第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)
1.1 簡介 (Introduction)
許多熟悉的物理概念，例如力、速度與加速度，都同時包含大小（力、速度或加速度的量值）以及方向。任何這類同時具有大小與方向的實體稱為「向量 (vector)」。一個向量可以用箭頭來表示，其長度代表向量的大小，而其方向代表向量的方向。在大多數涉及向量的物理情況中，只有向量的大小與方向具有意義；因此，我們將具有相同大小與方向的向量視為相等，而不論其位置為何。在本節中，我們將探討向量的幾何學。這套幾何學源自於測試兩個向量如何交互作用的物理實驗。
熟悉的物理情況顯示，當兩個同類物理量同時作用於一點時，其合成效果的大小並不一定等於原始物理量大小的總和。例如，一名游泳者以每小時 2 英里的速度逆著每小時 1 英里的水流向上游游去，其實際前進速度不會是每小時 3 英里。因為在這種情況下，游泳者的運動方向與水流方向相反，其向上游前進的淨速度只有每小時 1 英里。然而，若該游泳者順流而下（與水流同向），其向下游前進的速度則為每小時 3 英里。
實驗顯示，若兩個同類物理量共同作用，其結果是可預測的。在這種情況下，表示這些物理量的向量可以組合成一個合成向量 (resultant vector)，以代表原始物理量組合後的效果。這個合成向量稱為原始向量的「和 (sum)」，而組合它們的規則稱為「平行四邊形法則 (parallelogram law)」。（見圖 1.1）
向量加法的平行四邊形法則。 作用於同一點 $P$ 的兩個向量 $x$ 與 $y$ 之和，可由從 $P$ 點出發，並以 $x$ 與 $y$ 為鄰邊所構成的平行四邊形之對角線向量來表示。
由於平行四邊形的對邊平行且長度相等，表示 $x+y$ 的箭頭終點 $Q$ 也可以透過以下方式獲得：先將 $x$ 作用於 $P$，再將 $y$ 作用於 $x$ 的終點。同樣地，向量 $x+y$ 的終點也可藉由先將 $y$ 作用於 $P$，再將 $x$ 作用於 $y$ 的終點來獲得。因此，共同作用於點 $P$ 的兩個向量 $x$ 與 $y$ 可以用「尾對首 (head-to-tail)」的方式相加；亦即，可以將 $x$ 或 $y$ 之一作用於 $P$ 點，再將一個具有相同大小與方向的另一向量作用於前一個向量的終點。若依此方式進行，第二個向量的終點即為 $x+y$ 的終點。
向量的加法可利用解析幾何以代數方式描述。在包含 $x$ 與 $y$ 的平面上，引入一個以 $P$ 為原點的座標系。令 $(a_1, a_2)$ 表示 $x$ 的終點，並令 $(b_1, b_2)$ 表示 $y$ 的終點。如圖 1.2(a) 所示，$x+y$ 的終點 $Q$ 為 $(a_1+b_1, a_2+b_2)$。此後，當提到向量終點的座標時，我們將假設該向量是從原點出發。此外，由於從原點出發的向量完全由其終點決定，因此若 $x$ 是從原點出發的向量，我們有時會直接將 $x$ 稱為一個點，而非向量 $x$ 的終點。
除了向量加法運算外，還有一種對向量進行的自然運算：向量的長度可以被放大或縮小。這種將向量乘上一個實數的運算稱為「純量乘法 (scalar multiplication)」。若向量 $x$ 由一個箭頭表示，則對於任意非零實數 $t$，向量 $tx$ 由一個與 $x$ 同向（若 $t > 0$）或反向（若 $t < 0$）的箭頭來表示。箭頭 $tx$ 的長度為箭頭 $x$ 長度的 $|t|$ 倍。若存在非零實數 $t$ 使得 $y = tx$，則兩個非零向量 $x$ 與 $y$ 稱為平行 (parallel)。（因此，同向或反向的非零向量皆為平行。）
為了以代數方式描述純量乘法，我們再次於包含向量 $x$ 的平面上引入座標系，使 $x$ 從原點出發。若 $x$ 的終點座標為 $(a_1, a_2)$，則顯然 $tx$ 的終點座標為 $(ta_1, ta_2)$。（見圖 1.2(b)）
平面上向量加法與純量乘法的代數描述得出以下八項性質：
對於所有向量 $x$ 與 $y$，$x+y = y+x$。
對於所有向量 $x, y, z$，$(x+y)+z = x+(y+z)$。
存在一個記為 $0$ 的向量，使得對於每個向量 $x$，$x+0 = x$。
對於每個向量 $x$，存在一個向量 $y$ 使得 $x+y = 0$。
對於每個向量 $x$，$1x = x$。
對於每一對實數 $a, b$ 以及每個向量 $x$，$(ab)x = a(bx)$。
對於每個實數 $a$ 以及每一對向量 $x, y$，$a(x+y) = ax+ay$。
對於每一對實數 $a, b$ 以及每個向量 $x$，$(a+b)x = ax+bx$。
利用與上述類似的論證可以證明，這八項性質以及向量加法與純量乘法的幾何詮釋，對於在空間中而非僅在平面上作用的向量同樣成立。這些結果可用於寫出空間中直線與平面的方程式。
首先考慮空間中穿過兩個相異點 $A$ 與 $B$ 的直線方程式。令 $O$ 表示空間中座標系的原點，並令 $u$ 與 $v$ 分別表示從 $O$ 出發並以 $A$ 與 $B$ 為終點的向量。若 $w$ 表示從 $A$ 出發以 $B$ 為終點的向量，則「尾對首」加法顯示 $u+w = v$，因此 $w = v-u$，其中 $-u$ 表示向量 $(-1)u$。（見圖 1.3，其中四邊形 $OABC$ 為一平行四邊形。）由於 $w$ 的純量倍數平行於 $w$ 但長度可能與 $w$ 不同，因此連接 $A$ 與 $B$ 的直線上的任何一點，皆可作為從 $A$ 出發且形式為 $tw$（其中 $t$ 為某實數）之向量的終點來獲得。反之，從 $A$ 出發且形式為 $tw$ 的每個向量，其終點皆落在連接 $A$ 與 $B$ 的直線上。因此，穿過 $A$ 與 $B$ 的直線方程式為 $x = u+tw = u+t(v-u)$，其中 $t$ 為實數，$x$ 表示直線上的任意點。同時請注意，圖 1.3 中向量 $v-u$ 的終點 $C$ 之座標，等於 $B$ 的座標減去 $A$ 的座標。
範例 1
令 $A$ 與 $B$ 的座標分別為 $(-2, 0, 1)$ 與 $(4, 5, 3)$。從原點出發，且與從 $A$ 出發至 $B$ 終止的向量具有相同方向與長度的向量，其終點 $C$ 的座標為 $(4, 5, 3) - (-2, 0, 1) = (6, 5, 2)$。因此，穿過 $A$ 與 $B$ 的直線方程式為：
$x = (-2, 0, 1) + t(6, 5, 2)$。
現在令 $A, B, C$ 表示空間中三個不共線的點。這些點決定了唯一的一個平面，其方程式可利用我們前述對向量的觀察推導得出。令 $u$ 與 $v$ 分別表示從 $A$ 出發並以 $B$ 與 $C$ 為終點的向量。可觀察到，包含 $A, B, C$ 的平面上的任何一點，都是從 $A$ 出發且形式為 $su+tv$（其中 $s, t$ 為實數）的向量 $x$ 之終點 $S$。$su$ 的終點即為穿過 $A$ 與 $B$ 的直線與穿過 $S$ 且平行於直線 $AC$ 的直線的交點。（見圖 1.4。）類似的程序可定位出 $tv$ 的終點。此外，對於任何實數 $s$ 與 $t$，向量 $su+tv$ 均位於包含 $A, B, C$ 的平面上。由此可知，包含 $A, B, C$ 的平面方程式為：
$x = A + su + tv$，
其中 $s$ 與 $t$ 為任意實數，且 $x$ 表示該平面上的任意點。
範例 2
令 $A, B, C$ 為座標分別為 $(1, 0, 2), (-3, -2, 4)$ 以及 $(1, 8, -5)$ 的點。從原點出發，且與從 $A$ 出發至 $B$ 終止的向量具有相同長度與方向的向量終點為
$(-3, -2, 4) - (1, 0, 2) = (-4, -2, 2)$。
同樣地，從原點出發，且與從 $A$ 出發至 $C$ 終止的向量具有相同長度與方向的向量終點為
$(1, 8, -5) - (1, 0, 2) = (0, 8, -7)$。
因此，包含這三個給定點的平面方程式為：
$x = (1, 0, 2) + s(-4, -2, 2) + t(0, 8, -7)$。
任何具備第 3 頁所列八項性質的數學結構稱為「向量空間 (vector space)」。在下一節中，我們將正式定義向量空間，並檢視許多與前述範例截然不同的向量空間例子。
習題 (Exercises)
判斷從原點出發，並以以下各對點為終點的向量是否平行：
(a) $(3,1,2)$ 和 $(6,4,2)$
(b) $(-3,1,7)$ 和 $(9,-3,-21)$
(c) $(5,6,7)$ 和 $(-5,6,-7)$
(d) $(2,0,-5)$ 和 $(5,0,-2)$
求出空間中穿過以下各對點的直線方程式：
(a) $(3,2,4)$ 和 $(-5,7,1)$
(b) $(2,4,0)$ 和 $(-3,-6,0)$
(c) $(3,7,2)$ 和 $(3,7,-8)$
(d) $(-2,-1,5)$ 和 $(3,9,7)$
求出包含空間中以下各點的平面方程式：
(a) $(2,-5,-1), (0,4,6)$ 和 $(-3,7,1)$
(b) $(3,6,7), (-2,0,-4)$ 和 $(5,-9,-2)$
(c) $(-8,2,0), (1,3,0)$ 和 $(6,-5,0)$
(d) $(1,1,1), (5,5,5)$ 和 $(-6,4,2)$
在滿足第 3 頁性質 3 的歐幾里得平面中，向量 $0$ 的座標為何？請證明您的答案。
證明若向量 $x$ 從歐幾里得平面的原點出發並終止於座標為 $(a_1, a_2)$ 的點，則從原點出發的向量 $tx$ 會終止於座標為 $(ta_1, ta_2)$ 的點。
證明連接點 $(a, b)$ 與 $(c, d)$ 的線段中點為 $(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2})$。
證明平行四邊形的對角線會互相平分。
第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)
1.2 向量空間 (Vector Spaces)
在 1.1 節中，我們看到透過向量加法與純量乘法的自然定義，平面中的向量滿足了第 3 頁所列的八項性質。許多其他熟悉的代數系統也允許定義加法與純量乘法，並滿足這相同的八項性質。在本節中，我們將介紹其中一些系統，但首先我們要正式定義這種代數結構。
定義：
一個在體 (field) $F$（體在附錄 C 中討論）上的向量空間 (vector space)（或稱線性空間 linear space）$V$，包含一個集合，且在該集合上定義了兩種運算（分別稱為加法與純量乘法），使得對於 $V$ 中的每一對元素 $x, y$，在 $V$ 中都有唯一的元素 $x+y$；且對於 $F$ 中的每個元素 $a$ 與 $V$ 中的每個元素 $x$，在 $V$ 中都有唯一的元素 $ax$，並滿足以下條件：
(VS 1) 對於 $V$ 中所有的 $x, y$，$x+y = y+x$（加法交換律）。
(VS 2) 對於 $V$ 中所有的 $x, y, z$，$(x+y)+z = x+(y+z)$（加法結合律）。
(VS 3) $V$ 中存在一個記為 $0$ 的元素，使得對於 $V$ 中的每個 $x$，皆有 $x+0 = x$。
(VS 4) 對於 $V$ 中的每個元素 $x$，皆存在 $V$ 中的一個元素 $y$，使得 $x+y = 0$。
(VS 5) 對於 $V$ 中的每個元素 $x$，$1x = x$。
(VS 6) 對於 $F$ 中的每一對元素 $a, b$ 以及 $V$ 中的每個元素 $x$，$(ab)x = a(bx)$。
(VS 7) 對於 $F$ 中的每個元素 $a$ 以及 $V$ 中的每一對元素 $x, y$，$a(x+y) = ax+ay$。
(VS 8) 對於 $F$ 中的每一對元素 $a, b$ 以及 $V$ 中的每個元素 $x$，$(a+b)x = ax+bx$。
元素 $x+y$ 稱為 $x$ 與 $y$ 的和 (sum)，元素 $ax$ 則稱為 $a$ 與 $x$ 的積 (product)。
體 $F$ 的元素稱為純量 (scalars)，而向量空間 $V$ 的元素稱為向量 (vectors)。讀者不應將此處「向量」一詞的用法，與 1.1 節中所討論的物理實體混淆：現在「向量」一詞是用來描述向量空間中的任何元素。
通常我們在討論向量空間時，不會明確提及它們的純量體。然而，讀者必須記住，每個向量空間都被視為建立在某個給定的體之上的向量空間，該體記為 $F$。有時候我們會將注意力限制在實數體或複數體上，它們分別記為 $\mathbb{R}$ 與 $\mathbb{C}$。除非另有說明，否則我們假設本書範例與習題中所使用的體之特徵 (characteristic) 皆為零。
請注意，(VS 2) 允許我們明確地定義任意有限數量向量的加法（不需使用括號）。
在本節剩餘的部分中，我們將介紹幾個在本書中會持續探討的向量空間重要範例。請注意，在描述一個向量空間時，不僅需要指定向量，還必須指定加法與純量乘法的運算。讀者應自行驗證每個範例是否皆滿足條件 (VS 1) 到 (VS 8)。
形式如 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 的對象，其中項 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 為體 $F$ 的元素，稱為項來自 $F$ 的 $n$-元組 ($n$-tuple)。元素 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 稱為該 $n$-元組的項 (entries) 或分量 (components)。若兩個項來自體 $F$ 的 $n$-元組 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 與 $(b_1, b_2, \dots, b_n)$ 滿足 $a_i = b_i$（對於 $i = 1, 2, \dots, n$），則稱這兩個 $n$-元組相等。
範例 1
所有項皆來自體 $F$ 的 $n$-元組所構成的集合記作 $F^n$。此集合在體 $F$ 上是一個向量空間，其運算為逐分量加法與純量乘法；也就是說，若 $u = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n$，$v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n$，且 $c \in F$，則：
因此，$\mathbb{R}^3$ 是 $\mathbb{R}$ 上的向量空間。在這個向量空間中：
同樣地，$\mathbb{C}^2$ 是 $\mathbb{C}$ 上的向量空間。在這個向量空間中：
$F^n$ 中的向量也可以寫成行向量 (column vectors) 而非橫向量。由於唯一的項來自 $F$ 的 $1$-元組可被視為 $F$ 的元素，我們通常將項來自 $F$ 的 $1$-元組向量空間寫作 $F$ 而非 $F^1$。
範例 2
一個項來自體 $F$ 的 $m \times n$ 矩陣 (matrix)，是一個形式如下的矩形陣列：
其中每一個項 $a_{ij} \in F$。我們稱矩陣 $A$ 有 $m$ 個列 (rows) 與 $n$ 個行 (columns)。這 $m$ 個列與 $n$ 個行分別為來自 $F$ 的 $n$-元組與 $m$-元組。例如，矩陣 $A$ 的第 $2$ 列是 $n$-元組 $(a_{21}, a_{22}, \dots, a_{2n})$，而 $A$ 的第 $3$ 行是 $m$-元組：
在不至於產生混淆的情況下，有時我們會直接將 $A$ 寫成 $A = (a_{ij})$。若兩個 $m \times n$ 矩陣 $A = (a_{ij})$ 與 $B = (b_{ij})$ 對於所有的 $i$ 與 $j$ 皆滿足 $a_{ij} = b_{ij}$，則稱這兩個矩陣相等。如果矩陣的列數與行數相等，則稱為方陣 (square matrix)。
在體 $F$ 上所有 $m \times n$ 矩陣所構成的集合記為 $M_{m \times n}(F)$。給定此集合中的兩個矩陣 $A = (a_{ij})$ 與 $B = (b_{ij})$ 以及一個純量 $c \in F$，我們定義 $A+B$ 與 $cA$ 分別為 $m \times n$ 矩陣 $C = (c_{ij})$ 與 $D = (d_{ij})$，其中 $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ 且 $d_{ij} = ca_{ij}$，對於所有的 $i, j$ 皆成立。也就是說，與 $n$-元組一樣，矩陣的加法與純量乘法也是逐項進行的。集合 $M_{m \times n}(F)$ 搭配這些運算構成了一個向量空間。此空間的零向量是所有項皆為零的 $m \times n$ 矩陣；這個矩陣稱為零矩陣 (zero matrix)，記為 $O$。
請注意，由於來自 $F$ 的 $n$-元組可以寫成由 $n$ 個列與 $1$ 個行組成的行向量，所以 $F^n$ 可以與 $M_{n \times 1}(F)$ 視為等同。
範例 3
令 $S$ 為任意非空集合，並令 $F$ 為任意體。令 $\mathcal{F}(S, F)$ 表示從 $S$ 映射至 $F$ 的所有函數所構成的集合。如果 $\mathcal{F}(S, F)$ 中的兩個函數 $f$ 與 $g$ 對於每個 $s \in S$ 皆滿足 $f(s) = g(s)$，則稱這兩個函數相等。集合 $\mathcal{F}(S, F)$ 在體 $F$ 上是一個向量空間，其加法與純量乘法運算針對 $f, g \in \mathcal{F}(S, F)$ 與 $c \in F$ 定義如下：對於每個 $s \in S$，$(f+g)(s) = f(s) + g(s)$ 且 $(cf)(s) = c(f(s))$。此空間中的零向量為恆為零的函數。也就是說，函數 $0$ 滿足對於所有 $s \in S$ 皆有 $0(s) = 0$。
範例 4
一個係數來自體 $F$ 的多項式 (polynomial)，是一個形式如下的表達式：
其中 $n$ 是一個非負整數，且每個係數 (coefficient) $a_k$ 皆為 $F$ 的元素。若 $a_n \neq 0$，則稱多項式 $f(x)$ 的次數 (degree) 為 $n$；在這種情況下，我們將 $f(x)$ 的次數記為 $\deg(f(x)) = n$。如果所有係數皆為零，則多項式稱為零多項式，記為 $0$；依照慣例，零多項式沒有次數。兩個多項式若其對應的同次項係數皆相等，則稱此兩多項式相等。
給定一個體 $F$，令 $P(F)$ 表示所有係數來自 $F$ 的多項式所構成的集合。對多項式定義如平常一般的加法運算與對純量定義的乘法運算。如果
是 $P(F)$ 中的多項式，且 $c \in F$，我們定義 $f(x)+g(x)$ 為：
其中 $k$ 為 $m$ 與 $n$ 之中的較大者，而必要時，我們將缺少的係數定義為零。此外，我們定義：
搭配這些運算，集合 $P(F)$ 在體 $F$ 上構成一個向量空間。$P(F)$ 中的零向量即為零多項式。
我們也必須注意到，每個在 $P(F)$ 中的多項式都可以被視為一個從 $F$ 映射至 $F$ 的函數，因此可以被視為 $\mathcal{F}(F, F)$ 中的一個元素。（這種觀點將在 2.4 節中更詳細地探討。）
上述各項性質 (VS 1) 到 (VS 8) 可以用來推導出許多其他有關向量空間的有用結果。為了說明這點，我們證明以下兩個定理。
定理 1.1（消去律 Cancellation Law）
若 $x, y, z$ 為向量空間 $V$ 中的向量，且有 $x+z = y+z$，則 $x = y$。
證明：
存在一個在 $V$ 中的向量 $v$，使得 $z+v = 0$ (VS 4)。因此有：
由 (VS 2) 可得：
由於 $z+v = 0$，則有：
再由 (VS 3) 可得出 $x = y$。 $\blacksquare$
請注意，前述定理與證明的步驟（如 (VS 4)、(VS 2) 與 (VS 3) 的順序）與中學代數在處理實數方程式解法時的邏輯推導如出一轍。
定理 1.2
在任何向量空間 $V$ 中，以下敘述皆成立：
(a) 對於每一個向量 $x \in V$，$0x = 0$。
(b) 對於每一個純量 $a \in F$ 與每一個向量 $x \in V$，$(-a)x = -(ax) = a(-x)$。
(c) 對於每一個純量 $a \in F$，$a0 = 0$。
