第 4 章 行列式 (Determinants)
4.1 二階行列式 (Determinants of Order 2)
在本節中，我們定義 2 \times 2 矩陣的行列式，並探討其在面積與定向（orientation）方面的幾何意義。
定義。若
A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}
是一個元素取自體 F 的 2 \times 2 矩陣，則我們定義 A 的行列式（記為 \det(A) 或 |A|）為純量 ad - bc。
例 1
對於 M_{2\times 2}(R) 中的矩陣
A=\begin{pmatrix}1&2\\ 3&4\end{pmatrix} 且 B=\begin{pmatrix}3&2\\ 6&4\end{pmatrix}
我們有 \det(A) = 1(4) - 2(3) = -2，且 \det(B) = 3(4) - 2(6) = 0。
對於例 1 中的矩陣 A 和 B，我們有
A+B=\begin{pmatrix}4&4\\ 9&8\end{pmatrix}
因此
\det(A+B) = 4(8) - 4(9) = -4。
因為 \det(A+B) \ne \det(A) + \det(B)，所以函數 \det: M_{2\times 2}(R) \rightarrow R 並不是一個線性變換。儘管如此，行列式確實具備一種稱為多重線性（multilinearity）的重要線性性質；這在以下的定理中進行說明。
定理 4.1。函數 \det: M_{2\times 2}(F) \rightarrow F 是一個「當其中一列固定時，對另一列呈線性」的函數。也就是說，如果 u, v, 與 w 是 F^2 中的列向量，且 k 是一個純量，則
\det\begin{pmatrix}u+kv\\ w\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}u\\ w\end{pmatrix}+k \det\begin{pmatrix}v\\ w\end{pmatrix}
且
\det\begin{pmatrix}w\\ u+kv\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}w\\ u\end{pmatrix}+k \det\begin{pmatrix}w\\ v\end{pmatrix}
證明。令 u=(a_1, a_2)、v=(b_1, b_2)，且 w=(c_1, c_2) 為 F^2 中的向量，k 為純量。則
\det\begin{pmatrix}u\\ w\end{pmatrix}+k \det\begin{pmatrix}v\\ w\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}a_1&a_2\\ c_1&c_2\end{pmatrix}+k \det\begin{pmatrix}b_1&b_2\\ c_1&c_2\end{pmatrix}
=(a_1c_2 - a_2c_1) + k(b_1c_2 - b_2c_1)
=(a_1 + kb_1)c_2 - (a_2 + kb_2)c_1
=\det\begin{pmatrix}a_1+kb_1&a_2+kb_2\\ c_1&c_2\end{pmatrix}
=\det\begin{pmatrix}u+kv\\ w\end{pmatrix}
類似的計算可以證明
\det\begin{pmatrix}w\\ u\end{pmatrix}+k \det\begin{pmatrix}w\\ v\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}w\\ u+kv\end{pmatrix}
對於例 1 中的 2 \times 2 矩陣 A 和 B，很容易就能檢查出 A 是可逆的而 B 不可逆。請注意 \det(A) \ne 0 但 \det(B) = 0。我們現在證明這個性質在一般情況下皆成立。
定理 4.2。令 A \in M_{2\times 2}(F)。則 A 的行列式非零若且唯若 A 是可逆的。此外，若 A 是可逆的，則
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}A_{22}&-A_{12}\\ -A_{21}&A_{11}\end{pmatrix}
證明。如果 \det(A) \ne 0，那麼我們可以定義一個矩陣
M=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}A_{22}&-A_{12}\\ -A_{21}&A_{11}\end{pmatrix}
透過直接計算可以發現 AM = MA = I，因此 A 是可逆的且 M = A^{-1}。
反之，假設 A 是可逆的。第 152 頁的備註指出
A=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}
的秩必須為 2。因此 A 的各列是線性獨立的。若 \det(A) = 0，則 A_{11}A_{22} = A_{12}A_{21}。如果 A_{11} \ne 0，那麼將 A 的第一列乘上 -A_{21}/A_{11} 並加到第二列，可得到矩陣
\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\ 0&A_{22}-\frac{A_{12}A_{21}}{A_{11}}\end{pmatrix}
因為根據定理 3.4 的推論（第 152 頁），基本列運算保秩，由此可推得
A_{22}-\frac{A_{12}A_{21}}{A_{11}} \ne 0。
因此 \det(A)=A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21} \ne 0。另一方面，如果 A_{21} \ne 0，我們也能藉由將第二列的 -A_{11}/A_{21} 倍加到第一列，並應用類似的論證得出 \det(A) \ne 0。因此，在任何情況下 \det(A) \ne 0。
在 4.2 節與 4.3 節中，我們將把行列式的定義推廣到 n \times n 矩陣，並證明定理 4.2 在更一般的脈絡下依然成立。在本節其餘的部分（若有需要可略過不讀），我們將探討 2 \times 2 矩陣行列式的幾何意義。特別是，我們將展示行列式符號在探討「定向（orientation）」時的重要性。
平行四邊形的面積 (The Area of a Parallelogram)
在 R^2 中，兩個向量之間的「夾角」，我們指的是由具有相同大小與方向但從原點出發的給定向量所形成之測量值為 \theta (0 \le \theta \lt \pi) 的角。
如果 \beta=\{u, v\} 是 R^2 的一個有序基底，我們定義 \beta 的定向為實數
\mathcal{O}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}=\frac{\det\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}}{\left|\det\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}\right|}
（這分數的分母由定理 4.2 保證為非零。）很明顯地
\mathcal{O}\begin{pmatrix}e_1\\ e_2\end{pmatrix}=1 且 \mathcal{O}\begin{pmatrix}e_1\\ -e_2\end{pmatrix}=-1。
請注意 \mathcal{O}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}=\pm 1。
回想一下，如果 u 可以逆時針旋轉一個角度 \theta (0 \lt \theta \lt \pi) 以與 v 重合，則座標系 \{u, v\} 被稱為右手座標系 (right-handed)。否則 \{u, v\} 被稱為左手座標系 (left-handed)。一般而言（見習題 12），
\mathcal{O}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}=1
若且唯若有序基底 \{u, v\} 構成右手座標系。為了方便起見，如果 \{u, v\} 是線性相依的，我們也定義 \mathcal{O}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}=1。
在 R^2 中的任何有序集合 \{u, v\} 以如下方式決定一個平行四邊形：將 u 和 v 視為從 R^2 原點出發的箭頭，我們將以 u 和 v 為相鄰邊的平行四邊形稱為由 u 和 v 決定的平行四邊形。觀察到如果集合 \{u, v\} 是線性相依的（即 u 和 v 平行），那麼由 u 和 v 決定的「平行四邊形」實際上是一條線段，我們將其視為面積為零的退化平行四邊形。
在 \mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}（由 u 和 v 決定的平行四邊形面積）與 \det\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix} 之間，存在著一個有趣的關係。首先要注意到，由於 \det\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix} 可能是負的，我們不能預期 \mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}。但我們可以證明
\mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}\cdot \det\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}
由此可知
\mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix} = \left| \det\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix} \right|
我們證明 \delta\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}\cdot \mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix} 就是行列式函數的論證如下。我們藉由驗證此函數滿足習題 11 中的三個條件來建立這個等式：
(a) 我們首先證明，對任何實數 c，
\delta\begin{pmatrix}u\\ cv\end{pmatrix} = c \cdot \delta\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}
觀察這個等式在 c=0 時是成立的，因為
\delta\begin{pmatrix}u\\ 0\end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix}u\\ 0\end{pmatrix}\cdot \mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ 0\end{pmatrix} = 1\cdot 0 = 0。
所以假設 c \ne 0。將 cu 視為由 u 和 cv 決定的平行四邊形的底，我們可以發現
\mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ cv\end{pmatrix} = \text{底} \times \text{高} = |c|(\text{v 的長度})(\text{高}) = |c| \cdot \mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}
因為由 u 和 cv 決定的平行四邊形的高 h，與由 u 和 v 決定的平行四邊形的高相同。因此
\delta\begin{pmatrix}u\\ cv\end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix}u\\ cv\end{pmatrix}\cdot \mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ cv\end{pmatrix} = \left[\frac{c}{|c|}\cdot \mathcal{O}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}\right] \left[|c|\cdot \mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}\right]
= c\cdot \mathcal{O}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}\cdot \mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix} = c\cdot \delta\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}。
相似的論證可證明
\delta\begin{pmatrix}cu\\ v\end{pmatrix} = c\cdot \delta\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}。
我們接下來證明對任何 u, w \in R^2 以及任何實數 a 和 b，
\delta\begin{pmatrix}u\\ au+bw\end{pmatrix} = b\cdot \delta\begin{pmatrix}u\\ w\end{pmatrix}。
