筆記: 第一章實數與複數系統

1.1 簡介

數學分析以某種方式研究與實數相關的概念，因此我們對分析的學習將從討論實數系統開始。

有幾種方法可以用來引入實數。一種方法是從正整數 1, 2, 3, ... 作為未定義的概念開始，並用它們來建立一個更大的系統：正有理數（正整數的商）、它們的負數以及零。接著，有理數再被用來建構無理數，也就是像 $\sqrt{2}$ 這樣非有理數的實數。有理數和無理數共同構成了實數系統。

雖然這些內容是數學基礎的重要組成部分，但我們不會在此詳細描述。事實上，在分析學的多數階段，我們關心的是實數的性質，而不是建構它們的方法。因此，我們將把實數本身視為未定義的物件，它們滿足某些公理，而進一步的性質將從這些公理推導出來。由於讀者可能對接下來幾頁所討論的大多數實數性質感到熟悉，因此這裡的介紹會相當簡短。其目的是回顧重要的特徵，並讓讀者相信，如果有必要的話，所有的性質都可以追溯到這些公理。更詳細的論述可以在本章末尾的參考文獻中找到。

為了方便起見，我們使用一些基本的集合符號和術語。令 S 表示一個集合（物件的收集）。符號 $x \in S$ 表示物件 x 在集合 S 中，我們寫作 $x \notin S$ 來表示 x 不在 S 中。如果 S 中的每個物件也都在 T 中，則稱集合 S 為 T 的子集，我們寫作 $S \subseteq T$。如果一個集合包含至少一個物件，則稱該集合為非空集合。

我們假設存在一個非空的物件集合 R，稱為實數，它們滿足下面列出的十個公理。這些公理自然地分為三組，我們稱之為體公理（field axioms）、序公理（order axioms）以及完備性公理（completeness axiom，也稱為最小上界公理或連續性公理）。

1.2 體公理

伴隨實數集合 R，我們假設存在兩種運算，稱為加法和乘法，使得對於每一對實數 x 和 y，其和 $x+y$ 與積 $xy$ 都是由 x 和 y 唯一決定的實數，並滿足以下公理。（在下面出現的公理中，除非另有說明，否則 x, y, z 代表任意實數。）

公理 1. $x+y=y+x$，$xy=yx$ （交換律）。
公理 2. $x+(y+z)=(x+y)+z$，$x(yz)=(xy)z$ （結合律）。
公理 3. $x(y+z)=xy+xz$ （分配律）。
公理 4. 給定任意兩個實數 x 和 y，存在一個實數 z 使得 $x+z=y$。這個 z 記為 $y-x$；數字 $x-x$ 記為 0。（可以證明 0 獨立於 x。）我們將 $0-x$ 寫作 $-x$，並稱 $-x$ 為 x 的負數。
公理 5. 至少存在一個實數 $x \ne 0$。如果 x 和 y 是兩個實數且 $x \ne 0$，那麼存在一個實數 z 使得 $xz=y$。這個 z 記為 $y/x$；數字 $x/x$ 記為 1，並且可以證明它獨立於 x。如果 $x \ne 0$，我們將 $1/x$ 寫作 $x^{-1}$，並稱 $x^{-1}$ 為 x 的倒數。

從這些公理中，可以推導出所有常見的算術法則；例如 $-(-x)=x$、$(x^{-1})^{-1}=x$、$-(x-y)=y-x$、$x-y=x+(-y)$ 等等。（有關更詳細的解釋，請參閱參考文獻 1.1。）

1.3 序公理

我們還假設存在一個關係 <，它在實數之間建立了一種排序，並滿足以下公理：

公理 6. 關係 $x=y$、$x<y$、$x>y$ 恰有其一成立。
註：$x>y$ 的意義與 $y<x$ 相同。
公理 7. 如果 $x<y$，則對於每一個 z，我們都有 $x+z<y+z$。
公理 8. 如果 $x>0$ 且 $y>0$，則 $xy>0$。
公理 9. 如果 $x>y$ 且 $y>z$，則 $x>z$。

註：如果 $x>0$，則稱實數 x 為正數；如果 $x<0$，則稱為負數。我們用 $R^{+}$ 表示所有正實數的集合，用 $R^{-}$ 表示所有負實數的集合。

從這些公理中，我們可以推導出處理不等式的常見規則。例如，如果我們有 $x<y$，那麼當 z 為正數時 $xz<yz$，而當 z 為負數時 $xz>yz$。此外，如果 $x>y$ 且 $z>w$，其中 y 和 w 都是正數，則 $xz>yw$。（有關這些規則的完整討論，請參閱參考文獻 1.1。）

註：符號 $x \le y$ 被用作以下陳述的縮寫：「$x<y$ 或 $x=y$」。因此，我們有 $2 \le 3$ 因為 $2<3$；且 $2 \le 2$ 因為 $2=2$。符號 $\ge$ 的用法類似。如果 $x \ge 0$，則稱實數 x 為非負數。像 $x<y$、$y<z$ 這樣的一對聯立不等式通常被簡寫為 $x<y<z$。

下列定理是前面公理的簡單結果，在分析學的證明中經常被使用。

定理 1.1. 給定實數 a 和 b，使得對於每一個 $\epsilon>0$ 都有 $a \le b+\epsilon$。則 $a \le b$。
證明. 如果 $b<a$，那麼對於 $\epsilon=(a-b)/2$，不等式 (1) 將被違反，因為 $b+\epsilon=b+\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}<\frac{a+a}{2}=a$。因此，根據公理 6，我們必須有 $a \le b$。

公理 10（完備性公理）將在 1.11 節中描述。

1.4 實數的幾何表示

實數通常在幾何上表示為直線（稱為實數線或實軸）上的點。選擇一個點來代表 0，另一個點代表 1，如圖 1.1 所示。這個選擇決定了比例尺。在適當的歐幾里得幾何公理下，實數線上的每一個點對應且僅對應一個實數，反之，每一個實數也由線上唯一的一個點來表示。我們習慣上直接稱呼「點 x」，而不是「代表實數 x 的點」。

順序關係有一個簡單的幾何解釋。如果 $x<y$，則點 x 位於點 y 的左側，如圖 1.1 所示。正數位於 0 的右側，負數位於 0 的左側。如果 $a<b$，點 x 滿足不等式 $a<x<b$ 若且唯若 x 介於 a 和 b 之間。

1.5 區間

介於 a 和 b 之間的所有點的集合稱為區間。有時區分「包含端點」的區間與「不包含端點」的區間是很重要的。

符號。符號 $\{x : x \text{ 滿足 } P\}$ 將用於表示所有滿足性質 P 的實數 x 的集合。

定義 1.2. 假設 $a<b$。開區間 (a, b) 定義為集合
$(a,b)=\{x:a<x<b\}$。

閉區間 [a, b] 是集合 $\{x:a\le x\le b\}$。半開區間 $(a,b]$ 和 $[a, b)$ 也以類似方式定義，分別使用不等式 $a<x\le b$ 和 $a\le x<b$。無限區間定義如下：
$(a,+\infty)=\{x:x>a\}$， $[a,+\infty)=\{x:x\ge a\}$，
$(-\infty,a)=\{x:x<a\}$， $(-\infty,a]=\{x:x\le a\}$。
實數線 R 有時被稱為開區間 $(-\infty,+\infty)$。單一一個點被視為「退化」的閉區間。

註：符號 $+\infty$ 和 $-\infty$ 在這裡純粹是為了符號上的方便而使用，並不應被視為實數。稍後我們將擴展實數系統以包含這兩個符號，但在完成這一步之前，讀者應理解所有實數都是「有限的」。

1.6 整數

本節描述整數，它是 R 的一個特殊子集。在我們定義整數之前，先引入「歸納集（inductive set）」的概念會很方便。

定義 1.3. 一個實數集合如果具有以下兩個性質，則稱為歸納集：
a) 數字 1 在該集合中。
b) 對於集合中的每一個 x，數字 $x+1$ 也都在該集合中。

例如，R 是一個歸納集。正實數集 $R^{+}$ 也是。現在我們將正整數定義為那些屬於每一個歸納集的實數。

定義 1.4. 如果一個實數屬於每一個歸納集，則稱其為正整數。正整數的集合記為 $Z^{+}$。

集合 $Z^{+}$ 本身就是一個歸納集。它包含數字 1、數字 $1+1$（記為 2）、數字 $2+1$（記為 3），依此類推。由於 $Z^{+}$ 是每一個歸納集的子集，我們稱 $Z^{+}$ 為最小的歸納集。$Z^{+}$ 的這個性質有時被稱為歸納原理。我們假設讀者熟悉基於此原理的數學歸納法證明。（參見參考文獻 1.1。）下一節將給出這類證明的例子。

正整數的負數稱為負整數。正整數、負整數和 0（零）共同構成了一個集合 Z，我們簡稱其為整數集。

1.7 整數的唯一分解定理

如果 n 和 d 是整數，且對於某個整數 c 有 $n=cd$，我們稱 d 是 n 的因數（divisor），或者 n 是 d 的倍數（multiple），並記為 $d|n$（讀作：d 整除 n）。如果整數 $n>1$ 且 n 的正因數只有 1 和 n，則稱 n 為質數（prime）。如果 $n>1$ 且 n 不是質數，則稱 n 為合數（composite）。整數 1 既不是質數也不是合數。
本節將推導一些關於整數分解的基本結果，並最終得出唯一分解定理，也稱為算術基本定理。