證明：
(a) 根據純量加法的性質以及 (VS 8)，我們有：
由定理 1.1 可得出 $0x = 0$。
(b) 元素 $-(ax)$ 是一個當加到 $ax$ 時等於 $0$ 的向量。因此，如果我們能證明 $(-a)x + ax = 0$ 且 $a(-x) + ax = 0$，就能確立 (b) 的結果。由 (VS 8) 可得：
再由 (a) 可知 $0x = 0$。由此可推得 $(-a)x = -(ax)$。同樣地，由 (VS 7) 與 (a) 也可以推得：
(c) 由 (VS 7) 與向量空間中 $0+0 = 0$ 的事實可得：
再由定理 1.1 可得出 $a0 = 0$。 $\blacksquare$
習題 (Exercises)
將下列敘述標示為真（True）或假（False）。
(a) 每個向量空間都包含一個零向量。
(b) 一個向量空間可能有一個以上的零向量。
(c) 在任何向量空間中，$ax=bx$ 意味著 $a = b$。
(d) 在任何向量空間中，$ax=ay$ 意味著 $x = y$。
(e) $F^n$ 中的向量可以被視為 $M_{n \times 1}(F)$ 中的矩陣。
(f) $m \times n$ 矩陣具有 $m$ 個行 (columns) 與 $n$ 個列 (rows)。
(g) 在 $P(F)$ 中，只有相同次數的多項式才能相加。
(h) 如果 $f$ 與 $g$ 為 $n$ 次多項式，則 $f+g$ 為 $n$ 次多項式。
(i) 如果 $f$ 為 $n$ 次多項式且 $c$ 為非零純量，則 $cf$ 為 $n$ 次多項式。
(j) $F$ 中的非零純量可被視為 $P(F)$ 中次數為零的多項式。
(k) $\mathcal{F}(S, F)$ 中的兩個函數相等，若且唯若它們在 $S$ 的每個元素上的值皆相同。
寫出 $M_{3 \times 4}(F)$ 的零向量。
如果
$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$$那麼 $M_{13}$、$M_{21}$ 與 $M_{22}$ 分別為何？
執行指定的運算。
(a) $\begin{pmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 1 & 0 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -2 & 5 \\ -5 & 3 & 2 \end{pmatrix}$
(b) $\begin{pmatrix} -6 & 4 \\ 3 & -2 \\ 1 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ 0 & -3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$
(c) $4 \begin{pmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 1 & 0 & 7 \end{pmatrix}$
(d) $-5 \begin{pmatrix} -6 & 4 \\ 3 & -2 \\ 1 & 8 \end{pmatrix}$
(e) $(2x^4 - 7x^3 + 4x + 3) + (8x^3 + 2x^2 - 6x + 7)$
(f) $(-3x^3 + 7x^2 + 8x - 6) + (2x^3 - 8x + 10)$
(g) $5(2x^7 - 6x^4 + 8x^2 - 3x)$
(h) $3(x^5 - 2x^3 + 4x + 2)$
習題 5 與 6 說明了為何矩陣加法與純量乘法的定義（如範例 2 所定義）是適當的。
Richard Gard ("Effects of Beaver on Trout in Sagehen Creek, California," J. Wildlife Management, 25, 221-242) 報告了以下在 Sagehen 溪中穿越河狸水壩的鱒魚數量。
上游穿越 (Upstream Crossings)
| 秋季 (Fall) | 春季 (Spring) | 夏季 (Summer) | |
| 美洲紅點鮭 (Brook trout) | 8 | 3 | 1 |
| 虹鱒 (Rainbow trout) | 3 | 0 | 0 |
| 褐鱒 (Brown trout) | 3 | 0 | 0 |
下游穿越 (Downstream Crossings)
| 秋季 (Fall) | 春季 (Spring) | 夏季 (Summer) | |
| 美洲紅點鮭 (Brook trout) | 9 | 1 | 4 |
| 虹鱒 (Rainbow trout) | 3 | 0 | 0 |
| 褐鱒 (Brown trout) | 1 | 1 | 0 |
將上游與下游穿越的數據記錄在兩個 $3 \times 3$ 矩陣中，並驗證這兩個矩陣之和即為按鱒魚種類與季節分類的穿越總數（包含上游與下游）。
在五月底，一家家具店有以下的庫存。
| 早期美式 (Early American) | 西班牙式 (Spanish) | 地中海式 (Mediterranean) | 丹麥式 (Danish) | |
| 客廳組 (Living room suites) | 4 | 2 | 1 | 3 |
| 臥室組 (Bedroom suites) | 5 | 1 | 1 | 4 |
| 餐廳組 (Dining room suites) | 3 | 1 | 2 | 6 |
將這些數據記錄為一個 $3 \times 4$ 矩陣 $M$。為準備六月份的特賣，該店決定將前表中列出的每項商品庫存加倍。假設在額外家具送達前，現有庫存皆未售出，請驗證訂單補齊後的現有庫存是由矩陣 $2M$ 所描述。如果六月底的庫存由以下矩陣描述：
請解釋 $2M - A$ 的意義。在六月特賣期間共售出了多少組家具？
令 $S=\{0, 1\}$ 且 $F=\mathbb{R}$。在 $\mathcal{F}(S, \mathbb{R})$ 中，證明 $f=g$ 且 $f+g=h$，其中 $f(t) = 2t+1$、$g(t) = 1+4t-2t^2$，且 $h(t) = 5^t+1$。
在任何向量空間 $V$ 中，證明對於任意 $x, y \in V$ 與任意 $a, b \in F$，皆有 $(a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by$。
證明定理 1.1 的推論 1 與推論 2，以及定理 1.2(c)。造訪 goo.gl/WFWgzX 以獲取解答。
令 $V$ 表示定義在實數線上之所有可微實值函數的集合。證明 $V$ 在範例 3 所定義的加法與純量乘法運算下是一個向量空間。
令 $V=\{0\}$ 僅包含單一向量 $0$，並定義 $0+0=0$ 以及對於 $F$ 中的每個純量 $c$ 定義 $c0=0$。證明 $V$ 是一個在 $F$ 上的向量空間。（$V$ 稱為零向量空間。）
一個定義在實數線上的實值函數 $f$ 若對於每個實數 $t$ 皆滿足 $f(-t) = f(t)$，則稱之為偶函數 (even function)。證明定義在實數線上的偶函數集合，在範例 3 所定義的加法與純量乘法運算下是一個向量空間。
令 $V$ 表示實數有序對的集合。如果 $(a_1, a_2)$ 與 $(b_1, b_2)$ 是 $V$ 的元素，且 $c \in \mathbb{R}$，定義
$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1+b_1, a_2b_2)$ 並且 $c(a_1, a_2) = (ca_1, a_2)$。
在這些運算下，$V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的向量空間嗎？請證明您的答案。
令 $V = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) : a_i \in \mathbb{C} \text{ for } i=1, 2, \dots, n\}$；由範例 1 可知 $V$ 是一個在 $\mathbb{C}$ 上的向量空間。在逐分量加法與乘法的運算下，$V$ 是一個在實數體上的向量空間嗎？
令 $V = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) : a_i \in \mathbb{R} \text{ for } i=1, 2, \dots, n\}$；由範例 1 可知 $V$ 是一個在 $\mathbb{R}$ 上的向量空間。在逐分量加法與乘法的運算下，$V$ 是一個在複數體上的向量空間嗎？
令 $V$ 表示所有具實數項的 $m \times n$ 矩陣之集合；由範例 2 可知 $V$ 是一個在 $\mathbb{R}$ 上的向量空間。令 $F$ 為有理數體。在通常的矩陣加法與純量乘法定義下，$V$ 是一個在 $F$ 上的向量空間嗎？
令 $V = \{(a_1, a_2) : a_1, a_2 \in F\}$，其中 $F$ 是一個體。將 $V$ 的元素加法定義為逐分量相加，並且對於 $c \in F$ 與 $(a_1, a_2) \in V$，定義 $c(a_1, a_2) = (a_1, 0)$。
在這些運算下，$V$ 是 $F$ 上的向量空間嗎？請證明您的答案。
令 $V = \{(a_1, a_2) : a_1, a_2 \in \mathbb{R}\}$。對於 $(a_1, a_2), (b_1, b_2) \in V$ 與 $c \in \mathbb{R}$，定義
$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1+2b_1, a_2+3b_2)$ 並且 $c(a_1, a_2) = (ca_1, ca_2)$。
在這些運算下，$V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的向量空間嗎？請證明您的答案。
令 $V = \{(a_1, a_2) : a_1, a_2 \in \mathbb{R}\}$。將 $V$ 的元素加法定義為逐分量相加，並且對於 $V$ 中的 $(a_1, a_2)$ 與 $c \in \mathbb{R}$，定義
$c(a_1, a_2) = \begin{cases} (0,0) & \text{if } c = 0 \\ (ca_1, \frac{a_2}{c}) & \text{if } c \neq 0 \end{cases}$。
在這些運算下，$V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的向量空間嗎？請證明您的答案。
令 $V$ 表示定義在實數線上且滿足 $f(1)=0$ 的所有實值函數 $f$ 之集合。證明 $V$ 在範例 3 所定義的加法與純量乘法運算下是一個向量空間。
令 $V$ 與 $W$ 為體 $F$ 上的向量空間。令
$Z = \{(v, w) : v \in V \text{ and } w \in W\}$。
證明 $Z$ 在以下運算下是 $F$ 上的向量空間：
$(v_1, w_1) + (v_2, w_2) = (v_1+v_2, w_1+w_2)$ 並且 $c(v_1, w_1) = (cv_1, cw_1)$。
向量空間 $M_{m \times n}(Z_2)$ 中有多少個矩陣？（請參見附錄 C。）
第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)
1.3 子空間 (Subspaces)
在探討任何代數結構時，檢查具備與所考慮之集合相同結構的子集是一件很有意義的事。本節將介紹向量空間中關於子結構的適當概念。
定義：
在體 (field) $F$ 上的向量空間 $V$ 中，若一個子集 $W$ 在 $V$ 所定義的加法與純量乘法運算下，本身也是一個在 $F$ 上的向量空間，則稱 $W$ 為 $V$ 的子空間 (subspace)。
請注意，在任何向量空間 $V$ 中，$V$ 與 $\{0\}$ 都是子空間。後者稱為 $V$ 的零子空間 (zero subspace)。
幸運的是，要證明一個子集是子空間，並不必須驗證所有的向量空間性質。因為性質 (VS 1)、(VS 2)、(VS 5)、(VS 6)、(VS 7) 與 (VS 8) 對於向量空間中的所有向量皆成立，這些性質自然也會對任何子集中的向量成立。因此，向量空間 $V$ 的子集 $W$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若下列四個性質成立：
每當 $x \in W$ 且 $y \in W$ 時，$x+y \in W$（$W$ 在加法下封閉）。
每當 $c \in F$ 且 $x \in W$ 時，$cx \in W$（$W$ 在純量乘法下封閉）。
$W$ 包含一個零向量。
$W$ 中的每個向量在 $W$ 中都有一個加法反元素。
下一個定理顯示，$W$ 的零向量必須與 $V$ 的零向量相同，且性質 4 是多餘的。
定理 1.3
令 $V$ 為一個向量空間，$W$ 為 $V$ 的一個子集。則 $W$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若在 $V$ 所定義的運算下，下列三個條件成立：
(a) $0 \in W$
(b) 每當 $x \in W$ 且 $y \in W$ 時，$x+y \in W$
(c) 每當 $c \in F$ 且 $x \in W$ 時，$cx \in W$
證明：
如果 $W$ 是 $V$ 的子空間，那麼 $W$ 在定義於 $V$ 上的加法與純量乘法下是一個向量空間。因此，條件 (b) 與 (c) 成立，並且在 $W$ 中存在一個向量 $0'$，使得對於每個 $x \in W$ 皆有 $x+0' = x$。但同時也有 $x+0 = x$，因此由定理 1.1（第 12 頁）可知 $0' = 0$。所以條件 (a) 成立。
反之，若條件 (a)、(b) 與 (c) 成立，本定理前面的討論顯示，如果 $W$ 中每個向量的加法反元素都落在 $W$ 中，那麼 $W$ 就是 $V$ 的子空間。但如果 $x \in W$，由條件 (c) 可知 $(-1)x \in W$，且由定理 1.2（第 12 頁）可知 $-x = (-1)x$。因此 $W$ 是 $V$ 的子空間。 $\blacksquare$
前述定理提供了一個簡單的方法，來判斷向量空間的給定子集是否為子空間。通常，我們正是使用這個結果來證明一個子集確實是子空間。
$m \times n$ 矩陣 $A$ 的轉置矩陣 (transpose) $A^t$，是一個將 $A$ 的列與行互換所得到的 $n \times m$ 矩陣；也就是說，$(A^t)_{ij} = A_{ji}$。例如，
以及
對稱矩陣 (symmetric matrix) 是一個滿足 $A^t = A$ 的矩陣 $A$。例如，上面顯示的 $2 \times 2$ 矩陣就是一個對稱矩陣。顯然，對稱矩陣必須是方陣。在 $M_{n \times n}(F)$ 中，所有對稱矩陣所構成的集合 $W$ 是 $M_{n \times n}(F)$ 的一個子空間，因為定理 1.3 的條件皆成立：
零矩陣等於其轉置矩陣，因此屬於 $W$。
我們很容易可以證明，對於任何矩陣 $A$ 與 $B$ 以及任何純量 $a$ 與 $b$，$(aA+bB)^t = aA^t + bB^t$。（見習題 3。）利用這個事實，我們證明對稱矩陣集合在加法與純量乘法下是封閉的。
如果 $A \in W$ 且 $B \in W$，那麼 $A^t = A$ 且 $B^t = B$。因此 $(A+B)^t = A^t + B^t = A + B$，所以 $A+B \in W$。
如果 $A \in W$，那麼 $A^t = A$。所以對於任何 $a \in F$，我們有 $(aA)^t = aA^t = aA$。因此 $aA \in W$。
接下來的範例提供了更多子空間概念的說明。前三個範例特別重要。
範例 1
令 $n$ 為一個非負整數，並令 $P_n(F)$ 由 $P(F)$ 中所有次數小於或等於 $n$ 的多項式所組成。因為零多項式的次數為 $-1$，所以它屬於 $P_n(F)$。此外，兩個次數小於或等於 $n$ 的多項式之和，是另一個次數小於或等於 $n$ 的多項式；且一個純量與一個次數小於或等於 $n$ 的多項式之乘積，也是一個次數小於或等於 $n$ 的多項式。所以 $P_n(F)$ 在加法與純量乘法下是封閉的。因此由定理 1.3 可得出 $P_n(F)$ 是 $P(F)$ 的一個子空間。
範例 2
令 $C(\mathbb{R})$ 表示定義在 $\mathbb{R}$ 上的所有連續實值函數之集合。顯然 $C(\mathbb{R})$ 是在 1.2 節範例 3 中所定義之向量空間 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 的一個子集。我們宣稱 $C(\mathbb{R})$ 是 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 的一個子空間。首先注意到 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 的零元素是定義為對於所有 $t \in \mathbb{R}$ 皆滿足 $f(t)=0$ 的常數函數。因為常數函數是連續的，所以我們有 $f \in C(\mathbb{R})$。此外，兩個連續函數之和是連續的，且一個實數與一個連續函數之積也是連續的。所以 $C(\mathbb{R})$ 在加法與純量乘法下是封閉的，因此由定理 1.3 可知其為 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 的子空間。
有兩種特殊類型的矩陣經常引起我們的興趣。一個 $m \times n$ 矩陣 $A$ 如果其對角線以下的所有項皆為零（即當 $i > j$ 時 $A_{ij} = 0$），則稱為上三角矩陣 (upper triangular matrix)。一個 $n \times n$ 矩陣 $M$ 如果當 $i \neq j$ 時 $M_{ij} = 0$（即其所有非對角線的項皆為零），則稱為對角矩陣 (diagonal matrix)。例如，如果
且
那麼 $A$ 是一個上三角 $3 \times 4$ 矩陣，而 $B$ 是一個 $3 \times 3$ 對角矩陣。
範例 3
零矩陣顯然是一個對角矩陣，因為它的所有項都是 $0$。此外，如果 $A$ 與 $B$ 是對角 $n \times n$ 矩陣，那麼每當 $i \neq j$ 時，
對於任何純量 $c$ 皆成立。因此，對於任何純量 $c$，$A+B$ 與 $cA$ 都是對角矩陣。由定理 1.3 可知，對角矩陣的集合是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間。
範例 4
一個 $n \times n$ 矩陣 $M$ 的跡 (trace)，記為 $\text{tr}(M)$，是 $M$ 的對角線項之和；也就是說，
由習題 6 可推導出，跡等於零的 $n \times n$ 矩陣集合，是 $M_{n \times n}(F)$ 的一個子空間。
範例 5
在 $M_{m \times n}(\mathbb{R})$ 中，具有非負項的矩陣集合並不是 $M_{m \times n}(\mathbb{R})$ 的子空間，因為它在純量乘法（乘以負的純量）下並不封閉。
下一個定理顯示如何從其他的子空間構造出一個新的子空間。
定理 1.4 任何向量空間 $V$ 的子空間之交集，也是 $V$ 的一個子空間。
證明：
令 $\mathcal{C}$ 為 $V$ 的子空間的一個集合族，並令 $W$ 表示 $\mathcal{C}$ 中所有子空間的交集。因為每個子空間都包含零向量，所以 $0 \in W$。令 $a \in F$ 且 $x, y \in W$。那麼 $x$ 與 $y$ 皆包含在 $\mathcal{C}$ 的每個子空間中。因為 $\mathcal{C}$ 中的每個子空間在加法與純量乘法下都是封閉的，所以可推得 $x+y$ 與 $ax$ 也包含在 $\mathcal{C}$ 的每個子空間中。因此 $x+y$ 與 $ax$ 也包含在 $W$ 中，由定理 1.3 可知 $W$ 是 $V$ 的子空間。 $\blacksquare$