因為由 u 和 w 決定的平行四邊形與由 u 和 u+w 決定的平行四邊形具有相同的底邊 u 和相同的高，因此
\mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ w\end{pmatrix} = \mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ u+w\end{pmatrix}。
如果 a=0，則
\delta\begin{pmatrix}u\\ au+bw\end{pmatrix} = \delta\begin{pmatrix}u\\ bw\end{pmatrix} = b\cdot \delta\begin{pmatrix}u\\ w\end{pmatrix}
這是由 (a) 的第一段得出的。否則，如果 a \ne 0，則
\delta\begin{pmatrix}u\\ au+bw\end{pmatrix} = a\cdot \delta\begin{pmatrix}u\\ u+\frac{b}{a}w\end{pmatrix} = a\cdot \delta\begin{pmatrix}u\\ \frac{b}{a}w\end{pmatrix} = b\cdot \delta\begin{pmatrix}u\\ w\end{pmatrix}。
所以在任何情況下都得到了期望的結論。
我們現在可以證明 \delta\begin{pmatrix}u\\ v_1+v_2\end{pmatrix} = \delta\begin{pmatrix}u\\ v_1\end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix}u\\ v_2\end{pmatrix}
如果 u = 0，則等式的兩邊均為零。因此假設 u \ne 0。則存在 w \in R^2 使得 \{u, w\} 構成 R^2 的基底。因此對於某個純量 a_1, b_1, a_2 與 b_2，我們有 v_1 = a_1 u + b_1 w 且 v_2 = a_2 u + b_2 w。所以
\delta\begin{pmatrix}u\\ v_1+v_2\end{pmatrix} = \delta\begin{pmatrix}u\\ (a_1+a_2)u + (b_1+b_2)w\end{pmatrix} = (b_1+b_2)\delta\begin{pmatrix}u\\ w\end{pmatrix}
= \delta\begin{pmatrix}u\\ a_1 u + b_1 w\end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix}u\\ a_2 u + b_2 w\end{pmatrix} = \delta\begin{pmatrix}u\\ v_1\end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix}u\\ v_2\end{pmatrix}。
類似的論證可證
\delta\begin{pmatrix}u_1+u_2\\ v\end{pmatrix} = \delta\begin{pmatrix}u_1\\ v\end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix}u_2\\ v\end{pmatrix}，對所有 u_1, u_2, v \in R^2 成立。
(b) 因為 \mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ u\end{pmatrix} = 0，由此可推得對於任何 u \in R^2，\delta\begin{pmatrix}u\\ u\end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix}u\\ u\end{pmatrix}\cdot \mathcal{A}\begin{pmatrix}u\\ u\end{pmatrix} = 0。
(c) 因為由 e_1 和 e_2 決定的平行四邊形是單位正方形，
\delta\begin{pmatrix}e_1\\ e_2\end{pmatrix} = \mathcal{O}\begin{pmatrix}e_1\\ e_2\end{pmatrix}\cdot \mathcal{A}\begin{pmatrix}e_1\\ e_2\end{pmatrix} = 1\cdot 1 = 1。
因此 \delta 滿足習題 11 中的三個條件，所以 \delta = \det。於是，由 u 和 v 決定的平行四邊形面積等於 \mathcal{O}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}\cdot \det\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}。
習題 4.1
1. 將下列敘述標示為真（True）或假（False）。
(a) \det\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}a&c\\ b&d\end{pmatrix}
(b) 若 A 是一個元素取自 R 的 2 \times 2 矩陣，且 \det(A) = 0，則 A 中有一列（行）是另一列（行）的純量倍數。
(c) 令 u, v \in R^2。如果 \det\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix} = -3，則 \{u, v\} 形成一個右手座標系。
(d) 對於任何 A, B \in M_{2\times 2}(F)，都有 \det(A+B) = \det(A) + \det(B)。
(e) \det\begin{pmatrix}2x&2y\\ 2z&2w\end{pmatrix} = 4 \det\begin{pmatrix}x&y\\ z&w\end{pmatrix}。
2. 計算下列每個矩陣的行列式：
(a) \begin{pmatrix}6&-3\\ 2&4\end{pmatrix}
(b) \begin{pmatrix}-5&2\\ 6&1\end{pmatrix}
(c) \begin{pmatrix}8&0\\ 3&-1\end{pmatrix}
3. 計算下列每個元素取自複數體之矩陣的行列式。
(a) \begin{pmatrix}-1+i&1-4i\\ 3+2i&2-3i\end{pmatrix}
(b) \begin{pmatrix}5-2i&6+4i\\ -3+i&7i\end{pmatrix}
(c) \begin{pmatrix}2i&3\\ 4&6i\end{pmatrix}
4. 針對下列每一對在 R^2 中的向量 u 和 v，計算由 u 和 v 決定的平行四邊形面積。
(a) u=(3,-2) 且 v=(2,5)
(b) u=(1,3) 且 v=(-3,1)
(c) u=(4,-1) 且 v=(-6,-2)
(d) u=(3,4) 且 v=(2,-6)
5. 證明如果 B 是一個透過將 2 \times 2 矩陣 A 之兩列互換所獲得的矩陣，則 \det(B) = -\det(A)。
6. 證明如果 A \in M_{2\times 2}(F) 的兩行完全相同，則 \det(A) = 0。
7. 證明對於任意 A \in M_{2\times 2}(F)，都有 \det(A^t) = \det(A)。
8. 證明如果 A \in M_{2\times 2}(F) 是一個上三角矩陣，則 \det(A) 等於 A 之對角線元素的乘積。
9. 證明對於任意 A, B \in M_{2\times 2}(F)，都有 \det(AB) = \det(A)\cdot \det(B)。
10. 2 \times 2 矩陣 A \in M_{2\times 2}(F) 的經典伴隨矩陣 (classical adjoint) 是指以下矩陣：
C = \begin{pmatrix}A_{22}&-A_{12}\\ -A_{21}&A_{11}\end{pmatrix}
證明：
(a) CA = AC = [\det(A)]I。
(b) \det(C) = \det(A)。
(c) A^t 的經典伴隨矩陣是 C^t。
(d) 如果 A 是可逆的，則 A^{-1} = [\det(A)]^{-1}C。
11. 令 \delta: M_{2\times 2}(F) \rightarrow F 是一個具備下列三個性質的函數：
(i) 當其中一列保持固定時，\delta 是矩陣另一列的線性函數。
(ii) 如果 A \in M_{2\times 2}(F) 的兩列相同，則 \delta(A) = 0。
(iii) 如果 I 是 2 \times 2 單位矩陣，則 \delta(I) = 1。
(a) 證明對所有的基本矩陣 E \in M_{2\times 2}(F)，都有 \delta(E) = \det(E)。
(b) 證明對所有的 A \in M_{2\times 2}(F) 以及所有的基本矩陣 E \in M_{2\times 2}(F)，都有 \delta(EA) = \delta(E)\delta(A)。
12. 令 \delta: M_{2\times 2}(F) \rightarrow F 是一個具備習題 11 之性質 (i)、(ii) 與 (iii) 的函數。利用習題 11 證明，對所有的 A \in M_{2\times 2}(F) 都有 \delta(A) = \det(A)。
13. 令 \{u, v\} 為 R^2 的一個有序基底。證明
\mathcal{O}\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix} = 1
若且唯若 \{u, v\} 構成一個右手座標系。提示：回想在 2.1 節例 2 中所定義的旋轉。
4.2 n 階行列式 (Determinants of Order n)
在本節中，我們將行列式的定義推廣到適用於 n \ge 3 的 n \times n 矩陣。為了這個定義，引入以下符號會很方便：給定一個 n \ge 2 的 A \in M_{n \times n}(F)，我們用 \tilde{A}_{ij} 來表示從 A 刪除第 i 列與第 j 行後所得到的 (n-1) \times (n-1) 矩陣。例如，對於
A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\end{pmatrix}\in M_{3\times 3}(R)，
我們有
\tilde{A}_{11}=\begin{pmatrix}5&6\\ 8&9\end{pmatrix}，\tilde{A}_{13}=\begin{pmatrix}4&5\\ 7&8\end{pmatrix}，且 \tilde{A}_{32}=\begin{pmatrix}1&3\\ 4&6\end{pmatrix}。
對於
B=\begin{pmatrix}1&-1&2&-1\\ -3&4&1&-1\\ 2&-5&-3&8\\ -2&6&-4&1\end{pmatrix}\in M_{4\times 4}(R)，
我們有
\tilde{B}_{23}=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\ 2&-5&8\\ -2&6&1\end{pmatrix} 且 \tilde{B}_{42}=\begin{pmatrix}1&2&-1\\ -3&1&-1\\ 2&-3&8\end{pmatrix}。
定義。令 A \in M_{n \times n}(F)。如果 n=1，即 A=(A_{11})，我們定義 \det(A) = A_{11}。對於 n \ge 2，我們遞迴地定義 \det(A) 為
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} A_{1j} \cdot \det(\tilde{A}_{1j})。
純量 \det(A) 稱為 A 的行列式，也記作 |A|。純量
(-1)^{i+j} \det(\tilde{A}_{ij})
被稱為 A 在第 i 列、第 j 行元素的餘因子 (cofactor)。
若令
c_{ij} = (-1)^{i+j} \det(\tilde{A}_{ij})
表示 A 在第 i 列、第 j 行元素的餘因子，我們就可以把 A 的行列式公式表示為
\det(A) = A_{11}c_{11} + A_{12}c_{12} + \dots + A_{1n}c_{1n}。
因此，A 的行列式等於 A 第一列中每個元素與其餘因子之乘積的總和。這個公式被稱為沿著 A 的第一列的餘因子展開 (cofactor expansion along the first row)。注意，對於 2 \times 2 矩陣，此行列式的定義與在 4.1 節中給出的定義相吻合，因為
\det(A) = A_{11}(-1)^{1+1}\det(\tilde{A}_{11}) + A_{12}(-1)^{1+2}\det(\tilde{A}_{12}) = A_{11}A_{22} - A_{12}A_{21}。
例 1
令 A=\begin{pmatrix}1&3&-3\\ -3&-5&2\\ -4&4&-6\end{pmatrix} \in M_{3\times 3}(R)。
沿著 A 的第一列進行餘因子展開，我們得到
\det(A) = (-1)^{1+1} A_{11}\det(\tilde{A}_{11}) + (-1)^{1+2} A_{12}\det(\tilde{A}_{12}) + (-1)^{1+3} A_{13}\det(\tilde{A}_{13})
= (-1)^2(1)\det\begin{pmatrix}-5&2\\ 4&-6\end{pmatrix} + (-1)^3(3)\det\begin{pmatrix}-3&2\\ -4&-6\end{pmatrix} + (-1)^4(-3)\det\begin{pmatrix}-3&-5\\ -4&4\end{pmatrix}
