附錄

附錄 A 集合 (APPENDIX A SETS)

一個集合 (set) 是一些被稱為該集合之元素 (elements) 的物件的聚集。如果 x 是集合 A 的一個元素，那麼我們寫作 x \in A；否則，我們寫作 x \notin A。例如，如果 Z 是整數的集合，那麼 3 \in Z 且 \frac{1}{2} \notin Z。本書中經常出現的一個集合是實數集合，我們始終用 R 來表示它。

如果兩個集合 A 與 B 包含完全相同的元素，則稱它們是相等 (equal) 的，記為 A = B。

如果集合 A 的每個元素都是集合 B 的元素，那麼 A 稱為 B 的子集 (subset)，我們記作 A \subseteq B。如果 A \subseteq B 且 A \ne B，那麼 A 被稱為 B 的真子集 (proper subset)，有時我們將其記為 A \subset B。請注意，為了證明 A = B，通常必須分別證明 A \subseteq B 以及 B \subseteq A 兩者皆成立。

沒有包含任何元素的集合稱為空集合 (empty set)，記為 \emptyset。空集合被視為任何集合的子集。

給定兩個集合 A 與 B，我們定義它們的聯集 (union)（記為 A \cup B）為包含在 A 中、或在 B 中（或兩者皆有）的所有元素所構成的集合。類似地，我們定義它們的交集 (intersection)（記為 A \cap B）為同時包含在 A 與 B 中的所有元素所構成的集合。如果 A \cap B = \emptyset，則稱兩個集合 A 與 B 為不相交的 (disjoint)。我們也可以以同樣的方式，定義任意多個集合的聯集和交集。我們定義在 A 中且不在 B 中的所有元素構成的集合為 A 和 B 的差集 (difference)，記作 A \setminus B 或 A - B。

兩個集合 A 與 B 的笛卡兒積 (Cartesian product)，記為 A \times B，是所有有序對 (a, b) 的集合，其中 a \in A 且 b \in B。

我們經常使用構造式符號來描述一個集合：\{x : P(x)\} 表示由所有滿足給定條件 P(x) 的元素 x 所組成的集合。

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附錄 B 函數 (APPENDIX B FUNCTIONS)

給定兩個集合 A 與 B，從 A 到 B 的一個函數 (function) 或稱映射 (mapping)（記為 f: A \rightarrow B）是一個規則，該規則將 B 中的唯一元素 f(x) 關聯到 A 中的每一個元素 x。集合 A 稱為 f 的定義域 (domain)，集合 B 稱為 f 的對應域 (codomain)。

如果 f: A \rightarrow B 是一個函數，且對於某個 x \in A 有 f(x) = y，我們稱 y 為 x 在 f 作用下的像 (image)。由所有這種像所構成的 B 的子集，稱為 f 的值域 (range) 或像 (image)，記為 R(f) 或 f(A)。如果 S \subseteq B，我們定義 S 在 f 下的反像 (preimage) 或逆像 (inverse image) 為集合 f^{-1}(S) = \{x \in A : f(x) \in S\}。

兩個函數 f: A \rightarrow B 與 g: C \rightarrow D 被稱為是相等 (equal) 的（寫作 f = g），若且唯若 A = C、B = D，並且對於所有的 x \in A 都有 f(x) = g(x)。

如果 f: A \rightarrow B 且 g: B \rightarrow C 是兩個函數，那麼 g 與 f 的合成 (composition) 是一個從 A 到 C 的函數，記為 g \circ f，其定義為對於所有的 x \in A，(g \circ f)(x) = g(f(x))。

如果對於 A 中的所有 x_1, x_2，由 f(x_1) = f(x_2) 必然可以推導出 x_1 = x_2，則稱函數 f: A \rightarrow B 是一對一 (one-to-one) 的，或稱單射 (injective) 的。

如果 f 的值域是整個對應域 B（也就是說，如果對於每個 y \in B，至少存在一個 x \in A 使得 f(x) = y），則稱函數 f: A \rightarrow B 是映成 (onto) 的，或稱滿射 (surjective) 的。

一個既是一對一又是映成的函數被稱為對射 (bijective) 或可逆的 (invertible)。如果 f: A \rightarrow B 是一對一且映成的，那麼存在一個唯一的函數 f^{-1}: B \rightarrow A 使得對於所有的 x \in A 有 f^{-1}(f(x)) = x，且對於所有的 y \in B 有 f(f^{-1}(y)) = y。這個函數 f^{-1} 就被稱為 f 的反函數 (inverse function)。