基本定理指出：(1) 每一個大於 1 的整數 n 都可以表示為質因數的乘積；以及 (2) 除了因數的順序之外，這種分解方式是唯一的。證明第 (1) 部分很容易。

定理 1.5. 每一個整數 $n>1$ 要麼是質數，要麼是質數的乘積。
證明. 我們對 n 使用數學歸納法。當 $n=2$ 時，定理顯然成立。假設對於每一個滿足 $1<k<n$ 的整數 k，定理都成立。如果 n 不是質數，它會有一個滿足 $1<d<n$ 的正因數 d。因此 $n=cd$，其中 $1<c<n$。由於 c 和 d 都小於 n，它們各自要麼是質數，要麼是質數的乘積；因此 n 是質數的乘積。

在證明第 (2) 部分（分解的唯一性）之前，我們先引入一些進一步的概念。
如果 $d|a$ 且 $d|b$，我們稱 d 是 a 和 b 的公因數。下一個定理表明，每一對整數 a 和 b 都有一個公因數，它是 a 和 b 的線性組合。

定理 1.6. 每一對整數 a 和 b 都有一個形式如下的公因數 d：
$d=ax+by$
其中 x 和 y 是整數。此外，a 和 b 的每一個公因數都能整除這個 d。
證明. 首先假設 $a\ge0$，$b\ge0$，並對 $n=a+b$ 使用數學歸納法。如果 $n=0$，則 $a=b=0$，我們可以取 $d=0$ 以及 $x=y=0$。假設定理對於 $0,1,2,...,n-1$ 已經得到證明。由對稱性，我們可以假設 $a\ge b$。如果 $b=0$，取 $d=a$，$x=1$，$y=0$。如果 $b\ge1$，我們可以將歸納假設應用於 $a-b$ 和 b，因為它們的和是 $a=n-b\le n-1$。因此存在一個形式為 $d=(a-b)x+by$ 的 $a-b$ 和 b 的公因數 d。這個 d 也整除 $(a-b)+b=a$，所以 d 是 a 和 b 的公因數，並且我們有 $d=ax+(y-x)b$，這是一個 a 和 b 的線性組合。為了完成證明，我們需要證明每一個公因數都整除 d。因為公因數整除 a 和 b，所以它也整除線性組合 $ax+(y-x)b=d$。如果 $a\ge0$ 且 $b\ge0$，這就完成了證明。如果 a 和 b 中有一個或兩個為負數，將剛剛證明的結果應用於 $|a|$ 和 $|b|$ 即可。

註：如果 d 是一個形式為 $d=ax+by$ 的 a 和 b 的公因數，那麼 $-d$ 也是一個同形式的因數，$-d=a(-x)+b(-y)$。在這兩個公因數中，非負的那個被稱為 a 和 b 的最大公因數，記為 $gcd(a,b)$，或簡記為 $(a,b)$。如果 $(a,b)=1$，則稱 a 和 b 互質（relatively prime）。

定理 1.8. 如果質數 p 整除 ab，則 $p|a$ 或 $p|b$。更一般地說，如果質數 p 整除乘積 $a_{1}\cdot\cdot\cdot a_{k}$，則 p 至少整除其中一個因數。
證明. 假設 $p|ab$ 並且 p 不整除 a。如果我們能證明 $(p,a)=1$，那麼歐幾里得引理就蘊含了 $p|b$。令 $d=(p,a)$。那麼 $d|p$，所以 $d=1$ 或 $d=p$。我們不能有 $d=p$，因為 $d|a$ 但 p 不整除 a。因此 $d=1$。為了證明更一般的陳述，我們對因數的個數 k 使用歸納法。詳細過程留給讀者練習。

定理 1.9（唯一分解定理）. 每一個整數 $n>1$ 都可以表示為質因數的乘積，並且除了因數的順序之外，這種表示方式只有一種。
證明. 我們對 n 使用歸納法。當 $n=2$ 時定理為真。那麼，假設對於所有大於 1 且小於 n 的整數定理都為真。如果 n 是質數，就沒有什麼需要證明的了。因此假設 n 是合數，並且 n 有兩種質因數分解方式，比方說
$n=p_{1}p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{s}=q_{1}q_{2}\cdot\cdot\cdot q_{t}$ (2)
我們希望證明 $s=t$ 並且每一個 p 都等於某個 q。因為 $p_{1}$ 整除乘積 $q_{1}q_{2}\cdot\cdot\cdot q_{t}$，所以它至少整除其中一個因數。如果有必要的話重新排列 q 的標號，使得 $p_{1}|q_{1}$。那麼 $p_{1}=q_{1}$，因為 $p_{1}$ 和 $q_{1}$ 都是質數。在 (2) 式兩邊消去 $p_{1}$，我們得到
$\frac{n}{p_{1}}=p_{2}\cdot\cdot\cdot p_{s}=q_{2}\cdot\cdot\cdot q_{t}$
由於 n 是合數，所以 $1<n/p_{1}<n$；因此根據歸納假設，$n/p_{1}$ 的這兩種分解方式是完全相同的（除了因數的順序外）。因此這在 (2) 中也是成立的，證明完畢。

1.8 有理數

整數的商 $a/b$（其中 $b\ne0$）被稱為有理數。例如 $1/2$、$-7/5$ 和 6 都是有理數。有理數的集合記為 Q，它包含 Z 作為一個子集。讀者應注意，所有的體公理和序公理都被 Q 所滿足。

我們假設讀者熟悉有理數的某些基本性質。例如，如果 a 和 b 是有理數，它們的平均值 $(a+b)/2$ 也是有理數，並且介於 a 和 b 之間。因此，在任何兩個有理數之間都有無限多個有理數，這意味著如果給定一個特定的有理數，我們無法談論「下一個最大的」有理數。

1.9 無理數

非有理數的實數被稱為無理數。例如，數字 $\sqrt{2}$、e 和 $e^{\pi}$ 都是無理數。

通常，要證明某個特定的數字是無理數並不太容易。例如，對於 $e^{\pi}$ 的無理性就沒有簡單的證明。然而，某些數字（如 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{3}$）的無理性則不難建立，事實上，我們很容易就能證明以下定理：

定理 1.10. 如果 n 是一個非完全平方數的正整數，則 $\sqrt{n}$ 是無理數。
證明. 首先假設 n 不包含大於 1 的平方因數。我們假設 $\sqrt{n}$ 是有理數，並從中得出矛盾。令 $\sqrt{n}=a/b$，其中 a 和 b 是沒有共同因數的整數。那麼 $nb^{2}=a^{2}$，並且由於這個方程式的左邊是 n 的倍數，所以 $a^{2}$ 也是。然而，如果 $a^{2}$ 是 n 的倍數，那麼 a 本身也必須是 n 的倍數，因為 n 沒有大於 1 的平方因數。（這可以透過檢驗 a 的質因數分解來輕易看出。）這意味著 $a=cn$，其中 c 是某個整數。那麼方程式 $nb^{2}=a^{2}$ 就變成了 $nb^{2}=c^{2}n^{2}$，或者 $b^{2}=nc^{2}$。同樣的論證表明 b 也必須是 n 的倍數。因此 a 和 b 都是 n 的倍數，這與它們沒有共同因數的事實相矛盾。這就完成了 n 沒有大於 1 的平方因數時的證明。
如果 n 有一個平方因數，我們可以寫成 $n=m^{2}k$，其中 $k>1$ 且 k 沒有大於 1 的平方因數。那麼 $\sqrt{n}=m\sqrt{k}$；如果 $\sqrt{n}$ 是有理數，數字 $\sqrt{k}$ 也會是有理數，這與剛剛證明的結果相矛盾。

要證明數字 e 是無理數，需要另一種形式的論證。（我們假設讀者熟悉基礎微積分中的指數函數 $e^{x}$ 及其作為無窮級數的表示法。）

定理 1.11. 如果 $e^{x}=1+x+x^{2}/2!+x^{3}/3!+\cdot\cdot\cdot+x^{r}/n!+\cdot\cdot\cdot$，那麼數字 e 是無理數。
證明. 我們將證明 $e^{-1}$ 是無理數。$e^{-1}$ 的級數是一個交錯級數，其各項的絕對值穩定遞減。在這樣的交錯級數中，停在第 n 項所產生的誤差會與第一個被忽略的項具有相同的代數正負號，且其絕對值小於第一個被忽略的項。因此，如果我們令 $s_{\pi}=\sum_{k=0}^{\pi}(-1)^{k}/k!$，我們會得到以下不等式：
$0<e^{-1}-s_{2k-1}<\frac{1}{(2k)!}$
由此我們得到
$0<(2k-1)!(e^{-1}-s_{2k-1})<\frac{1}{2k}\le\frac{1}{2}$
(3) 對於任何整數 $k\ge1$ 皆成立。現在，$(2k-1)!s_{2k-1}$ 總是一個整數。如果 $e^{-1}$ 是有理數，那麼我們就可以選擇一個夠大的 k，使得 $(2k-1)! e^{-1}$ 也會是一個整數。由於 (3) 式的緣故，這兩個整數的差將會是一個介於 0 和 1/2 之間的數字，這是不可能的。因此 $e^{-1}$ 不可能是有理數，從而 e 也不可能是有理數。

註：關於 $\pi$ 是無理數的證明，請參見習題 7.33。

古希臘人早在西元前 500 年就意識到了無理數的存在。然而，直到十九世紀末才發展出令人滿意的這類數字的理論，當時由康托爾 (Cantor)、戴德金 (Dedekind) 和魏爾斯特拉斯 (Weierstrass) 提出了三種不同的理論。關於戴德金和康托爾理論的敘述以及它們的等價性，請參見參考文獻 1.6。

