第三章點集拓樸學的元素 (Elements of Point Set Topology)

3.1 簡介 (Introduction)

前一章很大一部分處理了「抽象」集合，即任意對象的集合。在本章中，我們將集合特化為實數集、複數集，或更一般地，高維空間中的集合。在這一研究領域中，使用幾何術語既方便又有幫助。因此，我們討論實數線上的點集、平面上的點集，或某些更高維空間中的點集。本書後面我們將學習定義在點集上的函數，因此在開始研究函數之前，最好先熟悉某些基本類型的點集，例如開集、閉集和緊緻集。對這些集合的研究被稱為點集拓樸學 (point set topology)。

3.2 歐幾里得空間 $R^n$ (Euclidean space $R^n$ )

二維空間中的一點是一對有序的實數 $(x_1, x_2)$ 。同樣地，三維空間中的一點是實數的有序三元組 $(x_1, x_2, x_3)$ 。考慮一個由 n 個實數組成的有序 n 元組 $(x_1, x_2, ..., x_n)$ 並將其稱為 n 維空間中的一點，同樣十分容易。

定義 3.1：設 $n > 0$ 為一整數。一個由 n 個實數組成的有序集合 $(x_1, x_2, ..., x_n)$ 稱為一個 n 維點 (n-dimensional point)，或具有 n 個分量的向量 (vector)。點或向量通常以單個粗體字母表示，例如 $x = (x_1, x_2, ..., x_n)$ 或 $y = (y_1, y_2, ..., y_n)$ 。數字 $x_k$ 稱為點 x 的第 k 個坐標 (coordinate)，或向量 x 的第 k 個分量 (component)。所有 n 維點的集合稱為 n 維歐幾里得空間或簡稱 n 空間，記為 $R^n$ 。

讀者可能會想，探討維度大於三的空間是否有任何好處。實際上，n 空間的語言讓許多複雜的情況更容易理解。讀者可能對三維向量分析已經足夠熟悉，能體會到將具有三個自由度的系統運動方程式寫成單一向量方程式，比起寫成三個純量方程式更有優勢。如果系統具有 n 個自由度，這項優勢同樣存在。

研究 n 空間的另一個好處是，我們能一次處理 1 維、2 維、3 維等空間中與空間維度無關的共同性質。更高維度的空間在相對論、統計力學和量子力學等領域中自然出現。事實上，無限維空間在量子力學中也相當常見。

n 維點的代數運算定義如下：

定義 3.2：設 $x = (x_1, ..., x_n)$ 和 $y = (y_1, ..., y_n)$ 位於 $R^n$ 中。我們定義：
a) 相等： $x = y$ 若且唯若 $x_1 = y_1, ..., x_n = y_n$ 。
b) 總和： $x + y = (x_1 + y_1, ..., x_n + y_n)$ 。
c) 純量乘法： $ax = (ax_1, ..., ax_n)$ (a 為實數)。
d) 差： $x - y = x + (-1)y$ 。
e) 零向量或原點： $0 = (0, ..., 0)$ 。
f) 內積 (或點積)： $x \cdot y = \sum_{k=1}^n x_k y_k$ 。
g) 範數 (Norm) 或長度： $||x|| = (x \cdot x)^{1/2} = (\sum_{k=1}^n x_k^2)^{1/2}$ 。
範數 $||x - y||$ 稱為 x 與 y 之間的距離。

註：在線性代數的術語中， $R^n$ 是一個線性空間的例子。

定理 3.3：設 x 和 y 表示 $R^n$ 中的點。則有：
a) $||x|| \ge 0$ ，且 $||x|| = 0$ 若且唯若 $x = 0$ 。
b) 對每個實數 a， $||ax|| = |a| ||x||$ 。
c) $||x - y|| = ||y - x||$ 。
d) $|x \cdot y| \le ||x|| ||y||$ (柯西-施瓦茨不等式 Cauchy-Schwarz inequality)。
e) $||x + y|| \le ||x|| + ||y||$ (三角不等式 triangle inequality)。
證明：敘述 (a)、(b) 和 (c) 可由定義直接得出，而柯西-施瓦茨不等式已在定理 1.23 中證明。敘述 (e) 可由 (d) 推導得出，因為
$||x + y||^2 = \sum_{k=1}^n (x_k + y_k)^2 = \sum_{k=1}^n (x_k^2 + 2x_k y_k + y_k^2) = ||x||^2 + 2x \cdot y + ||y||^2 \le ||x||^2 + 2||x|| ||y|| + ||y||^2 = (||x|| + ||y||)^2$ 。

註：有時三角不等式會寫成以下形式：
$||x - z|| \le ||x - y|| + ||y - z||$ 。
這是透過將 (e) 中的 x 替換為 $x - y$ ，y 替換為 $y - z$ 而得出的。我們也有
$|||x|| - ||y||| \le ||x - y||$ 。

定義 3.4： $R^n$ 中的單位坐標向量 (unit coordinate vector) $u_k$ 是一個第 k 個分量為 1 且其餘分量皆為 0 的向量。因此， $u_1 = (1, 0, ..., 0)$ , $u_2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., u_n = (0, 0, ..., 0, 1)$ 。如果 $x = (x_1, ..., x_n)$ ，則 $x = x_1 u_1 + \cdot\cdot\cdot + x_n u_n$ ，且 $x_1 = x \cdot u_1$ , $x_2 = x \cdot u_2, ..., x_n = x \cdot u_n$ 。向量 $u_1, ..., u_n$ 也被稱為基底向量 (basis vectors)。

3.3 $R^n$ 中的開球與開集 (Open balls and open sets in $R^n$ )

設 a 為 $R^n$ 中的給定點，r 為給定的正數。 $R^n$ 中滿足 $||x - a|| < r$ 的所有點 x 的集合，稱為以 a 為中心、半徑為 r 的開 n-球 (open n-ball)。我們將此集合記為 $B(a)$ 或 $B(a;r)$ 。

球 $B(a;r)$ 包含所有到 a 的距離小於 r 的點。在 $R^1$ 中，這是一個以 a 為中心的開區間；在 $R^2$ 中，這是一個圓盤；在 $R^3$ 中，這是一個以 a 為中心、半徑為 r 的實心球體。

3.5 內部點的定義 (Definition of an interior point)：設 S 為 $R^n$ 的子集，並假設 $a \in S$ 。如果存在一個以 a 為中心的開 n-球，其所有點都屬於 S，則 a 稱為 S 的內部點。換句話說，S 的每個內部點 a 都可以被一個 n-球 $B(a) \subseteq S$ 所包圍。所有內部點的集合稱為 S 的內部 (interior)，記為 int S。包含以 a 為中心之球的任何集合，有時稱為 a 的鄰域 (neighborhood)。

3.6 開集的定義 (Definition of an open set)：如果 $R^n$ 中的集合 S 其所有點都是內部點，則 S 稱為開集。
註：一個集合 S 是開集，若且唯若 $S = \text{int } S$ (見習題 3.9)。

範例：
在 $R^1$ 中，最簡單的非空開集類型是開區間。兩個或多個開區間的聯集也是開集。閉區間 $[a, b]$ 不是開集，因為端點 a 和 b 不是該區間的內部點。
平面上開集的範例有：圓盤的內部；兩個一維開區間的笛卡兒積。讀者應注意， $R^1$ 中的開區間被視為平面的子集時，就不再是開集了。事實上， $R^1$ 的任何子集（除了空集之外）在 $R^2$ 中都不是開集，因為這樣的集合無法包含任何 2-球。

定理 3.7：任意開集族的聯集是一個開集。
證明：設 F 是一個開集族，並設 S 表示它們的聯集， $S = \bigcup_{A \in F} A$ 。假設 $x \in S$ 。則 x 必定屬於 F 中的至少一個集合，假設 $x \in A$ 。因為 A 是開集，所以存在一個開 n-球 $B(x) \subseteq A$ 。但 $A \subseteq S$ ，所以 $B(x) \subseteq S$ ，因此 x 是 S 的內部點。因為 S 的每個點都是內部點，所以 S 是開集。