如果 f: A \rightarrow B 是一個函數，並且 S \subseteq A，那麼 f 在 S 上的限制 (restriction) 是一個函數 f|_S: S \rightarrow B，其定義為對於所有 x \in S 皆有 f|_S(x) = f(x)。

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附錄 C 體 (APPENDIX C FIELDS)

一個體 (field) F 是一個配備了兩種運算的集合，這兩種運算稱為加法 (addition) 與乘法 (multiplication)。這兩種運算為每對元素 a, b \in F 分別指定了 F 中的唯一元素 a + b 與 ab，並且必須滿足以下的公理：

1. 加法交換律 (Commutativity of addition)：對所有的 a, b \in F， a + b = b + a。
2. 加法結合律 (Associativity of addition)：對所有的 a, b, c \in F， (a + b) + c = a + (b + c)。
3. 加法單位元素 (Additive identity)：在 F 中存在一個元素 0（稱為零），使得對所有的 a \in F， a + 0 = a。
4. 加法反元素 (Additive inverse)：對於 F 中的每一個元素 a，在 F 中存在一個元素 b，使得 a + b = 0。此元素 b 稱為 a 的加法反元素，記為 -a。
5. 乘法交換律 (Commutativity of multiplication)：對所有的 a, b \in F， ab = ba。
6. 乘法結合律 (Associativity of multiplication)：對所有的 a, b, c \in F， (ab)c = a(bc)。
7. 乘法單位元素 (Multiplicative identity)：在 F 中存在一個不等於 0 的元素 1（稱為一），使得對所有的 a \in F， a \cdot 1 = a。
8. 乘法反元素 (Multiplicative inverse)：對於 F 中每一個不為 0 的元素 a，在 F 中存在一個元素 c，使得 ac = 1。此元素 c 稱為 a 的乘法反元素，記為 a^{-1} 或 1/a。
9. 分配律 (Distributivity)：對所有的 a, b, c \in F， a(b + c) = ab + ac。

具有一般加法與乘法運算的實數集合 R 是一個體。同樣地，有理數集合 Q 與複數集合 C 也都是體。整數集合 Z 在一般運算下並不是一個體，因為除了 1 與 -1 之外，其他的非零元素在 Z 中都不具有乘法反元素。

存在著包含有限個元素的體。例如，對於任何質數 p，整數模 p 所構成的集合 Z_p（或記作 GF(p)）是一個具有 p 個元素的體。

從體的公理出發，可以證明出多個大家熟悉的算術性質。其中包含了以下的結果：

• 對所有的 a \in F，0 \cdot a = 0。
• 消去律 (Cancellation laws)：若 a + b = a + c，則 b = c；若 ab = ac 且 a \ne 0，則 b = c。
• 對所有的 a, b \in F，(-a)b = a(-b) = -(ab) 且 (-a)(-b) = ab。

體的特徵 (Characteristic of a field)
如果對於某個正整數 p，在 F 中滿足恆等式 1 + 1 + \dots + 1（共有 p 個 1 的和）= 0 成立，那麼我們稱使此方程式成立的最小正整數 p 為體 F 的特徵 (characteristic)。如果不存在這樣的正整數 p，則稱 F 具有特徵零 (characteristic zero)。例如，R, Q, C 都具有特徵零，而 Z_p 具有特徵 p。可以證明，如果一個體的特徵不是零，那麼它的特徵必定是一個質數。

在本書的許多進階結果中（特別是在第 6 章探討雙線性形式與二次形式的章節），我們會特別要求體 F 的特徵不能是 2，這意味著在該體中 1 + 1 \ne 0。

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附錄 D 複數 (APPENDIX D COMPLEX NUMBERS)

複數 (complex number) 是一個具有 a + bi 形式的表達式，其中 a 與 b 是實數，而 i 滿足 i^2 = -1。實數 a 被稱為這個複數的實部 (real part)，而實數 b 被稱為它的虛部 (imaginary part)。兩個複數 z_1 = a_1 + b_1 i 與 z_2 = a_2 + b_2 i 被稱為是相等 (equal) 的，若且唯若它們的實部與虛部分別相等，亦即 a_1 = a_2 且 b_1 = b_2。

複數的加法與乘法定義如下：
加法 (Addition)：(a_1 + b_1 i) + (a_2 + b_2 i) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i
乘法 (Multiplication)：(a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i

所有複數所構成的集合，配備上述的加法與乘法運算後，形成一個體 (field)，我們通常用 C 來表示它。在這個體中，零元素是 0 + 0i = 0，而乘法單位元素是 1 + 0i = 1。對於任何複數 z = a + bi，其加法反元素為 -z = -a - bi。如果 z \ne 0，那麼 z 在 C 中具有一個乘法反元素 z^{-1}，其定義為：
z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i