1.10 上界、最大元素、最小上界（上確界）

當我們嘗試解某些二次方程式時，無理數會在代數中出現。例如，我們希望能有一個實數 x 使得 $x^{2}=2$。從前面列出的九個公理中，我們無法證明這樣一個 x 存在於 R 中，因為這九個公理也同樣被 Q（有理數）所滿足，而我們已經證明了沒有任何一個有理數的平方是 2。完備性公理允許我們在實數系統中引入無理數，並且它賦予實數系統一個連續性的性質，這對分析學中的許多定理來說是基礎性的。

在我們描述完備性公理之前，先引入額外的術語和符號會很方便。
定義 1.12. 令 S 為一個實數集合。如果存在一個實數 b，使得對於 S 中的每一個 x 都有 $x\le b$，則稱 b 為 S 的一個上界，我們說 S 被 b 從上方有界（bounded above）。

我們說「一個上界」，因為每一個大於 b 的數字也會是上界。如果一個上界 b 也是 S 的一個成員，則 b 被稱為 S 的最大成員或最大元素。最多只能有一個這樣的 b。如果它存在，我們寫作
$b=max~S$

一個沒有上界的集合被稱為沒有上界（unbounded above）。
類似地可以闡述下界（lower bound）、從下方有界（bounded below）、最小成員（或最小元素）這些術語的定義。如果 S 有一個最小元素，我們將其記為 min S。

例子

集合 $R^{+}=(0,+\infty)$ 是沒有上界的。它沒有上界也沒有最大元素。它從下方被 0 有界，但沒有最小元素。
閉區間 $S=[0,1]$ 從上方被 1 有界，並從下方被 0 有界。事實上，max $S=1$ 且 min $S=0$。
半開區間 $S=[0,1)$ 從上方被 1 有界，但它沒有最大元素。它的最小元素是 0。

對於像例子 3 中那樣從上方有界但沒有最大元素的集合，有一個概念可以取代最大元素的位置。它被稱為該集合的最小上界或上確界（supremum），定義如下：
定義 1.13. 令 S 為一個從上方有界的實數集合。一個實數 b 如果具有以下兩個性質，則被稱為 S 的最小上界：
a) b 是 S 的一個上界。
b) 沒有小於 b 的數字是 S 的上界。

例子。如果 $S=[0,1]$，最大元素 1 同時也是 S 的一個最小上界。如果 $S=[0,1)$，數字 1 是 S 的一個最小上界，儘管 S 沒有最大元素。

證明一個集合不可能有兩個不同的最小上界是一個簡單的習題。因此，如果 S 存在最小上界，那就只有一個，我們可以談論「這一個」最小上界。

通常習慣上用更簡潔的術語 supremum（縮寫為 sup）來指代集合的最小上界。我們將採用這個慣例並寫作
$b=sup~S$
來表示 b 是 S 的上確界。如果 S 有最大元素，那麼 max $S=sup~S$。
S 的最大下界，或下確界（infimum），記為 inf S，定義方式與此類似。

1.11 完備性公理

我們關於實數系統的最後一個公理涉及上確界的概念。
公理 10. 每一個非空且從上方有界的實數集合 S 都有一個上確界；也就是說，存在一個實數 b 使得 $b=$ sup S。
作為這個公理的結果，隨之而來的是，每一個非空且從下方有界的實數集合都有一個下確界。

1.12 上確界的某些性質

本節討論上確界的一些基本性質，這些性質在本書中將會很有用。下確界也有一組相對應的性質，讀者應自行闡述。
第一個性質顯示，一個具有上確界的集合，包含與其上確界任意接近的數字。

定理 1.14（逼近性質）. 令 S 為一個非空的實數集合，具有上確界，比方說 $b=$ sup S。那麼對於每一個 $a<b$，在 S 中都存在某個 x 使得
$a<x\le b$。
證明. 首先，對於 S 中的所有 x 都有 $x\le b$。如果我們對 S 中的每一個 x 都有 $x\le a$，那麼 a 就會是 S 的一個小於其最小上界的上界。因此，S 中至少對於一個 x 有 $x>a$。

定理 1.15（加法性質）. 給定 R 的非空子集 A 和 B，令 C 表示集合
$C=\{x+y:x\in A,y\in B\}$。
如果 A 和 B 各自都有一個上確界，那麼 C 也有一個上確界，且
$sup~C=sup~A+sup~B$。
證明. 令 $a=sup~A$，$b=sup~B$。如果 $z\in C$，那麼 $z=x+y$，其中 $x\in A$，$y\in B$，因此 $z=x+y\le a+b$。故 $a+b$ 是 C 的一個上界，所以 C 有一個上確界，比方說 $c=sup~C$，並且 $c\le a+b$。接下來我們證明 $a+b\le c$。
選擇任何 $\epsilon>0$。根據定理 1.14，在 A 中存在一個 x 且在 B 中存在一個 y 使得
$a-\epsilon<x$
以及
$b-\epsilon<y$。
將這些不等式相加，我們得到
$a+b-2\epsilon<\dot{x}+y\le c.$ 因此，對於每一個 $\epsilon>0$ 都有 $a+b<c+2\epsilon$，所以，根據定理 1.1，有 $a+b\le c$。

下一個定理的證明留給讀者作為習題。
定理 1.16（比較性質）. 給定 R 的非空子集 S 和 T，使得對於 S 中的每一個 s 和 T 中的每一個 t 都有 $s\le t$。如果 T 有一個上確界，那麼 S 也有一個上確界，且
$sup~S\le sup~T$。

1.13 由完備性公理推導出的整數性質

定理 1.17. 正整數集合 $Z^{+}$（$1,2,3,...$）是沒有上界的。
證明. 如果 $Z^{+}$ 從上方有界，那麼 $Z^{+}$ 就會有一個上確界，比方說 $a=sup~Z^{+}$。根據定理 1.14，對於 $Z^{+}$ 中的某個 n 我們會有 $a-1<n$。那麼對於這個 n，就有 $n+1>a$。由於 $n+1\in Z^{+}$，這與 $a=sup~Z^{+}$ 的事實相矛盾。
定理 1.18. 對於每一個實數 x，都存在一個正整數 n 使得 $n>x$。
證明. 如果這不是真的，某個 x 就會是 $Z^{+}$ 的一個上界，這與定理 1.17 矛盾。

1.14 實數系統的阿基米德性質

下一個定理描述了實數系統的阿基米德性質。在幾何上，它告訴我們，任何線段，無論多長，都可以被有限數量的給定正長度（無論多短）的線段所覆蓋。
定理 1.19. 如果 $x>0$ 且 y 是一個任意實數，則存在一個正整數 n 使得 $nx>y$。
證明. 應用定理 1.18，並將 x 替換為 $y/x$。

1.15 具有有限小數表示的有理數

形式如下的實數
$r=a_{0}+\frac{a_{1}}{10}+\frac{a_{2}}{10^{2}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{a_{n}}{10^{n}}$
其中 $a_{0}$ 是一個非負整數，而 $a_{1},...,a_{n}$ 是滿足 $0\le a_{i}\le9$ 的整數，通常會更簡短地寫作如下形式：
$r=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdot\cdot\cdot a_{n}.$
這被稱為 r 的有限小數表示。例如，
$\frac{1}{2}=\frac{5}{10}=0.5,$ $\frac{1}{50}=\frac{2}{10^{2}}=0.02,$ $\frac{29}{4}=7+\frac{2}{10}+\frac{5}{10^{2}}=7.25.$
像這些實數必然是有理數，事實上，它們都具有 $r=a/10^{n}$ 的形式，其中 a 是一個整數。然而，並非所有的有理數都能以有限小數來表示。例如，如果 1/3 可以這樣表示，那麼我們就會有 $\frac{1}{3}=a/10^{n}$，或 $3a=10^{n}$，其中 a 是某個整數。但這是不可能的，因為 3 無法整除 10 的任何次方。

1.16 實數的有限小數近似

本節使用完備性公理來證明，實數可以透過具有有限小數表示的有理數，近似到任意所需的精確度。

定理 1.20. 假設 $x \ge 0$。那麼對於每一個整數 $n \ge 1$，都存在一個有限小數 $r_{n} = a_{0}.a_{1}a_{2}\cdot\cdot\cdot a_{n}$ 使得
$r_{n} \le x < r_{n} + \frac{1}{10^{n}}$

證明. 令 S 為所有 $\le x$ 的非負整數的集合。那麼 S 是一個非空集合，因為 $0 \in S$，且 S 被 x 從上方有界。因此 S 有一個上確界，比方說 $a_{0} = \sup S$。我們很容易驗證 $a_{0} \in S$，所以 $a_{0}$ 是一個非負整數。我們稱 $a_{0}$ 為 x 中的最大整數，並寫作 $a_{0} = [x]$。顯然，我們有
$a_{0} \le x < a_{0} + 1$
現在令 $a_{1} = [10x - 10a_{0}]$，即 $10x - 10a_{0}$ 中的最大整數。因為 $0 \le 10x - 10a_{0} = 10(x - a_{0}) < 10$，我們有 $0 \le a_{1} \le 9$ 並且
$a_{1} \le 10x - 10a_{0} < a_{1} + 1$。
換句話說，$a_{1}$ 是滿足下列不等式的最大整數：
$a_{0} + \frac{a_{1}}{10} \le x < a_{0} + \frac{a_{1} + 1}{10}$
更一般地說，在選定了 $a_{1}, ..., a_{n-1}$ 且 $0 \le a_{i} \le 9$ 之後，令 $a_{n}$ 為滿足以下不等式的最大整數：
$a_{0} + \frac{a_{1}}{10} + \cdot\cdot\cdot + \frac{a_{n}}{10^{n}} \le x < a_{0} + \frac{a_{1}}{10} + \cdot\cdot\cdot + \frac{a_{n} + 1}{10^{n}}$ (4)
那麼 $0 \le a_{n} \le 9$ 且我們有
$r_{n} \le x < r_{n} + \frac{1}{10^{n}}$，
其中 $r_{n} = a_{0}.a_{1}a_{2}\cdot\cdot\cdot a_{n}$。這就完成了證明。我們很容易驗證，x 實際上就是有理數集合 $r_{1}, r_{2}, ...$ 的上確界。

