第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)1.1 簡介 (Introduction)

 

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第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)

1.1 簡介 (Introduction)

許多熟悉的物理概念，例如力、速度與加速度，都同時包含大小（力、速度或加速度的量值）以及方向。任何這類同時具有大小與方向的實體稱為「向量 (vector)」。一個向量可以用箭頭來表示，其長度代表向量的大小，而其方向代表向量的方向。在大多數涉及向量的物理情況中，只有向量的大小與方向具有意義；因此，我們將具有相同大小與方向的向量視為相等，而不論其位置為何。在本節中，我們將探討向量的幾何學。這套幾何學源自於測試兩個向量如何交互作用的物理實驗。

熟悉的物理情況顯示，當兩個同類物理量同時作用於一點時，其合成效果的大小並不一定等於原始物理量大小的總和。例如，一名游泳者以每小時 2 英里的速度逆著每小時 1 英里的水流向上游游去，其實際前進速度不會是每小時 3 英里。因為在這種情況下，游泳者的運動方向與水流方向相反，其向上游前進的淨速度只有每小時 1 英里。然而，若該游泳者順流而下（與水流同向），其向下游前進的速度則為每小時 3 英里。

實驗顯示，若兩個同類物理量共同作用，其結果是可預測的。在這種情況下，表示這些物理量的向量可以組合成一個合成向量 (resultant vector)，以代表原始物理量組合後的效果。這個合成向量稱為原始向量的「和 (sum)」，而組合它們的規則稱為「平行四邊形法則 (parallelogram law)」。（見圖 1.1）

向量加法的平行四邊形法則。 作用於同一點 $P$ 的兩個向量 $x$ 與 $y$ 之和，可由從 $P$ 點出發，並以 $x$ 與 $y$ 為鄰邊所構成的平行四邊形之對角線向量來表示。

由於平行四邊形的對邊平行且長度相等，表示 $x+y$ 的箭頭終點 $Q$ 也可以透過以下方式獲得：先將 $x$ 作用於 $P$，再將 $y$ 作用於 $x$ 的終點。同樣地，向量 $x+y$ 的終點也可藉由先將 $y$ 作用於 $P$，再將 $x$ 作用於 $y$ 的終點來獲得。因此，共同作用於點 $P$ 的兩個向量 $x$ 與 $y$ 可以用「尾對首 (head-to-tail)」的方式相加；亦即，可以將 $x$ 或 $y$ 之一作用於 $P$ 點，再將一個具有相同大小與方向的另一向量作用於前一個向量的終點。若依此方式進行，第二個向量的終點即為 $x+y$ 的終點。

向量的加法可利用解析幾何以代數方式描述。在包含 $x$ 與 $y$ 的平面上，引入一個以 $P$ 為原點的座標系。令 $(a_1, a_2)$ 表示 $x$ 的終點，並令 $(b_1, b_2)$ 表示 $y$ 的終點。如圖 1.2(a) 所示，$x+y$ 的終點 $Q$ 為 $(a_1+b_1, a_2+b_2)$。此後，當提到向量終點的座標時，我們將假設該向量是從原點出發。此外，由於從原點出發的向量完全由其終點決定，因此若 $x$ 是從原點出發的向量，我們有時會直接將 $x$ 稱為一個點，而非向量 $x$ 的終點。

除了向量加法運算外，還有一種對向量進行的自然運算：向量的長度可以被放大或縮小。這種將向量乘上一個實數的運算稱為「純量乘法 (scalar multiplication)」。若向量 $x$ 由一個箭頭表示，則對於任意非零實數 $t$，向量 $tx$ 由一個與 $x$ 同向（若 $t > 0$）或反向（若 $t < 0$）的箭頭來表示。箭頭 $tx$ 的長度為箭頭 $x$ 長度的 $|t|$ 倍。若存在非零實數 $t$ 使得 $y = tx$，則兩個非零向量 $x$ 與 $y$ 稱為平行 (parallel)。（因此，同向或反向的非零向量皆為平行。）

為了以代數方式描述純量乘法，我們再次於包含向量 $x$ 的平面上引入座標系，使 $x$ 從原點出發。若 $x$ 的終點座標為 $(a_1, a_2)$，則顯然 $tx$ 的終點座標為 $(ta_1, ta_2)$。（見圖 1.2(b)）

