, 1) \times (0, 1).
g) S = (0, 1) \times (0, 1), T = R^2.
度量空間中的連續性 (Continuity in metric spaces)
在習題 4.29 至 4.33 中，我們假設 f: S \to T 是從度量空間 (S, d_S) 映射到另一個度量空間 (T, d_T) 的函數。
4.29 證明 f 在 S 上連續，若且唯若對於 T 的每個子集 B 都有 f^{-1}(\text{int } B) \subseteq \text{int } f^{-1}(B)。
4.30 證明 f 在 S 上連續，若且唯若對於 S 的每個子集 A 都有 f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}。
4.31 證明 f 在 S 上連續，若且唯若 f 在 S 的每一個緊緻子集上都連續。提示：如果 x_n \to p 於 S 中，集合 \{p, x_1, x_2, \dots\} 是緊緻的。
4.32 若對於 S 的每個閉子集 A，其像 f(A) 都在 T 中為閉集，則稱函數 f: S \to T 為 S 上的閉映射 (closed mapping)。證明 f 在 S 上既是連續又是閉映射，若且唯若對於 S 的每個子集 A 皆有 f(\overline{A}) = \overline{f(A)}。
4.33 給出一個例子，其中 f 為連續函數且 \{x_n\} 為某度量空間 S 中的柯西數列，但 \{f(x_n)\} 在 T 中卻不是柯西數列。
4.34 證明 R^1 中的區間 (-1, 1) 同胚 (homeomorphic) 於 R^1。這表明有界性與完備性皆非拓樸性質。
4.35 9.7 節包含了一個定義在 上的連續函數 f 的例子，其滿足 f() = \times。證明沒有這樣的 f 可以在 上是一對一的。
連通性 (Connectedness)
4.36 證明度量空間 S 是非連通的，若且唯若在 S 中存在一個非空子集 A（A \neq S），且 A 在 S 中既是開集又是閉集。
4.37 證明度量空間 S 是連通的，若且唯若 S 中唯一同時是開集和閉集的子集只有空集與 S 本身。
4.38 證明 R 中唯一的連通子集只有 (a) 空集，(b) 單點集合，以及 (c) 區間（開區間、閉區間、半開區間或無限區間）。
4.39 設 X 為度量空間 S 的連通子集。設 Y 為 S 的子集且滿足 X \subseteq Y \subseteq \overline{X}（其中 \overline{X} 為 X 的閉包）。證明 Y 也是連通的。特別是，這表示 \overline{X} 是連通的。
4.40 若 x 為度量空間 S 中的一點，令 U(x) 為 S 中包含 x 的分支 (component)。證明 U(x) 在 S 中是閉集。
4.41 設 S 為 R 中的開子集。根據定理 3.11，S 是 R 中可數個不相交開區間的聯集。證明這些開區間的每一個都是度量子空間 S 的一個分支。請解釋為何這不與習題 4.40 矛盾。
4.42 給定 R^m 中的緊緻集合 S，具備以下性質：對 S 中的每一對點 a 與 b，以及每一個 \epsilon > 0，皆存在 S 內的有限點集 \{x_0, x_1, \dots, x_n\} 使得 x_0 = a、x_n = b，並且對於 k=1, 2, \dots, n 皆有 ||x_k - x_{k-1}|| < \epsilon。證明或反證：S 是連通的。
4.43 證明度量空間 S 是連通的，若且唯若 S 的每個非空真子集都具有非空的邊界。
4.44 證明 R^n 中的每個凸集 (convex subset) 都是連通的。
4.45 給定函數 f: R^n \to R^m，在 R^n 上是一對一且連續的。如果 A 在 R^n 中是開集且非連通的，證明 f(A) 在 f(R^n) 中也是開集且非連通的。
4.46 設 A = \{(x, y) : 0 < x \le 1, y = \sin(1/x)\}，B = \{(x, y) : y = 0, -1 \le x \le 0\}，並令 S = A \cup B。證明 S 是連通的但不是弧連通的 (arcwise connected)。（參見 4.18 節的圖 4.5）