1.17 實數的無限小數表示

在定理 1.20 的證明中得到的整數 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, ...$ 可以用來定義 x 的無限小數表示。我們寫作
$x = a_{0}.a_{1}a_{2}\cdot\cdot\cdot$
來表示 $a_{n}$ 是滿足 (4) 式的最大整數。例如，如果 $x = 1/8$，我們求得 $a_{0} = 0$、$a_{1} = 1$、$a_{2} = 2$、$a_{3} = 5$，且對於所有 $n \ge 4$ 都有 $a_{n} = 0$。因此我們可以寫成
$1/8 = 0.125000\cdot\cdot\cdot$
如果我們將 (4) 中的不等式符號 $\le$ 和 $<$ 互換，我們會得到小數展開式的另一種略有不同的定義。有限小數 $r_{n}$ 會滿足 $r_{n} < x \le r_{n} + 10^{-n}$，儘管這些數字 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, ...$ 未必與 (4) 中的相同。例如，如果我們將這第二種定義應用於 $x = 1/8$，我們會得到無限小數表示
$1/8 = 0.124999\cdot\cdot\cdot$
一個實數可能會有兩種不同的小數表示，這個事實僅僅反映了兩個不同的實數集合可以具有相同上確界的事實。

1.18 絕對值與三角不等式

在分析學中，涉及不等式的計算非常頻繁。它們在處理絕對值的概念時特別重要。如果 x 是任意實數，x 的絕對值（記為 $|x|$）定義如下：
$|x| = \begin{cases} x, & \text{如果 } x \ge 0, \\ -x, & \text{如果 } x \le 0. \end{cases}$
關於絕對值的一個基本不等式在下文中給出：

定理 1.21. 如果 $a \ge 0$，那麼我們有不等式 $|x| \le a$，若且唯若 $-a \le x \le a$。
證明. 根據 x 的定義，我們有不等式 $-|x| \le x \le |x|$，因為 $x = |x|$ 或 $x = -|x|$。如果我們假設 $|x| \le a$，那麼我們可以寫出 $-a \le -|x| \le x \le |x| \le a$，因此定理的一半得證。反之，讓我們假設 $-a \le x \le a$。那麼如果 $x \ge 0$，我們有 $|x| = x \le a$；而如果 $x < 0$，我們有 $|x| = -x \le a$。在任何一種情況下我們都有 $|x| \le a$，定理得證。

我們可以使用這個定理來證明三角不等式。
定理 1.22. 對於任意實數 x 和 y，我們有
$|x+y| \le |x| + |y|$ （三角不等式）。
證明. 我們有 $-|x| \le x \le |x|$ 且 $-|y| \le y \le |y|$。相加給出 $-(|x| + |y|) \le x+y \le |x| + |y|$，根據定理 1.21，我們得出結論 $|x+y| \le |x| + |y|$。定理得證。

三角不等式經常以其他形式被使用。例如，如果我們在定理 1.22 中令 $x = a-c$ 且 $y = c-b$，我們求得
$|a-b| \le |a-c| + |c-b|$。
此外，從定理 1.22 中我們有 $|x| \ge |x+y| - |y|$。令 $x = a+b$、$y = -b$，我們獲得
$|a+b| \ge |a| - |b|$。
將 a 和 b 互換，我們也求得 $|a+b| \ge |b| - |a| = -(|a| - |b|)$，因此
$|a+b| \ge ||a| - |b||$。
藉由數學歸納法，我們還可以證明以下一般化形式：
$|x_{1} + x_{2} + \cdot\cdot\cdot + x_{n}| \le |x_{1}| + |x_{2}| + \cdot\cdot\cdot + |x_{n}|$
以及
$|x_{1} + x_{2} + \cdot\cdot\cdot + x_{n}| \ge |x_{1}| - |x_{2}| - \cdot\cdot\cdot - |x_{n}|$。

1.19 柯西-施瓦茨不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality)

我們現在將推導出另一個在分析學中經常被使用的不等式。
定理 1.23（柯西-施瓦茨不等式）. 如果 $a_{1}, ..., a_{n}$ 和 $b_{1}, ..., b_{n}$ 是任意實數，我們有
$(\sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k})^{2} \le (\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2})(\sum_{k=1}^{n} b_{k}^{2})$。
此外，如果某些 $a_{i} \ne 0$，則等式成立若且唯若存在一個實數 x 使得對於每一個 $k = 1, 2, ..., n$ 都有 $a_{k}x + b_{k} = 0$。
證明. 平方和永遠不會是負數。因此我們有
$\sum_{k=1}^{n} (a_{k}x + b_{k})^{2} \ge 0$
對於每一個實數 x 皆成立，且等式成立若且唯若每一項為零。這個不等式可以寫成以下形式：
$Ax^{2} + 2Bx + C \ge 0$
其中
$A = \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}$，$B = \sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k}$，$C = \sum_{k=1}^{n} b_{k}^{2}$。
如果 $A > 0$，代入 $x = -B/A$ 會得到 $B^{2} - AC \le 0$，這正是我們想要的不等式。如果 $A = 0$，證明是平凡的。

註：在向量符號中，柯西-施瓦茨不等式採取以下形式：
$(a \cdot b)^{2} \le ||a||^{2}||b||^{2}$，
其中 $a = (a_{1}, ..., a_{n})$、$b = (b_{1}, ..., b_{n})$ 是兩個 n 維向量，
$a \cdot b = \sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k}$，
是它們的內積（dot product），而 $||a|| = (a \cdot a)^{1/2}$ 是 a 的長度。

1.20 正負無限大與擴充實數系統 $R^{*}$

接下來我們藉由加入兩個被符號記為 $+\infty$ 和 $-\infty$（「正無限大」和「負無限大」）的「理想點」來擴充實數系統。

定義 1.24. 我們所指的擴充實數系統 $R^{*}$ 是實數集合 R 加上 $+\infty$ 和 $-\infty$ 兩個符號，且它們滿足以下性質：
a) 如果 $x \in R$，那麼我們有
$x + (+\infty) = +\infty$，$x + (-\infty) = -\infty$，
$x - (+\infty) = -\infty$，$x - (-\infty) = +\infty$
$x / (+\infty) = x / (-\infty) = 0$。
b) 如果 $x > 0$，那麼我們有
$x(+\infty) = +\infty$，$x(-\infty) = -\infty$。
c) 如果 $x < 0$，那麼我們有
$x(+\infty) = -\infty$，$x(-\infty) = +\infty$。
d) $(+\infty) + (+\infty) = (+\infty)(+\infty) = (-\infty)(-\infty) = +\infty$，
$(-\infty) + (-\infty) = (+\infty)(-\infty) = -\infty$。
e) 如果 $x \in R$，那麼我們有 $-\infty < x < +\infty$。

符號。我們將 R 記為 $(-\infty, +\infty)$，將 $R^{*}$ 記為 $[-\infty, +\infty]$。在 R 中的點被稱為「有限的」，以區別於「無限」點 $+\infty$ 和 $-\infty$。

引入符號 $+\infty$ 和 $-\infty$ 的主要原因之一是為了方便。例如，如果我們將 $+\infty$ 定義為一個沒有上界的實數集合的上確界（sup），那麼 R 的每一個非空子集在 $R^{*}$ 中都會有一個上確界。如果集合從上方有界，其 sup 是有限的；如果沒有從上方有界，則是無限的。類似地，我們將 $-\infty$ 定義為任何沒有下界的實數集合的下確界（inf）。那麼 R 的每一個非空子集在 $R^{*}$ 中都會有一個下確界。

對於某些稍後涉及極限的討論，引入以下術語也很方便。
定義 1.25. 每個開區間 $(a, +\infty)$ 都被稱為 $+\infty$ 的一個鄰域（neighborhood），或者是一個以 $+\infty$ 為中心的球（ball）。每個開區間 $(-\infty, a)$ 都被稱為 $-\infty$ 的一個鄰域，或者是一個以 $-\infty$ 為中心的球。

1.21 複數

由控制關係 < 的公理可知，實數的平方永遠不會是負數。因此，像 $x^2 = -1$ 這樣基本的二次方程式在實數中沒有解。為了提供這類方程式的解，我們引入了新型的數字，稱為複數 (complex numbers)。結果表明，引入複數的同時，也提供了形如
$a_0 + a_1x + \cdot\cdot\cdot + a_nx^n = 0$
的一般代數方程式的解，其中係數 $a_0, a_1, \dots, a_n$ 是任意實數。（這個事實被稱為代數基本定理。）

我們現在將定義複數並作進一步的詳細討論。

定義 1.26. 所謂複數，我們指的是一對有序的實數，記為 $(x_1, x_2)$。第一個成員 $x_1$ 稱為該複數的實部；第二個成員 $x_2$ 稱為虛部。兩個複數 $x = (x_1, x_2)$ 和 $y = (y_1, y_2)$ 稱為相等（記作 $x = y$），若且唯若 $x_1 = y_1$ 且 $x_2 = y_2$。我們透過以下方程式定義和 $x+y$ 與積 $xy$：
$x+y = (x_1+y_1, x_2+y_2)$，$xy = (x_1y_1 - x_2y_2, x_1y_2 + x_2y_1)$。