= 1[-5(-6) - 2(4)] - 3[-3(-6) - 2(-4)] - 3[-3(4) - (-5)(-4)]
= 1(22) - 3(26) - 3(-32)
= 40。
例 2
令 B=\begin{pmatrix}0&1&3\\ -2&-3&-5\\ 4&-4&4\end{pmatrix}\in M_{3\times 3}(R)。
沿著 B 的第一列進行餘因子展開，我們得到
\det(B) = (-1)^2(0)\cdot \det\begin{pmatrix}-3&-5\\ -4&4\end{pmatrix} + (-1)^3(1)\cdot \det\begin{pmatrix}-2&-5\\ 4&4\end{pmatrix} + (-1)^4(3)\cdot \det\begin{pmatrix}-2&-3\\ 4&-4\end{pmatrix}
= 0 - 1[-2(4) - (-5)(4)] + 3[-2(-4) - (-3)(4)]
= 0 - 1(12) + 3(20)
= 48。
例 3
令 C=\begin{pmatrix}2&0&0&1\\ 0&1&3&-3\\ -2&-3&-5&2\\ 4&-4&4&-6\end{pmatrix}\in M_{4\times 4}(R)。
沿著 C 的第一列進行餘因子展開，並利用例 1 與例 2 的結果，我們得到
\det(C) = (-1)^2(2)\cdot \det(\tilde{C}_{11}) + 0 + 0 + (-1)^5(1)\cdot \det(\tilde{C}_{14})
= 2\det\begin{pmatrix}1&3&-3\\ -3&-5&2\\ -4&4&-6\end{pmatrix} - 1\det\begin{pmatrix}0&1&3\\ -2&-3&-5\\ 4&-4&4\end{pmatrix}
= 2(40) - 1(48) = 32。
例 4
n \times n 單位矩陣的行列式為 1。我們用數學歸納法對 n 進行證明。對於 1 \times 1 單位矩陣，這顯然是正確的。假設某個整數 n \ge 2 的 (n-1) \times (n-1) 單位矩陣的行列式為 1，並令 I 表示 n \times n 單位矩陣。沿著 I 的第一列進行餘因子展開，我們得到
\det(I) = (-1)^2(1)\cdot \det(\tilde{I}_{11}) + (-1)^3(0)\cdot \det(\tilde{I}_{12}) + \dots + (-1)^{1+n}(0)\cdot \det(\tilde{I}_{1n})
= 1(1) + 0 + \dots + 0 = 1，
因為 \tilde{I}_{11} 是 (n-1) \times (n-1) 單位矩陣。這表明 n \times n 單位矩陣的行列式是 1，因此根據數學歸納法，所有單位矩陣的行列式都是 1。
回想在定理 4.1 中，雖然 2 \times 2 矩陣的行列式不是一個線性變換，但當其中一列保持固定時，它是另一列的線性函數。我們現在來證明這項性質對於任意大小的行列式也成立。
定理 4.3。一個 n \times n 矩陣的行列式，當其餘的列保持固定時，是每一列的線性函數。也就是說，對於 1 \le r \le n，我們有
\det\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_{r-1}\\ u+kv\\ a_{r+1}\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_{r-1}\\ u\\ a_{r+1}\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix} + k\det\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_{r-1}\\ v\\ a_{r+1}\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}
其中 k 是一純量，而 u, v, 以及每一個 a_i 都是在 F^n 中的列向量。
證明。證明對 n 進行數學歸納法。若 n=1，結果是顯然的。假設對某個整數 n \ge 2，任何 (n-1) \times (n-1) 矩陣的行列式，當其餘的列保持固定時，是每一列的線性函數。令 A 為一有 a_1, a_2, \dots, a_n 等各列的 n \times n 矩陣，且假設對於某個 r (1 \le r \le n)，我們有 a_r = u + kv，其中 u, v \in F^n 及純量 k。令 u=(b_1, b_2, \dots, b_n) 且 v=(c_1, c_2, \dots, c_n)，並設 B 與 C 分別為把 A 的第 r 列替換成 u 與 v 後所得的矩陣。我們必須證明 \det(A) = \det(B) + k\det(C)。當 r=1 時，我們將證明的細節留給讀者。對於 r \gt 1 且 1 \le j \le n，\tilde{A}_{1j}, \tilde{B}_{1j}, 與 \tilde{C}_{1j} 的各列除了第 r-1 列之外皆相同。此外，\tilde{A}_{1j} 的第 r-1 列為
(b_1+kc_1, \dots, b_{j-1}+kc_{j-1}, b_{j+1}+kc_{j+1}, \dots, b_n+kc_n)，
這等於 \tilde{B}_{1j} 的第 r-1 列加上 k 乘上 \tilde{C}_{1j} 的第 r-1 列。根據歸納法假設，我們得出
\det(\tilde{A}_{1j}) = \det(\tilde{B}_{1j}) + k\det(\tilde{C}_{1j})。
將此式代入 A 的第一列餘因子展開式中，並利用 A, B, C 第一列完全相同的事實，我們得到
\det(A) = \det(B) + k\det(C)。
這表明對 n \times n 矩陣此定理成立，所以由數學歸納法可知，定理對所有方陣皆成立。
推論。如果 A \in M_{n \times n}(F) 有一列全部由零組成，則 \det(A) = 0。
證明。見習題 24。
行列式的定義要求用沿著 A 的第一列餘因子展開來計算行列式。我們的下一個定理表明，方陣的行列式可以沿著任何一列進行餘因子展開來求值。其證明需要以下這項技術性的引理。
引理。令 B \in M_{n \times n}(F)，其中 n \ge 2。如果 B 的第 i 列等於 e_k（對於某個 k，1 \le k \le n），那麼 \det(B) = (-1)^{i+k}\det(\tilde{B}_{ik})。
證明。此證明對 n 進行數學歸納法。在 n=2 的情況下這引理很容易證明。假設對某個整數 n \ge 3，引理對 (n-1) \times (n-1) 矩陣成立，並設 B 為一個 n \times n 矩陣，且其第 i 列等於 e_k（對於某個 1 \le k \le n）。如果 i=1，根據行列式的定義結果立刻成立。所以假設 1 \lt i \le n。對於每一個 j \ne k (1 \le j \le n)，令 C_{ij} 表示從 B 中刪除第 1 與 i 列以及第 j 與 k 行後所得到的 (n-2) \times (n-2) 矩陣。對於每個 j，\tilde{B}_{1j} 的第 i-1 列是 F^{n-1} 中的以下向量：
\begin{cases} e_{k-1} & \text{如果 } j \lt k \\ 0 & \text{如果 } j = k \\ e_k & \text{如果 } j \gt k. \end{cases}
因此，根據歸納法假設與定理 4.3 的推論，我們有
\det(\tilde{B}_{1j}) = \begin{cases} (-1)^{(i-1)+(k-1)}\det(C_{ij}) & \text{如果 } j \lt k \\ 0 & \text{如果 } j = k \\ (-1)^{(i-1)+k}\det(C_{ij}) & \text{如果 } j \gt k. \end{cases}
因此，利用定義，可以計算出 \det(B) = (-1)^{i+k}\det(\tilde{B}_{ik})。
定理 4.4。一個方陣的行列式可以沿著任何一列進行餘因子展開來求值。也就是說，如果 A \in M_{n \times n}(F)，那麼對任何整數 i (1 \le i \le n)，
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} A_{ij} \cdot \det(\tilde{A}_{ij})。
證明。沿著 A 第一列的餘因子展開給出了 A 的行列式的定義。所以當 i=1 時結果成立。固定 i \gt 1。A 的第 i 列可寫成 \sum_{j=1}^n A_{ij}e_j。對於 1 \le j \le n，令 B_j 表示把 A 的第 i 列替換為 e_j 後所得到的矩陣。那麼根據定理 4.3 與上述引理，我們有
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} A_{ij}\det(B_j) = \sum_{j=1}^{n} A_{ij} (-1)^{i+j} \det(\tilde{B}_{ik}) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} A_{ij} \det(\tilde{A}_{ij})。
（因為 B_j 與 A 除了第 i 列之外皆相同，所以從 B_j 刪去第 1 及 i 列與第 j、k 行的子矩陣 \tilde{B}_{ik} 就等於 \tilde{A}_{ij}）。
推論。如果 A \in M_{n \times n}(F) 具有兩個完全相同的列，則 \det(A) = 0。
證明。證明對 n 進行數學歸納法。在 n=2 的情況下很容易證明這點。假設對於某個整數 n \ge 3，如果有兩列完全相同，那麼任何 (n-1) \times (n-1) 矩陣的行列式都是零。令 A 為一個擁有兩個完全相同列的 n \times n 矩陣，並令 i 為不同於這兩列的任何一列的索引。我們沿著第 i 列展開 A 的行列式，根據定理 4.4，得到 \det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} A_{ij} \cdot \det(\tilde{A}_{ij})。由於每一個 \tilde{A}_{ij} 都是一個擁有兩完全相同列的 (n-1) \times (n-1) 矩陣，歸納法假設推導出每個 \det(\tilde{A}_{ij}) = 0，且因此 \det(A) = 0。這完成了針對 n \times n 矩陣的證明，所以依據數學歸納法，此推論對所有方陣都成立。
藉由將餘因子展開與基本列運算結合，可以更有效率地計算行列式。在此過程被開發出來之前，我們必須先了解，如果對一個矩陣進行基本列運算，該矩陣的行列式會發生什麼事。定理 4.3 提供了第 2 型基本列運算（即某列乘上一個非零純量）的相關資訊。我們現在將注意力轉向第 1 型基本列運算（即兩列互換）。
定理 4.5。如果 A \in M_{n \times n}(F)，且 B 是將 A 中的任意兩列互換所得到的矩陣，則 \det(B) = -\det(A)。
證明。令 A \in M_{n \times n}(F) 的各列為 a_1, a_2, \dots, a_n，並設 B 是從 A 互換第 r 列和第 s 列（其中 r \lt s）所得到的矩陣。也就是說：
A = \begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_r\\ \vdots\\ a_s\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix} 且 B = \begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_s\\ \vdots\\ a_r\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}
考慮從 A 中把第 r 列與第 s 列皆替換為 a_r + a_s 所得到的矩陣。根據定理 4.4 的推論與定理 4.3，我們有
0 = \det\begin{pmatrix}\vdots \\ a_r+a_s \\ \vdots \\ a_r+a_s \\ \vdots\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}\vdots \\ a_r \\ \vdots \\ a_r+a_s \\ \vdots\end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix}\vdots \\ a_s \\ \vdots \\ a_r+a_s \\ \vdots\end{pmatrix}
= \det\begin{pmatrix}\vdots \\ a_r \\ \vdots \\ a_r \\ \vdots\end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix}\vdots \\ a_r \\ \vdots \\ a_s \\ \vdots\end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix}\vdots \\ a_s \\ \vdots \\ a_r \\ \vdots\end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix}\vdots \\ a_s \\ \vdots \\ a_s \\ \vdots\end{pmatrix}
= 0 + \det(A) + \det(B) + 0。
因此 \det(B) = -\det(A)。
我們現在完成對基本列運算如何影響矩陣行列式的研究，證明第 3 型的基本列運算不改變矩陣的行列式。
定理 4.6。令 A \in M_{n \times n}(F)，並設 B 是由把 A 的某一列加上另一列的倍數所得到的矩陣。則 \det(B) = \det(A)。