定理 3.8：有限個開集的交集是開集。
證明：設 $S = \bigcap_{k=1}^m A_k$ ，其中每個 $A_k$ 都是開集。假設 $x \in S$ 。（如果 S 為空集，則無須證明。）那麼對於每個 $k = 1, 2, ..., m$ ， $x \in A_k$ ，因此存在一個開 n-球 $B(x; r_k) \subseteq A_k$ 。設 r 為正數 $r_1, r_2, ..., r_m$ 中最小的一個。則 $x \in B(x; r) \subseteq S$ 。也就是說，x 是內部點，所以 S 是開集。

由此可見，給定開集後，我們可以透過取任意聯集或有限交集來形成新的開集。另一方面，任意交集並不總是會產生開集。例如，所有形式為 $(-1/n, 1/n)$ (其中 $n=1,2,3,...$ ) 的開區間的交集，是僅包含 0 的集合。

3.4 $R^1$ 中開集的結構 (The structure of open sets in $R^1$ )

在 $R^1$ 中，可數個不相交開區間的聯集是一個開集；而且令人驚訝的是， $R^1$ 中每一個非空開集都可以用這種方式獲得。本節致力於證明此一敘述。
首先我們引入組成區間 (component interval) 的概念。

3.9 組成區間的定義：設 S 為 $R^1$ 中的開子集。如果開區間 I 滿足 $I \subseteq S$ ，且不存在另一個開區間 $J \neq I$ 使得 $I \subseteq J \subseteq S$ ，則 I 稱為 S 的一個組成區間。
換句話說，S 的組成區間不是包含在 S 中的任何其他開區間的真子集。

定理 3.10：非空開集 S 的每一點都屬於 S 的一個且唯一一個組成區間。
證明：假設 $x \in S$ 。那麼 x 包含在某個開區間 I 中，且 $I \subseteq S$ 。有許多這樣的區間，但這些區間中「最大」的那個將是我們想要的組成區間。我們留給讀者去驗證這個最大的區間是 $I_x = (a(x), b(x))$ ，其中
$a(x) = \inf\{a : (a, x) \subseteq S\}$ ，
$b(x) = \sup\{b : (x, b) \subseteq S\}$ 。
這裡 $a(x)$ 可能是 $-\infty$ ， $b(x)$ 可能是 $+\infty$ 。顯然，不存在開區間 J 使得 $I_x \subseteq J \subseteq S$ ，所以 $I_x$ 是一個包含 x 的組成區間。如果 $J_x$ 是另一個包含 x 的 S 的組成區間，則聯集 $I_x \cup J_x$ 是一個包含在 S 中且同時包含 $I_x$ 和 $J_x$ 的開區間。因此，根據組成區間的定義，必有 $I_x \cup J_x = I_x$ 且 $I_x \cup J_x = J_x$ ，所以 $I_x = J_x$ 。

定理 3.11 (實數線上開集的表示定理)： $R^1$ 中的每一個非空開集 S 都是 S 的可數個不相交組成區間的聯集。
證明：如果 $x \in S$ ，設 $I_x$ 表示包含 x 的 S 的組成區間。所有這些區間 $I_x$ 的聯集顯然是 S。如果其中兩個區間 $I_x$ 和 $I_y$ 有一個共同點，那麼它們的聯集 $I_x \cup I_y$ 是一個包含在 S 中且同時包含 $I_x$ 和 $I_y$ 的開區間。因此 $I_x \cup I_y = I_x$ 且 $I_x \cup I_y = I_y$ ，所以 $I_x = I_y$ 。因此，這些區間 $I_x$ 形成一個不相交的集合族。

剩下的就是要證明它們形成一個可數族。為此，設 $\{x_1, x_2, x_3, ...\}$ 表示有理數的可數集合。在每個組成區間 $I_x$ 中會有無限多個有理數 $x_n$ ，但在這些數中，會存在恰好一個具有最小索引 n 的數。接著我們透過方程式 $F(I_x) = n$ 定義一個函數 F（如果 $x_n$ 是 $I_x$ 中具有最小索引 n 的有理數）。這個函數 F 是一對一的，因為 $F(I_x) = F(I_y) = n$ 意味著 $I_x$ 和 $I_y$ 有共同點 $x_n$ ，這代表 $I_x = I_y$ 。因此，F 在區間 $I_x$ 與正整數的一個子集之間建立了一對一的對應關係。證明完畢。

註：S 的這種表示法是唯一的。事實上，如果 S 是一群不相交開區間的聯集，那麼這些區間必定是 S 的組成區間。這是定理 3.10 的直接推論。
如果 S 是一個開區間，那麼該表示法只包含一個組成區間，即 S 本身。因此， $R^1$ 中的開區間無法表示為兩個非空且不相交的開集的聯集。這種性質也被描述為：開區間是連通的 (connected)。 $R^n$ 中集合的連通性概念將在 4.16 節進一步討論。

3.5 閉集 (Closed sets)

3.12 閉集的定義：如果 $R^n$ 中的集合 S 的補集 $R^n - S$ 是開集，則 S 稱為閉集。

範例： $R^1$ 中的閉區間 $[a, b]$ 是一個閉集。n 個一維閉區間的笛卡兒積 $[a_1, b_1] \times \cdot\cdot\cdot \times [a_n, b_n]$ 是 $R^n$ 中的閉集，稱為 n 維閉區間。

下一個定理是定理 3.7 和 3.8 的推論，展示了如何從給定的閉集構造新的閉集。
定理 3.13：有限個閉集的聯集是閉集，任意閉集族的交集是閉集。

開集與閉集之間的進一步關聯由以下定理描述。
定理 3.14：如果 A 是開集且 B 是閉集，則 $A - B$ 是開集，且 $B - A$ 是閉集。
證明：我們只需注意到 $A - B = A \cap (R^n - B)$ ，這是兩個開集的交集；而 $B - A = B \cap (R^n - A)$ ，這是兩個閉集的交集。

3.6 附著點與聚點 (Adherent points. Accumulation points)

閉集也可以用附著點和聚點來描述。

3.15 附著點的定義：設 S 為 $R^n$ 的子集，x 為 $R^n$ 中的一點（x 不一定在 S 中）。如果每個 n-球 $B(x)$ 都包含至少一個 S 的點，則稱 x 附著於 (adherent to) S。
範例：

如果 $x \in S$ ，則 x 附著於 S，這是很明顯的，因為每個 n-球 $B(x)$ 都包含 x。
如果 S 是 R 的一個上有界的子集，則 $\sup S$ 附著於 S。

有些點附著於 S 是因為每個球 $B(x)$ 都包含 S 中不同於 x 的點。這些被稱為聚點 (accumulation points)。

3.16 聚點的定義：如果 $S \subseteq R^n$ 且 $x \in R^n$ ，如果每個 n-球 $B(x)$ 都包含至少一個不同於 x 的 S 中的點，則 x 稱為 S 的聚點。換言之，如果 x 附著於 $S - \{x\}$ ，則 x 是 S 的聚點。如果 $x \in S$ 但 x 不是 S 的聚點，則稱 x 為 S 的孤立點 (isolated point)。

範例：

形式為 $1/n$ ( $n=1,2,3,...$ ) 的數字集合，擁有 0 作為聚點。
有理數集合擁有每一個實數作為其聚點。
閉區間 $[a, b]$ 的每個點，都是開區間 $(a, b)$ 內數字集合的聚點。

定理 3.17：如果 x 是 S 的聚點，則每個 n-球 $B(x)$ 都包含 S 中的無限多個點。
證明：假設相反的情況；即假設存在一個 n-球 $B(x)$ ，它只包含 S 中有限個不同於 x 的點，設為 $a_1, a_2, ..., a_m$ 。如果 r 表示正數 $||x - a_1||, ||x - a_2||, ..., ||x - a_m||$ 中最小的一個，那麼 $B(x; r/2)$ 將是一個圍繞 x 的 n-球，它不包含任何 S 中不同於 x 的點。這是一個矛盾。