註：所有複數的集合將記為 C。

定理 1.27. 剛剛定義的加法和乘法運算滿足交換律、結合律和分配律。
證明. 我們只證明分配律；其他的證明更簡單。如果 $x = (x_1, x_2)$，$y = (y_1, y_2)$ 且 $z = (z_1, z_2)$，那麼我們有
$x(y+z) = (x_1, x_2)(y_1+z_1, y_2+z_2)$
$= (x_1y_1 + x_1z_1 - x_2y_2 - x_2z_2, x_1y_2 + x_1z_2 + x_2y_1 + x_2z_1)$
$= (x_1y_1 - x_2y_2, x_1y_2 + x_2y_1) + (x_1z_1 - x_2z_2, x_1z_2 + x_2z_1)$
$= xy + xz$。

定理 1.28.
$(x_1, x_2) + (0, 0) = (x_1, x_2)$，
$(x_1, x_2)(1, 0) = (x_1, x_2)$，
$(x_1, x_2)(0, 0) = (0, 0)$，
$(x_1, x_2) + (-x_1, -x_2) = (0, 0)$。
證明. 這裡的證明可以直接由定義得出，如同定理 1.29、1.30、1.32 和 1.33 的證明一樣。

定理 1.29. 給定兩個複數 $x = (x_1, x_2)$ 和 $y = (y_1, y_2)$，存在一個複數 z 使得 $x+z=y$。事實上，$z = (y_1-x_1, y_2-x_2)$。這個 z 記為 $y-x$。複數 $(-x_1, -x_2)$ 記為 $-x$。

定理 1.30. 對於任意兩個複數 x 和 y，我們有
$(-x)y = x(-y) = -(xy) = (-1, 0)(xy)$。

定義 1.31. 如果 $x = (x_1, x_2) \ne (0, 0)$ 且 y 是複數，我們定義
$x^{-1} = [x_1/(x_1^2+x_2^2), -x_2/(x_1^2+x_2^2)]$，並且 $y/x = yx^{-1}$。

定理 1.32. 如果 x 和 y 是複數且 $x \ne (0, 0)$，存在一個複數 z 使得 $xz = y$，即 $z = yx^{-1}$。

虛部為 0 的複數運算特別令人感興趣。

定理 1.33.
$(x_1, 0) + (y_1, 0) = (x_1+y_1, 0)$，
$(x_1, 0)(y_1, 0) = (x_1y_1, 0)$，
$(x_1, 0)/(y_1, 0) = (x_1/y_1, 0)$，如果 $y_1 \ne 0$。

註：從定理 1.33 可以明顯看出，我們對虛部為零的複數進行算術運算時，可以僅對實部進行常見的實數運算。因此，形式為 $(x, 0)$ 的複數具有與實數相同的算術性質。基於這個原因，將實數系統視為複數系統的特例是很方便的，而且我們同意將複數 $(x, 0)$ 與實數 x 視為同一物。因此，我們寫作 $x = (x, 0)$。特別是，$0 = (0, 0)$ 且 $l = (1, 0)$。

1.22 複數的幾何表示

正如實數在幾何上表示為直線上的點一樣，複數表示為平面上的點。複數 $x = (x_1, x_2)$ 可以被視為具有座標 $(x_1, x_2)$ 的「點」。這樣一來，加法的定義就等同於平行四邊形法則的加法。
$x+y = (x_1+y_1, x_2+y_2)$

將複數以幾何方式表示為平面上的點的想法是由高斯 (Gauss) 在 1799 年的論文中提出的，而阿爾岡 (Argand) 在 1806 年也獨立提出了這個想法。高斯後來創造了「複數」這個有點不貼切的詞。
複數的其他幾何解釋也是可能的。除了使用平面上的點，我們還可以使用其他曲面上的點。黎曼 (Riemann) 發現球面為此目的特別方便。球面的點被從北極投影到南極的切平面上，因此平面上的每一個點都對應著球面上的一個確定點。除了北極本身之外，球面的每一個點都恰好對應平面上的一個點。這種對應關係被稱為球極平面投影 (stereographic projection)。

1.23 虛數單位

將複數 $(x_1, x_2)$ 視為一個具有分量 $x_1$ 和 $x_2$ 的二維向量通常很方便。藉由定義 1.26 來將兩個複數相加，等同於將兩個向量逐個分量相加。複數 $1 = (1, 0)$ 扮演了水平方向單位向量的角色。現在將引入垂直方向單位向量的類比物。

定義 1.34. 複數 $(0, 1)$ 記為 i，並被稱為虛數單位 (imaginary unit)。

定理 1.35. 每一個複數 $x = (x_1, x_2)$ 都可以表示為 $x = x_1 + ix_2$ 的形式。
證明. $x_1 = (x_1, 0)$，$ix_2 = (0, 1)(x_2, 0) = (0, x_2)$，
$x_1 + ix_2 = (x_1, 0) + (0, x_2) = (x_1, x_2)$。

下一個定理告訴我們，複數 i 為我們提供了方程式 $x^2 = -1$ 的解。
定理 1.36. $i^2 = -1$。
證明. $i^2 = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1$。

1.24 複數的絕對值

我們現在將絕對值的概念擴展到複數系統。

定義 1.37. 如果 $x = (x_1, x_2)$，我們定義 x 的模 (modulus) 或絕對值為非負實數 $|x|$，由下式給出
$|x| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$。

定理 1.38.
i) $|(0, 0)| = 0$，且如果 $x \ne 0$，則 $|x| > 0$。
ii) $|xy| = |x||y|$。
iii) 如果 $y \ne 0$，則 $|x/y| = |x|/|y|$。
iv) $|(x_1, 0)| = |x_1|$。
證明. 陳述 (i) 和 (iv) 可直接由定義得出。為了證明 (ii)，我們寫作 $x = x_1 + ix_2$，$y = y_1 + iy_2$，因此 $xy = x_1y_1 - x_2y_2 + i(x_1y_2 + x_2y_1)$。陳述 (ii) 可由以下關係式得出
$|xy|^2 = x_1^2y_1^2 + x_2^2y_2^2 + x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2 = (x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2) = |x|^2|y|^2$。
方程式 (iii) 可以透過將其寫成 $|x| = |y||x/y|$ 的形式從 (ii) 推導出來。

在幾何上，$|x|$ 代表連接原點與點 x 的線段長度。更一般地說，$|x-y|$ 是點 x 和 y 之間的距離。使用這種幾何解釋，下列定理表明三角形的一邊小於其他兩邊之和。

定理 1.39. 如果 x 和 y 是複數，那麼我們有
$|x+y| \le |x| + |y|$ （三角不等式）。
證明留給讀者作為練習。

1.25 複數無法排序

到目前為止，如果 x 和 y 是任意複數，我們尚未定義形式為 $x<y$ 的關係，原因是不可能為複數給出一個滿足公理 6 至 8 中所有性質的 < 的定義。為了說明，假設我們能夠定義一個滿足公理 6、7 和 8 的順序關係 <。那麼，因為 $i \ne 0$，根據公理 6，我們必須有 $i>0$ 或 $i<0$。
讓我們假設 $i>0$。那麼在公理 8 中取 $x=y=i$，我們得到 $i^2 > 0$，即 $-1 > 0$。兩邊加 1（公理 7），我們得到 $0 > 1$。另一方面，將公理 8 應用於 $-1 > 0$ 我們發現 $1 > 0$。因此我們同時有 $0 > 1$ 和 $1 > 0$，這根據公理 6 是不可能的。因此假設 $i>0$ 會導致矛盾。［為何不等式 $-1>0$ 本身還不是一個矛盾？］
類似的論證表明我們不能有 $i<0$。因此複數不能以滿足公理 6、7 和 8 的方式進行排序。

1.26 複指數 (Complex Exponentials)

前面已經提到過指數 $e^x$ (x 為實數)。我們現在希望當 z 為複數時定義 $e^z$，並使得實指數函數的主要性質得以保留。$e^x$ 當 x 為實數時的主要性質是指數律 $e^{x_1}e^{x_2} = e^{x_1+x_2}$，以及方程式 $e^0 = 1$。我們將對複數 z 給出 $e^z$ 的定義，這個定義保留了這些性質，並且當 z 為實數時會退化為普通的指數。
如果我們寫成 $z = x+iy$ (x, y 為實數)，那麼為了讓指數律成立，我們希望 $e^{x+iy} = e^x e^{iy}$。因此，剩下的就是要定義 $e^{iy}$ 是什麼意思。

定義 1.40. 如果 $z = x+iy$，我們定義 $e^z = e^{x+iy}$ 為複數
$e^z = e^x (\cos y + i \sin y)$。
這定義當 z 為實數時（即 $y=0$）與實指數函數一致。我們接下來證明指數律依然成立。

定理 1.41. 如果 $z_1 = x_1+iy_1$ 且 $z_2 = x_2+iy_2$ 是兩個複數，那麼我們有
$e^{z_1}e^{z_2} = e^{z_1+z_2}$。
證明.
$e^{z_1} = e^{x_1}(\cos y_1 + i \sin y_1)$， $e^{z_2} = e^{x_2}(\cos y_2 + i \sin y_2)$；
$e^{z_1}e^{z_2} = e^{x_1}e^{x_2}[\cos y_1 \cos y_2 - \sin y_1 \sin y_2 + i(\cos y_1 \sin y_2 + \sin y_1 \cos y_2)]$
因為 $x_1$ 和 $x_2$ 都是實數，所以 $e^{x_1}e^{x_2} = e^{x_1+x_2}$。同時，
$\cos y_1 \cos y_2 - \sin y_1 \sin y_2 = \cos(y_1+y_2)$
且
$\cos y_1 \sin y_2 + \sin y_1 \cos y_2 = \sin(y_1+y_2)$，
因此
$e^{z_1}e^{z_2} = e^{x_1+x_2}[\cos(y_1+y_2) + i \sin(y_1+y_2)] = e^{z_1+z_2}$。