對於每一個複數 z = a + bi，我們定義其共軛複數 (complex conjugate)，記為 \overline{z}，為 \overline{z} = a - bi。對於任何複數 z_1, z_2 與 z，以下關於共軛的性質皆成立：

1. \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}
2. \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}
3. \overline{\overline{z}} = z
4. z + \overline{z} = 2a = 2\text{Re}(z)
5. z - \overline{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)
6. z \overline{z} = a^2 + b^2

對於任何複數 z = a + bi，我們定義它的絕對值 (absolute value) 或模 (modulus) 為實數 |z| = \sqrt{a^2 + b^2}。注意 |z|^2 = z \overline{z}。絕對值具有以下性質：

1. |z| \ge 0，且 |z| = 0 若且唯若 z = 0。
2. |z_1 z_2| = |z_1| |z_2|
3. |z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| (三角不等式 Triangle Inequality)
4. \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} (當 z_2 \ne 0 時)

關於複數體，最深刻且對線性代數極為重要的一個結果是代數基本定理。它保證了在複數體中，任何非常數的多項式都可以完全分解為一次因式的乘積。

代數基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra)。任何帶有複數係數且次數大於或等於 1 的多項式，在 C 中至少有一個零點 (zero)。

這意味著，如果在 C 上有一個 n 次多項式 f(x) (n \ge 1)，那麼 f(x) 可以被分解為
f(x) = c(x - r_1)(x - r_2)\dots(x - r_n)
其中 c, r_1, r_2, \dots, r_n 都是複數。因此，C 是一個代數封閉體 (algebraically closed field)。

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附錄 E 多項式 (APPENDIX E POLYNOMIALS)

定義在體 F 上的多項式 (polynomial) f(x) 是一個具有以下形式的表達式：
f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0
其中 a_0, a_1, \dots, a_n 屬於 F。如果 a_n \ne 0，則稱 n 為這個多項式的次數 (degree)，記為 \text{deg}(f)，而 a_n 稱為其首項係數 (leading coefficient)。如果首項係數為 1，則稱該多項式為首一多項式 (monic polynomial)。如果多項式的所有係數皆為 0，則稱其為零多項式 (zero polynomial)，並且我們不定義零多項式的次數（在某些文獻中規定為 -\infty）。

包含所有定義在 F 上的多項式的集合，我們記為 P(F)。給定 P(F) 中的兩個多項式 f(x) 與 g(x)，它們的加法與乘法是按照一般的代數規則定義的。對於多項式的次數，以下性質成立：
如果 f(x) 與 g(x) 是非零多項式，那麼

1. \text{deg}(fg) = \text{deg}(f) + \text{deg}(g)
2. f + g 要麼是零多項式，要麼滿足 \text{deg}(f + g) \le \max(\text{deg}(f), \text{deg}(g))。

我們現在陳述關於多項式除法的基本定理。

定理 E.1 (除法演算法 Division Algorithm)。設 f(x) 與 g(x) 為 P(F) 中的多項式，且 g(x) 不是零多項式。那麼存在唯一的多項式 q(x) 與 r(x) 屬於 P(F)，使得
f(x) = q(x)g(x) + r(x)
並且滿足 r(x) 是零多項式，或者 \text{deg}(r) \lt \text{deg}(g)。

如果定理 E.1 中的 r(x) 是零多項式，我們稱 g(x) 整除 (divides) f(x)，或者 g(x) 是 f(x) 的一個因式，並記為 g(x) | f(x)。

給定兩個不全為零的多項式 f_1(x) 與 f_2(x)，我們稱多項式 d(x) 為它們的最大公因式 (greatest common divisor, gcd)，如果 d(x) 是一個首一多項式，且滿足：

1. d(x) | f_1(x) 且 d(x) | f_2(x)。
2. 如果對於某個 c(x) 有 c(x) | f_1(x) 且 c(x) | f_2(x)，那麼 c(x) | d(x)。

定理 E.2。設 f_1(x) 與 f_2(x) 為 P(F) 中不全為零的多項式。那麼它們的最大公因式 d(x) 必定存在且是唯一的。此外，存在多項式 q_1(x) 與 q_2(x) 屬於 P(F) 使得
d(x) = q_1(x)f_1(x) + q_2(x)f_2(x)。

如果 f_1(x) 與 f_2(x) 的最大公因式是常數多項式 1，我們稱這兩個多項式是互質的 (relatively prime)。

定理 E.3。設 f(x), g(x), h(x) \in P(F)。如果 f(x) 與 g(x) 是互質的，且 f(x) | g(x)h(x)，那麼 f(x) | h(x)。