在證明了向量空間 $V$ 的子空間的交集是 $V$ 的子空間之後，很自然地會考慮 $V$ 的子空間的聯集是否也是 $V$ 的子空間。很容易可以看出，子空間的聯集必定包含零向量且在純量乘法下封閉，但一般而言，$V$ 的子空間的聯集在加法下不一定是封閉的。事實上，可以輕易證明，$V$ 的兩個子空間的聯集是 $V$ 的子空間，若且唯若其中一個子空間包含另一個子空間。（見習題 19。）然而，有一種自然的方法可以結合兩個子空間 $W_1$ 與 $W_2$，以獲得一個同時包含 $W_1$ 與 $W_2$ 的子空間。正如我們先前所暗示的，找到這個子空間的關鍵在於確保它在加法下必須是封閉的。這個想法將在習題 23 中進一步探討。
習題 (Exercises)
將下列敘述標示為真 (True) 或假 (False)。
(a) 如果 $V$ 是一個向量空間，且 $W$ 是 $V$ 的一個子集且 $W$ 是一個向量空間，那麼 $W$ 是 $V$ 的一個子空間。
(b) 空集合是每個向量空間的子空間。
(c) 如果 $V$ 是除了零向量空間以外的向量空間，那麼 $V$ 包含一個子空間 $W$ 使得 $W \neq V$。
(d) $V$ 的任意兩個子集的交集是 $V$ 的子空間。
(e) 一個 $n \times n$ 對角矩陣不可能有超過 $n$ 個非零項。
(f) 一個方陣的跡 (trace) 是其對角線項的乘積。
(g) 令 $W$ 為 $\mathbb{R}^3$ 中的 $xy$-平面；也就是說，$W = \{(a_1, a_2, 0) : a_1, a_2 \in \mathbb{R}\}$。那麼 $W = \mathbb{R}^2$。
求出下列各矩陣的轉置矩陣。此外，若矩陣為方陣，請計算其跡。
(a)
$$\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}$$(b)
$$\begin{pmatrix} 0 & 8 & -6 \\ 3 & 4 & 7 \end{pmatrix}$$(c)
$$\begin{pmatrix} -3 & 9 \\ 0 & -2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$$(d)
$$\begin{pmatrix} 10 & 0 & -8 \\ 2 & -4 & 3 \\ -5 & 7 & 6 \end{pmatrix}$$(e)
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$$(f)
$$\begin{pmatrix} -2 & 5 & 1 & 4 \\ 7 & 0 & 1 & -6 \end{pmatrix}$$(g)
$$\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}$$(h)
$$\begin{pmatrix} -4 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & -3 \\ 6 & -3 & 5 \end{pmatrix}$$證明對於任何 $ A, B \in M_{m \times n}(F)$ 與 任 何
$a, b \in F$，皆有 $(aA+bB)^t = aA^t + bB^t$。 證明對於每個
$A \in M_{m \times n}(F)$， $(A^t)^t = A$。 證明對於任何方陣
$A$， $A + A^t$ 是對稱矩陣。 證明對於任何
$A, B \in M_{n \times n}(F)$，皆有 $\text{tr}(aA+bB) = a \cdot \text{tr}(A) + b \cdot \text{tr}(B)$。 證明對角矩陣是對稱矩陣。
判斷下列集合在 $\mathbb{R}^3$ 上所定義的加法與純量乘法運算下，是否為 $\mathbb{R}^3$ 的子空間。請證明您的答案。
(a) $W_1 = \{(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 : a_1 = 3a_2 \text{ 且 } a_3 = -a_2\}$
(b) $W_2 = \{(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 : a_1 = a_3 + 2\}$
(c) $W_3 = \{(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 : 2a_1 - 7a_2 + a_3 = 0\}$
(d) $W_4 = \{(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 : a_1 - 4a_2 - a_3 = 0\}$
(e) $W_5 = \{(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 : a_1 + 2a_2 - 3a_3 = 1\}$
(f) $W_6 = \{(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 : 5a_1^2 - 3a_2^2 + 6a_3^2 = 0\}$
令 $W_1, W_3$ 與 $W_4$ 如習題 8 所定義。描述 $W_1 \cap W_3$、$W_1 \cap W_4$ 與 $W_3 \cap W_4$，並觀察它們每一個都是 $\mathbb{R}^3$ 的子空間。
證明 $W_1 = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n : a_1 + a_2 + \dots + a_n = 0\}$ 是 $F^n$ 的子空間，但 $W_2 = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n : a_1 + a_2 + \dots + a_n = 1\}$ 不是。
若 $n \ge 1$，集合 $W = \{f(x) \in P(F) : f(x) = 0 \text{ 或 } f(x) \text{ 的次數為 } n\}$ 是 $P(F)$ 的子空間嗎？請證明您的答案。
證明 $m \times n$ 上三角矩陣的集合是 $M_{m \times n}(F)$ 的子空間。
令 $S$ 為一個非空集合，且 $F$ 為一個體。證明對於任何 $s_0 \in S$，$\{f \in \mathcal{F}(S, F) : f(s_0) = 0\}$ 是 $\mathcal{F}(S, F)$ 的子空間。
令 $S$ 為一個非空集合，且 $F$ 為一個體。令 $\mathcal{C}(S, F)$ 表示所有函數 $f \in \mathcal{F}(S, F)$ 的集合，使得除了 $S$ 中有限個元素之外，其餘皆有 $f(s) = 0$。證明 $\mathcal{C}(S, F)$ 是 $\mathcal{F}(S, F)$ 的子空間。
定義在 $\mathbb{R}$ 上的所有可微實值函數之集合，是 $C(\mathbb{R})$ 的子空間嗎？請證明您的答案。
令 $C^n(\mathbb{R})$ 表示定義在實數線上且具有連續 $n$ 階導數的所有實值函數之集合。證明 $C^n(\mathbb{R})$ 是 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 的子空間。
證明向量空間 $V$ 的子集 $W$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若 $W \neq \emptyset$，並且每當 $a \in F$ 且 $x, y \in W$ 時，皆有 $ax \in W$ 且 $x+y \in W$。
證明向量空間 $V$ 的子集 $W$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若 $0 \in W$，並且每當 $a \in F$ 且 $x, y \in W$ 時，皆有 $ax+y \in W$。
令 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的子空間。證明 $W_1 \cup W_2$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若 $W_1 \subseteq W_2$ 或 $W_2 \subseteq W_1$。
證明如果 $W$ 是向量空間 $V$ 的子空間，且 $w_1, w_2, \dots, w_n$ 都在 $W$ 中，那麼對於任何純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$，$a_1 w_1 + a_2 w_2 + \dots + a_n w_n \in W$。造訪 goo.gl/KTg35w 以獲取解答。
令 $V$ 表示如同 1.2 節範例 5 所定義，在 $\mathbb{R}$ 中數列的向量空間。證明收斂數列 $(a_n)$（即滿足 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在的數列）的集合是 $V$ 的子空間。
令 $F_1$ 與 $F_2$ 為體。一個函數 $g \in \mathcal{F}(F_1, F_2)$ 若對於每個 $t \in F_1$ 皆滿足 $g(-t) = g(t)$，則稱為偶函數 (even function)；若對於每個 $t \in F_1$ 皆滿足 $g(-t) = -g(t)$，則稱為奇函數 (odd function)。證明 $\mathcal{F}(F_1, F_2)$ 中所有偶函數的集合與所有奇函數的集合，皆為 $\mathcal{F}(F_1, F_2)$ 的子空間。
下列定義用於習題 23 至 30 中。
定義。 如果 $S_1$ 與 $S_2$ 是向量空間 $V$ 的非空子集，那麼 $S_1$ 與 $S_2$ 的和 (sum)，記為 $S_1 + S_2$，是指集合 $\{x+y : x \in S_1 \text{ 且 } y \in S_2\}$。
定義。 若 $W_1$ 與 $W_2$ 是 $V$ 的子空間，且滿足 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ 以及 $W_1 + W_2 = V$，則稱向量空間 $V$ 是 $W_1$ 與 $W_2$ 的直和 (direct sum)。我們將 $V$ 是 $W_1$ 與 $W_2$ 的直和記為 $V = W_1 \oplus W_2$。
令 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的子空間。
(a) 證明 $W_1 + W_2$ 是 $V$ 的子空間，且同時包含 $W_1$ 與 $W_2$。
(b) 證明 $V$ 的任何一個同時包含 $W_1$ 與 $W_2$ 的子空間，必然也包含 $W_1 + W_2$。
證明 $F^n$ 是以下子空間的直和：
$W_1 = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n : a_n = 0\}$
與
$W_2 = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n : a_1 = a_2 = \dots = a_{n-1} = 0\}$。
令 $W_1$ 表示 $P(F)$ 中所有多項式 $f(x)$ 的集合，使得在表示式
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ 中，
只要 $i$ 是偶數皆有 $a_i = 0$。同樣地，令 $W_2$ 表示 $P(F)$ 中所有多項式 $g(x)$ 的集合，使得在表示式
$g(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0$ 中，
只要 $i$ 是奇數皆有 $b_i = 0$。證明 $P(F) = W_1 \oplus W_2$。
在 $M_{m \times n}(F)$ 中，定義 $W_1 = \{A \in M_{m \times n}(F) : A_{ij} = 0 \text{ 當 } i > j\}$ 以及 $W_2 = \{A \in M_{m \times n}(F) : A_{ij} = 0 \text{ 當 } i \le j\}$。($W_1$ 就是在第 19 頁中所定義的所有上三角矩陣的集合)。證明 $M_{m \times n}(F) = W_1 \oplus W_2$。
令 $V$ 表示所有上三角 $n \times n$ 矩陣的向量空間（定義於第 19 頁），並令 $W_1$ 表示 $V$ 中由所有對角矩陣所組成的子空間。定義 $W_2 = \{A \in V : A_{ij} = 0 \text{ 當 } i \ge j\}$。證明 $V = W_1 \oplus W_2$。
一個矩陣 $M$ 若滿足 $M^t = -M$，則稱為反對稱矩陣 (skew-symmetric matrix)。顯然，反對稱矩陣必為方陣。令 $F$ 為一個體。證明所有具有 $F$ 中元素的 $n \times n$ 反對稱矩陣之集合 $W_1$，是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間。現在假設 $F$ 的特徵不為 2 (請參閱第 549 頁)，並令 $W_2$ 為 $M_{n \times n}(F)$ 中所有對稱 $n \times n$ 矩陣的子空間。證明 $M_{n \times n}(F) = W_1 \oplus W_2$。
令 $F$ 為一個特徵不為 2 的體。定義
$W_1 = \{A \in M_{n \times n}(F) : A_{ij} = 0 \text{ 當 } i \le j\}$
並令 $W_2$ 為具有 $F$ 中元素的所有對稱 $n \times n$ 矩陣之集合。$W_1$ 與 $W_2$ 皆為 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間。證明 $M_{n \times n}(F) = W_1 \oplus W_2$。將此習題與習題 28 進行比較。
令 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的子空間。證明 $V$ 是 $W_1$ 與 $W_2$ 的直和，若且唯若 $V$ 中的每個向量皆能唯一地寫成 $x_1 + x_2$ 的形式，其中 $x_1 \in W_1$ 且 $x_2 \in W_2$。
令 $W$ 為向量空間 $V$ 佈於體 $F$ 上的子空間。對於任何 $v \in V$，集合 $\{v\} + W = \{v + w : w \in W\}$ 稱為包含 $v$ 的 $W$ 的陪集 (coset)。習慣上將此陪集記為 $v + W$，而非 $\{v\} + W$。
(a) 證明 $v + W$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若 $v \in W$。
(b) 證明 $v_1 + W = v_2 + W$ 若且唯若 $v_1 - v_2 \in W$。
在由 $W$ 的所有陪集所構成的集合 $\mathcal{S} = \{v + W : v \in V\}$ 中，可如下定義加法與由 $F$ 中的純量進行的純量乘法：
$(v_1 + W) + (v_2 + W) = (v_1 + v_2) + W$ 對於所有 $v_1, v_2 \in V$
並且
$a(v + W) = av + W$ 對於所有 $v \in V$ 與 $a \in F$。
(c) 證明前述運算是良好定義的 (well defined)；也就是說，證明若 $v_1 + W = v_1^{\prime} + W$ 且 $v_2 + W = v_2^{\prime} + W$，則
$(v_1 + W) + (v_2 + W) = (v_1^{\prime} + W) + (v_2^{\prime} + W)$
且對於所有的 $a \in F$，皆有
$a(v_1 + W) = a(v_1^{\prime} + W)$。
(d) 證明集合 $\mathcal{S}$ 在 (c) 所定義的運算下是一個向量空間。這個向量空間稱為 $V$ 模 $W$ 的商空間 (quotient space V modulo W)，並記為 $V/W$。
第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)
1.4 線性組合與線性方程組 (Linear Combinations and Systems of Linear Equations)
在 1.1 節中，我們曾說明空間中穿過三個不共線點 $A, B, C$ 的平面方程式為 $x = A + su + tv$，其中 $u$ 與 $v$ 分別表示從 $A$ 出發並以 $B$ 與 $C$ 為終點的向量，而 $s$ 與 $t$ 表示任意實數。當 $A$ 為原點時，會發生一個重要的特例。在這種情況下，平面方程式簡化為 $x = su + tv$，且此平面上的所有點所構成的集合是 $\mathbb{R}^3$ 的一個子空間。（這將在定理 1.5 中證明。）形式為 $su + tv$ 的表達式（其中 $s$ 與 $t$ 為純量，且 $u$ 與 $v$ 為向量）在向量空間理論中扮演著核心角色。這類表達式的適當推廣將在下列定義中呈現。
定義： 令 $V$ 為一個向量空間，$S$ 為 $V$ 的一個非空子集。如果存在 $S$ 中的有限個向量 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 以及 $F$ 中的純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$，使得 $v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \dots + a_n u_n$，則稱向量 $v \in V$ 為 $S$ 中向量的線性組合 (linear combination)。在這種情況下，我們也稱 $v$ 是 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 的線性組合，並稱 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 為該線性組合的係數 (coefficients)。
觀察可知，在任何向量空間 $V$ 中，對於每個 $v \in V$ 皆有 $0v = 0$。因此，零向量是 $V$ 的任何非空子集的線性組合。
表 1.1 某些食物每 100 克的維生素含量
| A (單位) | B1 (毫克) | B2 (毫克) | 菸鹼酸 (毫克) | C (毫克) | |
| 蘋果奶油 (Apple butter) | 0 | 0.01 | 0.02 | 0.2 | 2 |
| 生的、未削皮的蘋果（剛採收） | 90 | 0.03 | 0.02 | 0.1 | 4 |
| 椰心巧克力糖 | 0 | 0.02 | 0.07 | 0.2 | 0 |
| 蛤蜊（僅肉） | 100 | 0.10 | 0.18 | 1.3 | 10 |
| 預拌粉杯子蛋糕（乾燥形式） | 0 | 0.05 | 0.06 | 0.3 | 0 |
| 煮熟的粗麥粉（未強化） | $(0)^a$ | 0.01 | 0.01 | 0.1 | (0) |
| 果醬與蜜餞 | 10 | 0.01 | 0.03 | 0.2 | 2 |
| 椰子卡士達派（由預拌粉烤製） | 0 | 0.02 | 0.02 | 0.4 | 0 |
| 生糙米 (Raw brown rice) | (0) | 0.34 | 0.05 | 4.7 | (0) |
| 醬油 (Soy sauce) | 0 | 0.02 | 0.25 | 0.4 | 0 |
| 煮熟的義大利麵（未強化） | 0 | 0.01 | 0.01 | 0.3 | 0 |
| 生冰湖野米 (Raw wild rice) | (0) | 0.45 | 0.63 | 6.2 | (0) |
(來源：Bernice K. Watt and Annabel L. Merrill, Composition of Foods, 1963.)