1.27 複指數的進一步性質

在以下的定理中，z、$z_1$、$z_2$ 表示複數。

定理 1.42. $e^z$ 永遠不會是零。
證明. $e^z e^{-z} = e^0 = 1$。因此 $e^z$ 不可能為零。

定理 1.43. 如果 x 是實數，則 $|e^{ix}| = 1$。
證明. $|e^{ix}|^2 = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$，且 $|e^{ix}| > 0$。

定理 1.44. $e^z = 1$ 若且唯若 z 是 $2\pi i$ 的整數倍。
證明. 如果 $z = 2\pi in$，其中 n 是整數，那麼
$e^z = \cos(2\pi n) + i \sin(2\pi n) = 1$。
反之，假設 $e^z = 1$。這意味著 $e^x \cos y = 1$ 且 $e^x \sin y = 0$。因為 $e^x \ne 0$，我們必須有 $\sin y = 0$，$y = k\pi$，其中 k 是整數。但是 $\cos(k\pi) = (-1)^k$。因此 $e^x = (-1)^k$，因為 $e^x \cos(k\pi) = 1$。由於 $e^x > 0$，k 必須是偶數。因此 $e^x = 1$，從而 $x = 0$。這證明了本定理。

定理 1.45. $e^{z_1} = e^{z_2}$ 若且唯若 $z_1 - z_2 = 2\pi in$ (其中 n 是整數)。
證明. $e^{z_1} = e^{z_2}$ 若且唯若 $e^{z_1-z_2} = 1$。

1.28 複數的輻角 (Argument)

如果點 $z = (x, y) = x+iy$ 由極座標 r 和 $\theta$ 表示，我們可以寫作 $x = r \cos \theta$ 且 $y = r \sin \theta$，因此 $z = r \cos \theta + ir \sin \theta = re^{i\theta}$。這兩個數字 r 和 $\theta$ 唯一決定了 z。反之，正數 r 由 z 唯一決定；事實上，$r = |z|$。然而，z 只能將角度 $\theta$ 決定到相差 $2\pi$ 的整數倍為止。有無限多個 $\theta$ 的值滿足方程式 $x = |z|\cos \theta$，$y = |z|\sin \theta$，但當然，它們中任意兩個的差都是某個 $2\pi$ 的倍數。每一個這樣的 $\theta$ 被稱為 z 的一個輻角，但其中一個值被特別挑選出來，稱為 z 的主輻角 (principal argument)。

定義 1.46. 令 $z = x+iy$ 為一個非零複數。滿足以下條件的唯一實數 $\theta$
$x = |z|\cos \theta$，$y = |z|\sin \theta$，
$-\pi < \theta \le +\pi$
被稱為 z 的主輻角，記為 $\theta = \arg(z)$。

上面的討論立即得出以下定理：
定理 1.47. 每一個複數 $z \ne 0$ 都可以表示為 $z = re^{i\theta}$ 的形式，其中 $r = |z|$ 且 $\theta = \arg(z) + 2\pi n$，n 為任何整數。

註：這種表示複數的方法在乘法和除法上特別有用，因為我們有
$(r_1e^{i\theta_1})(r_2e^{i\theta_2}) = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$
以及
$\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}$。

定理 1.48. 如果 $z_1z_2 \ne 0$，則 $\arg(z_1z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) + 2\pi n(z_1, z_2)$，其中
$n(z_1, z_2) = \begin{cases} 0, & \text{如果 } -\pi < \arg(z_1) + \arg(z_2) \le +\pi, \\ +1, & \text{如果 } -2\pi < \arg(z_1) + \arg(z_2) \le -\pi, \\ -1, & \text{如果 } \pi < \arg(z_1) + \arg(z_2) \le 2\pi. \end{cases}$
證明. 寫成 $z_1 = |z_1|e^{i\theta_1}$，$z_2 = |z_2|e^{i\theta_2}$，其中 $\theta_1 = \arg(z_1)$ 且 $\theta_2 = \arg(z_2)$。那麼 $z_1z_2 = |z_1z_2|e^{i(\theta_1+\theta_2)}$。因為 $-\pi < \theta_1 \le +\pi$ 且 $-\pi < \theta_2 \le +\pi$，我們有 $-2\pi < \theta_1+\theta_2 \le 2\pi$。因此存在一個整數 n 使得 $-\pi < \theta_1+\theta_2+2n\pi \le \pi$。這個 n 與定理中給出的整數 $n(z_1, z_2)$ 相同，且對於這個 n 我們有 $\arg(z_1z_2) = \theta_1+\theta_2+2\pi n$。這證明了定理。

1.29 複數的整數次方與根

定義 1.49. 給定一個複數 z 和一個整數 n，我們如下定義 z 的 n 次方：
$z^0 = 1$，$z^{n+1} = z^n z$，如果 $n \ge 0$。
$z^{-n} = (z^{-1})^n$，如果 $z \ne 0$ 且 $n > 0$。

定理 1.50（說明常見的指數律成立）可以透過數學歸納法證明。證明留作練習。

定理 1.50. 給定兩個整數 m 和 n，對於 $z \ne 0$，我們有
$z^n z^m = z^{n+m}$ 以及 $(z_1z_2)^n = z_1^n z_2^n$。

定理 1.51. 如果 $z \ne 0$，且如果 n 是一個正整數，那麼恰好有 n 個相異的複數 $z_0, z_1, \dots, z_{n-1}$（稱為 z 的 n 次方根），使得對於每一個 $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ 都有
$z_k^n = z$。
此外，這些根由以下公式給出：
$z_k = Re^{i\phi_k}$，其中
$R = |z|^{1/n}$，
$\phi_k = \frac{\arg(z)}{n} + \frac{2\pi k}{n}$ $(k = 0, 1, 2, \dots, n-1)$。
註：z 的 n 個 n 次方根等距分佈在以原點為中心、半徑為 $R = |z|^{1/n}$ 的圓上。
證明. 這 n 個複數 $Re^{i\phi_k}$（$0 \le k \le n-1$）是相異的，且每一個都是 z 的 n 次方根，因為
$(Re^{i\phi_k})^n = R^n e^{in\phi_k} = |z|e^{i[\arg(z)+2\pi k]} = z$。
我們現在必須證明 z 沒有其他的 n 次方根。假設 $w = Ae^{i\alpha}$ 是一個使得 $w^n = z$ 的複數。那麼 $|w|^n = |z|$，因此 $A^n = |z|$，$A = |z|^{1/n}$。因此，$w^n = z$ 可以寫成 $e^{in\alpha} = e^{i[\arg(z)]}$，這意味著
$n\alpha - \arg(z) = 2\pi k$，對於某個整數 k。
因此 $\alpha = [\arg(z) + 2\pi k]/n$。但當 k 取遍所有整數值時，w 只會取到相異的值 $z_0, \dots, z_{n-1}$。

1.30 複對數 (Complex Logarithms)

根據定理 1.42，$e^z$ 永遠不會是零。我們很自然地會問是否還有其他 $e^z$ 無法取到的值。下一個定理表明，零是唯一的例外值。
定理 1.52. 如果 z 是一個 $\ne 0$ 的複數，那麼存在複數 w 使得 $e^w = z$。其中一個這樣的 w 是複數
$\log|z| + i \arg(z)$，
並且任何其他這樣的 w 都必須具有以下形式：
$\log|z| + i \arg(z) + 2n\pi i$，
其中 n 是一個整數。
證明. 因為 $e^{\log|z|+i\arg(z)} = e^{\log|z|}e^{i\arg(z)} = |z|e^{i\arg(z)} = z$，我們可知 $w = \log|z|+i\arg(z)$ 是方程式 $e^w = z$ 的一個解。但如果 $w_1$ 是任何其他的解，那麼 $e^w = e^{w_1}$，因此 $w - w_1 = 2n\pi i$。

定義 1.53. 令 $z \ne 0$ 為一個給定的複數。如果 w 是一個使得 $e^w = z$ 的複數，則稱 w 為 z 的一個對數。由以下公式給出的 w 的特定值
$w = \log|z| + i \arg(z)$
被稱為 z 的主對數 (principal logarithm)，對於這個 w 我們寫作
$w = \text{Log } z$。

例子

因為 $|i| = 1$ 且 $\arg(i) = \pi/2$，所以 $\text{Log}(i) = i\pi/2$。
因為 $|-i| = 1$ 且 $\arg(-i) = -\pi/2$，所以 $\text{Log}(-i) = -i\pi/2$。
因為 $|-1| = 1$ 且 $\arg(-1) = \pi$，所以 $\text{Log}(-1) = \pi i$。
如果 $x > 0$，$\text{Log}(x) = \log x$，因為 $|x| = x$ 且 $\arg(x) = 0$。
因為 $|1+i| = \sqrt{2}$ 且 $\arg(1+i) = \pi/4$，所以 $\text{Log}(1+i) = \log\sqrt{2} + i\pi/4$。

定理 1.54. 如果 $z_1z_2 \ne 0$，則
$\text{Log}(z_1z_2) = \text{Log } z_1 + \text{Log } z_2 + 2\pi i n(z_1, z_2)$，
其中 $n(z_1, z_2)$ 是定理 1.48 中定義的整數。
證明.
$\text{Log}(z_1z_2) = \log|z_1z_2| + i \arg(z_1z_2)$
$= \log|z_1| + \log|z_2| + i[\arg(z_1) + \arg(z_2) + 2\pi n(z_1, z_2)]$