證明。假設 B 是一個從 A 中把第 s 列加上 k 倍的第 r 列（其中 r \ne s）所得到的 n \times n 矩陣。令 A 的列為 a_1, a_2, \dots, a_n，B 的列為 b_1, b_2, \dots, b_n。那麼當 i \ne s 時 b_i = a_i，且 b_s = a_s + k a_r。令 C 是將 A 的第 s 列替換為 a_r 所得到的矩陣。將定理 4.3 應用於 B 的第 s 列，我們獲得
\det(B) = \det(A) + k \det(C) = \det(A)
因為根據定理 4.4 的推論，\det(C) = 0。
在定理 4.2（第 201 頁）中，我們證明了 2 \times 2 矩陣是可逆的若且唯若其行列式非零。作為定理 4.6 的結果，我們可以在下列推論中證明這個結果在一般情況下（推廣）的一半。其反向命題在定理 4.7 的推論中得到證明。
推論。如果 A \in M_{n \times n}(F) 的秩小於 n，則 \det(A) = 0。
證明。如果 A 的秩小於 n，那麼 A 的列 a_1, a_2, \dots, a_n 是線性相依的。根據 1.5 節的習題 14，A 中必有某一列（比如第 r 列）是其他列的線性組合。所以存在純量 c_i 使得
a_r = c_1 a_1 + \dots + c_{r-1} a_{r-1} + c_{r+1} a_{r+1} + \dots + c_n a_n。
設 B 是從 A 對於每個 i \ne r 分別把第 r 列加上 -c_i 倍的第 i 列所得到的矩陣。那麼 B 的第 r 列全由零組成，因此 \det(B) = 0。但根據定理 4.6，\det(B) = \det(A)。因此 \det(A) = 0。
下列規則總結了基本列運算對矩陣 A \in M_{n \times n}(F) 行列式的影響。
(a) 若 B 是藉由互換 A 中的任兩列所得到的矩陣，則 \det(B) = -\det(A)。
(b) 若 B 是藉由將 A 的某列乘以純量 k 所得到的矩陣，則 \det(B) = k \det(A)。
(c) 若 B 是藉由將 A 的某一列加上另一列的倍數所得到的矩陣，則 \det(B) = \det(A)。
我們現在來說明如何利用基本列運算與定理 4.4 相結合，讓評估矩陣的行列式變得容易得多。
例 5
考慮例 1 中的矩陣：
A = \begin{pmatrix}1&3&-3\\ -3&-5&2\\ -4&4&-6\end{pmatrix}
將第一列的 3 倍加到第二列，並且將第一列的 4 倍加到第三列，我們得到
M = \begin{pmatrix}1&3&-3\\ 0&4&-7\\ 0&16&-18\end{pmatrix}
由於 M 是由 A 經過兩次第 3 型基本列運算得到，我們有 \det(A) = \det(M)。沿著第一列進行餘因子展開得到：
\det(M) = (-1)^{1+1}(1) \cdot \det(\tilde{M}_{11}) + (-1)^{1+2}(3) \cdot \det(\tilde{M}_{12}) + (-1)^{1+3}(-3) \cdot \det(\tilde{M}_{13})
這其中 \tilde{M}_{12} 和 \tilde{M}_{13} 都各有一整行為零，根據定理 4.6 的行版本推論，這兩項為 0。因此
\det(M) = (-1)^{1+1}(1) \cdot \det\begin{pmatrix}4&-7\\ 16&-18\end{pmatrix} = 1(4(-18) - (-7)(16)) = 40。
如果我們再進一步，把 M 的第二列的 -4 倍加到第三列（又是一次第 3 型基本列運算），我們得到：
P = \begin{pmatrix}1&3&-3\\ 0&4&-7\\ 0&0&10\end{pmatrix}
沿著 P 的第一列展開得到
\det(P) = (-1)^{1+1}(1) \cdot \det\begin{pmatrix}4&-7\\ 0&10\end{pmatrix} = 1 \cdot 4 \cdot 10 = 40。
因為 \det(A) = \det(M) = \det(P)，所以 \det(A) = 40。
例 6
要計算例 2 中的矩陣 B 的行列式：
B = \begin{pmatrix}0&1&3\\ -2&-3&-5\\ 4&-4&4\end{pmatrix}
我們必須從列對換開始。將第一列與第二列互換產生
C = \begin{pmatrix}-2&-3&-5\\ 0&1&3\\ 4&-4&4\end{pmatrix}
藉由一連串的第 3 型基本列運算，我們可以將 C 轉換成一個上三角矩陣：
\begin{pmatrix}-2&-3&-5\\ 0&1&3\\ 4&-4&4\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}-2&-3&-5\\ 0&1&3\\ 0&-10&-6\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}-2&-3&-5\\ 0&1&3\\ 0&0&24\end{pmatrix}
因此 \det(C) = -2 \cdot 1 \cdot 24 = -48。由於 C 是由 B 進行一次列互換得到的，可知 \det(B) = -\det(C) = 48。
同樣的技巧可以用來計算例 3 的矩陣 C 的行列式：
C = \begin{pmatrix}2&0&0&1\\ 0&1&3&-3\\ -2&-3&-5&2\\ 4&-4&4&-6\end{pmatrix}
這可由一連串第 3 型列運算轉換成上三角矩陣：
\begin{pmatrix}2&0&0&1\\ 0&1&3&-3\\ -2&-3&-5&2\\ 4&-4&4&-6\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}2&0&0&1\\ 0&1&3&-3\\ 0&-3&-5&3\\ 0&-4&4&-8\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}2&0&0&1\\ 0&1&3&-3\\ 0&0&4&-6\\ 0&0&16&-20\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}2&0&0&1\\ 0&1&3&-3\\ 0&0&4&-6\\ 0&0&0&4\end{pmatrix}
因此 \det(C) = 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 4 = 32。
利用基本列運算計算矩陣的行列式，就如同例 5 和例 6 所展示的，比起直接使用餘因子展開有效率得多。對於一個 n \times n 矩陣，透過沿著某一列進行餘因子展開來求值，總共需要超過 n! 次乘法。相比之下，利用基本列運算求值的方法，只需 (n^3+2n-3)/3 次乘法。在處理較大矩陣（如 20 \times 20）時，兩者的運算時間相差天壤之別。這就是為什麼幾乎所有用於計算任意矩陣行列式的電腦程式，都不會使用餘因子展開的原因。
習題 4.2
1. 將下列敘述標示為真（True）或假（False）。
(a) 函數 \det: M_{n \times n}(F) \rightarrow F 是一個線性變換。
(b) 方陣的行列式可以藉由沿著任何一列的餘因子展開來求值。
(c) 如果方陣 A 具有兩完全相同的列，則 \det(A) = 0。
(d) 如果 B 是由方陣 A 互換任意兩列所獲得的矩陣，則 \det(B) = -\det(A)。
(e) 如果 B 是由方陣 A 把某列乘上一個純量所獲得的矩陣，則 \det(B) = \det(A)。
(f) 如果 B 是由方陣 A 將第 i 列的 k 倍加到第 j 列所獲得的矩陣，則 \det(B) = k \det(A)。
(g) 如果 A \in M_{n \times n}(F) 且秩為 n，則 \det(A) = 0。
(h) 上三角矩陣的行列式等於其對角線元素的乘積。
2. 找出滿足下列方程式的 k 值：
\det\begin{pmatrix}3a_1&3a_2&3a_3\\ 3b_1&3b_2&3b_3\\ 3c_1&3c_2&3c_3\end{pmatrix} = k \det\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{pmatrix}
3. 找出滿足下列方程式的 k 值：
\det\begin{pmatrix}2a_1&2a_2&2a_3\\ 3b_1+5c_1&3b_2+5c_2&3b_3+5c_3\\ 7c_1&7c_2&7c_3\end{pmatrix} = k \det\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{pmatrix}
4. 找出滿足下列方程式的 k 值：
\det\begin{pmatrix}b_1+c_1&b_2+c_2&b_3+c_3\\ a_1+c_1&a_2+c_2&a_3+c_3\\ a_1+b_1&a_2+b_2&a_3+b_3\end{pmatrix} = k \det\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{pmatrix}
在習題 5-12 中，透過沿著指定的列或行進行餘因子展開來求下列矩陣的行列式：
5. \begin{pmatrix}0&1&2\\ -1&0&-3\\ 2&3&0\end{pmatrix}，沿著第一列
6. \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&5\\ -1&3&0\end{pmatrix}，沿著第一行
7. \begin{pmatrix}0&1&2\\ -1&0&-3\\ 2&3&0\end{pmatrix}，沿著第二列
8. \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&5\\ -1&3&0\end{pmatrix}，沿著第三列
9. \begin{pmatrix}0&1+i&2\\ -2i&0&1-i\\ 3&4i&0\end{pmatrix}，沿著第三列
10. \begin{pmatrix}i&2+i&0\\ -1&3&2i\\ 0&-1&1-i\end{pmatrix}，沿著第二行
11. \begin{pmatrix}0&2&1&3\\ 1&0&-2&2\\ 3&-1&0&1\\ -1&1&2&0\end{pmatrix}，沿著第四行
12. \begin{pmatrix}1&-1&2&-1\\ -3&4&1&-1\\ 2&-5&-3&8\\ -2&6&-4&1\end{pmatrix}，沿著第四列
在習題 13-22 中，利用任何合法方法計算下列矩陣的行列式：
13. \begin{pmatrix}0&0&1\\ 0&2&3\\ 4&5&6\end{pmatrix}
14. \begin{pmatrix}2&3&4\\ 5&6&0\\ 7&0&0\end{pmatrix}
15. \begin{pmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\end{pmatrix}
16. \begin{pmatrix}-1&3&2\\ 4&-8&1\\ 2&2&5\end{pmatrix}
17. \begin{pmatrix}0&1&1\\ 1&2&-5\\ 6&-4&3\end{pmatrix}
18. \begin{pmatrix}1&-2&3\\ -1&2&-5\\ 3&-1&2\end{pmatrix}
19. \begin{pmatrix}i&2&-1\\ 3&1+i&2\\ -2i&1&4-i\end{pmatrix}
20. \begin{pmatrix}-1&2+i&3\\ 1-i&i&1\\ 3i&2&-1+i\end{pmatrix}
21. \begin{pmatrix}1&0&-2&3\\ -3&1&1&2\\ 0&4&-1&1\\ 2&3&0&1\end{pmatrix}
22. \begin{pmatrix}1&-2&3&-12\\ -5&12&-14&19\\ -9&22&-20&31\\ -4&9&-14&15\end{pmatrix}
23. 證明一個上三角矩陣的行列式等於其對角線元素的乘積。
24. 證明定理 4.3 的推論。
25. 證明對所有的 A \in M_{n \times n}(F) 都有 \det(kA) = k^n \det(A)。
26. 設 A \in M_{n \times n}(F)。在什麼條件下 \det(-A) = \det(A)？
27. 證明如果 A \in M_{n \times n}(F) 具有兩行完全相同，則 \det(A) = 0。
28. 計算 \det(E_i)，其中 E_i 為第 i 型的基本矩陣。
29. 證明若 E 為基本矩陣，則 \det(E^t) = \det(E)。
30. 令 A \in M_{n \times n}(F) 的各列為 a_1, a_2, \dots, a_n，並設 B 為以 a_n, a_{n-1}, \dots, a_1 為各列所組成的矩陣。試用 \det(A) 表達出 \det(B)。
4.3 行列式的性質 (Properties of Determinants)
在定理 3.1 中，我們看到對矩陣執行基本列運算，可以藉由將該矩陣乘上一個基本矩陣來達成。這個結果在研究套用一連串基本列運算對行列式的影響時非常有用。因為 n \times n 單位矩陣的行列式為 1（見 4.2 節例 4），我們可以將第 217 頁上的敘述解釋為以下關於基本矩陣行列式的事實。
(a) 若 E 是一個藉由互換 I 中任意兩列所獲得的基本矩陣，則 \det(E) = -1。
(b) 若 E 是一個藉由將 I 中某列乘以非零純量 k 所獲得的基本矩陣，則 \det(E) = k。
(c) 若 E 是一個藉由將 I 中某列的倍數加到另一列所獲得的基本矩陣，則 \det(E) = 1。