特別是，這個定理暗示了一個集合不能有聚點，除非它本身一開始就包含無限多個點。然而，其逆命題在一般情況下並不成立。例如，整數集合 $\{1, 2, 3, ...\}$ 是一個沒有聚點的無窮集。在後面的章節中，我們將證明包含在某個 n-球內的無窮集始終具有一個聚點。這是一個被稱為柏札諾-魏爾斯特拉斯定理 (Bolzano-Weierstrass theorem) 的重要結果。

3.7 閉集與附著點 (Closed sets and adherent points)

閉集曾被定義為開集的補集。下一個定理用另一種方式描述閉集。

定理 3.18： $R^n$ 中的集合 S 是閉集若且唯若它包含其所有附著點。
證明：假設 S 是閉集，且 x 附著於 S。我們希望證明 $x \in S$ 。我們假設 $x \notin S$ 並得出矛盾。如果 $x \notin S$ ，則 $x \in R^n - S$ ，且因為 $R^n - S$ 是開集，所以存在某個 n-球 $B(x)$ 完全位於 $R^n - S$ 中。因此 $B(x)$ 不包含任何 S 的點，這與 x 附著於 S 的事實相矛盾。
為了證明逆命題，我們假設 S 包含其所有附著點，並證明 S 是閉集。假設 $x \in R^n - S$ 。那麼 $x \notin S$ ，所以 x 不附著於 S。因此某個球 $B(x)$ 不與 S 相交，所以 $B(x) \subseteq R^n - S$ 。因此 $R^n - S$ 是開集，從而 S 是閉集。

3.19 閉包的定義 (Definition of closure)：集合 S 的所有附著點的集合稱為 S 的閉包，記為 $\overline{S}$ 。
對於任何集合我們都有 $S \subseteq \overline{S}$ ，因為 S 的每個點都附著於 S。定理 3.18 顯示，反向的包含關係 $\overline{S} \subseteq S$ 成立若且唯若 S 是閉集。因此我們有：
定理 3.20：集合 S 是閉集若且唯若 $S = \overline{S}$ 。

3.21 導集的定義 (Definition of derived set)：集合 S 的所有聚點的集合稱為 S 的導集，記為 $S'$ 。
顯然，對於任何集合 S，我們有 $\overline{S} = S \cup S'$ 。因此，定理 3.20 暗示 S 是閉集若且唯若 $S' \subseteq S$ 。換句話說，我們有：
定理 3.22： $R^n$ 中的集合 S 是閉集若且唯若它包含其所有的聚點。

3.8 柏札諾-魏爾斯特拉斯定理 (The Bolzano-Weierstrass Theorem)

3.23 有界集的定義 (Definition of a bounded set)：如果 $R^n$ 中的集合 S 完全位於某個 n-球 $B(a;r)$ 中（對於某個 $r > 0$ 和 $a \in R^n$ ），則稱 S 為有界的。

定理 3.24 (柏札諾-魏爾斯特拉斯定理)：如果 $R^n$ 中的有界集合 S 包含無限多個點，則在 $R^n$ 中至少有一點是 S 的聚點。
證明：為了幫助釐清概念，我們先給出 $R^1$ 的證明。因為 S 是有界的，它位於某個區間 $[-a, a]$ 內。子區間 $[-a, 0]$ 或 $[0, a]$ 中至少有一個包含 S 的無限子集。我們稱其中一個這樣的子區間為 $[a_1, b_1]$ 。將 $[a_1, b_1]$ 對分，得到一個包含 S 的無限子集的子區間 $[a_2, b_2]$ ，並繼續這個過程。透過這種方式獲得了可數個區間族，第 n 個區間 $[a_n, b_n]$ 的長度為 $b_n - a_n = a/2^{n-1}$ 。顯然，左端點 $a_n$ 的上確界和右端點 $b_n$ 的下確界必定相等，假設為 x。（為什麼它們相等？）點 x 將會是 S 的聚點，因為對於任何正數 r，只要 n 足夠大使得 $b_n - a_n < r/2$ ，區間 $[a_n, b_n]$ 就會被包含在 $B(x; r)$ 中。區間 $B(x; r)$ 包含 S 中不同於 x 的點，因此 x 是 S 的聚點。這證明了定理在 $R^1$ 上的情況。（注意，聚點 x 可能屬於也可能不屬於 S）。

接下來，我們將處理 $R^1$ 時所用的概念進行延伸，來給出對於 $R^n$ ( $n > 1$ ) 的證明。（讀者可以參考圖 3.1 以幫助在 $R^2$ 中想像此證明。）
因為 S 是有界的，S 位於某個 n-球 $B(0; a)$ 中 ( $a > 0$ )，因此也位於由不等式 $-a \le x_k \le a$ ( $k=1,2,...,n$ ) 定義的 n 維區間 $J_1$ 內。
這裡 $J_1$ 代表笛卡兒積 $J_1 = I_1^{(1)} \times I_2^{(1)} \times \cdot\cdot\cdot \times I_n^{(1)}$ ，也就是點 $(x_1, ..., x_n)$ 的集合，其中 $x_k \in I_k^{(1)}$ ，且每個 $I_k^{(1)}$ 都是一個一維區間 $-a \le x_k \le a$ 。每個區間 $I_k^{(1)}$ 都可以被對分為兩個子區間 $I_{k,1}^{(1)}$ 和 $I_{k,2}^{(1)}$ ，定義如下：
$I_{k,1}^{(1)} : -a \le x_k \le 0$ ;
$I_{k,2}^{(1)} : 0 \le x_k \le a$ 。

接下來，我們考慮所有可能形式的笛卡兒積：
$I_{1,k_1}^{(1)} \times I_{2,k_2}^{(1)} \times \cdot\cdot\cdot \times I_{n,k_n}^{(1)}$ (a)
其中每個 $k_i = 1$ 或 $2$ 。恰好有 $2^n$ 個這樣的乘積，當然，每個這樣的乘積都是一個 n 維區間。這 $2^n$ 個區間的聯集就是包含 S 的原始區間 $J_1$ ；因此，在 (a) 中的 $2^n$ 個區間中，至少有一個必須包含 S 的無限多個點。我們將其中一個記為 $J_2$ ，然後可以將其表示為：
$J_2 = I_1^{(2)} \times I_2^{(2)} \times \cdot\cdot\cdot \times I_n^{(2)}$ ，
其中每個 $I_k^{(2)}$ 都是長度為 a 的 $I_k^{(1)}$ 的子區間。現在我們對 $J_2$ 進行與 $J_1$ 相同的處理，對分每個區間 $I_k^{(2)}$ ，得到一個包含 S 的無限子集的 n 維區間 $J_3$ 。如果我們繼續這個過程，我們會得到一個可數的 n 維區間族 $J_1, J_2, J_3, ...$ ，其中第 m 個區間 $J_m$ 具有包含 S 的無限子集的性質，並且可以表示為：
$J_m = I_1^{(m)} \times I_2^{(m)} \times \cdot\cdot\cdot \times I_n^{(m)}$ ，其中 $I_k^{(m)} \subseteq I_k^{(1)}$ 。
寫作 $I_k^{(m)} = [a_k^{(m)}, b_k^{(m)}]$ ，我們有 $b_k^{(m)} - a_k^{(m)} = a/2^{m-2}$ ( $k=1,2,...,n$ )。

對於每個固定的 k，所有左端點 $a_k^{(m)}$ ( $m=1,2,...$ ) 的上確界因此必定等於所有右端點 $b_k^{(m)}$ ( $m=1,2,...$ ) 的下確界，我們將它們的共同值記為 $t_k$ 。現在我們斷言，點 $t = (t_1, t_2, ..., t_n)$ 是 S 的聚點。為了看出這一點，取任何 n-球 $B(t; r)$ 。當然，點 t 屬於上述構造的每一個區間 $J_1, J_2, ...$ ，且當 m 使得 $a/2^{m-2} < r/2$ 時，這個鄰域將包含 $J_m$ 。但由於 $J_m$ 包含 S 中的無限多個點，所以 $B(t; r)$ 也一樣，這證明了 t 確實是 S 的一個聚點。