在 P(F) 中，扮演質數角色的多項式被稱為不可約多項式。
定義。一個在 P(F) 中次數大於或等於 1 的多項式被稱為不可約的 (irreducible)，如果在 P(F) 中，它的唯一除式 (divisors) 只有常數多項式以及它自己的純量倍數。否則，它被稱為可約的 (reducible)。

定理 E.4。設 f_1(x), f_2(x) \in P(F)。那麼
(a) 對於任何線性算子 T， f_1(T)f_2(T) = f_2(T)f_1(T)。
(b) 對於任何矩陣 A， f_1(A)f_2(A) = f_2(A)f_1(A)。
證明。 留作習題。

現在我們可以將定理 E.2 應用在線性算子與矩陣上。這在分解空間時（如第 7 章所示）極為重要。

定理 E.5。設 T 為定義在體 F 上之向量空間 V 上的線性算子，並設 A 為一個元素屬於 F 的 n \times n 矩陣。如果 f_1(x) 與 f_2(x) 是帶有 F 中係數且互質的多項式，那麼存在帶有 F 中係數的多項式 q_1(x) 與 q_2(x) 使得
(a) q_1(T)f_1(T) + q_2(T)f_2(T) = I。
(b) q_1(A)f_1(A) + q_2(A)f_2(A) = I。
證明。 由定理 E.2，因為 f_1(x) 與 f_2(x) 互質，存在 q_1(x) 與 q_2(x) 使得 q_1(x)f_1(x) + q_2(x)f_2(x) = 1。將這個多項式等式評估在算子 T 與矩陣 A 上，即立刻得出 (a) 與 (b)。

純量 c \in F 被稱為多項式 f(x) \in P(F) 的一個零點 (zero) 或根 (root)，如果 f(c) = 0。

定理 E.6 (因式定理 Factor Theorem)。純量 c \in F 是多項式 f(x) \in P(F) 的一個零點，若且唯若 (x - c) 整除 f(x)。

定理 E.7。任何在體 F 上次數為 n \ge 1 的多項式，在 F 中最多只有 n 個相異的零點。

不可約多項式具有以下關於整除性的重要性質，這與整數中質數的性質完全類似。

定理 E.8。設 p(x) 為一個不可約多項式。如果 p(x) 整除乘積 f_1(x)f_2(x)\dots f_n(x)，那麼 p(x) 必定整除其中至少一個因式 f_i(x)。

定理 E.9 (唯一分解定理 Unique Factorization Theorem)。對於 P(F) 中任何次數大於或等於 1 的多項式 f(x)，存在一個非零純量 c 以及不可約首一多項式 p_1(x), p_2(x), \dots, p_k(x)，使得
f(x) = c p_1(x) p_2(x) \dots p_k(x)。
此外，這個分解在不計入因式排列順序的情況下是唯一的。

證明 (關於唯一性的部分)。
假設 f(x) 存在兩種不可約首一多項式的分解方式，也就是說：
[\phi_1(x)]^{n_1}[\phi_2(x)]^{n_2}\dots[\phi_k(x)]^{n_k} = [\psi_1(x)]^{m_1}[\psi_2(x)]^{m_2}\dots[\psi_r(x)]^{m_r}。 (9)
這裡所有的 \phi_i(x) 是兩兩相異的不可約首一多項式，\psi_j(x) 也是兩兩相異的不可約首一多項式。

那麼對於 i = 1, 2, \dots, k，\phi_i(x) 整除 (9) 式的右邊。因此，根據定理 E.8 的推論，每一個 \phi_i(x) 必定等於某個 \psi_j(x)；同樣地，每一個 \psi_j(x) 也必定等於某個 \phi_i(x)。我們得出結論 r = k，並且在必要時重新編號後，對於 i = 1, 2, \dots, k 皆有 \phi_i(x) = \psi_i(x)。

現在假設對於某個 i 有 n_i \ne m_i。不失一般性，我們可以假設 i = 1 且 n_1 \gt m_1。那麼從 (9) 式的兩邊同時消去 [\phi_1(x)]^{m_1} 後，我們得到
[\phi_1(x)]^{n_1 - m_1} [\phi_2(x)]^{n_2} \dots = [\phi_2(x)]^{m_2} \dots
因為左邊可以被 \phi_1(x) 整除，所以右邊也必須能被 \phi_1(x) 整除。但這會導致 \phi_1(x) 必須等於 \phi_2(x), \dots, \phi_k(x) 中的某一個，這與它們是兩兩相異的假設相矛盾。因此，對於所有的 i，必定有 n_i = m_i。這證明了分解的唯一性。