我們現在應用這些關於基本矩陣行列式的事實，來證明行列式是一個具備乘法性質的函數。
定理 4.7。對於任意 A, B \in M_{n\times n}(F)，\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)。
證明。我們首先在 A 為基本矩陣的情況下建立此結果。如果 A 是一個藉由互換 I 兩列所獲得的基本矩陣，那麼 \det(A) = -1。但根據定理 3.1（第 149 頁），AB 是一個藉由互換 B 的兩列所獲得的矩陣。因此，根據定理 4.5（第 215 頁），\det(AB) = -\det(B) = \det(A) \cdot \det(B)。類似的論證可建立當 A 為第 2 型或第 3 型基本矩陣時的結果。（見習題 18。）
如果 A 是一個秩小於 n 的 n \times n 矩陣，那麼根據定理 4.6 的推論（第 216 頁），\det(A) = 0。因為根據定理 3.7（第 159 頁），\text{rank}(AB) \le \text{rank}(A) \lt n，我們有 \det(AB) = 0。所以在這種情況下 \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) 成立。
另一方面，如果 A 的秩為 n，那麼 A 是可逆的，因此它是基本矩陣的乘積（由定理 3.6 推論 3，第 158 頁可知），假設 A = E_m \cdots E_2 E_1。本證明的首段顯示：
\det(AB) = \det(E_m \cdots E_2 E_1 B)
= \det(E_m) \cdot \det(E_{m-1} \cdots E_2 E_1 B)
= \cdots
= \det(E_m) \cdots \det(E_2) \cdot \det(E_1) \cdot \det(B)
= \det(E_m \cdots E_2 E_1) \cdot \det(B)
= \det(A) \cdot \det(B)。
推論。矩陣 A \in M_{n\times n}(F) 為可逆，若且唯若 \det(A) \ne 0。此外，如果 A 是可逆的，則 \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}。
證明。如果 A \in M_{n\times n}(F) 不可逆，那麼 A 的秩小於 n。所以由定理 4.6 的推論（第 217 頁）可知 \det(A) = 0。另一方面，如果 A \in M_{n\times n}(F) 是可逆的，那麼根據定理 4.7：
\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = \det(AA^{-1}) = \det(I) = 1。
因此 \det(A) \ne 0 且 \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}。
到目前為止，在我們對行列式的討論中，我們只使用了矩陣的列（rows）。例如，行列式的遞迴定義涉及沿著一列的餘因子展開，而在第 4.2 節中發展的更有效率的方法則使用了基本列運算。我們的下一個結果顯示 A 與 A^t 的行列式永遠相等。因為 A 的列即為 A^t 的行（columns），這個事實使我們能將任何關於行列式且涉及矩陣之列的敘述，轉換為涉及其行之對應敘述。
定理 4.8。對於任意 A \in M_{n\times n}(F)，\det(A^t) = \det(A)。
證明。如果 A 不可逆，則 \text{rank}(A) \lt n。但根據定理 3.6 的推論 2（第 158 頁），\text{rank}(A^t) = \text{rank}(A)，所以 A^t 亦不可逆。因此在這種情況下 \det(A^t) = 0 = \det(A)。
另一方面，如果 A 是可逆的，那麼 A 是基本矩陣的乘積，設 A = E_m \cdots E_2 E_1。因為對每一個 i 都有 \det(E_i) = \det(E_i^t)（見第 4.2 節習題 29），根據定理 4.7，我們有：
\det(A^t) = \det(E_1^t E_2^t \cdots E_m^t)
= \det(E_1^t) \cdot \det(E_2^t) \cdots \det(E_m^t)
= \det(E_1) \cdot \det(E_2) \cdots \det(E_m)
= \det(E_m) \cdots \det(E_2) \cdot \det(E_1)
= \det(E_m \cdots E_2 E_1)
= \det(A)。
因此，在任何情況下都有 \det(A^t) = \det(A)。
定理 4.8 的許多推論包含了：行列式可以藉由沿著某行的餘因子展開來求值；以及在計算行列式時，除了使用基本列運算之外，也能使用基本行運算。（執行基本行運算對行列式的影響與執行對應之基本列運算的影響相同。）我們以一個著名的結果作為行列式性質討論的結尾，該結果將行列式與某些類型線性方程組的解聯繫起來。
定理 4.9 (克拉瑪法則 Cramer's Rule)。設 Ax=b 為包含 n 個未知數的 n 個線性方程組的矩陣形式，其中 x = (x_1, x_2, \dots, x_n)^t。如果 \det(A) \ne 0，則此系統具有唯一解，且對於每個 k (k=1,2,\dots,n)，
x_k = \frac{\det(M_k)}{\det(A)}，
其中 M_k 是將 A 的第 k 行替換為 b 所獲得的 n \times n 矩陣。
證明。如果 \det(A) \ne 0，則根據定理 4.7 的推論與定理 3.10（第 173 頁），系統 Ax=b 具有唯一解。對於每個整數 k (1 \le k \le n)，令 a_k 表示 A 的第 k 行，X_k 表示將 n \times n 單位矩陣的第 k 行替換為 x 所獲得的矩陣。接著由定理 2.13（第 91 頁），AX_k 是一個 n \times n 矩陣，其第 i 行為
Ae_i = a_i 若 i \ne k
且 Ax = b 若 i = k。
因此 AX_k = M_k。藉由沿著第 k 列的餘因子展開來評估 X_k，得到
\det(X_k) = x_k \cdot \det(I_{n-1}) = x_k。
因此由定理 4.7 可知，
\det(M_k) = \det(AX_k) = \det(A) \cdot \det(X_k) = \det(A) \cdot x_k。
所以 x_k = [\det(A)]^{-1} \cdot \det(M_k)。
例 1
我們利用克拉瑪法則解出下列線性方程組，以說明定理 4.9：
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2
x_1 + x_3 = 3
x_1 + x_2 - x_3 = 1
此系統的矩陣形式為 Ax=b，其中
A = \begin{pmatrix}1&2&3\\ 1&0&1\\ 1&1&-1\end{pmatrix} 且 b = \begin{pmatrix}2\\ 3\\ 1\end{pmatrix}
因為 \det(A) = 6 \ne 0，故適用克拉瑪法則。使用定理 4.9 中的符號，我們有：
x_1 = \frac{\det(M_1)}{\det(A)} = \frac{\det\begin{pmatrix}2&2&3\\ 3&0&1\\ 1&1&-1\end{pmatrix}}{\det(A)} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}
x_2 = \frac{\det(M_2)}{\det(A)} = \frac{\det\begin{pmatrix}1&2&3\\ 1&3&1\\ 1&1&-1\end{pmatrix}}{\det(A)} = \frac{-6}{6} = -1
x_3 = \frac{\det(M_3)}{\det(A)} = \frac{\det\begin{pmatrix}1&2&2\\ 1&0&3\\ 1&1&1\end{pmatrix}}{\det(A)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
因此給定線性方程組的唯一解為 (x_1, x_2, x_3) = (\frac{5}{2}, -1, \frac{1}{2})。
在涉及線性方程組的應用中，我們有時需要知道是否存在一個未知數為整數的解。在這種情況下，克拉瑪法則會很有用，因為它暗示：如果一個具有整數係數的線性方程組，其係數矩陣的行列式為 \pm 1，則該系統必定具有整數解。另一方面，克拉瑪法則在計算上並不實用，因為要解一個包含 n 個未知數的 n 個線性方程組，它需要評估 n+1 個 n \times n 矩陣的行列式。這樣做的計算量遠遠大於透過第 3.4 節討論的高斯消去法來解方程組所需的計算量。因此，克拉瑪法則主要是具有理論與美學上的意義，而非計算上的價值。
如同第 4.1 節，我們可以從幾何角度來解釋矩陣 A \in M_{n\times n}(R) 的行列式。如果 A 的列分別為 a_1, a_2, \dots, a_n，那麼 |\det(A)| 即為以 a_1, a_2, \dots, a_n 為相鄰邊之平行六面體 (parallelepiped) 的 n 維體積（此為面積在 R^2 及體積在 R^3 中的推廣）。
例 2
以 a_1 = (1, -2, 1), a_2 = (1, 0, -1), 與 a_3 = (1, 1, 1) 為相鄰邊的平行六面體體積為：
|\det\begin{pmatrix}1&-2&1\\ 1&0&-1\\ 1&1&1\end{pmatrix}| = 6
請注意，這是一個長方體，其邊長分別為 \sqrt{6}, \sqrt{2}, 與 \sqrt{3}。因此，由熟悉的體積公式，它的體積應為 \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 6，這與行列式的計算結果一致。
在我們之前探討由 R^2 有序基底之向量所構成的行列式的幾何意義時，我們也看到，若且唯若該基底引導出一個右手座標系時，此行列式為正。類似的敘述在 R^n 中也是正確的。具體而言，如果 \gamma 是 R^n 的任何一個有序基底，且 \beta 是 R^n 的標準有序基底，那麼若且唯若 \det(Q) \gt 0 時，\gamma 會引導出一個右手座標系，其中 Q 是將 \gamma 座標轉換為 \beta 座標的座標轉換矩陣。
更一般地說，如果 \beta 和 \gamma 是 R^n 的兩個有序基底，那麼 \beta 和 \gamma 所引導出的座標系具有相同的定向（皆為右手或皆為左手），若且唯若 \det(Q) \gt 0，其中 Q 是將 \gamma 座標轉換為 \beta 座標的座標轉換矩陣。例如，
\gamma = \left\{ \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \right\}
引導出 R^3 中的一個左手座標系，因為
\det\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&-1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix} = -2 \lt 0,
而
\gamma^{\prime} = \left\{ \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \right\}
引導出 R^3 中的一個右手座標系，因為
\det\begin{pmatrix}1&-2&0\\ 2&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix} = 5 \gt 0.
習題 4.3
1. 將下列敘述標示為真（True）或假（False）。
(a) 如果 E 是一個基本矩陣，則 \det(E) = \pm 1。
(b) 對於任意 A, B \in M_{n\times n}(F)，\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)。
(c) 矩陣 M \in M_{n\times n}(F) 為可逆若且唯若 \det(M) = 0。
(d) 矩陣 M \in M_{n\times n}(F) 之秩為 n 若且唯若 \det(M) \ne 0。
(e) 對於任意 A \in M_{n\times n}(F)，\det(A^t) = -\det(A)。
(f) 方陣的行列式可藉由沿著任意一行的餘因子展開來求值。
(g) 每一個包含 n 個未知數的 n 個線性方程式系統都可以用克拉瑪法則求解。
(h) 設 Ax=b 為包含 n 個未知數的 n 個線性方程式系統的矩陣形式，其中 x=(x_1, x_2, \dots, x_n)^t。如果 \det(A) \ne 0 且 M_k 是從 A 中將第 k 行替換為 b^t 所獲得的 n \times n 矩陣，則 Ax=b 的唯一解為 x_k = \frac{\det(M_k)}{\det(A)} (k=1,2,\dots,n)。
在習題 2-7 中，利用克拉瑪法則解給定的線性方程式系統。
2.
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2
其中 a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \ne 0
3.
x_1 - 2x_2 + x_3 = 10
2x_1 + x_2 - 3x_3 = 5
x_1 + 4x_2 - 2x_3 = 0
4.
2x_1 + x_2 - 3x_3 = 1
x_1 - 2x_2 + x_3 = 0
3x_1 + 4x_2 - 2x_3 = -5
5.
x_1 - x_2 + 4x_3 = -4
-8x_1 + 3x_2 + x_3 = 8
2x_1 - x_2 + x_3 = 0
6.
x_1 - x_2 + 4x_3 = -2
-8x_1 + 3x_2 + x_3 = 0
2x_1 - x_2 + x_3 = 6
7.