3.9 康托爾交集定理 (The Cantor intersection theorem)

作為柏札諾-魏爾斯特拉斯定理的應用，我們來證明康托爾交集定理。

定理 3.25：設 $\{Q_1, Q_2, ...\}$ 是 $R^n$ 中非空集合的可數集合族，滿足：
(i) $Q_{k+1} \subseteq Q_k$ 對所有 k=1,2,3,... 成立；
(ii) 每個 $Q_k$ 是閉集且 $Q_1$ 是有界的。
則其交集 $\bigcap_{k=1}^\infty Q_k$ 是閉集且非空。
證明：設 $S = \bigcap_{k=1}^\infty Q_k$ 。根據定理 3.13，S 是閉集。為了證明 S 是非空的，我們要在 S 中展示一個點 x。我們可以假設每個 $Q_k$ 都包含無限多個點；否則證明是平凡的。現在形成一個由相異點組成的集合 $A = \{x_1, x_2, ...\}$ ，其中 $x_k \in Q_k$ 。因為 A 是一個包含在有界集合 $Q_1$ 中的無窮集，所以它有一個聚點，假設為 x。我們將透過驗證對於每個 k 都有 $x \in Q_k$ 來證明 $x \in S$ 。這只需證明 x 是每個 $Q_k$ 的聚點即可，因為它們都是閉集。但 x 的每個鄰域都包含 A 中無限多個點，且因為除了（可能的）有限個 A 的點之外，A 的所有點都屬於 $Q_k$ ，所以這個鄰域也包含 $Q_k$ 中無限多個點。因此 x 是 $Q_k$ 的聚點，定理得證。

3.10 林德勒夫覆蓋定理 (The Lindelöf covering theorem)

在本節中，我們引入集合的覆蓋 (covering) 概念，並證明林德勒夫覆蓋定理。這個概念在後來的一些工作中將顯示其效用。

3.26 覆蓋的定義：如果 $S \subseteq \bigcup_{A \in F} A$ ，則集合族 F 稱為給定集合 S 的覆蓋 (covering)。集合族 F 也被稱為覆蓋了 S。如果 F 是一個開集族，則稱為開覆蓋 (open covering)。

範例：

所有形式為 $1/n < x < 2/n$ ( $n=2,3,4,...$ ) 的區間構成的集合族，是區間 $0 < x < 1$ 的開覆蓋。這是可數覆蓋的一個例子。
實數線 $R^1$ 被所有開區間 (a, b) 的集合族覆蓋。這不是可數覆蓋。然而，它包含一個 $R^1$ 的可數覆蓋，即所有形式為 $(n, n+2)$ 的區間，其中 n 跑遍所有整數。
設 $S = \{(x,y) : x > 0, y > 0\}$ 。所有以 $(x, x)$ 為中心、半徑為 x（其中 $x > 0$ ）的圓盤構成的集合族 F，是 S 的覆蓋。這個覆蓋不是可數的。然而，它包含 S 的一個可數覆蓋，即所有 x 為有理數的那些圓盤。

定理 3.27：設 G 表示所有具有有理數中心和有理數半徑的 n-球的可數集合族。則對於 $R^n$ 中的任意點 x 以及任何包含 x 的開集 S，在 G 中存在一個 n-球 $A_k$ 使得 $x \in A_k \subseteq S$ 。
證明：根據定理 2.27，集合族 G 是可數的。如果 $x \in R^n$ 且 S 是一個包含 x 的開集，那麼存在一個 n-球 $B(x; r) \subseteq S$ 。我們要在 S 中找到一個具有有理坐標的點 y，它「靠近」x，並以此點為中心，在 G 中找到一個位於 $B(x; r)$ 內且包含 x 的鄰域。寫作
$x = (x_1, x_2, ..., x_n)$
並讓 $y_k$ 為一個有理數，滿足對於每個 $k=1,2,...,n$ 都有 $|y_k - x_k| < r/(4n)$ 。那麼
$||y - x|| \le |y_1 - x_1| + \cdot\cdot\cdot + |y_n - x_n| < r/4$ 。
接下來，設 q 是一個有理數使得 $r/4 < q < r/2$ 。那麼 $x \in B(y; q)$ 且 $B(y; q) \subseteq B(x; r) \subseteq S$ 。但 $B(y; q) \in G$ ，因此定理得證。（見圖 3.2 中 $R^2$ 的情況）。

定理 3.28 (林德勒夫覆蓋定理)：假設 $A \subseteq R^n$ 且 F 是 A 的開覆蓋。則 F 中存在一個可數的子集合族也能覆蓋 A。
證明：設 $G = \{A_1, A_2, ...\}$ 表示所有具有有理中心和有理半徑的 n-球的可數集合族。我們將利用這個集合 G 幫助我們從 F 中提取一個能覆蓋 A 的可數子集合族。
假設 $x \in A$ 。那麼 F 中存在一個開集 S 使得 $x \in S$ 。根據定理 3.27，在 G 中存在一個 n-球 $A_k$ 使得 $x \in A_k \subseteq S$ 。當然，對於每個 S 都有無限多個這樣的 $A_k$ ，但我們只選擇其中一個，例如，具有最小索引的那個，假設為 $m = m(x)$ 。那麼我們有 $x \in A_{m(x)} \subseteq S$ 。當 x 跑遍 A 的所有元素時，所獲得的所有 n-球 $A_{m(x)}$ 的集合，是一個覆蓋 A 的可數開集族。為獲得一個能覆蓋 A 的 F 的可數子集合族，我們只需將每個集合 $A_{m(x)}$ 對應到 F 中包含 $A_{m(x)}$ 的某個集合 S 即可。這完成了證明。

3.11 海涅-波萊爾覆蓋定理 (The Heine-Borel covering theorem)

林德勒夫覆蓋定理指出，從 $R^n$ 中任意集合 A 的任何開覆蓋中，我們都可以提取出一個可數覆蓋。海涅-波萊爾定理告訴我們，如果此外我們還知道 A 是閉且有界的，我們就可以將覆蓋縮減為有限覆蓋。證明利用了康托爾交集定理。

定理 3.29 (海涅-波萊爾定理)：設 F 是 $R^n$ 中閉且有界集合 A 的開覆蓋。則 F 中存在一個有限的子集合族也能覆蓋 A。
證明：根據定理 3.28，F 的一個可數子集合族，假設為 $\{I_1, I_2, ...\}$ ，能覆蓋 A。對於 $m \ge 1$ ，考慮有限聯集
$S_m = \bigcup_{k=1}^m I_k$ 。
這是開集，因為它是開集的聯集。我們將證明對於某個 m 的值，聯集 $S_m$ 能覆蓋 A。
為此，我們考慮其補集 $R^n - S_m$ ，它是閉集。定義一個可數的集合族 $\{Q_1, Q_2, ...\}$ 如下： $Q_1 = A$ ，對於 $m > 1$ ，
$Q_m = A \cap (R^n - S_m)$ 。
也就是說， $Q_m$ 由那些位於 $S_m$ 之外的 A 的點組成。如果我們能證明對於某個 m 的值集合 $Q_m$ 是空集，那我們就證明了對於這個 m，A 中沒有點位於 $S_m$ 之外；換句話說，我們就證明了某個 $S_m$ 覆蓋了 A。

觀察集合 $Q_m$ 的以下性質：每個集合 $Q_m$ 都是閉集，因為它是閉集 A 和閉集 $R^n - S_m$ 的交集。集合 $Q_m$ 是遞減的，因為 $S_m$ 是遞增的；即 $Q_{m+1} \subseteq Q_m$ 。集合 $Q_m$ 作為 A 的子集，都是有界的。因此，如果沒有集合 $Q_m$ 是空集，我們可以應用康托爾交集定理來得出交集 $\bigcap_{k=1}^\infty Q_k$ 也非空的結論。這代表 A 中存在某點位於所有集合 $Q_m$ 之中，或者換句話說，位於所有集合 $S_m$ 之外。但這是不可能的，因為 $A \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty S_k$ 。因此必定有某個 $Q_m$ 是空集，這完成了證明。