$^a$括號中的零表示存在的維生素量為無或太小而無法測量。
範例 1
表 1.1 顯示了 12 種食物每 100 克中關於維生素 A、$B_1$（硫胺素）、$B_2$（核黃素）、菸鹼酸與 C（抗壞血酸）的維生素含量。每 100 克食物的維生素含量可以記錄為 $\mathbb{R}^5$ 中的行向量；例如，蘋果奶油的維生素向量為
考慮杯子蛋糕、椰子卡士達派、生糙米、醬油與冰湖野米的維生素向量，我們可以看出：
因此，冰湖野米的維生素向量是杯子蛋糕、椰子卡士達派、生糙米與醬油的維生素向量的線性組合。所以，100 克的杯子蛋糕、100 克的椰子卡士達派、100 克的生糙米以及 200 克的醬油，提供了與 100 克生冰湖野米完全相同數量的這五種維生素。同樣地，因為
所以 200 克的蘋果奶油、100 克的蘋果、100 克的巧克力糖、100 克的粗麥粉、100 克的果醬與 100 克的義大利麵，提供了與 100 克蛤蜊完全相同數量的這五種維生素。
在第 1 章與第 2 章中，我們將會遇到許多不同的情況，需要判斷一個向量是否能表示為其他向量的線性組合，如果可以，該如何表示。這個問題通常會簡化為解一個線性方程組的問題。在第 3 章中，我們將探討一種利用矩陣來求解任何線性方程組的一般方法。目前，我們先說明如何解線性方程組，以判斷向量 $(2,6,8)$ 是否能表示為
$u_1 = (1,2,1), u_2 = (-2,-4,-2), u_3 = (0,2,3), u_4 = (2,0,-3), \text{ 與 } u_5 = (-3,8,16)$
的線性組合。
因此我們必須判斷是否存在純量 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ 使得
$(2,6,8) = a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 + a_4 u_4 + a_5 u_5$
$= a_1 (1,2,1) + a_2 (-2,-4,-2) + a_3 (0,2,3) + a_4 (2,0,-3) + a_5 (-3,8,16)$
$= (a_1 - 2a_2 + 2a_4 - 3a_5, \ 2a_1 - 4a_2 + 2a_3 + 8a_5, \ a_1 - 2a_2 + 3a_3 - 3a_4 + 16a_5)$
因此，$(2,6,8)$ 能表示為 $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5$ 的線性組合，若且唯若存在一組純量 5-元組 $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ 滿足以下線性方程組：
這是藉由令前述方程式中對應的座標相等而得出的。
為了解系統 (1)，我們將其替換為另一個具有相同解但更容易求解的系統。所使用的方法是透過從除了其中一個方程式以外的所有方程式中消去某些未知數，來將某些未知數用其他未知數表示。首先，我們透過將第一個方程式乘以 $-2$ 加到第二個方程式，並將第一個方程式乘以 $-1$ 加到第三個方程式，以從除了第一個方程式以外的每個方程式中消去 $a_1$。結果是以下的新系統：
在這個例子中，剛好發生在從除了第一個方程式以外的每個方程式中消去 $a_1$ 時，我們也同時從除了第一個方程式以外的每個方程式中消去了 $a_2$。這在一般情況下不一定會發生。現在我們希望使第二個方程式中 $a_3$ 的係數等於 1，然後從第三個方程式中消去 $a_3$。為此，我們先將第二個方程式乘以 $\frac{1}{2}$，得到
接著我們將第二個方程式乘以 $-3$ 加到第三個方程式，得到
我們繼續從 (3) 中除了第三個方程式以外的每個方程式中消去 $a_4$。這產生了
系統 (4) 是一個我們所需形式的系統：很容易將每個方程式中存在的第一個未知數（$a_1, a_3, a_4$）用其他未知數（$a_2$ 與 $a_5$）來表示。將系統 (4) 重寫為這種形式，我們發現
因此，對於純量 $a_2$ 與 $a_5$ 的任何選擇，形式為
的向量都是系統 (1) 的解。特別是，透過設定 $a_2 = 0$ 且 $a_5 = 0$ 所得到的向量 $(-4, 0, 7, 3, 0)$ 是 (1) 的一個解。因此
這意味著 $(2,6,8)$ 是 $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5$ 的線性組合。
剛剛說明的程序使用了三種運算來簡化原始系統：
交換系統中任意兩個方程式的順序；
將系統中的任意方程式乘以一個非零常數；
將系統中任意方程式的常數倍加到另一個方程式。
在 3.4 節中，我們將證明這些運算不會改變原始系統的解集合。請注意，我們運用了這些運算來獲得一個具備以下性質的方程組：
每個方程式中的第一個非零係數為 1。
如果一個未知數是某個方程式中第一個具有非零係數的未知數，那麼該未知數在所有其他方程式中的係數皆為零。
任何方程式中第一個具有非零係數的未知數，其下標必定大於任何前一個方程式中第一個具有非零係數的未知數的下標。
為了幫助釐清這些性質的意義，請注意下列系統都不滿足這些要求。
具體來說，系統 (5) 不滿足性質 1，因為第二個方程式中的第一個非零係數是 2；系統 (6) 不滿足性質 2，因為 $x_3$（第二個方程式中第一個具有非零係數的未知數）在第一個方程式中具有非零係數；系統 (7) 不滿足性質 3，因為 $x_2$（第三個方程式中第一個具有非零係數的未知數）的下標並沒有大於 $x_4$（第二個方程式中第一個具有非零係數的未知數）的下標。
一旦獲得了具備性質 1、2 與 3 的系統，就很容易將某些未知數用其他未知數來求解（如前述範例）。然而，如果在利用運算 1、2 與 3 的過程中，得出了一個形式為 $0 = c$ 的方程式（其中 $c$ 不為零），那麼原始系統將無解。（見範例 2。）
我們將在第 3 章回到線性方程組的探討。屆時我們將討論這種解線性方程組方法的理論基礎，並透過使用矩陣進一步簡化此程序。
範例 2
我們宣稱
是 $P_3(\mathbb{R})$ 中
的線性組合，但
則不是。在第一種情況下，我們希望找到純量 $a$ 與 $b$ 使得
因此我們被引導至以下線性方程組：
將適當倍數的第一個方程式加到其他方程式以消去 $a$，我們發現
現在將適當倍數的第二個方程式加到其他方程式中得出
因此
在第二種情況下，我們希望證明不存在純量 $a$ 與 $b$ 使得
利用前述的技巧，我們得出一個線性方程組：
如同之前一樣消去 $a$ 可得：
但是矛盾方程式 $0 = 17$ 的出現，表示 (8) 沒有解。因此 $3x^3 - 2x^2 + 7x + 8$ 不是 $x^3 - 2x^2 - 5x - 3$ 與 $3x^3 - 5x^2 - 4x - 9$ 的線性組合。
定義： 令 $S$ 為向量空間 $V$ 的一個非空子集。$S$ 的生成空間 (span)，記為 $\text{span}(S)$，是指由 $S$ 中向量的所有線性組合所構成的集合。為了方便起見，我們定義 $\text{span}(\emptyset) = \{0\}$。
例如在 $\mathbb{R}^3$ 中，集合 $\{(1,0,0), (0,1,0)\}$ 的生成空間包含了所有形式為 $a(1,0,0)+b(0,1,0)=(a,b,0)$ 的 $\mathbb{R}^3$ 向量（其中 $a$ 與 $b$ 為純量）。因此 $\{(1,0,0), (0,1,0)\}$ 的生成空間包含了 $xy$-平面上的所有點。在這個例子中，該集合的生成空間是 $\mathbb{R}^3$ 的一個子空間。這個事實一般而言也是成立的。
定理 1.5 向量空間 $V$ 之任意子集 $S$ 的生成空間，是一個包含 $S$ 的 $V$ 的子空間。此外，任何包含 $S$ 的 $V$ 的子空間，必然也包含 $S$ 的生成空間。
證明： 若 $S=\emptyset$，由於 $\text{span}(\emptyset)=\{0\}$，這是一個包含 $S$ 且包含於 $V$ 之任意子空間的子空間，因此結果立即成立。
若 $S \neq \emptyset$，則 $S$ 包含一個向量 $z$。所以 $0z = 0$ 落在 $\text{span}(S)$ 中。令 $x, y \in \text{span}(S)$。那麼存在 $S$ 中的向量 $u_1, u_2, \dots, u_m, v_1, v_2, \dots, v_n$ 以及純量 $a_1, a_2, \dots, a_m, b_1, b_2, \dots, b_n$ 使得
於是
並且，對於任意純量 $c$，
顯然都是 $S$ 中向量的線性組合；所以 $x+y$ 與 $cx$ 都落在 $\text{span}(S)$ 中。因此 $\text{span}(S)$ 是 $V$ 的一個子空間。此外，若 $v \in S$，那麼 $v = 1 \cdot v \in \text{span}(S)$；所以 $S$ 的生成空間包含 $S$。
現在令 $W$ 表示 $V$ 中任何一個包含 $S$ 的子空間。如果 $w \in \text{span}(S)$，那麼 $w$ 具有 $w = c_1 w_1 + c_2 w_2 + \dots + c_k w_k$ 的形式，其中 $w_1, w_2, \dots, w_k$ 為 $S$ 中的某些向量，且 $c_1, c_2, \dots, c_k$ 為某些純量。由於 $S \subseteq W$，我們有 $w_1, w_2, \dots, w_k \in W$。由 1.3 節的習題 20 可知 $w = c_1 w_1 + c_2 w_2 + \dots + c_k w_k$ 落在 $W$ 中。因為 $w$ 是 $\text{span}(S)$ 中的任意向量且屬於 $W$，由此可推得 $\text{span}(S) \subseteq W$。 $\blacksquare$
定義： 若 $\text{span}(S) = V$，則稱向量空間 $V$ 的一個子集 $S$ 生成 (generates 或 spans) $V$。在這種情況下，我們也說 $S$ 中的向量生成 $V$。
範例 3
向量 $(1, 1, 0)$、$(1, 0, 1)$ 與 $(0, 1, 1)$ 生成 $\mathbb{R}^3$，因為 $\mathbb{R}^3$ 中的任意向量 $(a_1, a_2, a_3)$ 都是這三個給定向量的線性組合；事實上，滿足
的純量 $r, s, t$ 為
範例 4
多項式 $x^2 + 3x - 2$、$2x^2 + 5x - 3$ 與 $-x^2 - 4x + 4$ 生成 $P_2(\mathbb{R})$，因為這三個給定的多項式每一個都屬於 $P_2(\mathbb{R})$，而且 $P_2(\mathbb{R})$ 中的每個多項式 $ax^2 + bx + c$ 都是這三者的線性組合，即：
範例 5
矩陣
生成 $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$，因為在 $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 中的任意矩陣 $A$ 皆可表示為這四個給定矩陣的線性組合，如下所示：
另一方面，矩陣
並不生成 $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$，因為這些矩陣中的每一個都有相等的對角線項。所以這些矩陣的任何線性組合也會有相等的對角線項。因此並非每個 $2 \times 2$ 矩陣都是這三個矩陣的線性組合。
在本節開始時我們提到，空間中穿過三個不共線點（其中之一為原點）的平面方程式形式為 $x = su + tv$，其中 $u, v \in \mathbb{R}^3$ 且 $s$ 與 $t$ 為純量。因此 $x \in \mathbb{R}^3$ 是 $u, v \in \mathbb{R}^3$ 的線性組合，若且唯若 $x$ 位於包含 $u$ 與 $v$ 的平面上。（見圖 1.5）
通常有許多不同的子集可以生成一個子空間 $W$。（見習題 13。）很自然地，我們會尋找一個能生成 $W$ 且盡可能小的 $W$ 的子集。在下一節中，我們將探討在何種情況下可以從一個生成集合中移除一個向量，以獲得一個較小的生成集合。
習題 (Exercises)
將下列敘述標示為真 (True) 或假 (False)。
(a) 零向量是任何非空向量集合的線性組合。
(b) 空集合 $\emptyset$ 的生成空間為 $\emptyset$。
(c) 如果 $S$ 是向量空間 $V$ 的子集，那麼 $\text{span}(S)$ 等於包含 $S$ 的所有 $V$ 的子空間的交集。
(d) 在解線性方程組時，允許將方程式乘以任何非零常數。
(e) 在解線性方程組時，允許將一個方程式的任何倍數加到另一個方程式中。
(f) 每個線性方程組都有解。
使用本節介紹的方法求解下列線性方程組。
(a)
$$\begin{matrix} 2x_1 - 2x_2 - 3x_3 = -2 \\ 3x_1 - 3x_2 - 2x_3 + 5x_4 = 7 \\ x_1 - x_2 - 2x_3 - x_4 = -3 \end{matrix}$$(b)
$$\begin{matrix} 3x_1 - 7x_2 + 4x_3 = 10 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 = 3 \\ 2x_1 - x_2 - 2x_3 = 6 \end{matrix}$$(c)
$$\begin{matrix} x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 5 \\ x_1 + 4x_2 - 3x_3 - 3x_4 = 6 \\ 2x_1 + 3x_2 - x_3 + 4x_4 = 8 \end{matrix}$$(d)
$$\begin{matrix} x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 2 \\ x_1 + 8x_3 + 5x_4 = -6 \\ x_1 + x_2 + 5x_3 + 5x_4 = 3 \end{matrix}$$(e)
$$\begin{matrix} x_1 + 2x_2 - 4x_3 - x_4 + x_5 = 7 \\ -x_1 + 10x_3 - 3x_4 - 4x_5 = -16 \\ 2x_1 + 5x_2 - 5x_3 - 4x_4 - x_5 = 2 \\ 4x_1 + 11x_2 - 7x_3 + 10x_4 - 2x_5 = 7 \end{matrix}$$(f)
$$\begin{matrix} x_1 + 2x_2 + 6x_3 = -1 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 8 \\ 3x_1 + x_2 - x_3 = 15 \\ x_1 + 3x_2 + 10x_3 = -5 \end{matrix}$$對於下列各組在 $\mathbb{R}^3$ 中的向量列表，判斷第一個向量是否可以表示為其他兩個向量的線性組合。
(a) $(-2,0,3), (1, 3,0), (2, 4, -1)$
(b) $(1,2,3), (-3, 2, 1), (2, -1, -1)$
(c) $(3, 4, 1), (1, -2, 1), (-2,-1,1)$
(d) $(2,-1,0), (1, 2, 3), (1, -3,2)$
(e) $(5,1,-5), (1, -2, -3), (-2, 3, -4)$
(f) $(-2,2,2), (1, 2, -1), (-3, -3, 3)$
對於下列各組在 $P_3(\mathbb{R})$ 中的多項式列表，判斷第一個多項式是否可以表示為其他兩個多項式的線性組合。
(a) $x^3 - 3x + 5, x^3 + 2x^2 - x + 1, x^3 + 3x^2 - 1$
(b) $4x^3 + 2x^2 - 6, x^3 - 2x^2 + 4x + 1, 3x^3 - 6x^2 + x + 4$
(c) $-2x^3 - 11x^2 + 3x + 2, x^3 - 2x^2 + 3x - 1, 2x^3 + x^2 + 3x - 2$
(d) $x^3 + x^2 + 2x + 13, 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1, x^3 - x^2 + 2x + 3$
(e) $x^3 - 8x^2 + 4x, x^3 - 2x^2 + 3x - 1, x^3 - 2x + 3$
(f) $6x^3 - 3x^2 + x + 2, x^3 - x^2 + 2x + 3, 2x^3 - 3x + 1$
在下列各題中，判斷給定的向量是否在 $S$ 的生成空間內。
(a) $(2,-1,1), S=\{(1,0,2),(-1,1,1)\}$
(b) $(-1,2,1), S=\{(1,0,2),(-1,1,1)\}$
(c) $(-1, 1, 1, 2), S=\{(1,0,1,-1),(0,1,1,1)\}$
(d) $(2,-1, 1, -3), S=\{(1,0,1,-1),(0,1,1,1)\}$
(e) $-x^3 + 2x^2 + 3x + 3, S=\{x^3 + x^2 + x + 1, x^2 + x + 1, x + 1\}$
(f) $2x^3 - x^2 + x + 3, S=\{x^3 + x^2 + x + 1, x^2 + x + 1, x + 1\}$
(g) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}, S=\left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right\}$
(h) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, S=\left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right\}$
證明向量 $(1,1,0)$、$(1,0,1)$ 與 $(0,1,1)$ 生成 $F^3$。
在 $F^n$ 中，令 $e_j$ 表示第 $j$ 個座標為 1，其餘座標皆為 0 的向量。證明 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 生成 $F^n$。
證明 $P_n(F)$ 由 $\{1, x, \dots, x^n\}$ 所生成。
證明矩陣
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \text{ 與 } \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$生成 $M_{2 \times 2}(F)$。
證明如果