3x_1 + x_2 + x_3 = 4
-2x_1 - x_2 = 12
x_1 + 2x_2 + x_3 = -8
8. 利用定理 4.8 證明一個類似定理 4.3 (第 212 頁) 的結果，但改為適用於行 (columns)。
9. 證明一個上三角 n \times n 矩陣是可逆的，若且唯若它的所有對角線元素皆不為零。
10. 矩陣 M \in M_{n\times n}(F) 稱為冪零矩陣 (nilpotent)，如果對某個正整數 k，滿足 M^k = O (其中 O 為 n \times n 零矩陣)。證明如果 M 是冪零的，則 \det(M) = 0。
11. 矩陣 M \in M_{n\times n}(C) 稱為反對稱矩陣 (skew-symmetric)，如果 M^t = -M。證明如果 M 是反對稱的且 n 為奇數，則 M 不可逆。如果 n 是偶數會發生什麼事？
12. 矩陣 Q \in M_{n\times n}(R) 稱為正交矩陣 (orthogonal)，如果 QQ^t = I。證明如果 Q 是正交的，則 \det(Q) = \pm 1。
13. 對於 M \in M_{n\times n}(C)，令 \overline{M} 為滿足 (\overline{M})_{ij} = \overline{M_{ij}} 對所有 i, j 的矩陣，其中 \overline{M_{ij}} 是 M_{ij} 的複數共軛。
(a) 證明 \det(\overline{M}) = \overline{\det(M)}。
(b) 矩陣 Q \in M_{n\times n}(C) 稱為酉矩陣 (unitary)，如果 QQ^* = I，其中 Q^* = \overline{Q^t}。證明如果 Q 是一個酉矩陣，則 |\det(Q)| = 1。
14. 設 \beta = \{u_1, u_2, \dots, u_n\} 是 F^n 中包含 n 個相異向量的子集，並設 B 為 M_{n\times n}(F) 中以 u_j 為第 j 行的矩陣。證明 \beta 是 F^n 的基底若且唯若 \det(B) \ne 0。
15. 證明如果 A, B \in M_{n\times n}(F) 是相似的，則 \det(A) = \det(B)。
16. 利用行列式證明，如果 A, B \in M_{n\times n}(F) 滿足 AB = I，則 A 是可逆的（且因此 B = A^{-1}）。
17. 設 A, B \in M_{n\times n}(F) 滿足 AB = -BA。證明如果 n 是奇數且 F 不是特徵為 2 的體，則 A 或 B 不可逆。
18. 藉由證明若 A 是第 2 型或第 3 型的基本矩陣，則 \det(AB) = \det(A)\cdot\det(B)，來完成定理 4.7 的證明。
19. 矩陣 A \in M_{n\times n}(F) 稱為下三角矩陣 (lower triangular)，如果對所有 1 \le i \lt j \le n，A_{ij} = 0。假設 A 是一個下三角矩陣，請用 A 的元素描述 \det(A)。
20. 假設 M \in M_{n\times n}(F) 可以寫成以下形式：
M = \begin{pmatrix}A&B\\ O&I\end{pmatrix}
其中 A 是方陣。證明 \det(M) = \det(A)。
21. 證明如果 M \in M_{n\times n}(F) 可以寫成以下形式：
M = \begin{pmatrix}A&B\\ O&C\end{pmatrix}
其中 A 和 C 皆為方陣，則 \det(M) = \det(A) \cdot \det(C)。
22. 設 T: P_n(F) \rightarrow F^{n+1} 為定義於第 2.4 節習題 22 的線性變換，定義為 T(f) = (f(c_0), f(c_1), \dots, f(c_n))，其中 c_0, c_1, \dots, c_n 是無窮體 F 中相異的純量。令 \beta 為 P_n(F) 的標準有序基底，且 \gamma 為 F^{n+1} 的標準有序基底。
(a) 證明 M = [T]_\beta^\gamma 具有以下形式：
M = \begin{pmatrix}1&c_0&c_0^2&\cdots&c_0^n\\ 1&c_1&c_1^2&\cdots&c_1^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&c_n&c_n^2&\cdots&c_n^n\end{pmatrix}
（具有這種形式的矩陣稱為范德蒙矩陣 Vandermonde matrix）。
(b) 利用第 2.4 節習題 22 證明 \det(M) \ne 0。
(c) 證明 \det(M) = \prod_{0\le i \lt j \le n}(c_j - c_i)。
23. 設 A \in M_{n\times n}(F) 為非零矩陣。對於任意 m (1 \le m \le n)，從 A 刪除任意 n-m 列與 n-m 行所獲得的矩陣稱為 m \times m 子矩陣。
(a) 設 k (1 \le k \le n) 表示使得某個 k \times k 子矩陣之行列式非零的最大整數。證明 \text{rank}(A) = k。
(b) 反之，假設 \text{rank}(A) = k。證明存在一個 k \times k 子矩陣，其行列式為非零。
24. 設 A \in M_{n\times n}(F) 具有下列形式：
A = \begin{pmatrix}0&0&0&\cdots&0&a_0\\ -1&0&0&\cdots&0&a_1\\ 0&-1&0&\cdots&0&a_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&-1&a_{n-1}\end{pmatrix}
計算 \det(A + tI)，其中 I 是 n \times n 單位矩陣。
25. 設 c_{jk} 表示矩陣 A \in M_{n\times n}(F) 中第 j 列第 k 行元素的餘因子 (cofactor)。
(a) 證明如果 B 是將 A 中的第 k 行替換為 e_j 所獲得的矩陣，則 \det(B) = c_{jk}。
(b) 證明對於 1 \le j \le n，我們有：A \begin{pmatrix}c_{j1}\\ c_{j2}\\ \vdots\\ c_{jn}\end{pmatrix} = \det(A) \cdot e_j。（提示：將克拉瑪法則應用於 Ax = e_j。）
(c) 推導出：如果 C 是一個 n \times n 矩陣且滿足 C_{ij} = c_{ji}，則 AC = [\det(A)]I。
(d) 證明如果 \det(A) \ne 0，則 A^{-1} = [\det(A)]^{-1}C。
定義。 一個方陣 A 的經典伴隨矩陣 (classical adjoint) 是一個矩陣的轉置矩陣，該矩陣的 ij-元素為 A 的 ij-餘因子。
26. 找出下列各矩陣的經典伴隨矩陣。
(a) \begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}
(b) \begin{pmatrix}4&0&0\\ 0&4&0\\ 0&0&4\end{pmatrix}
(c) \begin{pmatrix}-4&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&5\end{pmatrix}
(d) \begin{pmatrix}3&6&7\\ 0&4&8\\ 0&0&5\end{pmatrix}
(e) \begin{pmatrix}1-i&0&0\\ 4&3i&0\\ 2i&1+4i&-1\end{pmatrix}
(f) \begin{pmatrix}7&1&4\\ 6&-3&0\\ -3&5&-2\end{pmatrix}
(g) \begin{pmatrix}-1&2&5\\ 8&0&-3\\ 4&6&1\end{pmatrix}
(h) \begin{pmatrix}3&2+i&0\\ -1+i&0&i\\ 0&1&3-2i\end{pmatrix}
27. 設 C 為 A \in M_{n\times n}(F) 的經典伴隨矩陣。證明下列敘述：
(a) \det(C) = [\det(A)]^{n-1}。
(b) C^t 是 A^t 的經典伴隨矩陣。
(c) 如果 A 是一個可逆的上三角矩陣，則 C 與 A^{-1} 皆為上三角矩陣。
28. 設 y_1, y_2, \dots, y_n 為 C^\infty 中的線性獨立函數。對每一個 y \in C^\infty，定義 T(y) \in C^\infty 為：
[T(y)](t) = \det\begin{pmatrix}y(t)&y_1(t)&y_2(t)&\cdots&y_n(t)\\ y^{\prime}(t)&y_1^{\prime}(t)&y_2^{\prime}(t)&\cdots&y_n^{\prime}(t)\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ y^{(n)}(t)&y_1^{(n)}(t)&y_2^{(n)}(t)&\cdots&y_n^{(n)}(t)\end{pmatrix}
前述之行列式被稱為 y, y_1, \dots, y_n 的朗斯基行列式 (Wronskian)。
(a) 證明 T: C^\infty \rightarrow C^\infty 是一個線性變換。
(b) 證明 N(T) 包含 \text{span}(\{y_1, y_2, \dots, y_n\})。
4.4 摘要——關於行列式的重要事實 (Summary—Important Facts about Determinants)
在本節中，我們總結本書剩餘部分所需的行列式的重要性質。本節包含的結果已經在 4.2 與 4.3 節中推導出來；因此，這裡所呈現的事實皆不附證明。
一個元素取自體 F 的 n \times n 矩陣 A，其行列式是 F 中的一個純量，記為 \det(A) 或 |A|，並且可以按以下方式計算：
- 如果 A 是 1 \times 1，則 \det(A) = A_{11}，即 A 唯一的元素。
- 如果 A 是 2 \times 2，則 \det(A) = A_{11}A_{22} - A_{12}A_{21}。例如，
\det\begin{pmatrix}-1&2\\ 5&3\end{pmatrix} = (-1)(3) - (2)(5) = -13。 - 如果 A 是 n \times n (n \gt 2)，那麼對任何列 i，我們可以藉由沿著第 i 列的餘因子展開來評估行列式：
\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} A_{ij} \cdot \det(\tilde{A}_{ij})，
或者，對於每個 j，我們可以藉由沿著第 j 行展開來評估行列式：
\det(A) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} A_{ij} \cdot \det(\tilde{A}_{ij})。
其中 \tilde{A}_{ij} 表示從 A 刪除第 i 列與第 j 行後獲得的 (n-1) \times (n-1) 矩陣。
在上述公式中，純量 (-1)^{i+j} \det(\tilde{A}_{ij}) 稱為 A 之 A_{ij} 元素的餘因子 (cofactor)。因此，A 的行列式可藉由選擇任意一列或任意一行，將其中的每個元素乘上其餘因子並將這些乘積相加來求值。於是 \det(A) 被表示為 n 個 (n-1) \times (n-1) 矩陣行列式相關的項之和。這些行列式可接著用 (n-2) \times (n-2) 矩陣的行列式來求值，依此類推，直到獲得 2 \times 2 矩陣為止。這些 2 \times 2 矩陣的行列式則依照第 2 點計算。
讓我們考慮用這種技巧來計算 4 \times 4 矩陣
A = \begin{pmatrix}2&1&1&5\\ 1&1&-4&-1\\ 2&0&-3&1\\ 3&6&1&2\end{pmatrix}
行列式的兩個例子。為了藉由沿著第四列展開來求 A 的行列式，我們必須知道該列每個元素的餘因子。A_{41}=3 的餘因子是 (-1)^{4+1}\det(B)，其中
B = \begin{pmatrix}1&1&5\\ 1&-4&-1\\ 0&-3&1\end{pmatrix}。
讓我們沿著第一行展開來評估此行列式。我們有
\det(B) = (-1)^{1+1}(1)\det\begin{pmatrix}-4&-1\\ -3&1\end{pmatrix} + (-1)^{2+1}(1)\det\begin{pmatrix}1&5\\ -3&1\end{pmatrix} + (-1)^{3+1}(0)\det\begin{pmatrix}1&5\\ -4&-1\end{pmatrix}
= 1(1)[(-4)(1) - (-1)(-3)] + (-1)(1)[(1)(1) - (5)(-3)] + 0 = -7 - 16 + 0 = -23。
因此 A_{41} 的餘因子是 (-1)^5(-23) = 23。同理，A_{42}, A_{43}, 以及 A_{44} 的餘因子分別是 8, 11, 和 -13。現在我們可以藉由將第四列的每個元素乘上其餘因子來計算 A 的行列式；這給出
\det(A) = 3(23) + 6(8) + 1(11) + 2(-13) = 102。
為了進行比較，我們也藉由沿著第二行展開來計算 A 的行列式。讀者應當驗證 A_{12}, A_{22}, 與 A_{42} 的餘因子分別為 -14, 40, 和 8。因此
\det(A) = (-1)^{1+2}(1)\det\begin{pmatrix}1&-4&-1\\ 2&-3&1\\ 3&1&2\end{pmatrix} + (-1)^{2+2}(1)\det\begin{pmatrix}2&1&5\\ 2&-3&1\\ 3&1&2\end{pmatrix} + (-1)^{3+2}(0)\det\begin{pmatrix}2&1&5\\ 1&-4&-1\\ 3&1&2\end{pmatrix} + (-1)^{4+2}(6)\det\begin{pmatrix}2&1&5\\ 1&-4&-1\\ 2&-3&1\end{pmatrix}
= 14 + 40 + 0 + 48 = 102。
當然，再次得到數值 102 並不意外，因為 A 的行列式之值與展開時所選的列或行無關。
請注意，當沿著第二行展開時，\det(A) 的計算比沿著第四列展開時容易。差異在於第二行中有一個 0，這使得我們不需要評估其中一個餘因子（A_{32} 的餘因子）。基於這個原因，在評估行列式時，沿著包含最多個 0 的列或行展開是有利的。事實上，在計算行列式之前，透過基本列運算在矩陣中引入 0 通常是很有幫助的。這種技巧利用了行列式的前三個性質。