3.12 $R^n$ 中的緊緻性 (Compactness in $R^n$ )

我們剛剛看到，如果 $R^n$ 中的集合 S 是閉集且有界的，那麼 S 的任何開覆蓋都可以縮減為有限覆蓋。自然會想問，除了閉且有界的集合外，是否還有其他集合也具有這種性質。這樣的集合將被稱為緊緻的 (compact)。

3.30 緊緻集的定義： $R^n$ 中的集合 S 稱為緊緻的，若且唯若 S 的每個開覆蓋都包含一個有限的子覆蓋（即一個也能覆蓋 S 的有限子集合族）。
海涅-波萊爾定理指出， $R^n$ 中每一個閉且有界的集合都是緊緻的。現在我們來證明它的逆命題。

定理 3.31：設 S 為 $R^n$ 的子集，則以下三個敘述等價：
a) S 是緊緻的。
b) S 是閉集且有界的。
c) S 的每個無窮子集在 S 中都有一個聚點。
證明：如上所述，(b) 蘊含 (a)。如果我們證明 (a) 蘊含 (b)，(b) 蘊含 (c)，以及 (c) 蘊含 (b)，這將確立這三個敘述的等價性。
假設 (a) 成立。我們首先證明 S 是有界的。在 S 中選擇一點 p。n-球族 $B(p; k)$ ( $k=1,2,...$ ) 是 S 的一個開覆蓋。由緊緻性可知，存在一個有限的子集合族也能覆蓋 S，因此 S 是有界的。
接下來我們證明 S 是閉集。假設 S 不是閉集。那麼存在一個 S 的聚點 y 使得 $y \notin S$ 。如果 $x \in S$ ，設 $r_x = ||x - y||/2$ 。由於 $y \notin S$ ，每個 $r_x$ 都是正的，且鄰域族 $\{B(x; r_x) : x \in S\}$ 是 S 的一個開覆蓋。由緊緻性可知，有限個這些鄰域能覆蓋 S，假設為 $B(x_1; r_{x_1}), ..., B(x_m; r_{x_m})$ 。令 r 為這些半徑的最小值。那麼球 $B(y; r)$ 與這些鄰域中的任何一個都沒有交集。這表示 S 中沒有點能屬於 $B(y; r)$ ，這與 y 是 S 的聚點的事實相矛盾。因此，(a) 蘊含 (b)。

假設 (b) 成立。在這種情況下，(c) 的證明很直接，因為如果 T 是 S 的無窮子集，那麼 T 是有界的（因為 S 是有界的），因此由柏札諾-魏爾斯特拉斯定理可知，T 有一個聚點，假設為 x。現在 x 也是 S 的一個聚點，因此 $x \in S$ ，因為 S 是閉集。因此 (b) 蘊含 (c)。

假設 (c) 成立。我們將證明 (b)。如果 S 是無界的，那麼對於每個 $m > 0$ ，在 S 中都存在一點 $x_m$ 使得 $||x_m|| > m$ 。集合 $T = \{x_1, x_2, ...\}$ 是 S 的無窮子集，因此由 (c) 可知，T 在 S 中有一個聚點 y。但對於 $m > 1 + ||y||$ ，我們有
$||x_m - y|| \ge ||x_m|| - ||y|| > m - ||y|| > 1$ ，
這與 y 是 T 的聚點的事實相矛盾。這證明了 S 是有界的。

為了完成證明，我們必須證明 S 是閉集。設 x 為 S 的聚點。因為 x 的每個鄰域都包含 S 中無限多個點，我們可以考慮鄰域 $B(x; 1/k)$ （其中 $k=1,2,...$ ），並獲得一個包含在 S 中的可數相異點集合，假設為 $T = \{x_1, x_2, ...\}$ ，使得 $x_k \in B(x; 1/k)$ 。點 x 也是 T 的一個聚點。因為 T 是 S 的無窮子集，定理的 (c) 部分告訴我們，T 在 S 中必定有一個聚點。如果我們證明 x 是 T 唯一的聚點，那麼定理就得證了。
為此，假設 $y \neq x$ 。那麼由三角不等式我們有
$||y - x|| \le ||y - x_k|| + ||x_k - x|| < ||y - x_k|| + 1/k$ ，如果 $x_k \in T$ 。
如果取 $k_0$ 足夠大，使得當 $k \ge k_0$ 時 $1/k < \frac{1}{2}||y - x||$ ，則上式不等式推導出 $\frac{1}{2}||y - x|| < ||y - x_k||$ 。這表明當 $k \ge k_0$ 時， $x_k \notin B(y; r)$ ，其中 $r = \frac{1}{2}||y - x||$ 。因此 y 不可能是 T 的聚點。這完成了 (c) 蘊含 (b) 的證明。

3.13 度量空間 (Metric spaces)

本章部分定理的證明僅依賴於點與點之間距離的少數性質，而不依賴於點位於 $R^n$ 中的事實。當我們抽象地研究這些距離性質時，就引出了度量空間的概念。

3.32 度量空間的定義：度量空間 (metric space) 是一個由對象（稱為點）組成的非空集合 M，連同一個從 $M \times M$ 到 R 的函數 d（稱為空間的度量 metric），對 M 中的所有點 x, y, z 滿足以下四個性質：

$d(x, x) = 0$ 。
如果 $x \neq y$ ，則 $d(x, y) > 0$ 。
$d(x, y) = d(y, x)$ 。
$d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y)$ (三角不等式)。
非負數 $d(x,y)$ 被視為從 x 到 y 的距離。

有時我們用 $(M, d)$ 來表示一個度量空間，以強調集合 M 和度量 d 都在度量空間的定義中發揮作用。

範例：

$M = R^n$ ； $d(x, y) = ||x - y||$ 。這稱為歐幾里得度量。每當我們提到歐幾里得空間 $R^n$ 時，除非特別提及其他度量，否則將被理解為使用的是歐幾里得度量。
$M = C$ ，複數平面； $d(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|$ 。作為度量空間，C 與歐幾里得空間 $R^2$ 無法區分，因為它有相同的點和相同的度量。
M 為任意非空集合；如果 $x = y$ 則 $d(x, y) = 0$ ，如果 $x \neq y$ 則 $d(x, y) = 1$ 。這被稱為離散度量 (discrete metric)，而 $(M, d)$ 稱為離散度量空間。
如果 $(M, d)$ 是一個度量空間且 S 是 M 的任何非空子集，則 $(S, d)$ 也是一個度量空間，具有相同的度量，或者更精確地說，以 d 限制在 $S \times S$ 上的函數為度量。這有時稱為 d 在 S 上誘導的相對度量 (relative metric)，S 稱為 M 的度量子空間 (metric subspace)。例如，有理數 Q 連同度量 $d(x, y) = |x - y|$ 形成 R 的一個度量子空間。
$M = R^2$ ； $d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + 4(x_2 - y_2)^2}$ ，其中 $x = (x_1, x_2)$ 且 $y = (y_1, y_2)$ 。這個度量空間 $(M, d)$ 不是歐幾里得空間 $R^2$ 的度量子空間，因為度量不同。
$M = \{(x_1, x_2) : x_1^2 + x_2^2 = 1\}$ ， $R^2$ 中的單位圓； $d(x, y) =$ 連接單位圓上兩點 x 和 y 的較短弧的長度。
$M = \{(x_1, x_2, x_3) : x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\}$ ， $R^3$ 中的單位球面； $d(x, y) =$ 沿著連接兩點 x 和 y 的大圓的較短弧長。
$M = R^n$ ； $d(x, y) = |x_1 - y_1| + \cdot\cdot\cdot + |x_n - y_n|$ 。
$M = R^n$ ； $d(x, y) = \max\{|x_1 - y_1|, ..., |x_n - y_n|\}$ 。

3.14 度量空間中的點集拓樸學 (Point set topology in metric spaces)