那麼 $\{M_1, M_2, M_3\}$ 的生成空間是所有對稱 $2 \times 2$ 矩陣的集合。
證明對於向量空間中任何向量 $x$，$\text{span}(\{x\}) = \{ax : a \in F\}$。在 $\mathbb{R}^3$ 中對此結果提出幾何詮釋。
證明向量空間 $V$ 的子集 $W$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若 $\text{span}(W) = W$。
證明如果 $S_1$ 與 $S_2$ 是向量空間 $V$ 的子集且滿足 $S_1 \subseteq S_2$，那麼 $\text{span}(S_1) \subseteq \text{span}(S_2)$。特別是，推導出如果 $S_1 \subseteq S_2$ 且 $\text{span}(S_1) = V$，那麼 $\text{span}(S_2) = V$。前往 goo.gl/Fi8Epr 以獲取解答。
證明如果 $S_1$ 與 $S_2$ 是向量空間 $V$ 的任意子集，那麼 $\text{span}(S_1 \cup S_2) = \text{span}(S_1) + \text{span}(S_2)$。（兩個子集的和在 1.3 節的習題中定義。）
令 $S_1$ 與 $S_2$ 為向量空間 $V$ 的子集。證明 $\text{span}(S_1 \cap S_2) \subseteq \text{span}(S_1) \cap \text{span}(S_2)$。舉出一個 $\text{span}(S_1 \cap S_2)$ 與 $\text{span}(S_1) \cap \text{span}(S_2)$ 相等的例子，以及一個兩者不相等的例子。
令 $V$ 為一個向量空間，$S$ 為 $V$ 的子集，並具備以下性質：每當 $v_1, v_2, \dots, v_n \in S$ 且 $a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n = 0$，必然有 $a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$。證明在 $S$ 的生成空間中的每個向量，都可以唯一地寫成 $S$ 中向量的線性組合。
令 $W$ 為向量空間 $V$ 的子空間。在何種條件下，只存在有限多個 $W$ 的相異子集 $S$ 使得 $S$ 生成 $W$？
第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)
1.5 線性相關與線性獨立 (Linear Dependence and Linear Independence)
假設 $V$ 是一個在無限體上的向量空間，且 $W$ 是 $V$ 的一個子空間。除非 $W$ 是零子空間，否則 $W$ 是一個無限集合。我們希望找到一個能生成 $W$ 且「很小」的有限子集 $S$，因為這樣我們就能將 $W$ 中的每個向量描述為 $S$ 中有限個向量的線性組合。事實上，$S$ 越小，將 $W$ 中的向量表示為這類線性組合所需的計算量就越少。舉例來說，考慮由 $S=\{u_1, u_2, u_3, u_4\}$ 所生成的 $\mathbb{R}^3$ 子空間 $W$，其中 $u_1=(2,-1,4)$、$u_2=(1,-1,3)$、$u_3=(1,1,-1)$ 以及 $u_4=(1,-2,-1)$。讓我們嘗試找到一個同樣能生成 $W$ 的 $S$ 的真子集。尋找這個子集的過程，與「$S$ 中是否有些向量是 $S$ 中其他向量的線性組合」這個問題有關。現在，$u_4$ 是 $S$ 中其他向量的線性組合，若且唯若存在純量 $a_1, a_2$ 與 $a_3$ 使得
也就是說，若且唯若存在滿足以下條件的純量 $a_1, a_2$ 與 $a_3$：
因此，$u_4$ 是 $u_1, u_2$ 與 $u_3$ 的線性組合，若且唯若以下線性方程組
有解。讀者應自行驗證這樣的解並不存在。然而，這並沒有回答我們關於「$S$ 中是否有些向量是 $S$ 中其他向量的線性組合」的問題。事實上，可以證明 $u_3$ 是 $u_1, u_2$ 與 $u_4$ 的線性組合，即 $u_3 = 2u_1 - 3u_2 + 0u_4$。
在前面的例子中，要檢查 $S$ 中的某個向量是否為 $S$ 中其他向量的線性組合，可能需要我們先解出幾個不同的線性方程組，才能決定 $u_1, u_2, u_3$ 與 $u_4$ 中是否有任何一個是其他向量的線性組合。透過改變問題的表述方式，我們可以省下一些功夫。請注意，由於 $u_3 = 2u_1 - 3u_2 + 0u_4$，我們有
也就是說，因為 $S$ 中的某個向量是其他向量的線性組合，所以零向量可以被表示為 $S$ 中向量的線性組合，且其係數不全為零。這個敘述的逆命題也是對的：如果零向量可以被寫成 $S$ 中向量的線性組合，且其中的係數不全為零，那麼 $S$ 中的某個向量就是其他向量的線性組合。例如，在上述例子中，方程式 $-2u_1 + 3u_2 + u_3 - 0u_4 = 0$ 可以解出 $u_1, u_2$ 或 $u_3$ 中的任何一個，因為它們每一個都有非零的係數。因此，$u_1, u_2$ 或 $u_3$ 中的任何一個都可以寫成其他三個向量的線性組合。於是，與其去問 $S$ 中的某個向量是否為 $S$ 中其他向量的線性組合，更有效率的做法是問零向量是否能被表示為 $S$ 中向量的線性組合，且其係數不全為零。這個觀察引導我們得出以下的定義。
定義： 令 $S$ 為向量空間 $V$ 的一個子集。如果存在 $S$ 中的有限個相異向量 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 以及不全為零的純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$，使得
則稱 $S$ 為線性相關 (linearly dependent)。在這種情況下，我們也說 $S$ 的向量是線性相關的。
對於任何向量 $u_1, u_2, \dots, u_n$，如果 $a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$，我們必然有 $a_1 u_1 + a_2 u_2 + \dots + a_n u_n = 0$。我們稱此為將 $0$ 表示為 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 之線性組合的顯然表示 (trivial representation)。因此，一個集合要成為線性相關，必須存在一個將 $0$ 表示為集合中向量之線性組合的非顯然表示 (nontrivial representation)。由此可知，任何包含零向量的向量空間子集都是線性相關的，因為 $0 = 1 \cdot 0$ 是一個將 $0$ 表示為集合中向量之線性組合的非顯然表示。
範例 1
考慮在 $\mathbb{R}^4$ 中的集合
我們將證明 $S$ 是線性相關的，並接著將 $S$ 中的一個向量表示為 $S$ 中其他向量的線性組合。為了證明 $S$ 是線性相關的，我們必須找到不全為零的純量 $a_1, a_2, a_3$ 與 $a_4$，使得
尋找這樣的純量，等同於尋找以下線性方程組的非零解：
其中一組解為 $a_1 = 4, a_2 = -3, a_3 = 2$ 且 $a_4 = 0$。因此 $S$ 是 $\mathbb{R}^4$ 的一個線性相關子集，並且
由此可得
範例 2
在 $M_{2 \times 3}(\mathbb{R})$ 中，集合
是線性相關的，因為
定義： 一個不線性相關的向量空間子集 $S$ 稱為線性獨立 (linearly independent)。同前，我們也說 $S$ 的向量是線性獨立的。
關於線性獨立集合的下列事實，在任何向量空間中皆成立：
空集合是線性獨立的，因為線性相關集合必須是非空的。
僅包含單一非零向量的集合是線性獨立的。因為若 $\{u\}$ 是線性相關的，則存在某個非零純量 $a$ 使得 $au = 0$。因此
$$u = a^{-1}(au) = a^{-1}0 = 0$$一個集合是線性獨立的，若且唯若將 $0$ 表示為該集合中向量之線性組合的唯一方式是顯然表示。
第 3 點中的條件提供了一個判斷有限集合是否為線性獨立的實用方法。這個技巧將在接下來的範例中說明。
範例 3
為了證明集合
是線性獨立的，我們必須證明：唯一能使 $S$ 中向量的線性組合等於零向量的方式，是所有係數皆為零。假設 $a_1, a_2, a_3$ 與 $a_4$ 為純量，且滿足
將方程式左右兩邊對應的座標相等，我們得出以下的線性方程組：
顯然，這個系統唯一的解為 $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$，因此 $S$ 是線性獨立的。
範例 4
對於 $k = 0, 1, \dots, n$，令 $p_k(x) = x^k + x^{k+1} + \dots + x^n$。集合
在 $P_n(F)$ 中是線性獨立的。因為如果
對於某些純量 $a_0, a_1, \dots, a_n$ 成立，那麼
藉由使方程式兩側 $x^k$（對於 $k=0,1,2,\dots,n$）的係數相等，我們得到
顯然，這個線性方程組唯一的解為 $a_0 = a_1 = \dots = a_n = 0$。
以下重要的結果是線性相關與線性獨立定義的直接推論。
定理 1.6 令 $V$ 為一個向量空間，且令 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$。若 $S_1$ 是線性相關的，則 $S_2$ 也是線性相關的。
證明： 習題。
推論： 令 $V$ 為一個向量空間，且令 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$。若 $S_2$ 是線性獨立的，則 $S_1$ 也是線性獨立的。
證明： 習題。
在本節稍早，我們曾提到關於「$S$ 是否為其生成空間之最小生成集合」（亦即不存在 $S$ 的真子集也是生成集合）的問題，與「$S$ 中是否有些向量是 $S$ 中其他向量的線性組合」的問題有關。因此，關於 $S$ 是否為其生成空間之最小生成集合的議題，與 $S$ 是否為線性相關的議題有關。為了理解原因，考慮 $\mathbb{R}^3$ 的子集 $S = \{u_1, u_2, u_3, u_4\}$，其中 $u_1 = (2,-1,4)$、$u_2 = (1,-1,3)$、$u_3 = (1,1,-1)$ 以及 $u_4 = (1,-2,-1)$。我們之前已經注意到 $S$ 是線性相關的；事實上，
這個方程式意味著 $u_3$（或者 $u_1$ 或 $u_2$）是 $S$ 中其他向量的線性組合。例如，$u_3 = 2u_1 - 3u_2 + 0u_4$。因此，$S$ 中向量的每個線性組合 $a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 + a_4 u_4$ 都可以寫成 $u_1, u_2$ 與 $u_4$ 的線性組合：
因此，$S$ 的子集 $S' = \{u_1, u_2, u_4\}$ 與 $S$ 有著相同的生成空間 (span)！
更一般地說，假設 $S$ 是任何一個包含兩個或兩個以上向量的線性相關集合。那麼必定有某個向量 $v \in S$ 可以寫成 $S$ 中其他向量的線性組合，且從 $S$ 中移除 $v$ 後所得到的子集，與 $S$ 具有相同的生成空間。由此可知，如果沒有任何 $S$ 的真子集能生成 $S$ 的生成空間，那麼 $S$ 必須是線性獨立的。觀察前述敘述的另一種方式，如定理 1.7 所示。
定理 1.7 令 $S$ 為向量空間 $V$ 的一個線性獨立子集，且令 $v$ 為在 $V$ 中但不在 $S$ 中的一個向量。則 $S \cup \{v\}$ 是線性相關的，若且唯若 $v \in \text{span}(S)$。
證明： 若 $S \cup \{v\}$ 是線性相關的，則在 $S \cup \{v\}$ 中存在向量 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 使得 $a_1 u_1 + a_2 u_2 + \dots + a_n u_n = 0$（對於某些非零純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$）。因為 $S$ 是線性獨立的，其中一個 $u_i$（假設為 $u_1$）必等於 $v$。因此 $a_1 v + a_2 u_2 + \dots + a_n u_n = 0$，所以
因為 $v$ 是屬於 $S$ 的向量 $u_2, \dots, u_n$ 的線性組合，我們得出 $v \in \text{span}(S)$。
反之，假設 $v \in \text{span}(S)$。那麼在 $S$ 中存在向量 $v_1, v_2, \dots, v_m$ 以及純量 $b_1, b_2, \dots, b_m$ 使得 $v = b_1 v_1 + b_2 v_2 + \dots + b_m v_m$。因此
請注意，對於 $i=1, 2, \dots, m$，$v \neq v_i$，因為 $v \notin S$。因此在此線性組合中 $v$ 的係數為非零，所以集合 $\{v_1, v_2, \dots, v_m, v\}$ 是線性相關的。根據定理 1.6 可知 $S \cup \{v\}$ 是線性相關的。 $\blacksquare$
我們將在 1.6 節詳細探討線性獨立的生成集合。
習題 (Exercises)
將下列敘述標示為真 (True) 或假 (False)。
(a) 如果 $S$ 是一個線性相關集合，那麼 $S$ 中的每個向量都是 $S$ 中其他向量的線性組合。
(b) 任何包含零向量的集合都是線性相關的。
(c) 空集合是線性相關的。
(d) 線性相關集合的子集是線性相關的。
(e) 線性獨立集合的子集是線性獨立的。
(f) 如果 $a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n = 0$ 且 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是線性獨立的，那麼所有的純量 $a_i$ 皆為零。
判斷下列集合是線性相關還是線性獨立。
(a) $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 中的 $\left\{ \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ 4 & -8 \end{pmatrix} \right\}$
(b) $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 中的 $\left\{ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \right\}$
(c) $P_3(\mathbb{R})$ 中的 $\{x^3 + 2x^2, -x^2 + 3x + 1, x^3 - x^2 + 2x - 1\}$
(d) $P_3(\mathbb{R})$ 中的 $\{x^3 - x, 2x^2 + 4, -2x^3 + 3x^2 + 2x + 6\}$
(e) $\mathbb{R}^3$ 中的 $\{(1,-1,2), (1, 2, 1), (1, 1, 4)\}$
(f) $\mathbb{R}^3$ 中的 $\{(1,-1,2), (2,0,1), (-1,2,-1)\}$
(g) $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 中的 $\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 4 \end{pmatrix} \right\}$
(h) $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 中的 $\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \right\}$
(i) $P_4(\mathbb{R})$ 中的 $\{x^4 - x^3 + 5x^2 - 8x + 6, -x^4 + x^3 - 5x^2 + 5x - 3, x^4 + 3x^2 - 3x + 5, 2x^4 + 3x^3 + 4x^2 - x + 1, x^3 - x + 2\}$
(j) $P_4(\mathbb{R})$ 中的 $\{x^4 - x^3 + 5x^2 - 8x + 6, -x^4 + x^3 - 5x^2 + 5x - 3, x^4 + 3x^2 - 3x + 5, 2x^4 + x^3 + 4x^2 + 8x\}$
(註：除非使用科技工具，否則習題 2(g)、(h)、(i) 與 (j) 的計算會很繁瑣。)
在 $M_{3 \times 2}(F)$ 中，證明集合
$$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$$是線性相關的。
在 $F^n$ 中，令 $e_j$ 表示第 $j$ 個座標為 $1$，其餘座標皆為 $0$ 的向量。證明 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 是線性獨立的。
證明集合 $\{1, x, x^2, \dots, x^n\}$ 在 $P_n(F)$ 中是線性獨立的。
在 $M_{m \times n}(F)$ 中，令 $E^{ij}$ 表示只有在第 $i$ 列第 $j$ 行的值為 $1$，其他項皆為零的矩陣。證明 $\{E^{ij} : 1 \le i \le m, 1 \le j \le n\}$ 是線性獨立的。
回想 1.3 節中的範例 3，$M_{2 \times 2}(F)$ 中的對角矩陣集合是一個子空間。請找出一個生成這個子空間的線性獨立集合。
令 $S = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\}$ 為向量空間 $F^3$ 的一個子集。
(a) 證明如果 $F = \mathbb{R}$，那麼 $S$ 是線性獨立的。
(b) 證明如果 $F$ 的特徵 (characteristic) 為 $2$，那麼 $S$ 是線性相關的。
令 $u$ 與 $v$ 為向量空間 $V$ 中兩個相異的向量。證明 $\{u, v\}$ 是線性相關的，若且唯若 $u$ 或是 $v$ 為另一個的倍數。
舉出一個 $\mathbb{R}^3$ 中三個線性相關向量的例子，使得這三個向量中沒有任何一個是另一個的倍數。
令 $S = \{u_1, u_2, \dots, u_n\}$ 為在體 $\mathbb{Z}_2$ 上的向量空間 $V$ 中的一個線性獨立子集。在 $\text{span}(S)$ 中有多少個向量？請證明您的答案。