1.31 複數的次方 (Complex Powers)

利用複對數，我們現在可以對複數的複數次方給出一個定義。
定義 1.55. 如果 $z \ne 0$ 且如果 w 是任何複數，我們定義
$z^w = e^{w \text{ Log } z}$。

例子

$i^i = e^{i \text{ Log } i} = e^{i(i\pi/2)} = e^{-\pi/2}$。
$(-1)^i = e^{i \text{ Log } (-1)} = e^{i(i\pi)} = e^{-\pi}$。
如果 n 是整數，那麼 $z^{n+1} = e^{(n+1)\text{Log } z} = e^{n \text{ Log } z}e^{\text{Log } z} = z^n z$，所以定義 1.55 不會與定義 1.49 衝突。

接下來的兩個定理給出了複數次方的計算規則：
定理 1.56. 如果 $z \ne 0$，則 $z^{w_1} z^{w_2} = z^{w_1+w_2}$。
證明. $z^{w_1+w_2} = e^{(w_1+w_2)\text{Log } z} = e^{w_1\text{Log } z}e^{w_2\text{Log } z} = z^{w_1}z^{w_2}$。

定理 1.57. 如果 $z_1z_2 \ne 0$，則
$(z_1z_2)^w = z_1^w z_2^w e^{2\pi i w n(z_1, z_2)}$；
其中 $n(z_1, z_2)$ 是定理 1.48 中定義的整數。
證明. $(z_1z_2)^w = e^{w \text{ Log}(z_1z_2)} = e^{w[\text{Log } z_1 + \text{Log } z_2 + 2\pi i n(z_1, z_2)]}$。

1.32 複數正弦與餘弦

定義 1.58. 給定一個複數 z，我們定義
$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$，$\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$。
註：當 z 為實數時，這些方程式與定義 1.40 一致。

定理 1.59. 如果 $z = x+iy$，那麼我們有
$\cos z = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y$，
$\sin z = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y$。
證明.
$2 \cos z = e^{iz} + e^{-iz}$
$= e^{-y}(\cos x + i \sin x) + e^y(\cos x - i \sin x)$
$= \cos x(e^y + e^{-y}) - i \sin x(e^y - e^{-y})$
$= 2 \cos x \cosh y - 2i \sin x \sinh y$。
$\sin z$ 的證明與此類似。

1.33 無限大與擴充複數平面 $C^*$

接下來，我們藉由加入一個由符號 $\infty$ 表示的理想點來擴充複數系統。
定義 1.60. 我們所指的擴充複數系統 $C^*$ 是複數平面 C 加上一個符號 $\infty$，且滿足以下性質：
a) 如果 $z \in C$，那麼我們有 $z + \infty = z - \infty = \infty$，$z/\infty = 0$。
b) 如果 $z \in C$ 且 $z \ne 0$，那麼 $z(\infty) = \infty$ 且 $z/0 = \infty$。
c) $\infty + \infty = (\infty)(\infty) = \infty$。

定義 1.61. 在 C 中，每一個形式為 $\{z : |z| > r \ge 0\}$ 的集合都被稱為 $\infty$ 的一個鄰域，或者是一個以 $\infty$ 為中心的球。

讀者可能會想知道，為什麼 R 中加入了兩個符號 $+\infty$ 和 $-\infty$，而 C 中卻只加入了一個符號 $\infty$。答案在於實數之間存在順序關係 <，但複數之間沒有這樣的關係。為了讓某些涉及 < 關係的實數性質能毫無例外地成立，我們需要 $+\infty$ 和 $-\infty$ 兩個符號。我們已經提到過，在 $R^*$ 中每一個非空集合都有一個上確界。
在 C 中，事實證明只擁有一個理想點會更方便。舉例說明，讓我們回想一下球極平面投影，它在複數平面的點與球面上不同於北極的點之間建立了對應。如果將北極的例外情況視為理想點 $\infty$ 的幾何代表，就可以將其消除。然後我們在擴充複數平面 $C^*$ 和球的總表面之間得到了一一對應。在幾何上很明顯，如果南極被放置在複平面的原點上，平面上一個「大」圓的外部在球面上將透過球極平面投影對應到一個包圍北極的「小」球冠。這生動地說明了為何我們用不等式 $|z|>r$ 來定義 $\infty$ 的鄰域。

習題

整數

1.1 證明不存在最大的質數。（歐幾里得已知此證明。）

1.2 若 n 為正整數，證明代數恆等式
$a^n - b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-1-k}$。

1.3 若 $2^n-1$ 是質數，證明 n 是質數。形式為 $2^p-1$（其中 p 為質數）的質數被稱為梅森質數（Mersenne prime）。

1.4 若 $2^n+1$ 是質數，證明 n 是 2 的次方。形式為 $2^{2^m}+1$ 的質數被稱為費馬質數（Fermat prime）。提示：利用習題 1.2。

1.5 費波那契數列（Fibonacci numbers）1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... 由遞迴公式 $x_{n+1}=x_n+x_{n-1}$ 定義，且 $x_1=x_2=1$。證明 $(x_n, x_{n+1})=1$ 以及 $x_n=(a^n-b^n)/(a-b)$，其中 a 和 b 是二次方程式 $x^2-x-1=0$ 的根。

1.6 證明每個非空的正整數集合都包含一個最小的元素。這被稱為良序原理（well-ordering principle）。

有理數與無理數

1.7 求小數展開式為 $0.3344444...$ 的有理數。

1.8 證明實數 x 的小數展開式會以零（或以九）結尾的充要條件為：x 是一個有理數，且其分母的形式為 $2^m 5^n$，其中 m 和 n 為非負整數。

1.9 證明 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 是無理數。

1.10 若 a, b, c, d 為有理數且 x 為無理數，證明 $(ax+b)/(cx+d)$ 通常是無理數。何時會出現例外？

1.11 給定任意實數 $x>0$，證明在 0 和 x 之間存在一個無理數。

1.12 若 $a/b < c/d$ 且 $b>0, d>0$，證明 $(a+c)/(b+d)$ 介於 $a/b$ 和 $c/d$ 之間。

1.13 令 a 和 b 為正整數。證明 $\sqrt{2}$ 恆介於 $a/b$ 和 $(a+2b)/(a+b)$ 兩個分數之間。哪一個分數更接近 $\sqrt{2}$？

1.14 證明對每個整數 $n \ge 1$，$\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$ 是無理數。

1.15 給定實數 x 和整數 $N>1$，證明存在整數 h 和 k 滿足 $0<k \le N$ 使得 $|kx-h|<1/N$。提示：考慮 $N+1$ 個數字 $tx-[tx]$（$t=0,1,2,...,N$），並證明某對數字的差最多為 $1/N$。

1.16 若 x 是無理數，證明有無限多個滿足 $k>0$ 的有理數 $h/k$，使得 $|x-h/k|<1/k^2$。提示：假設只有有限個 $h_1/k_1, ..., h_r/k_r$，並令 $\delta$ 為數字 $|x-h_i/k_i|$ 中的最小值。對 $N>1/\delta$ 應用習題 1.15 來得出矛盾。

1.17 令 x 為下列形式的正有理數
$x=\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k!}$
其中每個 $a_k$ 是非負整數，且當 $k \ge 2$ 時 $a_k \le k-1$，並有 $a_n>0$。令 $[x]$ 表示 x 中的最大整數。證明 $a_1=[x]$，以及當 $k=2,...,n$ 時 $a_k=[k!x]-k[(k-1)!x]$，並證明 n 是使得 $n!x$ 為整數的最小整數。反之，證明每個正有理數 x 都可以唯一地表示成這種形式。

上界

1.18 證明集合的上確界（sup）和下確界（inf）只要存在就是唯一決定的。

1.19 找出下列各實數集合的上確界和下確界：
a) 所有形式為 $2^{-p}+3^{-q}+5^{-r}$ 的數字，其中 p, q, r 取遍所有正整數值。
b) $S=\{x : 3x^2-10x+3<0\}$。
c) $S=\{x : (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)<0\}$，其中 $a<b<c<d$。

1.20 證明上確界的比較性質（定理 1.16）。

1.21 令 A 和 B 為兩個從上方有界的正數集合，並令 $a=\sup A$，$b=\sup B$。令 C 為所有形式為 xy 的乘積集合，其中 $x \in A$ 且 $y \in B$。證明 $ab=\sup C$。

1.22 給定 $x>0$ 以及整數 $k \ge 2$。令 $a_0$ 表示 $\le x$ 的最大整數，並假設 $a_0, a_1, ..., a_{n-1}$ 已被定義，令 $a_n$ 表示滿足下列條件的最大整數
$a_0 + \frac{a_1}{k} + \frac{a_2}{k^2} + ... + \frac{a_n}{k^n} \le x$。
a) 證明對每個 $i=1, 2, ...$，都有 $0 \le a_i \le k-1$。
b) 令 $r_n = a_0 + a_1 k^{-1} + a_2 k^{-2} + ... + a_n k^{-n}$，並證明 x 是有理數集合 $r_1, r_2, ...$ 的上確界。
註：當 k=10 時，整數 $a_0, a_1, a_2, ...$ 是 x 的十進位表示法的位數。對於一般的 k，它們提供了在 k 進位制下的表示法。

不等式

1.23 證明實數的拉格朗日恆等式（Lagrange's identity）：
$(\sum_{k=1}^n a_k b_k)^2 = (\sum_{k=1}^n a_k^2)(\sum_{k=1}^n b_k^2) - \sum_{1 \le k < j \le n} (a_k b_j - a_j b_k)^2$。
注意這個恆等式蘊含了柯西-施瓦茨不等式。