點集拓樸學的基本概念可以推廣到任意的度量空間 $(M, d)$ 中。

如果 $a \in M$ ，以 a 為中心、半徑為 $r > 0$ 的球 $B(a; r)$ 被定義為 M 中所有滿足 $d(x, a) < r$ 的 x 的集合。
有時我們將此球記為 $B_M(a; r)$ ，以強調它的點來自 M。如果 S 是 M 的度量子空間，球 $B_S(a; r)$ 是 S 與球 $B_M(a; r)$ 的交集。

範例：在歐幾里得空間 $R^1$ 中，球 $B(0; 1)$ 是開區間 $(-1, 1)$ 。在度量子空間 $S =$ 中，球 $B_S(0; 1)$ 是半開區間 $[0, 1)$ 。
註：如果度量不是歐幾里得度量， $R^n$ 中的球在幾何外觀上不必是「球形」的（見習題 3.27）。

如果 $S \subseteq M$ ，S 中的一點 a 稱為 S 的內部點，如果某個球 $B_M(a; r)$ 完全位於 S 內。內部 (interior) int S，是 S 的內部點的集合。如果一個集合 S 的所有點都是內部點，則稱它在 M 中是開集 (open in M)；如果 $M - S$ 在 M 中是開集，則稱 S 在 M 中是閉集 (closed in M)。

範例：

度量空間 M 中的每個球 $B_M(a; r)$ 在 M 中都是開集。
在離散度量空間 M 中，每個子集 S 都是開集。事實上，如果 $x \in S$ ，球 $B(x; \frac{1}{2})$ 完全由 S 的點組成（因為它只包含 x），所以 S 是開集。因此 M 的每個子集也是閉集！
在歐幾里得空間 $R^1$ 的度量子空間 $S =$ 中，每個形式為 $[0, x)$ 或 $(x, 1]$ 的區間（其中 $0 < x < 1$ ），在 S 中都是開集。這些集合在 $R^1$ 中不是開集。

例 3 表明，如果 S 是 M 的度量子空間，則 S 中的開集在 M 中不一定是開集。下一個定理描述了 M 中的開集與 S 中的開集之間的關係。

定理 3.33：設 $(S, d)$ 為 $(M, d)$ 的度量子空間，且 X 為 S 的子集。則 X 在 S 中是開集若且唯若 $X = A \cap S$ ，其中 A 是 M 中的開集。
證明：假設 A 在 M 中是開集，並設 $X = A \cap S$ 。如果 $x \in X$ ，則 $x \in A$ ，所以對於某個 $r > 0$ ， $B_M(x; r) \subseteq A$ 。因此 $B_S(x; r) = B_M(x; r) \cap S \subseteq A \cap S = X$ ，所以 X 在 S 中是開集。
反之，假設 X 在 S 中是開集。我們將證明對於 M 中的某個開集 A， $X = A \cap S$ 。對於 X 中的每個 x，存在一個包含在 X 中的球 $B_S(x; r_x)$ 。現在 $B_S(x; r_x) = B_M(x; r_x) \cap S$ ，因此如果我們讓
$A = \bigcup_{x \in X} B_M(x; r_x)$ ，
那麼 A 在 M 中是開集，並且很容易驗證 $A \cap S = X$ 。

定理 3.34：設 $(S, d)$ 為 $(M, d)$ 的度量子空間，且 Y 為 S 的子集。則 Y 在 S 中是閉集若且唯若 $Y = B \cap S$ ，其中 B 是 M 中的閉集。
證明：如果 $Y = B \cap S$ ，其中 B 在 M 中是閉集，那麼 $B = M - A$ ，其中 A 在 M 中是開集，所以 $Y = S \cap B = S \cap (M - A) = S - A$ ；因此 Y 在 S 中是閉集。
反之，如果 Y 在 S 中是閉集，設 $X = S - Y$ 。那麼 X 在 S 中是開集，所以 $X = A \cap S$ ，其中 A 在 M 中是開集，並且
$Y = S - X = S - (A \cap S) = S - A = S \cap (M - A) = S \cap B$ ，
其中 $B = M - A$ 在 M 中是閉集。證明完畢。

如果 $S \subseteq M$ ，M 中的點 x 稱為 S 的附著點 (adherent point)，如果每個球 $B_M(x; r)$ 都包含 S 的至少一個點。如果 x 附著於 $S - \{x\}$ ，則 x 稱為 S 的聚點。S 的閉包 (closure) $\overline{S}$ 是 S 的所有附著點的集合，S 的導集 $S'$ 是 S 的所有聚點的集合。因此， $\overline{S} = S \cup S'$ 。

下列定理在每一個度量空間 $(M, d)$ 中皆有效，並且其證明與針對歐幾里得空間 $R^n$ 的證明完全相同。在證明中，只需將歐幾里得距離 $||x - y||$ 替換為度量 $d(x, y)$ 即可。

定理 3.35：a) 任意開集族的聯集是開集，有限開集族的交集是開集。
b) 有限閉集族的聯集是閉集，任意閉集族的交集是閉集。

定理 3.36：如果 A 是開集且 B 是閉集，則 $A - B$ 是開集，且 $B - A$ 是閉集。

定理 3.37：對於 M 的任何子集 S，以下敘述等價：
a) S 在 M 中是閉集。
b) S 包含其所有附著點。
c) S 包含其所有聚點。
d) $S = \overline{S}$ 。

範例：設 $M = Q$ 為有理數的集合，具備 $R^1$ 的歐幾里得度量。設 S 由開區間 $(a, b)$ 中所有的有理數組成，其中 a 和 b 皆為無理數。則 S 是 Q 中的閉子集。

我們對柏札諾-魏爾斯特拉斯定理、康托爾交集定理以及林德勒夫與海涅-波萊爾的覆蓋定理的證明，不僅使用了歐幾里得空間 $R^n$ 的度量性質，還使用了 $R^n$ 那些在任意度量空間 $(M, d)$ 中通常不成立的特殊性質。要將這些定理推廣至度量空間，需要對 M 施加進一步的限制。習題 3.34 概述了其中一種推廣。
下一節將描述任意度量空間中的緊緻性。

3.15 度量空間的緊緻子集 (Compact subsets of a metric space)

設 $(M, d)$ 為一個度量空間，且 S 是 M 的子集。M 中的開子集族 F 稱為 S 的開覆蓋，如果 $S \subseteq \bigcup_{A \in F} A$ 。

M 的子集 S 稱為緊緻的 (compact)，如果 S 的每個開覆蓋都包含一個有限的子覆蓋。S 稱為有界的 (bounded)，如果 $S \subseteq B(a; r)$ （對於某個 $r > 0$ 和某個 $a \in M$ ）。

定理 3.38：設 S 為度量空間 M 的緊緻子集。則：
(i) S 是閉集且有界的。
(ii) S 的每個無窮子集在 S 中都有一個聚點。
證明：為證明 (i)，我們參考定理 3.31 的證明，並使用顯示 (a) 蘊含 (b) 的那部分論證。唯一的改變是必須將整篇的歐幾里得距離 $||x - y||$ 替換為度量 $d(x, y)$ 。
為證明 (ii)，我們透過矛盾法論證。設 T 為 S 的無窮子集，並假設 S 中沒有任何點是 T 的聚點。那麼對於 S 中的每個點 x，都有一個球 $B(x)$ 不包含 T 的點（如果 $x \notin T$ ），或者恰好包含 T 的一個點（如果 $x \in T$ ，即 x 本身）。當 x 跑遍 S 時，這些球 $B(x)$ 的聯集是 S 的一個開覆蓋。因為 S 是緊緻的，所以一個有限的子集合族能覆蓋 S，因此也能覆蓋 T。但這是一個矛盾，因為 T 是一個無窮集，而每個球最多包含 T 的一個點。

註：在歐幾里得空間 $R^n$ 中，性質 (i) 和 (ii) 各自都等價於緊緻性（定理 3.31）。在一般的度量空間中，性質 (ii) 等價於緊緻性（證明見參考文獻 3.4），但性質 (i) 則不一定。習題 3.42 給出了一個度量空間 M 的例子，其中某些閉且有界的子集不是緊緻的。