4.47 設 F = \{F_1, F_2, \dots\} 是 R^n 中可數個連通緊緻集合的族，且對於每個 k \ge 1 都有 F_{k+1} \subseteq F_k。證明其交集 \bigcap_{k=1}^\infty F_k 是連通且封閉的。
4.48 設 S 為 R^n 中的開連通集。令 T 為 R^n - S 的一個分支。證明 R^n - T 是連通的。
4.49 設 (S, d) 為非有界的連通度量空間。證明對於 S 中的每個 a 以及每個 r > 0，集合 \{x : d(x, a) = r\} 皆為非空。
均勻連續 (Uniform continuity)
4.50 證明在 S 上均勻連續的函數在 S 上也是連續的。
4.51 若 f(x) = x^2 且 x 在 R 中，證明 f 在 R 上不是均勻連續的。
4.52 假設 f 在 R^n 的有界集 S 上均勻連續。證明 f 在 S 上必定是有界的。
4.53 設 f 為定義在 R^n 中集合 S 上的函數，並假設 f(S) \subseteq R^m。設 g 定義在 f(S) 上且值域在 R^k 中，並令 h 表示由 h(x) = g[f(x)] (當 x \in S 時) 定義的合成函數。如果 f 在 S 上均勻連續，且 g 在 f(S) 上均勻連續，證明 h 在 S 上均勻連續。
4.54 假設 f: S \to T 在 S 上均勻連續，其中 S 與 T 為度量空間。如果 \{x_n\} 是 S 中的任意柯西數列，證明 \{f(x_n)\} 是 T 中的柯西數列。（對比習題 4.33）
4.55 設 f: S \to T 是從度量空間 S 到另一個度量空間 T 的函數。假設 f 在 S 的子集 A 上均勻連續，且 T 是完備的。證明 f 有一個唯一延伸到 \overline{A} 的函數，且該延伸在 \overline{A} 上均勻連續。
4.56 在度量空間 (S, d) 中，設 A 為 S 的非空子集。對於 S 中的每個 x，透過方程式 f_A(x) = \inf\{d(x, y) : y \in A\} 定義一個函數 f_A: S \to R。數字 f_A(x) 稱為從 x 到 A 的距離。
a) 證明 f_A 在 S 上均勻連續。
b) 證明 \overline{A} = \{x : x \in S \text{ 且 } f_A(x) = 0\}。
4.57 在度量空間 (S, d) 中，設 A 與 B 為 S 中不相交的閉子集。證明存在 S 中的不相交開子集 U 與 V 使得 A \subseteq U 且 B \subseteq V。提示：令 g(x) = f_A(x) - f_B(x)（使用習題 4.56 的符號），並考慮 g^{-1}(-\infty, 0) 與 g^{-1}(0, +\infty)。
不連續性 (Discontinuities)
4.58 找出並分類由以下方程式定義在 R^1 上的函數 f 的不連續點：
a) f(x) = (\sin x)/x 若 x \neq 0，f(0) = 0。
b) f(x) = e^{1/x} 若 x \neq 0，f(0) = 0。
c) f(x) = e^{1/x} + \sin(1/x) 若 x \neq 0，f(0) = 0。
d) f(x) = 1/(1 - e^{1/x}) 若 x \neq 0，f(0) = 0。
4.59 找出在 R^2 中，習題 4.11 裡的每個函數不連續的點。
單調函數 (Monotonic functions)
4.60 設 f 定義在開區間 (a, b) 上，並假設對於 (a, b) 的每個內部點 x，都存在一個 1-球 B(x)，在其中 f 是遞增的。證明 f 在整個 (a, b) 上是一個遞增函數。
4.61 設 f 在緊緻區間 [a, b] 上連續，並假設 f 在任何內部點都沒有局部極大值或局部極小值。（參見習題 4.25 後的註解）。證明 f 必定在 [a, b] 上是單調的。
4.62 如果 f 在 [a, b] 上是一對一且連續的，證明 f 必定在 [a, b] 上嚴格單調。也就是說，證明將 [a, b] 映射到 [c, d] 的每一個拓樸映射必定是嚴格單調函數。
4.63 設 f 是定義在 [a, b] 上的遞增函數，並設 x_1, \dots, x_n 為內部的 n 個點，使得 a < x_1 < x_2 < \dots < x_n < b。