1.24 證明對於任意實數 $a_k, b_k, c_k$，我們有
$(\sum_{k=1}^n a_k b_k c_k)^4 \le (\sum_{k=1}^n a_k^4)(\sum_{k=1}^n b_k^2)^2(\sum_{k=1}^n c_k^4)$。

1.25 證明閔考斯基不等式（Minkowski's inequality）：
$(\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)^2)^{1/2} \le (\sum_{k=1}^n a_k^2)^{1/2} + (\sum_{k=1}^n b_k^2)^{1/2}$。
這是 n 維向量的三角不等式 $||a+b|| \le ||a|| + ||b||$，其中 $a=(a_1,...,a_n)$，$b=(b_1,...,b_n)$ 且 $||a||=(\sum_{k=1}^n a_k^2)^{1/2}$。

1.26 若 $a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n$ 且 $b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n$，證明
$(\sum_{k=1}^n a_k)(\sum_{k=1}^n b_k) \le n \sum_{k=1}^n a_k b_k$。
提示：$\sum_{1 \le j \le k \le n}(a_k-a_j)(b_k-b_j) \ge 0$。

複數

1.27 將下列複數表示為 $a+bi$ 的形式。
a) $(1+i)^3$
b) $(2+3i)/(3-4i)$
c) $i^5+i^{16}$
d) $\frac{1}{2}(1+i)(1+i^{-8})$。

1.28 對於每種情況，求出所有滿足給定關係的實數 x 和 y。
a) $x+iy = |x-iy|$
b) $x+iy = (x-iy)^2$
c) $\sum_{k=0}^{100} i^k = x+iy$。

1.29 若 $z=x+iy$，$x$ 和 $y$ 為實數，z 的複數共軛為複數 $\overline{z}=x-iy$。證明：
a) $\overline{z_1+z_2} = \overline{z}_1 + \overline{z}_2$，
b) $\overline{z_1 z_2} = \overline{z}_1 \overline{z}_2$，
c) $z\overline{z} = |z|^2$，
d) $z+\overline{z} = z$ 的實部的兩倍，
e) $(z-\overline{z})/i = z$ 的虛部的兩倍。

1.30 在幾何上描述滿足下列各條件的複數 z 的集合：
a) $|z|=1$， b) $|z|<1$， c) $|z| \le 1$，
d) $z+\overline{z}=1$， e) $z-\overline{z}=i$， f) $\overline{z}+z=|z|^2$。

1.31 給定三個複數 $z_1, z_2, z_3$ 滿足 $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ 且 $z_1+z_2+z_3=0$。證明這些數字是內接於以原點為中心之單位圓的正三角形的三個頂點。

1.32 若 a 和 b 是複數，證明：
a) $|a-b|^2 \le (1+|a|^2)(1+|b|^2)$
b) 若 $a \ne 0$，則 $|a+b|=|a|+|b|$ 的充要條件為 $b/a$ 是非負實數。

1.33 若 a 和 b 是複數，證明
$|a-b|=|1-\overline{a}b|$
的充要條件為 $|a|=1$ 或 $|b|=1$。對哪些 a 和 b，不等式 $|a-b|<|1-\overline{a}b|$ 成立？

1.34 若 a 和 c 是實數常數，b 是複數，證明方程式
$a\overline{z}z + \overline{b}\overline{z} + bz + c = 0$ ($a \ne 0$, $z=x+iy$)
在 xy 平面上代表一個圓。

1.35 回顧反正切函數的定義：給定實數 t，$tan^{-1}(t)$ 是唯一滿足以下兩個條件的實數 $\theta$
$-\frac{\pi}{2} < \theta < +\frac{\pi}{2}$， $\tan \theta = t$。
若 $z=x+iy$，證明
a) 當 $x>0$ 時，$\arg(z) = \tan^{-1}(y/x)$，
b) 當 $x<0, y \ge 0$ 時，$\arg(z) = \tan^{-1}(y/x) + \pi$，
c) 當 $x<0, y<0$ 時，$\arg(z) = \tan^{-1}(y/x) - \pi$，
d) 當 $x=0, y>0$ 時，$\arg(z) = \pi/2$；
e) 當 $x=0, y<0$ 時，$\arg(z) = -\pi/2$。

1.36 為複數定義下列的「偽排序」：若滿足以下情況之一，我們說 $z_1 < z_2$
i) $|z_1| < |z_2|$
或 ii) $|z_1| = |z_2|$ 且 $\arg(z_1) < \arg(z_2)$。
這個關係滿足公理 6、7、8、9 中的哪幾個？

1.37 如果「偽排序」定義如下，公理 6、7、8、9 中有哪些會被滿足？
若滿足以下情況之一，我們說 $(x_1,y_1) < (x_2,y_2)$
i) $x_1 < x_2$
或 ii) $x_1 = x_2$ 且 $y_1 < y_2$。

1.38 敘述並證明一個類似於定理 1.48 的定理，將 $\arg(z_1/z_2)$ 用 $\arg(z_1)$ 和 $\arg(z_2)$ 來表示。

1.39 敘述並證明一個類似於定理 1.54 的定理，將 $\text{Log}(z_1/z_2)$ 用 $\text{Log}(z_1)$ 和 $\text{Log}(z_2)$ 來表示。

1.40 證明 1 的 n 次方根（也稱為單位根）可由 $\alpha, \alpha^2, ..., \alpha^n$ 給出，其中 $\alpha=e^{2\pi i/n}$，並證明 $\ne 1$ 的根滿足方程式
$1+x+x^2+...+x^{n-1}=0$。

1.41 a) 證明對所有非零的複數 z，都有 $|z^i| < e^\pi$。
b) 證明不存在常數 $M>0$ 使得對所有複數 z 都有 $|\cos z| < M$。

1.42 若 $w=u+iv$（u, v 為實數），證明
$z^w = e^{u \log|z| - v \arg(z)} e^{i[v \log|z| + u \arg(z)]}$。

1.43 a) 證明 $\text{Log}(z^w) = w \text{Log } z + 2\pi in$，其中 n 是一個整數。
b) 證明 $(z^w)^\alpha = z^{w\alpha} e^{2\pi i n \alpha}$，其中 n 是一個整數。

1.44 i) 若 $\theta$ 和 $\alpha$ 是實數，$-\pi < \theta \le +\pi$，證明
$(\cos \theta + i \sin \theta)^\alpha = \cos(\alpha\theta) + i \sin(\alpha\theta)$。
ii) 藉由取 $\theta=-\pi, \alpha=1/2$，證明在 (i) 中限制 $-\pi < \theta \le +\pi$ 一般而言是必要的。
iii) 若 $\alpha$ 是一個整數，證明 (i) 中的公式成立而無需對 $\theta$ 作任何限制。在這種情況下，它被稱為棣美弗定理（DeMoivre's theorem）。

1.45 使用棣美弗定理（習題 1.44）來推導三角恆等式
$\sin 3\theta = 3 \cos^2\theta \sin \theta - \sin^3\theta$，
$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3 \cos \theta \sin^2\theta$，
對實數 $\theta$ 有效。當 $\theta$ 是複數時，這些是否也有效？

1.46 定義 $\tan z = (\sin z)/(\cos z)$ 並證明對於 $z=x+iy$，我們有
$\tan z = \frac{\sin 2x + i \sinh 2y}{\cos 2x + \cosh 2y}$。

1.47 令 w 為一給定的複數。若 $w \ne \pm 1$，證明存在兩個 $z=x+iy$ 的值滿足條件 $\cos z = w$ 且 $-\pi < x \le +\pi$。當 $w=i$ 和當 $w=2$ 時找出這些值。

1.48 證明複數的拉格朗日恆等式：
$|\sum_{k=1}^n a_k b_k|^2 = \sum_{k=1}^n |a_k|^2 \sum_{k=1}^n |b_k|^2 - \sum_{1 \le k < j \le n} |a_k \overline{b}_j - a_j \overline{b}_k|^2$。
用它來推導複數的柯西-施瓦茨不等式。

1.49 a) 藉由比較棣美弗公式的虛部來證明
$\sin n\theta = \sin^n\theta \{\binom{n}{1}\cot^{n-1}\theta - \binom{n}{3}\cot^{n-3}\theta + \binom{n}{5}\cot^{n-5}\theta - ...\}$
b) 若 $0 < \theta < \pi/2$，證明
$\sin(2m+1)\theta = \sin^{2m+1}\theta P_m(\cot^2\theta)$
其中 $P_m$ 是次數為 m 的多項式，由下式給出
$P_m(x) = \binom{2m+1}{1}x^m - \binom{2m+1}{3}x^{m-1} + \binom{2m+1}{5}x^{m-2} - ...$
利用此結果證明 $P_m$ 在 m 個相異點 $x_k = \cot^2\{\pi k/(2m+1)\}$（$k=1,2,...,m$）處有零點。
c) 證明 $P_m$ 的零點總和由下式給出
$\sum_{k=1}^m \cot^2\frac{\pi k}{2m+1} = \frac{m(2m-1)}{3}$，
並證明它們的平方和由下式給出
$\sum_{k=1}^m \cot^4\frac{\pi k}{2m+1} = \frac{m(2m-1)(4m^2+10m-9)}{45}$。
註：這些恆等式可用來證明 $\sum_{n=1}^\infty n^{-2} = \pi^2/6$ 以及 $\sum_{n=1}^\infty n^{-4} = \pi^4/90$。（參見後續章節習題 8.46 和 8.47。）

1.50 證明 $z^n-1 = \prod_{k=1}^n (z-e^{2\pi ik/n})$ 對所有複數 z 皆成立。用它來推導公式
$\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$ 對於 $n \ge 2$。

第一章 實數與複數系統