定理 3.39：設 X 為緊緻度量空間 M 的閉子集。則 X 是緊緻的。
證明：設 F 為 X 的一個開覆蓋，使得 $X \subseteq \bigcup_{A \in F} A$ 。我們將證明有限個集合 A 能覆蓋 X。由於 X 是閉集，其補集 $M - X$ 是開集，所以 $F \cup \{M - X\}$ 是 M 的一個開覆蓋。但 M 是緊緻的，所以這個覆蓋包含一個有限的子覆蓋，我們可以假設它包含了 $M - X$ 。因此
$M \subseteq A_1 \cup \cdot\cdot\cdot \cup A_p \cup (M - X)$ 。
這個子覆蓋也能覆蓋 X，而且因為 $M - X$ 不包含 X 的任何點，我們可以從子覆蓋中刪除集合 $M - X$ ，它仍然能覆蓋 X。因此 $X \subseteq A_1 \cup \cdot\cdot\cdot \cup A_p$ ，所以 X 是緊緻的。

3.16 集合的邊界 (Boundary of a set)

定義 3.40：設 S 為度量空間 M 的子集。M 中的一點 x 稱為 S 的邊界點 (boundary point)，如果每個球 $B_M(x; r)$ 都包含至少一個 S 的點和至少一個 $M - S$ 的點。S 的所有邊界點的集合稱為 S 的邊界 (boundary)，記為 $\partial S$ 。

讀者可以輕易驗證
$\partial S = \overline{S} \cap \overline{M - S}$ 。
這個公式顯示 $\partial S$ 在 M 中是閉集。

範例：在 $R^n$ 中，球 $B(a; r)$ 的邊界是所有滿足 $||x - a|| = r$ 的點 x 的集合。在 $R^1$ 中，有理數集合的邊界是整個 $R^1$ 。

度量空間的進一步性質將在習題及第四章中發展。

第三章習題 (Exercises)

$R^1$ 與 $R^2$ 中的開集與閉集 (Open and closed sets in $R^1$ and $R^2$ )

3.1 證明 $R^1$ 中的開區間是一個開集，而閉區間是一個閉集。

3.2 找出以下 $R^1$ 中集合的所有聚點 (accumulation points)，並判定這些集合是否為開集或閉集（或皆非）：
a) 所有整數。
b) 區間 (a, b]。
c) 所有形式為 $1/n$ 的數， $(n = 1, 2, 3, ...)$ 。
d) 所有有理數。
e) 所有形式為 $2^{-n} + 5^{-m}$ 的數， $(m, n = 1, 2, ...)$ 。
f) 所有形式為 $(-1)^n + (1/m)$ 的數， $(m, n = 1, 2, ...)$ 。
g) 所有形式為 $(1/n) + (1/m)$ 的數， $(m, n = 1, 2, ...)$ 。
h) 所有形式為 $(-1)^n / [1 + (1/n)]$ 的數， $(n = 1, 2, ...)$ 。

3.3 對於以下 $R^2$ 中的集合，做與習題 3.2 相同的探討：
a) 所有滿足 $|z| > 1$ 的複數 z。
b) 所有滿足 $|z| \ge 1$ 的複數 z。
c) 所有形式為 $(1/n) + (i/m)$ 的複數， $(m, n = 1, 2, ...)$ 。
d) 所有滿足 $x^2 - y^2 < 1$ 的點 (x, y)。
e) 所有滿足 $x > 0$ 的點 (x, y)。
f) 所有滿足 $x \ge 0$ 的點 (x, y)。

3.4 證明 $R^1$ 中每一個非空開集 S 都同時包含有理數與無理數。

3.5 證明 $R^1$ 中唯一同時為開集與閉集的集合只有空集 $\emptyset$ 與 $R^1$ 自身。對 $R^2$ 來說是否有類似的敘述？

3.6 證明 $R^1$ 中的每一個閉集都是可數個開集的交集。

3.7 證明 $R^1$ 中非空且有界的閉集 S 要麼是一個閉區間，要麼可以由一個閉區間移除可數個不相交的開區間（且這些開區間的端點皆屬於 S）來獲得。

$R^n$ 中的開集與閉集 (Open and closed sets in $R^n$ )

3.8 證明在 $R^n$ 中，開 n-球與 n 維開區間都是開集。

3.9 證明 $R^n$ 中集合的內部 (interior) 在 $R^n$ 中是一個開集。

3.10 若 $S \subseteq R^n$ ，證明 int S 等於所有包含在 S 中的 $R^n$ 開子集的聯集。這可以描述為：int S 是 S 中最大的開子集。

3.11 若 S 與 T 為 $R^n$ 的子集，證明 $(int S) \cap (int T) = int(S \cap T)$ ，且 $(int S) \cup (int T) \subseteq int(S \cup T)$ 。

3.12 設 $S'$ 表示 S 的導集 (derived set)， $\overline{S}$ 表示 $R^n$ 中集合 S 的閉包 (closure)。證明：
a) $S'$ 在 $R^n$ 中是閉集；即 $(S')' \subseteq S'$ 。
b) 若 $S \subseteq T$ ，則 $S' \subseteq T'$ 。
c) $(S \cup T)' = S' \cup T'$ 。
d) $(\overline{S})' = S'$ 。
e) $\overline{S}$ 在 $R^n$ 中是閉集。
f) $\overline{S}$ 是所有包含 S 的 $R^n$ 閉子集的交集。也就是說， $\overline{S}$ 是包含 S 的最小閉集。

3.13 設 S 與 T 為 $R^n$ 的子集。證明 $\overline{S \cap T} \subseteq \overline{S} \cap \overline{T}$ ，並且若 S 為開集，則 $S \cap \overline{T} \subseteq \overline{S \cap T}$ 。
(註：習題 3.9 到 3.13 的敘述在任意度量空間中皆成立。)

3.14 $R^n$ 中的集合 S 稱為凸集 (convex)，如果對 S 中任意兩點 x 與 y，以及任意滿足 $0 < \theta < 1$ 的實數 $\theta$ ，皆有 $\theta x + (1 - \theta)y \in S$ 成立。在 $R^2$ 與 $R^3$ 中幾何地解釋此敘述，並證明：
a) $R^n$ 中的每一個 n-球皆為凸集。
b) 每一個 n 維開區間皆為凸集。
c) 凸集的內部是凸集。
d) 凸集的閉包是凸集。

3.15 設 F 為 $R^n$ 中的一個集合族，令 $S = \bigcup_{A \in F} A$ 且 $T = \bigcap_{A \in F} A$ 。對於以下每一個敘述，給出證明或舉出反例：
a) 若 x 為 T 的聚點，則 x 是 F 中每一個集合 A 的聚點。
b) 若 x 為 S 的聚點，則 x 至少是 F 中一個集合 A 的聚點。

3.16 證明區間 (0, 1) 中的有理數集合 S 無法表示為可數個開集的交集。
提示：將 S 寫為 $\{x_1, x_2, \dots\}$ ，假設 $S = \bigcap_{k=1}^\infty S_k$ ，其中每個 $S_k$ 皆為開集，並構造一個閉區間數列 $\{Q_n\}$ ，使得 $Q_{n+1} \subseteq Q_n \subseteq S_n$ 且 $x_n \notin Q_n$ 。接著利用康托爾交集定理導出矛盾。

$R^n$ 中的覆蓋定理 (Covering theorems in $R^n$ )

3.17 若 $S \subseteq R^n$ ，證明 S 的孤立點集合是可數的。

3.18 證明在 xy-平面上，以 (x, x) 為中心、x 為半徑 ( $x > 0$ 且 x 為有理數) 的開圓盤集合，是集合 $\{(x, y) : x > 0, y > 0\}$ 的可數覆蓋。