證明定理 1.6 及其推論。
令 $V$ 為在特徵不等於 2 的體上的向量空間。
(a) 令 $u$ 與 $v$ 為 $V$ 中相異的向量。證明 $\{u, v\}$ 是線性獨立的，若且唯若 $\{u+v, u-v\}$ 是線性獨立的。
(b) 令 $u, v$ 與 $w$ 為 $V$ 中相異的向量。證明 $\{u, v, w\}$ 是線性獨立的，若且唯若 $\{u+v, u+w, v+w\}$ 是線性獨立的。
證明集合 $S$ 是線性相關的，若且唯若 $S=\{0\}$ 或者在 $S$ 中存在相異的向量 $v, u_1, u_2, \dots, u_n$ 使得 $v$ 是 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 的線性組合。
令 $S = \{u_1, u_2, \dots, u_n\}$ 為一個有限的向量集合。證明 $S$ 是線性相關的，若且唯若 $u_1 = 0$ 或者對於某個 $k$ ($1 \le k < n$) 有 $u_{k+1} \in \text{span}(\{u_1, u_2, \dots, u_k\})$。
證明向量的集合 $S$ 是線性獨立的，若且唯若 $S$ 的每一個有限子集都是線性獨立的。
令 $M$ 為一個具有非零對角線項的方形上三角矩陣（定義見 1.3 節第 19 頁）。證明 $M$ 的列向量 (行向量，原文 rows 通常指列向量，但依繁體中文習慣可譯為列向量) 是線性獨立的。
令 $S$ 為 $P(F)$ 中非零多項式的集合，且其中沒有任何兩個多項式具有相同的次數。證明 $S$ 是線性獨立的。
證明如果 $\{A_1, A_2, \dots, A_k\}$ 是 $M_{n \times n}(F)$ 中的一個線性獨立子集，那麼 $\{A_1^t, A_2^t, \dots, A_k^t\}$ 也是線性獨立的。
令 $f, g \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 為定義成 $f(t) = e^{rt}$ 與 $g(t) = e^{st}$ 的函數，其中 $r \neq s$。證明 $f$ 與 $g$ 在 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 中是線性獨立的。
令 $S_1$ 與 $S_2$ 為 $V$ 中不相交（互斥）的線性獨立子集。證明 $S_1 \cup S_2$ 是線性相關的，若且唯若 $\text{span}(S_1) \cap \text{span}(S_2) \neq \{0\}$。
第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)
1.6 基底與維度 (Bases and Dimension)
在 1.5 節中我們看到，如果 $S$ 是子空間 $W$ 的生成集合，且 $S$ 的任何真子集都無法生成 $W$，那麼 $S$ 必須是線性獨立的。一個用於 $W$ 的線性獨立生成集合具備一個非常實用的性質：在 $W$ 中的每一個向量，都可以用唯一的一種方式表示為該集合中向量的線性組合。（這個性質將在下方的定理 1.8 中證明。）正是這個性質，使得線性獨立的生成集合成為向量空間的建構基石。
定義： 向量空間 $V$ 的基底 (basis) $\beta$ 是一個生成 $V$ 的線性獨立子集。如果 $\beta$ 是 $V$ 的基底，我們也說 $\beta$ 中的向量形成 (form) $V$ 的基底。
範例 1
回想 $span(\emptyset) = \{0\}$ 且 $\emptyset$ 是線性獨立的，我們可以看出 $\emptyset$ 是零向量空間的基底。
範例 2
在 $F^n$ 中，令 $e_1 = (1, 0, 0, \dots, 0)$、$e_2 = (0, 1, 0, \dots, 0), \dots, e_n = (0, 0, \dots, 0, 1)$；很容易看出 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 是 $F^n$ 的基底，並被稱為 $F^n$ 的標準基底 (standard basis)。
範例 3
在 $M_{m \times n}(F)$ 中，令 $E^{ij}$ 表示只有在第 $i$ 列第 $j$ 行的項為 1，其餘項皆為零的矩陣。那麼 $\{E^{ij} : 1 \le i \le m, 1 \le j \le n\}$ 是 $M_{m \times n}(F)$ 的基底。
範例 4
在 $P_n(F)$ 中，集合 $\{1, x, x^2, \dots, x^n\}$ 是一個基底。我們稱此基底為 $P_n(F)$ 的標準基底 (standard basis)。
範例 5
在 $P(F)$ 中，集合 $\{1, x, x^2, \dots\}$ 是一個基底。
觀察範例 5 可知，基底不一定是有限的。事實上，本節稍後將顯示 $P(F)$ 不可能存在有限基底。因此，並非每個向量空間都有有限基底。
下一個定理將在第 2 章中頻繁使用，它確立了基底最重要的性質。
定理 1.8
令 $V$ 為一個向量空間，且 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 為 $V$ 中相異的向量。那麼 $\beta = \{u_1, u_2, \dots, u_n\}$ 是 $V$ 的基底，若且唯若每個 $v \in V$ 都能唯一地表示為 $\beta$ 中向量的線性組合，也就是說，能表示為
的形式，其中純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 是唯一的。
證明：
令 $\beta$ 為 $V$ 的基底。如果 $v \in V$，那麼 $v \in span(\beta)$ 因為 $span(\beta) = V$。因此 $v$ 是 $\beta$ 中向量的線性組合。假設
是 $v$ 的兩種這類表示法。將第一個方程式減去第二個方程式可得：
因為 $\beta$ 是線性獨立的，由此可推得 $a_1 - b_1 = a_2 - b_2 = \dots = a_n - b_n = 0$。因此 $a_1 = b_1, a_2 = b_2, \dots, a_n = b_n$，所以 $v$ 可唯一地表示為 $\beta$ 中向量的線性組合。
反向的證明作為習題留給讀者。 $\blacksquare$
定理 1.8 顯示，如果向量 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 形成向量空間 $V$ 的基底，那麼 $V$ 中的每個向量都能被唯一地表示為
的形式（針對適當選擇的純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$）。因此，$v$ 決定了唯一的一個純量 $n$-元組 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$，反之亦然，每一個純量 $n$-元組也決定了 $V$ 中唯一的一個向量 $v$，這是藉由將該 $n$-元組的項作為 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 線性組合的係數來達成的。這個事實暗示了 $V$ 類似於向量空間 $F^n$，其中 $n$ 是 $V$ 中基底的向量數量。我們將在 2.4 節中看到確實如此。
在本教材中，我們主要感興趣的是具有有限基底的向量空間。定理 1.9 確認了一大類這種類型的向量空間。
定理 1.9
如果一個向量空間 $V$ 是由一個有限集合 $S$ 所生成，那麼 $S$ 的某個子集就是 $V$ 的基底。因此 $V$ 擁有有限基底。
證明：
如果 $S = \emptyset$ 或 $S = \{0\}$，那麼 $V = \{0\}$，且 $\emptyset$ 是 $S$ 的一個子集，它即為 $V$ 的基底。否則 $S$ 包含一個非零向量 $u_1$。由第 38 頁上的第 2 點可知，$\{u_1\}$ 是一個線性獨立集合。如果可能的話，繼續在 $S$ 中選擇向量 $u_2, \dots, u_k$，使得 $\{u_1, u_2, \dots, u_k\}$ 是一個包含 $k$ 個向量的線性獨立集合。由於 $S$ 是一個有限集合，這個過程必定會結束於某個線性獨立集合 $\beta = \{u_1, u_2, \dots, u_n\}$。這可能會發生在兩種情況：
(i) 集合 $\beta = S$。在這種情況下，$S$ 同時是線性獨立集合與 $V$ 的生成集合。也就是說，$S$ 本身就是 $V$ 的基底。
(ii) 集合 $\beta$ 是 $S$ 的真線性獨立子集，使得將任何在 $S$ 中但不在 $\beta$ 中的向量加入 $\beta$ 都會產生一個線性相關集合。在這種情況下，我們宣稱 $\beta$ 即為 $S$ 中我們所求且為 $V$ 之基底的子集。因為根據建構方式 $\beta$ 是線性獨立的，我們只需證明 $\beta$ 生成 $V$ 即可。由定理 1.5（第 31 頁）可知，我們需要證明 $S \subseteq span(\beta)$。令 $v \in S$。如果 $v \in \beta$，那麼顯然 $v \in span(\beta)$。否則，如果 $v \notin \beta$，則前述的建構顯示 $\beta \cup \{v\}$ 是線性相關的。因此由定理 1.7（第 40 頁）可知 $v \in span(\beta)$。於是 $S \subseteq span(\beta)$，完成證明。 $\blacksquare$
由於在定理 1.9 的證明中獲得基底 $\beta$ 的方法，這個定理經常被記為：可以將 $V$ 的一個有限生成集合「縮減 (reduced)」為 $V$ 的基底。這個方法在下一個範例中進行說明。
範例 6
令 $S = \{(2, -3, 5), (8, -12, 20), (1, 0, -2), (0, 2, -1), (7, 2, 0)\}$。
可以證明 $S$ 生成 $\mathbb{R}^3$。我們可以利用證明定理 1.9 時所用的技巧，從 $S$ 的子集中選出 $\mathbb{R}^3$ 的基底。首先，在 $S$ 中選擇任何一個非零向量作為基底中的向量，假設為 $(2, -3, 5)$。因為 $4(2, -3, 5) = (8, -12, 20)$，由 1.5 節的習題 9 可知集合 $\{(2, -3, 5), (8, -12, 20)\}$ 是線性相關的。因此我們不將 $(8, -12, 20)$ 包含在我們的基底中。另一方面，$(1, 0, -2)$ 不是 $(2, -3, 5)$ 的倍數，反之亦然，所以集合 $\{(2, -3, 5), (1, 0, -2)\}$ 是線性獨立的。因此我們將 $(1, 0, -2)$ 作為基底的一部分。
現在我們考慮透過將 $S$ 中的另一個向量加入我們已經包含在基底中的兩個向量，來獲得集合 $\{(2, -3, 5), (1, 0, -2), (0, 2, -1)\}$。與之前一樣，我們根據 $\{(2, -3, 5), (1, 0, -2), (0, 2, -1)\}$ 是線性獨立或線性相關，來決定是否將 $(0, 2, -1)$ 包含在基底中或排除在外。一個簡單的計算顯示這個集合是線性獨立的，所以我們將 $(0, 2, -1)$ 包含在基底中。以類似的方式，$S$ 中的最後一個向量會被包含或排除，取決於集合
是線性獨立還是線性相關。因為
所以我們從基底中排除 $(7, 2, 0)$。我們得出結論：
是 $S$ 的子集，且為 $\mathbb{R}^3$ 的基底。
下一個定理的推論可能是第 1 章中最顯著的結果。
定理 1.10（替換定理 Replacement Theorem）
令 $V$ 為一個由恰好包含 $n$ 個向量的集合 $G$ 所生成的向量空間，並令 $L$ 為 $V$ 中恰好包含 $m$ 個向量的線性獨立子集。那麼 $m \le n$，且存在一個恰好包含 $n - m$ 個向量的 $G$ 之子集 $H$，使得 $L \cup H$ 生成 $V$。
證明：
本證明採用對 $m$ 的數學歸納法。歸納從 $m = 0$ 開始；因為在這種情況下 $L = \emptyset$，所以取 $H = G$ 即給出所求之結果。
現在假設該定理對於某個整數 $m \ge 0$ 為真。我們證明該定理對 $m + 1$ 亦為真。令 $L = \{v_1, v_2, \dots, v_{m+1}\}$ 為 $V$ 中由 $m+1$ 個向量所組成的線性獨立子集。由定理 1.6 的推論（第 39 頁）可知，$\{v_1, v_2, \dots, v_m\}$ 是線性獨立的，因此我們可以套用歸納假設，推論出 $m \le n$，並且存在 $G$ 的一個子集 $\{u_1, u_2, \dots, u_{n-m}\}$，使得 $\{v_1, v_2, \dots, v_m\} \cup \{u_1, u_2, \dots, u_{n-m}\}$ 生成 $V$。因此存在純量 $a_1, a_2, \dots, a_m, b_1, b_2, \dots, b_{n-m}$ 使得
請注意 $n - m > 0$，否則 $v_{m+1}$ 將會是 $v_1, v_2, \dots, v_m$ 的線性組合，這由定理 1.7（第 40 頁）會與 $L$ 是線性獨立的假設相矛盾。因此 $n > m$；也就是說，$n \ge m + 1$。此外，某些 $b_i$（假設為 $b_1$）為非零，否則我們同樣會得到矛盾。將 (9) 式對 $u_1$ 求解可得
令 $H = \{u_2, \dots, u_{n-m}\}$。那麼 $u_1 \in span(L \cup H)$，而且因為 $v_1, v_2, \dots, v_m, u_2, \dots, u_{n-m}$ 顯然都在 $span(L \cup H)$ 中，由此可知
因為集合 $\{v_1, v_2, \dots, v_m, u_1, u_2, \dots, u_{n-m}\}$ 生成 $V$，定理 1.5（第 31 頁）暗示了 $span(L \cup H) = V$。由於 $H$ 是 $G$ 的一個子集，包含 $(n - m) - 1 = n - (m + 1)$ 個向量，因此該定理對 $m + 1$ 為真。這完成了歸納證明。 $\blacksquare$
推論 1：
令 $V$ 為一個具有有限基底的向量空間。那麼 $V$ 的所有基底都是有限的，而且 $V$ 的每個基底都包含相同數量的向量。
證明：
假設 $\beta$ 是 $V$ 的一個有限基底，且恰好包含 $n$ 個向量，並令 $\gamma$ 為 $V$ 的任何其他基底。如果 $\gamma$ 包含超過 $n$ 個向量，那麼我們可以選擇 $\gamma$ 的一個恰好包含 $n+1$ 個向量的子集 $S$。由於 $S$ 是線性獨立的，且 $\beta$ 生成 $V$，替換定理暗示了 $n+1 \le n$，這是一個矛盾。因此 $\gamma$ 是有限的，且 $\gamma$ 中向量的數量 $m$ 滿足 $m \le n$。反轉 $\beta$ 與 $\gamma$ 的角色並如前述論證，我們得到 $n \le m$。因此 $m = n$。 $\blacksquare$
如果一個向量空間有一個有限基底，推論 1 斷言 $V$ 的任何基底中的向量數量都是 $V$ 固有的屬性。這個事實使得以下重要的定義成為可能。
定義： 一個向量空間若具有一個由有限數量之向量所組成的基底，則稱為有限維 (finite-dimensional)。使得 $V$ 的每個基底都恰好包含 $n$ 個元素的唯一整數 $n$，稱為 $V$ 的維度 (dimension)，並記為 $dim(V)$。非有限維的向量空間則稱為無限維 (infinite-dimensional)。
以下結果是範例 1 至 4 的推論。
範例 7
向量空間 $\{0\}$ 的維度為零。
範例 8
向量空間 $F^n$ 的維度為 $n$。
範例 9
向量空間 $M_{m \times n}(F)$ 的維度為 $mn$。
範例 10
向量空間 $P_n(F)$ 的維度為 $n+1$。
以下的範例顯示，向量空間的維度取決於其純量體 (field of scalars)。
範例 11
在複數體上，複數向量空間的維度為 1。（基底為 $\{1\}$。）
範例 12
在實數體上，複數向量空間的維度為 2。（基底為 $\{1, i\}$。）
在維度的術語中，替換定理的第一個結論指出：如果 $V$ 是一個有限維向量空間，那麼 $V$ 的任何線性獨立子集都不能包含超過 $dim(V)$ 個向量。
範例 13
向量空間 $P(F)$ 是無限維的，因為根據範例 5，它擁有一個無限的線性獨立集合，即 $\{1, x, x^2, \dots\}$。
在範例 13 中，無限線性獨立集合 $\{1, x, x^2, \dots\}$ 實際上是 $P(F)$ 的一個基底。然而，我們在本節中所證明的一切，都不能保證無限維向量空間必定有基底。不過，在 1.7 節中我們將顯示，每一個向量空間都有一個基底。
正如有限維向量空間 $V$ 的線性獨立子集不能包含超過 $dim(V)$ 個向量一樣，我們也可以對生成集合的大小做出相對應的陳述。
推論 2： 令 $V$ 為一個維度為 $n$ 的向量空間。
(a) 任何 $V$ 的有限生成集合都包含至少 $n$ 個向量，且恰好包含 $n$ 個向量的 $V$ 之生成集合就是 $V$ 的基底。
(b) 任何恰好包含 $n$ 個向量的 $V$ 之線性獨立子集就是 $V$ 的基底。
(c) $V$ 的每一個線性獨立子集都可以擴充 (extended) 為 $V$ 的基底，也就是說，如果 $L$ 是 $V$ 的一個線性獨立子集，那麼存在一個 $V$ 的基底 $\beta$ 使得 $L \subseteq \beta$。
證明： 令 $\beta$ 為 $V$ 的基底。
(a) 令 $G$ 為 $V$ 的有限生成集合。由定理 1.9 可知，$G$ 的某個子集 $H$ 是 $V$ 的基底。推論 1 暗示了 $H$ 恰好包含 $n$ 個向量。由於 $G$ 的一個子集包含 $n$ 個向量，所以 $G$ 必定包含至少 $n$ 個向量。此外，如果 $G$ 恰好包含 $n$ 個向量，那麼我們必定有 $H = G$，所以 $G$ 是 $V$ 的基底。
(b) 令 $L$ 為一個恰好包含 $n$ 個向量的 $V$ 之線性獨立子集。從替換定理可推論出，存在一個 $\beta$ 的子集 $H$ 包含 $n - n = 0$ 個向量，使得 $L \cup H$ 生成 $V$。因此 $H = \emptyset$，且 $L$ 生成 $V$。因為 $L$ 也是線性獨立的，所以 $L$ 是 $V$ 的基底。