a) 證明 \sum_{k=1}^n [f(x_k+) - f(x_k-)] \le f(b-) - f(a+)。
b) 由 (a) 推導出 f 的不連續點集合是可數的。
c) 證明 f 在 [a, b] 的每個開子區間內都有連續點。
4.64 舉出一個定義在 R 中的集合 S 上且嚴格遞增的函數 f 的例子，使得 f^{-1} 在 f(S) 上不連續。
4.65 設 f 在 R 的子集 S 上嚴格遞增。假設其像 f(S) 具有以下性質之一：(a) f(S) 是開集；(b) f(S) 是連通的；(c) f(S) 是閉集。證明 f 必定在 S 上連續。
度量空間與不動點 (Metric spaces and fixed points)
4.66 設 B(S) 表示所有定義在非空集合 S 上且有界的實值函數之集合。若 f \in B(S)，令 ||f|| = \sup_{x \in S} |f(x)|。數字 ||f|| 稱為 f 的「sup 範數」。
a) 證明公式 d(f, g) = ||f - g|| 定義了 B(S) 上的一個度量 d。
b) 證明度量空間 (B(S), d) 是完備的。提示：若 \{f_n\} 是 B(S) 中的柯西數列，證明對於 S 中的每個 x，\{f_n(x)\} 是實數的柯西數列。
4.67 承習題 4.66，令 C(S) 表示 B(S) 的子集，由所有在 S 上連續且有界的函數組成，此處 S 改為度量空間。
a) 證明 C(S) 是 B(S) 的閉子集。
b) 證明度量子空間 C(S) 是完備的。
4.68 請參考不動點定理（定理 4.48）的證明符號。
a) 證明 d(p, p_n) \le d(x, f(x))\alpha^n / (1-\alpha)。
這個不等式在數值運算中很有用，它提供了到不動點 p 距離的估計。(b) 中給出一個例子。
b) 取 f(x) = \frac{1}{2}(x + 2/x)，S = [1, +\infty)。證明 f 是 S 上的一個壓縮映射，其壓縮常數為 \alpha = 1/2，不動點為 p = \sqrt{2}。從 x = p_0 = 1 開始構造數列 \{p_n\}，並證明 |p_n - \sqrt{2}| \le 2^{-n}。
4.69 用反例證明，如果滿足以下任一情況，壓縮映射的不動點定理可能不成立：(a) 基礎度量空間不完備，或者 (b) 壓縮常數 \alpha \ge 1。
4.70 設 f: S \to S 是從完備度量空間 (S, d) 映射到自身的函數。假設存在一個收斂至 0 的實數列 \{\alpha_n\}，使得對所有 n \ge 1 及 S 中所有的 x, y，皆有 d(f^n(x), f^n(y)) \le \alpha_n d(x, y)，其中 f^n 是 f 的第 n 次迭代（即 f^1(x) = f(x)，f^{n+1}(x) = f(f^n(x))，當 n \ge 1）。
證明 f 有一個唯一的不動點。提示：對某個適當的 m，將不動點定理應用於 f^m。
4.71 設 f: S \to S 是從度量空間 (S, d) 映射到自身且滿足以下條件的函數：只要 x \neq y，就有 d(f(x), f(y)) < d(x, y)。
a) 證明 f 最多只有一個不動點，並給出一個沒有不動點的這類 f 的例子。
b) 如果 S 是緊緻的，證明 f 恰好有一個不動點。提示：證明 g(x) = d(x, f(x)) 在 S 上達到最小值。
c) 給出一個例子，其中 S 是緊緻的，但 f 不是一個壓縮映射 (contraction)。
4.72 假設 f 滿足習題 4.71 中的條件。若 x \in S，令 p_0 = x，p_{n+1} = f(p_n)，並令 c_n = d(p_n, p_{n+1})，對於 n \ge 0。
a) 證明 \{c_n\} 是一個遞減數列，並令 c = \lim c_n。
b) 假設存在一個子數列 \{p_{k(n)}\} 收斂至 S 中的一點 q。證明 c = d(q, f(q)) = d(f(q), f[f(q)])。
由此推導出 q 是 f 的一個不動點，並且 p_n \to q。
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