行列式的性質
- 如果 B 是一個 n \times n 矩陣 A 互換任意兩列或互換任意兩行所得到的矩陣，則 \det(B) = -\det(A)。
- 如果 B 是一個 n \times n 矩陣 A 的某列或某行各元素同乘上一個純量 k 所得到的矩陣，則 \det(B) = k \cdot \det(A)。
- 如果 B 是從一個 n \times n 矩陣 A 將第 i 列的某個倍數加到第 j 列，或將第 i 行的某個倍數加到第 j 行 (i \ne j) 所得到的矩陣，則 \det(B) = \det(A)。
作為在評估行列式時使用這三個性質的例子，讓我們計算前面考慮過的 4 \times 4 矩陣 A 的行列式。我們的步驟是運用性質 3 在 A 的第二行引入 0，然後沿著該行展開。（這裡使用的基本列運算包含了將第一列的倍數加到第二列與第四列。）讀者應該比較若應用了性質 1、2 和 3，\det(A) 的計算會省下多少工夫。
\det(A) = \det\begin{pmatrix}2&1&1&5\\ 1&1&-4&-1\\ 2&0&-3&1\\ 3&6&1&2\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}2&1&1&5\\ -1&0&-5&-6\\ 2&0&-3&1\\ -9&0&-5&-28\end{pmatrix}
= 1(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}-1&-5&-6\\ 2&-3&1\\ -9&-5&-28\end{pmatrix}
所產生的 3 \times 3 矩陣之行列式可以用相同的方式求值：利用第 3 型基本列運算在第一行引入兩個零，然後沿著該行展開。這將得到 -102 這個值。因此
\det(A) = 1(-1)^{1+2}(-102) = 102。
在接下來的章節中，我們經常需要計算具有特殊形式的矩陣行列式。行列式的下兩個性質在這方面很有用：
4. 上三角矩陣的行列式是其對角線元素的乘積。特別是，\det(I) = 1。
5. 如果一個矩陣的兩列 (或兩行) 完全相同，則該矩陣的行列式為 0。
作為性質 4 的說明，請注意：
\det\begin{pmatrix}-3&1&2\\ 0&4&5\\ 0&0&-6\end{pmatrix} = (-3)(4)(-6) = 72。
性質 4 提供了一個求矩陣行列式的高效方法：
(a) 利用高斯消去法與上述的性質 1、2、3，將矩陣化簡為上三角矩陣。
(b) 計算對角線元素的乘積。
例如：
\det\begin{pmatrix}1&-1&2&1\\ 2&-1&-1&4\\ -4&5&-10&-6\\ 3&-2&10&-1\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}1&-1&2&1\\ 0&1&-5&2\\ 0&1&-2&-2\\ 0&1&4&-4\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}1&-1&2&1\\ 0&1&-5&2\\ 0&0&3&-4\\ 0&0&9&-6\end{pmatrix}
= \det\begin{pmatrix}1&-1&2&1\\ 0&1&-5&2\\ 0&0&3&-4\\ 0&0&0&6\end{pmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 6 = 18。
行列式的下三個性質在後續章節中會頻繁地使用。事實上，也許行列式最重要的性質是它提供了一個特徵化可逆矩陣的簡單方法。（見性質 7。）
6. 對於任意 n \times n 矩陣 A 與 B，\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)。
7. 一個 n \times n 矩陣 A 為可逆，若且唯若 \det(A) \ne 0。此外，如果 A 是可逆的，則 \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}。
8. 對於任意 n \times n 矩陣 A，A 與 A^t 的行列式相等。
例如，性質 7 保證了前述 4 \times 4 矩陣 A 是可逆的，因為 \det(A) = 102。
最後一個性質是性質 6 和 7 的簡單推論（如第 4.3 節習題 15 所陳述）：
9. 如果 A 和 B 是相似矩陣 (similar matrices)，則 \det(A) = \det(B)。
習題 4.4
1. 將下列敘述標示為真（True）或假（False）。
(a) 一個方陣的行列式可藉由沿著任意列或行展開來計算。
(b) 在評估矩陣的行列式時，沿著含有最多零的列或行展開是明智的。
(c) 如果 A 有兩列或兩行相同，則 \det(A) = 0。
(d) 如果 B 是將 A 互換兩列或兩行獲得的矩陣，則 \det(B) = \det(A)。
(e) 如果 B 是將 A 的某列或某行乘以純量獲得的矩陣，則 \det(B) = \det(A)。
(f) 如果 B 是將 A 中某一列 (或行) 的某個倍數加到另一列 (或行) 所獲得的矩陣，則 \det(B) = \det(A)。
(g) 上三角 n \times n 矩陣的行列式等於其對角線元素的乘積。
(h) 對於每個 A, B \in M_{n\times n}(F)，\det(A+B) = \det(A) + \det(B)。
(i) 矩陣 A 是可逆的，若且唯若 \det(A) \ne 0。
(j) 相似矩陣有相同的行列式。
(k) 任意方陣的行列式可以用高斯消去法評估。
2. 計算下列 2 \times 2 矩陣的行列式。
(a) \begin{pmatrix}4&-5\\ 2&3\end{pmatrix}
(b) \begin{pmatrix}-1&7\\ 3&8\end{pmatrix}
(c) \begin{pmatrix}2+i&-1+3i\\ 1-2i&3-i\end{pmatrix}
(d) \begin{pmatrix}3&4i\\ -6i&2i\end{pmatrix}
3. 以指示的方式評估下列矩陣的行列式。
(a) \begin{pmatrix}0&1&2\\ -1&0&-3\\ 2&3&0\end{pmatrix} 沿著第一列
(b) \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&5\\ -1&3&0\end{pmatrix} 沿著第一行
(c) \begin{pmatrix}0&1&2\\ -1&0&-3\\ 2&3&0\end{pmatrix} 沿著第二行
(d) \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&5\\ -1&3&0\end{pmatrix} 沿著第三列
(e) \begin{pmatrix}0&1+i&2\\ -2i&0&1-i\\ 3&4i&0\end{pmatrix} 沿著第三列
(f) \begin{pmatrix}i&2+i&0\\ -1&3&2i\\ 0&-1&1-i\end{pmatrix} 沿著第三行
(g) \begin{pmatrix}0&2&1&3\\ 1&0&-2&2\\ 3&-1&0&1\\ -1&1&2&0\end{pmatrix} 沿著第四行
(h) \begin{pmatrix}1&-1&2&-1\\ -3&4&1&-1\\ 2&-5&-3&8\\ -2&6&-4&1\end{pmatrix} 沿著第四列
4. 藉由任何合理的方法評估下列矩陣的行列式。
(a) \begin{pmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\end{pmatrix}
(b) \begin{pmatrix}-1&3&2\\ 4&-8&1\\ 2&2&5\end{pmatrix}
(c) \begin{pmatrix}0&1&1\\ 1&2&-5\\ 6&-4&3\end{pmatrix}
(d) \begin{pmatrix}1&-2&3\\ -1&2&-5\\ 3&-1&2\end{pmatrix}
(e) \begin{pmatrix}i&2&-1\\ 3&1+i&2\\ -2i&1&4-i\end{pmatrix}
(f) \begin{pmatrix}-1&2+i&3\\ 1-i&i&1\\ 3i&2&-1+i\end{pmatrix}
(g) \begin{pmatrix}1&0&-2&3\\ -3&1&1&2\\ 0&4&-1&1\\ 2&3&0&1\end{pmatrix}
(h) \begin{pmatrix}1&-2&3&-12\\ -5&12&-14&19\\ -9&22&-20&31\\ -4&9&-14&15\end{pmatrix}
5. 假設 M \in M_{n\times n}(F) 可以寫成以下形式
M = \begin{pmatrix}A&B\\ O&I\end{pmatrix}
其中 A 為方陣。證明 \det(M) = \det(A)。
6. 證明如果 M \in M_{n\times n}(F) 可以寫成以下形式
M = \begin{pmatrix}A&B\\ O&C\end{pmatrix}
其中 A 與 C 皆為方陣，則 \det(M) = \det(A) \cdot \det(C)。
4.5* 行列式的特徵描述 (A Characterization of the Determinant)
在 4.2 節與 4.3 節中，我們展示了行列式具備許多性質。在本節中，我們將證明這其中的三個性質即可完全特徵化 (characterize) 行列式；也就是說，唯一具有這三個性質的函數 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 就是行列式函數。在第 4.1 節中，就是利用行列式的這種特徵描述，來建立 \det\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix} 與由 u 和 v 決定的平行四邊形面積之間的關係。用來特徵化行列式的第一個性質在定理 4.3（第 212 頁）中描述。
定義。 一個函數 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 稱為 n-線性函數 (n-linear function)，如果當一個 n \times n 矩陣其餘 n-1 列固定不變時，它是每一列的線性函數。亦即，\delta 是 n-線性的，如果對於每一個 r = 1,2,\dots,n，只要 a, b 是純量，且 u, v 與每一個 a_i 都是 F^n 中的向量，我們就有：
\delta\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_{r-1}\\ au+bv\\ a_{r+1}\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix} = a \cdot \delta\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_{r-1}\\ u\\ a_{r+1}\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix} + b \cdot \delta\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_{r-1}\\ v\\ a_{r+1}\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}
例 1
定義為對所有 A \in M_{n\times n}(F) 皆有 \delta(A) = 0 的函數 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 是一個 n-線性函數。
例 2
對 1 \le j \le n，定義 \delta_j: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 為 \delta_j(A) = A_{1j}A_{2j}\cdots A_{nj} (對於每一個 A \in M_{n\times n}(F))；亦即，\delta_j(A) 等於 A 的第 j 行元素的乘積。設 A \in M_{n\times n}(F)，a_i = (A_{i1}, A_{i2}, \dots, A_{in})，且 v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n。則每一個 \delta_j 都是 n-線性函數，因為對於任意純量 k：
如果將第 r 列改為 a_r + kv，該行元素的乘積為
A_{1j}\cdots A_{(r-1)j}(A_{rj} + kb_j)A_{(r+1)j}\cdots A_{nj}
= A_{1j}\cdots A_{(r-1)j}A_{rj}A_{(r+1)j}\cdots A_{nj} + k(A_{1j}\cdots A_{(r-1)j}b_j A_{(r+1)j}\cdots A_{nj})。
這等於 \delta_j(A) + k\delta_j(B)，其中 B 除了第 r 列替換為 v 之外，與 A 皆相同。
例 3
定義為 \delta(A) = A_{11}A_{22}\cdots A_{nn}（即 \delta(A) 等於 A 之對角線元素的乘積）的函數 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 是一個 n-線性函數。
例 4
定義為 \delta(A) = \text{tr}(A) 的函數 \delta: M_{n\times n}(R) \rightarrow R 對於 n \ge 2 不是一個 n-線性函數。因為如果 I 是 n \times n 單位矩陣，而 A 是將 I 的第一列乘以 2 所獲得的矩陣，則 \delta(A) = n + 1 \ne 2n = 2\cdot \delta(I)。
定理 4.3 斷言行列式是一個 n-線性函數。對我們來說，這是 n-線性函數最重要的例子。現在我們介紹用於行列式特徵化的第二個性質。
定義。 一個 n-線性函數 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 稱為交替的 (alternating)，如果對於每一個 A \in M_{n\times n}(F)，只要 A 有相鄰的兩列相同，我們就有 \delta(A) = 0。
定理 4.10。 設 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 為交替的 n-線性函數。