(c) 如果 $L$ 是一個包含 $m$ 個向量的 $V$ 之線性獨立子集，那麼替換定理斷言存在一個 $\beta$ 的子集 $H$ 恰好包含 $n - m$ 個向量，使得 $L \cup H$ 生成 $V$。現在 $L \cup H$ 最多包含 $n$ 個向量；因此 (a) 暗示了 $L \cup H$ 恰好包含 $n$ 個向量，並且 $L \cup H$ 是 $V$ 的基底。 $\blacksquare$
範例 14
由 1.4 節的範例 4 以及推論 2 的 (a) 可知
是 $P_2(\mathbb{R})$ 的基底。
範例 15
由 1.4 節的範例 5 以及推論 2 的 (a) 可知
是 $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 的基底。
範例 16
由 1.5 節的範例 3 以及推論 2 的 (b) 可知
是 $\mathbb{R}^4$ 的基底。
範例 17
對於 $k = 0, 1, \dots, n$，令 $p_k(x) = x^k + x^{k+1} + \dots + x^n$。由 1.5 節的範例 4 以及推論 2 的 (b) 可知
是 $P_n(F)$ 的基底。
將生成集合縮減為基底的程序在範例 6 中已說明過。在 3.4 節中，當我們學到更多關於求解線性方程組的知識時，我們將會發現一種更簡單的方法，能將生成集合縮減為基底。這個程序也可以被用來將線性獨立集合擴充為基底，正如推論 2 的 (c) 所斷言是可行的。
維度與其結果之總覽
定理 1.9 以及替換定理與其推論，包含了豐富的關於線性獨立集合、基底與生成集合之間關係的資訊。為此，我們在此總結本節的主要結果，以便將它們放在更好的視角中檢視。
向量空間 $V$ 的基底是一個生成 $V$ 的線性獨立子集。如果 $V$ 有一個有限基底，那麼 $V$ 的每一個基底都包含相同數量的向量。這個數字被稱為 $V$ 的維度，且 $V$ 被稱為有限維。因此，如果 $V$ 的維度為 $n$，則 $V$ 的每個基底都恰好包含 $n$ 個向量。此外，$V$ 的每一個線性獨立子集包含的向量都不超過 $n$ 個，並且可以透過包含適當選擇的向量來擴充為 $V$ 的基底。同樣地，$V$ 的每個生成集合都至少包含 $n$ 個向量，並且可以透過排除適當選擇的向量來縮減為 $V$ 的基底。（書中的文氏圖圖 1.6 描繪了「線性獨立集合」與「生成集合」的交集即為「基底」的關係。）
子空間的維度
我們的下一個結果將子空間的維度與包含它的向量空間的維度聯繫起來。
定理 1.11
令 $W$ 為一個有限維向量空間 $V$ 的子空間。那麼 $W$ 是有限維的，且 $dim(W) \le dim(V)$。此外，如果 $dim(W) = dim(V)$，那麼 $V = W$。
證明：
令 $dim(V) = n$。如果 $W = \{0\}$，那麼 $W$ 是有限維的且 $dim(W) = 0 \le n$。否則，$W$ 包含一個非零向量 $x_1$；所以 $\{x_1\}$ 是一個線性獨立集合。繼續在 $W$ 中選擇向量 $x_1, x_2, \dots, x_k$ 使得 $\{x_1, x_2, \dots, x_k\}$ 是線性獨立的。由於 $V$ 中沒有線性獨立子集能包含超過 $n$ 個向量，這個過程必定會在某個階段停止，此時 $k \le n$ 且 $\{x_1, x_2, \dots, x_k\}$ 是線性獨立的，但從 $W$ 中加入任何其他向量都會產生線性相關的集合。定理 1.7（第 40 頁）暗示了 $\{x_1, x_2, \dots, x_k\}$ 生成 $W$，因此它是 $W$ 的基底。所以 $dim(W) = k \le n$。
如果 $dim(W) = n$，那麼 $W$ 的基底就是一個包含 $n$ 個向量的 $V$ 之線性獨立子集。但替換定理的推論 2 暗示了這個 $W$ 的基底同時也是 $V$ 的基底；所以 $W = V$。 $\blacksquare$
範例 18
令 $W = \{(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \in F^5 : a_1 + a_3 + a_5 = 0, a_2 = a_4\}$。
我們很容易可以證明 $W$ 是 $F^5$ 的子空間，且具有
作為基底。因此 $dim(W) = 3$。
範例 19
對角 $n \times n$ 矩陣的集合是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間 $W$（見 1.3 節的範例 3）。$W$ 的一個基底是
其中 $E^{ij}$ 是只有在第 $i$ 列第 $j$ 行的項為 1，其餘項為非零（應為零，原文 only nonzero entry is a 1）的矩陣。因此 $dim(W) = n$。
範例 20
我們在 1.3 節中看到對稱 $n \times n$ 矩陣的集合是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間 $W$。$W$ 的一個基底是
其中 $A^{ij}$ 是一個 $n \times n$ 矩陣，在第 $i$ 列第 $j$ 行與第 $j$ 列第 $i$ 行有 1，其他地方為 0。由此可知
推論： 如果 $W$ 是有限維向量空間 $V$ 的子空間，那麼 $W$ 的任何基底都可以擴充為 $V$ 的基底。
證明： 令 $S$ 為 $W$ 的基底。因為 $S$ 是 $V$ 的一個線性獨立子集，替換定理的推論 2 保證了 $S$ 可以擴充為 $V$ 的基底。 $\blacksquare$
範例 21
所有形式為
（其中 $a_{18}, a_{16}, \dots, a_2, a_0 \in F$）的多項式集合，是 $P_{18}(F)$ 的一個子空間 $W$。$W$ 的一個基底是 $\{1, x^2, \dots, x^{16}, x^{18}\}$，它是 $P_{18}(F)$ 標準基底的子集。
我們可以應用定理 1.11 來決定 $\mathbb{R}^2$ 和 $\mathbb{R}^3$ 的子空間。因為 $\mathbb{R}^2$ 的維度為 2，所以 $\mathbb{R}^2$ 的子空間維度只能是 0、1 或 2。維度為 0 或 2 的子空間分別只有 $\{0\}$ 和 $\mathbb{R}^2$。任何維度為 1 的 $\mathbb{R}^2$ 子空間，都是由 $\mathbb{R}^2$ 中某個非零向量的所有純量倍數所組成（1.4 節習題 11）。
如果用自然的方式將 $\mathbb{R}^2$ 的一個點等同於歐幾里得平面上的一個點，那麼我們就能在幾何上描述 $\mathbb{R}^2$ 的子空間：$\mathbb{R}^2$ 中維度為 0 的子空間由歐幾里得平面的原點組成，維度為 1 的子空間由穿過原點的一條直線組成，而維度為 2 的子空間就是整個歐幾里得平面。
同樣地，$\mathbb{R}^3$ 的子空間必定具有維度 0、1、2 或 3。對這些可能性進行幾何上的詮釋，我們可以看出維度為 0 的子空間必定是歐幾里得 3 維空間的原點，維度為 1 的子空間是一條穿過原點的直線，維度為 2 的子空間是一個穿過原點的平面，而維度為 3 的子空間就是歐幾里得 3 維空間本身。
拉格朗日插值公式 (The Lagrange Interpolation Formula)
在許多應用中，我們有一組來自實驗或樣本的數據集合。例如，我們可能知道一架從紐約飛往倫敦的飛機在某些時間點的位置，並希望能估計該飛機在一個或多個中間時間點的位置。從已知值來估計變數中間值的過程稱為插值 (interpolation)。
替換定理的推論 2（定理 1.10）可被用來獲得一個有用的公式，使我們能夠用一個多項式函數來近似未知函數的值。令 $c_0, c_1, \dots, c_n$ 為無限體 $F$ 中相異的純量。由
所定義的多項式 $f_0(x), f_1(x), \dots, f_n(x)$ 稱為拉格朗日多項式 (Lagrange polynomials)（關聯於 $c_0, c_1, \dots, c_n$）。請注意每個 $f_i(x)$ 都是次數為 $n$ 的多項式，因此屬於 $P_n(F)$。如果我們將 $f_i(x)$ 視為多項式函數 $f_i : F \rightarrow F$，我們可以看出
拉格朗日多項式的這個性質可以被用來證明 $\beta = \{f_0, f_1, \dots, f_n\}$ 是 $P_n(F)$ 的一個線性獨立子集。假設對於某些純量 $a_0, a_1, \dots, a_n$，
其中 0 表示零函數。那麼
但同時由 (10) 可知
因此對於 $j=0, 1, \dots, n$，$a_j = 0$；所以 $\beta$ 是線性獨立的。因為 $P_n(F)$ 的維度為 $n+1$，由替換定理的推論 2 可推得 $\beta$ 是 $P_n(F)$ 的一個基底。
因為 $\beta$ 是 $P_n(F)$ 的基底，$P_n(F)$ 中的每個多項式函數 $g$ 都是 $\beta$ 中多項式函數的線性組合，例如：
由此可知
所以
這就是將 $g$ 表示為 $\beta$ 元素之線性組合的唯一表示法。這個表示法被稱為拉格朗日插值公式 (Lagrange interpolation formula)。請注意，前面的論證顯示如果 $b_0, b_1, \dots, b_n$ 是 $F$ 中的任何 $n+1$ 個純量（不一定相異），那麼多項式函數
就是 $P_n(F)$ 中唯一一個在其定義域內的給定點 $c_j$ 上，具有指定值 $b_j$ 的多項式（對於 $j=0, 1, \dots, n$）。例如，讓我們來建構一個次數最多為 2 的實係數多項式 $g$，使其圖形包含點 $(1, 8)$、$(2, 5)$ 與 $(3, 4)$。（因此，在上述符號中，$c_0=1, c_1=2, c_2=3, b_0=8, b_1=5$, 且 $b_2=4$。）與 $c_0, c_1$ 及 $c_2$ 相關的拉格朗日多項式為
以及
因此所求之多項式為
拉格朗日插值公式的一個重要結論是以下結果：如果 $f \in P_n(F)$ 且對於 $F$ 中 $n+1$ 個相異的純量 $c_0, c_1, \dots, c_n$ 都有 $f(c_i) = 0$，那麼 $f$ 就是零函數。
習題 (Exercises)
將下列敘述標示為真 (True) 或假 (False)。
(a) 零向量空間沒有基底。
(b) 每個由有限集合所生成的向量空間都擁有一個基底。
(c) 每個向量空間都有一個有限基底。
(d) 一個向量空間不可能有一個以上的基底。
(e) 如果一個向量空間有一個有限基底，那麼每一個基底中的向量數量都是相同的。
(f) $P_n(F)$ 的維度為 $n$。
(g) $M_{m \times n}(F)$ 的維度為 $m+n$。
(h) 假設 $V$ 是一個有限維向量空間，且 $S_1$ 是 $V$ 的一個線性獨立子集，而 $S_2$ 是 $V$ 中生成 $V$ 的一個子集。那麼 $S_1$ 包含的向量數量不可能多於 $S_2$。
(i) 如果 $S$ 生成向量空間 $V$，那麼 $V$ 中的每一個向量都只能以唯一的一種方式寫成 $S$ 中向量的線性組合。
(j) 有限維空間的每一個子空間都是有限維的。
(k) 如果 $V$ 是維度為 $n$ 的向量空間，那麼 $V$ 恰好有一個維度為 $0$ 的子空間，且恰好有一個維度為 $n$ 的子空間。
(l) 如果 $V$ 是維度為 $n$ 的向量空間，且 $S$ 是 $V$ 中具有 $n$ 個向量的子集，那麼 $S$ 是線性獨立的若且唯若 $S$ 生成 $V$。
判斷下列哪些集合是 $\mathbb{R}^3$ 的基底。
(a) $\{(1,0,-1), (2, 5, 1), (0, -4, 3)\}$
(b) $\{(2,-4,1), (0, 3, 1), (6, 0, -1)\}$
(c) $\{(1,2,-1), (1, 0, 2), (2, 1, 1)\}$
(d) $\{(-1,3,1), (2, -4, -3), (-3,8,2)\}$
(e) $\{(1,-3,-2), (-3, 1, 3), (-2, -10, -2)\}$
判斷下列哪些集合是 $P_2(\mathbb{R})$ 的基底。
(a) $\{1-x+2x^2, 2+x-x^2, 1-2x+4x^2\}$
(b) $\{1+2x+x^2, 3+x^2, x+x^2\}$
(c) $\{1-2x-2x^2, -2+3x-x^2, 1-x+6x^2\}$
(d) $\{-1+2x+4x^2, 3-4x-10x^2, -2-5x-6x^2\}$
(e) $\{1+2x-x^2, 4-2x+x^2, -1+18x-9x^2\}$
多項式 $x^3-2x^2+1$、$4x^2-x+3$ 與 $3x-2$ 是否生成 $P_3(\mathbb{R})$？請證明您的答案。
集合 $\{(1,4,6), (1, 5, 8), (2, 1, 1), (0,1,0)\}$ 是一個線性獨立的 $\mathbb{R}^3$ 子集嗎？請證明您的答案。
為 $F^2$ 與 $M_{2 \times 2}(F)$ 各給出三個不同的基底。
向量 $u_1=(2,-3,1)$、$u_2=(1,4,-2)$、$u_3=(-8,12,-4)$、$u_4=(1,37, -17)$ 與 $u_5=(-3,-5,8)$ 生成 $\mathbb{R}^3$。請找出集合 $\{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5\}$ 的一個子集，使其成為 $\mathbb{R}^3$ 的基底。
令 $W$ 表示由所有座標總和為零的向量所組成的 $\mathbb{R}^5$ 子空間。向量
$$u_1=(2,-3,4,-5,2), \quad u_2=(-6,9,-12,15,-6),$$$$u_3=(3,-2,7,-9,1), \quad u_4=(2,-8,2,-2,6),$$$$u_5=(-1,1,2,1,-3), \quad u_6 = (0, -3, -18, 9, 12),$$$$u_7=(1,0,-2,3,-2), \quad u_8=(2,-1,1,-9,7)$$生成 $W$。請找出集合 $\{u_1, u_2, \dots, u_8\}$ 的一個子集，使其成為 $W$ 的基底。
向量 $u_1=(1,1,1,1)$、$u_2=(0,1,1,1)$、$u_3=(0,0,1,1)$ 與 $u_4=(0,0,0,1)$ 形成 $F^4$ 的基底。請找出任意向量 $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ 在 $F^4$ 中表示為 $u_1, u_2, u_3$ 與 $u_4$ 之線性組合的唯一表示法。
在下列各題中，利用拉格朗日插值公式構造出圖形包含以下給定點且次數最小的多項式。
(a) $(-2,-6), (-1,5), (1, 3)$
(b) $(-4, 24), (1,9), (3, 3)$
(c) $(-2,3), (-1,-6), (1,0), (3, -2)$
(d) $(-3,-30), (-2, 7), (0, 15), (1, 10)$
令 $u$ 與 $v$ 為向量空間 $V$ 中相異的向量。證明如果 $\{u, v\}$ 是 $V$ 的基底，且 $a$ 與 $b$ 為非零純量，那麼 $\{u+v, au\}$ 與 $\{au, bv\}$ 也都是 $V$ 的基底。
令 $u, v$ 與 $w$ 為向量空間 $V$ 中相異的向量。證明如果 $\{u, v, w\}$ 是 $V$ 的基底，那麼 $\{u+v+w, v+w, w\}$ 也是 $V$ 的基底。
線性方程組
$$x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$$$$2x_1 - 3x_2 + x_3 = 0$$的解集合是 $\mathbb{R}^3$ 的子空間。請找出此子空間的基底。
找出下列 $F^5$ 子空間的基底：
$$W_1 = \{(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \in F^5 : a_1 - a_3 - a_4 = 0\}$$與
$$W_2 = \{(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \in F^5 : a_2 = a_3 = a_4 \text{ 且 } a_1 + a_5 = 0\}$$請問 $W_1$ 與 $W_2$ 的維度為何？
所有跡 (trace) 等於零的 $n \times n$ 矩陣集合，是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間 $W$（參見 1.3 節的範例 4）。找出 $W$ 的基底。$W$ 的維度為何？
所有上三角 $n \times n$ 矩陣的集合，是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間 $W$（參見 1.3 節的習題 12）。找出 $W$ 的基底。$W$ 的維度為何？
所有反對稱 $n \times n$ 矩陣的集合，是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間 $W$（參見 1.3 節的習題 28）。找出 $W$ 的基底。$W$ 的維度為何？
令 $V$ 表示如同 1.2 節範例 5 所定義，在體 $F$ 中所有數列的向量空間。請找出 $V$ 的子空間 $W$ 的基底，其中 $W$ 是由僅有有限多個非零項 $a_n$ 的數列 $(a_n)$ 所組成。請證明您的答案。
完成定理 1.8 的證明。
令 $V$ 為一個維度為 $n$ 的向量空間，並令 $S$ 為一個生成 $V$ 的 $V$ 之子集。
(a) 證明存在一個 $S$ 的子集是 $V$ 的基底。（請注意不要假設 $S$ 是有限的。）
(b) 證明 $S$ 至少包含 $n$ 個向量。造訪 goo.gl/wE2wwA 以獲取解答。
證明一個向量空間是無限維的，若且唯若它包含一個無限的線性獨立子集。
令 $W_1$ 與 $W_2$ 為有限維向量空間 $V$ 的子空間。請決定使得 $dim(W_1 \cap W_2) = dim(W_1)$ 的必要且充分條件。
令 $v_1, v_2, \dots, v_k, u$ 為向量空間 $V$ 中的向量，並定義 $W_1 = \text{span}(\{v_1, v_2, \dots, v_k\})$ 與 $W_2 = \text{span}(\{v_1, v_2, \dots, v_k, v\})$。
(a) 找出關於 $v$ 的必要且充分條件，使得 $dim(W_1) = dim(W_2)$。
(b) 在 $dim(W_1) \neq dim(W_2)$ 的情況下，敘述並證明一個涉及 $dim(W_1)$ 與 $dim(W_2)$ 的關係式。
令 $f(x)$ 為 $P_n(\mathbb{R})$ 中次數為 $n$ 的多項式。證明對於任何 $g(x) \in P_n(\mathbb{R})$，皆存在純量 $c_0, c_1, \dots, c_n$ 使得