3.19 由形式為 $(1/n, 2/n)$ 的開區間（其中 $n=2,3,\dots$ ）所組成的集合族 F，是開區間 (0, 1) 的開覆蓋。在不使用定理 3.31 的情況下，證明 F 中沒有任何有限子集合族能覆蓋 (0, 1)。

3.20 給出一個閉集但不有界的集合 S 的例子，並展示一個可數的開覆蓋 F，使得 F 的任何有限子集都無法覆蓋 S。

3.21 給定 $R^n$ 中的集合 S，具備以下性質：對於 S 中的每一個 x，存在一個 n-球 $B(x)$ 使得 $B(x) \cap S$ 是可數的。證明 S 是可數的。

3.22 證明 $R^n$ 中一群互不相交的開集必定是可數的。給出一個不可數的互不相交閉集族的例子。

3.23 假設 $S \subseteq R^n$ 。若對每一個 n-球 $B(x)$ ， $B(x) \cap S$ 都是不可數的，則稱 $R^n$ 中的點 x 為 S 的凝結點 (condensation point)。證明如果 S 是不可數的，則 S 中存在一點 x 使得 x 是 S 的凝結點。

3.24 假設 $S \subseteq R^n$ 且假設 S 是不可數的。令 T 表示 S 的所有凝結點的集合。證明：
a) $S - T$ 是可數的。
b) $S \cap T$ 是不可數的。
c) T 是閉集。
d) T 不包含任何孤立點。
（注意：習題 3.23 是 (b) 的一個特例。）

3.25 $R^n$ 中的集合 S 稱為完美的 (perfect) 如果 $S = S'$ ，亦即如果 S 是一個不包含孤立點的閉集。證明 $R^n$ 中每一個不可數的閉集 F 都可以表示為 $F = A \cup B$ 的形式，其中 A 是完美的而 B 是可數的（康托爾-本迪克森定理 Cantor-Bendixon theorem）。提示：利用習題 3.24。

度量空間 (Metric spaces)

3.26 在任何度量空間 (M, d) 中，證明空集 $\emptyset$ 和整個空間 M 同時是開集和閉集。

3.27 考慮 $R^n$ 中的以下兩種度量： $d_1(x, y) = \max_{1 \le i \le n} |x_i - y_i|$ ，與 $d_2(x, y) = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|$ 。在下列各個度量空間中證明球 $B(a; r)$ 具有指定的幾何外觀：
a) 在 $(R^2, d_1)$ 中，邊平行於坐標軸的正方形。
b) 在 $(R^2, d_2)$ 中，對角線平行於坐標軸的正方形。
c) 在 $(R^3, d_1)$ 中，一個立方體。
d) 在 $(R^3, d_2)$ 中，一個正八面體。

3.28 設 $d_1$ 和 $d_2$ 為習題 3.27 中的度量，並令 $||x - y||$ 表示通常的歐幾里得度量。證明對於 $R^n$ 中的所有 x 和 y 有以下不等式： $d_1(x, y) \le ||x - y|| \le d_2(x, y)$ ，以及 $d_2(x, y) \le \sqrt{n} ||x - y|| \le n d_1(x, y)$ 。

3.29 如果 (M, d) 是一個度量空間，定義 $d'(x, y) = d(x, y) / [1 + d(x, y)]$ 。證明 d' 也是 M 的一個度量。注意對於 M 中的所有 x, y，皆有 $0 \le d'(x, y) < 1$ 。

3.30 證明度量空間中的每個有限子集都是閉集。

3.31 在度量空間 (M, d) 中，以 a 點為中心、半徑為 $r > 0$ 的閉球 (closed ball) 定義為集合 $\overline{B}(a; r) = \{x : d(x, a) \le r\}$ 。
a) 證明 $\overline{B}(a; r)$ 是一個閉集。
b) 舉出一個度量空間的例子，其中 $\overline{B}(a; r)$ 不是開球 $B(a; r)$ 的閉包。

3.32 在度量空間 M 中，若子集滿足 $A \subseteq S \subseteq \overline{A}$ （其中 $\overline{A}$ 為 A 的閉包），則稱 A 在 S 中稠密 (dense)。例如，有理數集 Q 在 R 中是稠密的。若 A 在 S 中稠密，且 S 在 T 中稠密，證明 A 在 T 中稠密。

3.33 承習題 3.32。度量空間 M 稱為可分的 (separable) 如果 M 存在一個在 M 中稠密的可數子集 A。例如，R 是可分的，因為有理數集 Q 是一個可數稠密子集。證明每一個歐幾里得空間 $R^k$ 都是可分的。

3.34 承習題 3.33。證明林德勒夫覆蓋定理 (定理 3.28) 在任何可分度量空間中皆有效。

3.35 承習題 3.32。若 A 在 S 中稠密且 B 在 S 中為開集，證明 $B \subseteq \overline{A \cap B}$ 。提示：參考習題 3.13。

3.36 承習題 3.32。若 A 與 B 皆在 S 中稠密且 B 在 S 中為開集，證明 $A \cap B$ 在 S 中稠密。

3.37 給定兩個度量空間 $(S_1, d_1)$ 與 $(S_2, d_2)$ ，笛卡兒積 $S_1 \times S_2$ 的度量 $\rho$ 可以由 $d_1$ 與 $d_2$ 用許多方式構造。例如，若 $x = (x_1, x_2)$ 且 $y = (y_1, y_2)$ 位於 $S_1 \times S_2$ 中，令 $\rho(x, y) = d_1(x_1, y_1) + d_2(x_2, y_2)$ 。證明 $\rho$ 是 $S_1 \times S_2$ 的度量，並構造其他例子。

度量空間的緊緻子集 (Compact subsets of a metric space)
證明關於任意度量空間 (M, d) 及其子集 S, T 的下列各敘述。

3.38 假設 $S \subseteq T \subseteq M$ 。則 S 在 (M, d) 中是緊緻的，若且唯若 S 在度量子空間 (T, d) 中是緊緻的。

3.39 若 S 是閉集且 T 是緊緻的，則 $S \cap T$ 是緊緻的。

3.40 M 中任意集合族的緊緻子集的交集是緊緻的。

3.41 M 中有限個緊緻子集的聯集是緊緻的。

3.42 考慮有理數空間 Q 配備 $R^1$ 的歐幾里得度量。令 S 由開區間 (a, b) 中所有的有理數組成，其中 a 與 b 皆為無理數。則 S 是 Q 中一個閉且有界的子集，但不是緊緻的。

內部與邊界的各種性質 (Miscellaneous properties of the interior and the boundary)
若 A 與 B 表示度量空間 M 的任意子集，證明以下敘述：

3.43 int $A = M - \overline{M - A}$ 。

3.44 int $(M - A) = M - \overline{A}$ 。

3.45 int (int A) = int A。

3.46
a) int $(\bigcap_{i=1}^n A_i) = \bigcap_{i=1}^n (\text{int } A_i)$ ，其中每個 $A_i \subseteq M$ 。
b) 若 F 為 M 中子集的無限集合族，則 int $(\bigcap_{A \in F} A) \subseteq \bigcap_{A \in F} (\text{int } A)$ 。
c) 給出一個 (b) 中不成立等式（等號）的例子。

3.47
a) $\bigcup_{A \in F} (\text{int } A) \subseteq \text{int}(\bigcup_{A \in F} A)$ 。
b) 給出一個有限集合族 F，使得 (a) 中不成立等式的例子。

3.48
a) 如果 A 是 M 中的開集或閉集，則 int $(\partial A) = \emptyset$ 。
b) 給出一個 int $(\partial A) = M$ 的例子。

3.49 如果 int A = int B = $\emptyset$ 且 A 在 M 中為閉集，則 int $(A \cup B) = \emptyset$ 。

3.50 給出一個 int A = int B = $\emptyset$ 但 int $(A \cup B) = M$ 的例子。

3.51 $\partial A = \overline{A} \cap \overline{M - A}$ 且 $\partial A = \partial(M - A)$ 。

3.52 若 $\overline{A} \cap \overline{B} = \emptyset$ ，則 $\partial(A \cup B) = \partial A \cup \partial B$ 。

筆記