(a) 若 A \in M_{n\times n}(F)，且 B 是將 A 的任意兩列互換所獲得的矩陣，則 \delta(B) = -\delta(A)。
(b) 若 A \in M_{n\times n}(F) 具有兩列完全相同，則 \delta(A) = 0。
證明。(a) 設 A \in M_{n\times n}(F)，且 B 是由 A 交換第 r 列與第 s 列 (其中 r \lt s) 所得到的矩陣。我們首先建立當 s = r+1 時的結果。因為 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 是一個交替的 n-線性函數，我們有
0 = \delta\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_r+a_{r+1}\\ a_r+a_{r+1}\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix} = \delta\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_r\\ a_r+a_{r+1}\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_{r+1}\\ a_r+a_{r+1}\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}
= \delta\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_r\\ a_r\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_r\\ a_{r+1}\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_{r+1}\\ a_r\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix} + \delta\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots\\ a_{r+1}\\ a_{r+1}\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}
= 0 + \delta(A) + \delta(B) + 0。
因此 \delta(B) = -\delta(A)。
接下來假設 s \gt r+1，並設 A 的列為 a_1, a_2, \dots, a_n。從 a_r 和 a_{r+1} 開始，接連將 a_r 與其後的一列互換，直到這些列變成如下順序：
a_1, a_2, \dots, a_{r-1}, a_{r+1}, \dots, a_s, a_r, a_{s+1}, \dots, a_n。
總共需要 s-r 次相鄰列互換來產生這個序列。接著接連將 a_s 與其前一列互換，直到列順序變為
a_1, a_2, \dots, a_{r-1}, a_s, a_{r+1}, \dots, a_{s-1}, a_r, a_{s+1}, \dots, a_n。
這個過程需要額外的 s-r-1 次相鄰列互換，並產生出矩陣 B。由前一段的論證可知：
\delta(B) = (-1)^{(s-r)+(s-r-1)}\delta(A) = -\delta(A)。
(b) 假設 A \in M_{n\times n}(F) 的第 r 列與第 s 列相同，其中 r \lt s。如果 s = r+1，那麼因為 \delta 是交替的且 A 有相鄰的兩列相同，所以 \delta(A) = 0。如果 s \gt r+1，讓 B 為從 A 交換第 r+1 列與第 s 列得到的矩陣。則 \delta(B) = 0，因為 B 的兩個相鄰列相同。但是根據 (a)，\delta(B) = -\delta(A)。因此 \delta(A) = 0。
推論 1。 設 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 為交替 n-線性函數。如果 B 是從 A \in M_{n\times n}(F) 中將某一列的倍數加到另一列所獲得的矩陣，則 \delta(B) = \delta(A)。
證明。假設 B 是將 A 的第 i 列乘以 k 加到第 j 列 (j \ne i) 獲得。令 C 為從 A 將第 j 列替換為第 i 列所得到的矩陣。則 A、B 與 C 的各列皆相同，唯獨第 j 列例外。此外，B 的第 j 列是 A 的第 j 列加上 k 倍 C 的第 j 列的總和。因為 \delta 是一個 n-線性函數且 C 有兩列相同，由定理 4.10(b) 得出
\delta(B) = \delta(A) + k\delta(C) = \delta(A) + k \cdot 0 = \delta(A)。
下一個結果的證明與定理 4.6 的推論（第 216 頁）類似。（見習題 11。）
推論 2。 設 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 為交替 n-線性函數。如果 M \in M_{n\times n}(F) 的秩小於 n，則 \delta(M) = 0。
證明。習題。
推論 3。 設 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 為交替 n-線性函數，並設 E_1, E_2, E_3 在 M_{n\times n}(F) 中分別為第 1、2、3 型基本矩陣。假設 E_2 是藉由將 I 某列乘以非零純量 k 獲得。則 \delta(E_1) = -\delta(I)，\delta(E_2) = k\cdot\delta(I)，且 \delta(E_3) = \delta(I)。
證明。習題。
我們希望能證明，在某些條件下，唯一的交替 n-線性函數 \delta 就是行列式。由於交替 n-線性函數的任何純量倍數仍然是交替 n-線性函數，我們需要一個條件來區別行列式，即 n \times n 單位矩陣的函數值為 1。我們首先要證明一個類似定理 4.7（第 223 頁）的結果。此結果的證明與定理 4.7 也相似，因此省略。（見習題 12。）
定理 4.11。 設 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 為一個滿足 \delta(I) = 1 的交替 n-線性函數。對於任意 A, B \in M_{n\times n}(F)，我們有 \delta(AB) = \det(A)\cdot \delta(B)。
證明。習題。
定理 4.12。 如果 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 是一個滿足 \delta(I) = 1 的交替 n-線性函數，那麼對於每個 A \in M_{n\times n}(F) 都有 \delta(A) = \det(A)。
證明。設 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 為滿足 \delta(I) = 1 的交替 n-線性函數，且 A \in M_{n\times n}(F)。如果 A 的秩小於 n，則依定理 4.10 推論 2，\delta(A) = 0。因為由定理 4.6 的推論（第 217 頁）得知 \det(A) = 0，所以在這情況下 \delta(A) = \det(A)。另一方面，如果 A 的秩為 n，則 A 是可逆的，因此它是基本矩陣的乘積（由定理 3.6 推論 3，第 158 頁可知），假設 A = E_m \cdots E_2 E_1。因為 \delta(I) = 1，由定理 4.10 推論 3 與第 223 頁的事實可推得對任何基本矩陣 E 都有 \delta(E) = \det(E)。因此由定理 4.11 與 4.7（第 223 頁），我們有：
\delta(A) = \delta(E_m \cdots E_2 E_1)
= \det(E_m) \delta(E_{m-1} \cdots E_2 E_1)
= \cdots
= \det(E_m) \cdots \det(E_2) \cdot \det(E_1)
= \det(E_m \cdots E_2 E_1)
= \det(A)。
定理 4.12 提供了所期望的行列式特徵描述：它是唯一一個 n-線性的、交替的，並且具有 \delta(I)=1 屬性的函數 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F。
習題 4.5
1. 將下列敘述標示為真（True）或假（False）。
(a) 任何 n-線性函數 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 都是一個線性變換。
(b) 任何 n-線性函數 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F，當其餘 n-1 列固定不變時，是該 n \times n 矩陣每一列的線性函數。
(c) 如果 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 是一個交替 n-線性函數，且矩陣 A \in M_{n\times n}(F) 具有兩相同的列，則 \delta(A) = 0。
(d) 如果 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 是一個交替 n-線性函數，且 B 是藉由互換 A 兩列獲得，則 \delta(B) = \delta(A)。
(e) 存在唯一的交替 n-線性函數 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F。
(f) 對於每一個 A \in M_{n\times n}(F) 定義為 \delta(A) = 0 的函數 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 是一個交替 n-線性函數。
2. 決定所有的 1-線性函數 \delta: M_{1\times 1}(F) \rightarrow F。
判斷在習題 3-10 中，哪些函數 \delta: M_{3\times 3}(F) \rightarrow F 是 3-線性函數。並請說明理由。
3. \delta(A) = k，其中 k 為任意非零純量。
4. \delta(A) = A_{22}
5. \delta(A) = A_{11}A_{23}A_{32}
6. \delta(A) = A_{11} + A_{23} + A_{32}
7. \delta(A) = A_{11}A_{21}A_{32}
8. \delta(A) = A_{11}A_{31}A_{32}
9. \delta(A) = A_{11}^2 A_{22}^2 A_{33}^2
10. \delta(A) = A_{11}A_{22}A_{33} - A_{11}A_{21}A_{32}
11. 證明定理 4.10 的推論 2 和 3。
12. 證明定理 4.11。
13. 證明 \det: M_{2\times 2}(F) \rightarrow F 是一個關於矩陣行的 2-線性函數。
14. 設 a, b, c, d \in F。證明定義為 \delta(A) = A_{11}A_{22}a + A_{11}A_{21}b + A_{12}A_{22}c + A_{12}A_{21}d 的函數 \delta: M_{2\times 2}(F) \rightarrow F 是一個 2-線性函數。
15. 證明 \delta: M_{2\times 2}(F) \rightarrow F 是一個 2-線性函數，若且唯若它具有形式
\delta(A) = A_{11}A_{22}a + A_{11}A_{21}b + A_{12}A_{22}c + A_{12}A_{21}d
其中 a, b, c, d 是某些在 F 中的純量。
16. 證明如果 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 是一個交替 n-線性函數，那麼存在一個純量 k 使得 \delta(A) = k \det(A) 對所有 A \in M_{n\times n}(F) 皆成立。
17. 證明兩個 n-線性函數的線性組合也是一個 n-線性函數，其中 n-線性函數的加法與純量乘積定義與 1.2 節例 3（第 9 頁）相同。
18. 證明在體 F 上所有 n-線性函數的集合，在 1.2 節定義的函數加法與純量乘積運算下，構成一個佈於 F 的向量空間。
19. 設 \delta: M_{n\times n}(F) \rightarrow F 是一個 n-線性函數，且 F 是一個特徵不為 2 的體。證明如果對於藉由互換 A 任意兩列所獲得的 B 恆有 \delta(B) = -\delta(A)，則當 M \in M_{n\times n}(F) 有兩列完全相同時必有 \delta(M) = 0。
20. 舉一個例子說明如果 F 的特徵為 2，那麼習題 19 中的蘊含關係不一定成立。
第 4 章 名詞定義索引 (INDEX OF DEFINITIONS FOR CHAPTER 4)
- Alternating n-linear function (交替 n-線性函數) 239
- Angle between two vectors (兩向量之間的夾角) 202
- Cofactor (餘因子) 209
- Cofactor expansion along the first row (沿著第一列的餘因子展開) 210
- Cramer's rule (克拉瑪法則) 224
- Determinant of a 2 \times 2 matrix (2 \times 2 矩陣的行列式) 200
- Determinant of a matrix (矩陣的行列式) 209
- Left-handed coordinate system (左手座標系) 202
- n-linear function (n-線性函數) 238
- Orientation of an ordered basis (有序基底的定向) 202
- Parallelepiped, volume of (平行六面體的體積) 226
- Parallelogram determined by two vectors (由兩向量決定的平行四邊形) 203
- Right-handed coordinate system (右手座標系) 202
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