$$g(x) = c_0f(x) + c_1f'(x) + c_2f''(x) + \dots + c_nf^{(n)}(x)$$其中 $f^{(n)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的第 $n$ 階導數。
令 $V, W$ 與 $Z$ 如 1.2 節習題 21 所定義。如果 $V$ 與 $W$ 是在 $F$ 上的向量空間，且其維度分別為 $m$ 與 $n$，請決定 $Z$ 的維度。
對於固定的 $a \in \mathbb{R}$，決定由 $\{f \in P_n(\mathbb{R}) : f(a) = 0\}$ 所定義之 $P_n(\mathbb{R})$ 子空間的維度。
令 $W_1$ 與 $W_2$ 為 1.3 節習題 25 中所定義之 $P(F)$ 的子空間。請決定子空間 $W_1 \cap P_n(F)$ 與 $W_2 \cap P_n(F)$ 的維度。
令 $V$ 為在 $\mathbb{C}$ 上的有限維向量空間，其維度為 $n$。證明如果現在將 $V$ 視為在 $\mathbb{R}$ 上的向量空間，那麼 $\dim(V) = 2n$。（請參閱範例 11 與 12。）
習題 29 至 34 需要具備如 1.3 節習題中所定義的「子空間的和」與「直和」的相關知識。
(a) 證明如果 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的有限維子空間，那麼子空間 $W_1 + W_2$ 也是有限維的，且
$$dim(W_1 + W_2) = dim(W_1) + dim(W_2) - dim(W_1 \cap W_2)$$提示：從 $W_1 \cap W_2$ 的基底 $\{u_1, u_2, \dots, u_k\}$ 開始，並將此集合擴充為 $W_1$ 的基底 $\{u_1, u_2, \dots, u_k, v_1, v_2, \dots, v_m\}$，以及擴充為 $W_2$ 的基底 $\{u_1, u_2, \dots, u_k, w_1, w_2, \dots, w_p\}$。
(b) 令 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的有限維子空間，且令 $V = W_1 + W_2$。推導出 $V$ 是 $W_1$ 與 $W_2$ 的直和若且唯若 $dim(V) = dim(W_1) + dim(W_2)$。
令 $V = M_{2 \times 2}(F)$，
$$W_1 = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix} \in V : a,b,c \in F \right\} \quad \text{與} \quad W_2 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & b \end{pmatrix} \in V : a,b \in F \right\}$$證明 $W_1$ 與 $W_2$ 是 $V$ 的子空間，並找出 $W_1, W_2, W_1+W_2$ 與 $W_1 \cap W_2$ 的維度。
令 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的子空間，其維度分別為 $m$ 與 $n$，其中 $m \ge n$。
(a) 證明 $dim(W_1 \cap W_2) \le n$。
(b) 證明 $dim(W_1 + W_2) \le m + n$。
找出 $\mathbb{R}^3$ 中子空間 $W_1$ 與 $W_2$ 的例子，使得 $dim(W_1) > 0$、$dim(W_2) > 0$，且滿足：
(a) $dim(W_1 \cap W_2) = dim(W_2)$
(b) $dim(W_1 + W_2) = dim(W_1) + dim(W_2)$
(c) $dim(W_1 + W_2) < dim(W_1) + dim(W_2)$
(a) 令 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的子空間，使得 $V = W_1 \oplus W_2$。如果 $\beta_1$ 與 $\beta_2$ 分別是 $W_1$ 與 $W_2$ 的基底，證明 $\beta_1 \cap \beta_2 = \emptyset$ 且 $\beta_1 \cup \beta_2$ 是 $V$ 的基底。
(b) 反之，令 $\beta_1$ 與 $\beta_2$ 分別為向量空間 $V$ 之子空間 $W_1$ 與 $W_2$ 的不相交（互斥）基底。證明如果 $\beta_1 \cup \beta_2$ 是 $V$ 的基底，那麼 $V = W_1 \oplus W_2$。
(a) 證明如果 $W_1$ 是有限維向量空間 $V$ 的任何一個子空間，那麼存在 $V$ 的一個子空間 $W_2$ 使得 $V = W_1 \oplus W_2$。
(b) 令 $V = \mathbb{R}^2$ 且 $W_1 = \{(a_1, 0) : a_1 \in \mathbb{R}\}$。給出兩個不同的子空間 $W_2$ 與 $W_2'$ 的例子，使得 $V = W_1 \oplus W_2$ 且 $V = W_1 \oplus W_2'$。
以下的習題需要熟悉 1.3 節習題 31 的內容。
令 $W$ 為有限維向量空間 $V$ 的子空間，並考慮 $W$ 的基底 $\{u_1, u_2, \dots, u_k\}$。令 $\{u_1, u_2, \dots, u_k, u_{k+1}, \dots, u_n\}$ 為將此基底擴充為 $V$ 之基底的集合。
(a) 證明 $\{u_{k+1} + W, u_{k+2} + W, \dots, u_n + W\}$ 是商空間 $V/W$ 的基底。
(b) 推導出一個關聯 $dim(V)$、$dim(W)$ 與 $dim(V/W)$ 的公式。
第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)
1.7 極大線性獨立子集 (Maximal Linearly Independent Subsets)
在 1.6 節中，我們證明了每一個由有限集合所生成的向量空間都擁有一個基底（定理 1.9），並且在這類空間中的任何線性獨立子集都可以擴充為一個基底（替換定理的推論 2）。在本節中，我們將這些結果推廣到任意的向量空間。
為了達到這個目的，我們需要集合論中的一個結果，稱為佐恩引理 (Zorn's Lemma)。這個引理以及本節中的許多結果，將以一個集合的集合（我們稱之為「族 (family)」）的術語來陳述。在此情況下，如果 $\mathcal{F}$ 是一個集合族，且 $A, B \in \mathcal{F}$，我們說 $A$ 包含於 $B$ 中若且唯若 $A \subseteq B$。
定義： 令 $\mathcal{F}$ 為一個集合族。$\mathcal{F}$ 的一個極大元素 (maximal element) 是一個集合 $M \in \mathcal{F}$，使得如果對於某個 $A \in \mathcal{F}$ 有 $M \subseteq A$，那麼 $M = A$。
也就是說，如果 $\mathcal{F}$ 中沒有任何集合能嚴格包含 (strictly contain) $M$，那麼 $M$ 就是 $\mathcal{F}$ 的極大元素。
定義： 一個集合族 $\mathcal{C}$ 若滿足對於每一對在 $\mathcal{C}$ 中的集合 $A$ 與 $B$，必定有 $A \subseteq B$ 或 $B \subseteq A$（亦即任何兩個在 $\mathcal{C}$ 中的集合皆具有包含關係），則稱 $\mathcal{C}$ 為一個鏈 (chain)。
佐恩引理 (Zorn's Lemma)： 令 $\mathcal{F}$ 為一個集合族。如果 $\mathcal{F}$ 中每一個鏈 $\mathcal{C}$ 在 $\mathcal{F}$ 中的聯集也是 $\mathcal{F}$ 的一個元素，那麼 $\mathcal{F}$ 包含一個極大元素。
（註：雖然佐恩引理在直觀上是合理的，但其實它等價於選擇公理 (Axiom of Choice)。這是一個較為進階的集合論基礎議題。在本書中，我們不探討這個基礎議題，而是直接接受並使用佐恩引理。）
現在我們將佐恩引理應用於向量空間。我們首要的目標是證明每一個向量空間都有基底。這個結果是以下定理的直接推論，該定理也是 1.6 節替換定理的推論 2(c) 對任意向量空間的推廣。
定義： 令 $S$ 為向量空間 $V$ 的一個線性獨立子集。一個包含 $S$ 的 $V$ 之線性獨立子集 $B$，如果不存在任何嚴格包含 $B$ 的 $V$ 之線性獨立子集，則稱 $B$ 為 $V$ 中擴充 $S$ 的極大線性獨立子集 (maximal linearly independent subset)。
如果 $S = \emptyset$，我們通常會省略「擴充 $\emptyset$」的字眼，直接稱 $B$ 為 $V$ 的極大線性獨立子集。
定理 1.12 令 $S$ 為向量空間 $V$ 的一個線性獨立子集。那麼存在一個包含 $S$ 的極大線性獨立子集。
證明：
令 $\mathcal{F}$ 為 $V$ 中所有包含 $S$ 的線性獨立子集所構成的族。請注意，因為 $S \in \mathcal{F}$，所以 $\mathcal{F}$ 是非空的。我們希望將佐恩引理應用於 $\mathcal{F}$。為此，我們必須證明，如果 $\mathcal{C}$ 是 $\mathcal{F}$ 中的一個鏈，那麼 $\mathcal{C}$ 中所有集合的聯集 $U$ 也是 $\mathcal{F}$ 的元素；也就是說，我們必須證明 $U$ 是一個包含 $S$ 的線性獨立子集。
因為 $\mathcal{C}$ 中的每個元素都包含 $S$，所以它們的聯集 $U$ 顯然也包含 $S$。因此我們只需要證明 $U$ 是線性獨立的。假設 $u_1, u_2, \dots, u_n \in U$ 且 $a_1 u_1 + a_2 u_2 + \dots + a_n u_n = 0$（對於某些純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$）。因為每個 $u_i \in U$，且 $U$ 是 $\mathcal{C}$ 中集合的聯集，對於每個 $i = 1, 2, \dots, n$，必定存在一個集合 $A_i \in \mathcal{C}$ 使得 $u_i \in A_i$。由於 $\mathcal{C}$ 是一個鏈，在這些有限個集合 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 之中，必定存在一個集合（假設為 $A_k$）包含了所有其他的集合。因此 $u_i \in A_k$ 對於所有的 $i = 1, 2, \dots, n$ 皆成立。但是 $A_k \in \mathcal{C} \subseteq \mathcal{F}$，所以 $A_k$ 本身是一個線性獨立集合。這意味著 $a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$。因此 $U$ 是線性獨立的，這證明了 $\mathcal{C}$ 中所有集合的聯集 $U$ 也屬於 $\mathcal{F}$。
根據佐恩引理，$\mathcal{F}$ 包含一個極大元素 $B$。根據 $\mathcal{F}$ 的定義，$B$ 就是一個包含 $S$ 的極大線性獨立子集。 $\blacksquare$
推論： 每一個向量空間皆擁有一個基底。
證明：
令 $V$ 為一個向量空間。因為空集合 $\emptyset$ 是一個線性獨立子集，由定理 1.12 可知存在一個包含 $\emptyset$ 的極大線性獨立子集 $\beta$（這也就是 $V$ 的一個極大線性獨立子集）。我們宣稱 $\beta$ 是 $V$ 的一個基底。因為 $\beta$ 是線性獨立的，我們只需要證明它能生成 $V$。
令 $v \in V$。如果 $v \in \beta$，那麼顯然 $v \in \text{span}(\beta)$。如果 $v \notin \beta$，那麼根據 $\beta$ 的極大性，$\beta \cup \{v\}$ 必定是線性相關的（因為 $\beta \cup \{v\}$ 嚴格包含 $\beta$，所以它不能是線性獨立的）。由定理 1.7（第 40 頁）可知 $v \in \text{span}(\beta)$。因此 $\text{span}(\beta) = V$，所以 $\beta$ 是 $V$ 的基底。 $\blacksquare$
正如前述推論的證明所暗示，極大線性獨立子集的概念與基底的概念密切相關。事實上，在接下來的習題 2 中，我們將會證明：向量空間的一個子集是基底，若且唯若它是極大線性獨立子集。這提供了另一個看待基底的代數視角，不僅適用於有限維度空間，也完美地適用於探討無限維度空間的結構。
習題 (Exercises)
將下列敘述標示為真 (True) 或假 (False)。
(a) 每個集合族都包含一個極大元素。
(b) 每個鏈都包含一個極大元素。
(c) 如果一個集合族有一個極大元素，那麼該極大元素是唯一的。
(d) 如果一個集合的鏈有一個極大元素，那麼該極大元素是唯一的。
(e) 向量空間的基底是該向量空間的極大線性獨立子集。
(f) 向量空間的極大線性獨立子集是該向量空間的基底。
證明收斂數列的集合是所有實數數列所構成之向量空間的一個無限維子空間。（請參見 1.3 節中的習題 21。）
令 $V$ 為將實數集視為在有理數體上的向量空間。證明 $V$ 是無限維的。提示：利用 $\pi$ 是超越數 (transcendental) 的事實，也就是說，$\pi$ 不是任何具有有理數係數之多項式的根。
令 $W$ 為一個（不一定是有限維的）向量空間 $V$ 的子空間。證明 $W$ 的任何基底都是 $V$ 的某個基底的子集。
證明以下定理 1.8（第 44 頁）的無限維版本：令 $\beta$ 為無限維向量空間 $V$ 的一個子集。那麼 $\beta$ 是 $V$ 的基底，若且唯若對於 $V$ 中的每個非零向量 $v$，皆存在 $\beta$ 中唯一的向量 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 以及唯一非零純量 $c_1, c_2, \dots, c_n$ 使得 $v = c_1 u_1 + c_2 u_2 + \dots + c_n u_n$。造訪 goo.gl/fNWSDM 以獲取解答。
證明以下定理 1.9（第 45 頁）的推廣：令 $S_1$ 與 $S_2$ 為向量空間 $V$ 的子集，使得 $S_1 \subseteq S_2$。如果 $S_1$ 是線性獨立的，且 $S_2$ 生成 $V$，那麼存在 $V$ 的一個基底 $\beta$ 使得 $S_1 \subseteq \beta \subseteq S_2$。提示：將佐恩引理應用於所有包含 $S_1$ 的 $S_2$ 之線性獨立子集所構成的族，並仿照定理 1.13 的證明過程進行推導。
證明以下替換定理的推廣：令 $\beta$ 為向量空間 $V$ 的基底，並令 $S$ 為 $V$ 的一個線性獨立子集。那麼存在 $\beta$ 的一個子集 $S_1$，使得 $S \cup S_1$ 是 $V$ 的基底。
第一章 定義索引 (INDEX OF DEFINITIONS FOR CHAPTER 1)
為了讓您在後續章節研讀時方便對照，以下附上第一章結尾的完整定義索引與原文書頁碼：
加法反元素 (Additive inverse) – 12
基底 (Basis) – 43
消去律 (Cancellation law) – 12
行向量 (Column vector) – 8
鏈 (Chain) – 60
多項式的次數 (Degree of a polynomial) – 10
矩陣的對角線項 (Diagonal entries of a matrix) – 8
對角矩陣 (Diagonal matrix) – 19
維度 (Dimension) – 47
有限維空間 (Finite-dimensional space) – 47
生成 (Generates) – 31
無限維空間 (Infinite-dimensional space) – 47
拉格朗日插值公式 (Lagrange interpolation formula) – 53
拉格朗日多項式 (Lagrange polynomials) – 52
線性組合 (Linear combination) – 25
線性相關 (Linearly dependent) – 37
線性獨立 (Linearly independent) – 38
矩陣 (Matrix) – 8
集合族的極大元素 (Maximal element of a family of sets) – 59
極大線性獨立子集 (Maximal linearly independent subset) – 60
n-元組 (n-tuple) – 8
多項式 (Polynomial) – 10
列向量 (Row vector) – 8
純量 (Scalar) – 7
純量乘法 (Scalar multiplication) – 6
數列 (Sequence) – 11
子集的生成空間 (Span of a subset) – 30
生成 (Spans) – 31
方陣 (Square matrix) – 9
$F^n$ 的標準基底 (Standard basis for $F^n$) – 43
$P_n(F)$ 的標準基底 (Standard basis for $P_n(F)$) – 44
子空間 (Subspace) – 17
由集合元素生成的子空間 (Subspace generated by the elements of a set) – 31
對稱矩陣 (Symmetric matrix) – 18
跡 (Trace) – 19
轉置矩陣 (Transpose) – 18
上三角矩陣 (Upper triangular matrix) – 19
0 的顯然表示 (Trivial representation of 0) – 37
向量 (Vector) – 7
向量加法 (Vector addition) – 6
向量空間 (Vector space) – 6
零矩陣 (Zero matrix) – 9
零多項式 (Zero polynomial) – 10
零子空間 (Zero subspace) – 17
零向量 (Zero vector) – 12
零向量空間 (Zero vector space) – 15
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