平面上向量加法與純量乘法的代數描述得出以下八項性質：

1. 對於所有向量 $x$ 與 $y$，$x+y = y+x$。

2. 對於所有向量 $x, y, z$，$(x+y)+z = x+(y+z)$。

3. 存在一個記為 $0$ 的向量，使得對於每個向量 $x$，$x+0 = x$。

4. 對於每個向量 $x$，存在一個向量 $y$ 使得 $x+y = 0$。

5. 對於每個向量 $x$，$1x = x$。

6. 對於每一對實數 $a, b$ 以及每個向量 $x$，$(ab)x = a(bx)$。

7. 對於每個實數 $a$ 以及每一對向量 $x, y$，$a(x+y) = ax+ay$。

8. 對於每一對實數 $a, b$ 以及每個向量 $x$，$(a+b)x = ax+bx$。

利用與上述類似的論證可以證明，這八項性質以及向量加法與純量乘法的幾何詮釋，對於在空間中而非僅在平面上作用的向量同樣成立。這些結果可用於寫出空間中直線與平面的方程式。

首先考慮空間中穿過兩個相異點 $A$ 與 $B$ 的直線方程式。令 $O$ 表示空間中座標系的原點，並令 $u$ 與 $v$ 分別表示從 $O$ 出發並以 $A$ 與 $B$ 為終點的向量。若 $w$ 表示從 $A$ 出發以 $B$ 為終點的向量，則「尾對首」加法顯示 $u+w = v$，因此 $w = v-u$，其中 $-u$ 表示向量 $(-1)u$。（見圖 1.3，其中四邊形 $OABC$ 為一平行四邊形。）由於 $w$ 的純量倍數平行於 $w$ 但長度可能與 $w$ 不同，因此連接 $A$ 與 $B$ 的直線上的任何一點，皆可作為從 $A$ 出發且形式為 $tw$（其中 $t$ 為某實數）之向量的終點來獲得。反之，從 $A$ 出發且形式為 $tw$ 的每個向量，其終點皆落在連接 $A$ 與 $B$ 的直線上。因此，穿過 $A$ 與 $B$ 的直線方程式為 $x = u+tw = u+t(v-u)$，其中 $t$ 為實數，$x$ 表示直線上的任意點。同時請注意，圖 1.3 中向量 $v-u$ 的終點 $C$ 之座標，等於 $B$ 的座標減去 $A$ 的座標。

範例 1

令 $A$ 與 $B$ 的座標分別為 $(-2, 0, 1)$ 與 $(4, 5, 3)$。從原點出發，且與從 $A$ 出發至 $B$ 終止的向量具有相同方向與長度的向量，其終點 $C$ 的座標為 $(4, 5, 3) - (-2, 0, 1) = (6, 5, 2)$。因此，穿過 $A$ 與 $B$ 的直線方程式為：

$x = (-2, 0, 1) + t(6, 5, 2)$。

現在令 $A, B, C$ 表示空間中三個不共線的點。這些點決定了唯一的一個平面，其方程式可利用我們前述對向量的觀察推導得出。令 $u$ 與 $v$ 分別表示從 $A$ 出發並以 $B$ 與 $C$ 為終點的向量。可觀察到，包含 $A, B, C$ 的平面上的任何一點，都是從 $A$ 出發且形式為 $su+tv$（其中 $s, t$ 為實數）的向量 $x$ 之終點 $S$。$su$ 的終點即為穿過 $A$ 與 $B$ 的直線與穿過 $S$ 且平行於直線 $AC$ 的直線的交點。（見圖 1.4。）類似的程序可定位出 $tv$ 的終點。此外，對於任何實數 $s$ 與 $t$，向量 $su+tv$ 均位於包含 $A, B, C$ 的平面上。由此可知，包含 $A, B, C$ 的平面方程式為：

$x = A + su + tv$，

其中 $s$ 與 $t$ 為任意實數，且 $x$ 表示該平面上的任意點。

範例 2

令 $A, B, C$ 為座標分別為 $(1, 0, 2), (-3, -2, 4)$ 以及 $(1, 8, -5)$ 的點。從原點出發，且與從 $A$ 出發至 $B$ 終止的向量具有相同長度與方向的向量終點為

$(-3, -2, 4) - (1, 0, 2) = (-4, -2, 2)$。

同樣地，從原點出發，且與從 $A$ 出發至 $C$ 終止的向量具有相同長度與方向的向量終點為

$(1, 8, -5) - (1, 0, 2) = (0, 8, -7)$。

因此，包含這三個給定點的平面方程式為：

$x = (1, 0, 2) + s(-4, -2, 2) + t(0, 8, -7)$。

任何具備第 3 頁所列八項性質的數學結構稱為「向量空間 (vector space)」。在下一節中，我們將正式定義向量空間，並檢視許多與前述範例截然不同的向量空間例子。

習題 (Exercises)

1. 判斷從原點出發，並以以下各對點為終點的向量是否平行：

   (a) $(3,1,2)$ 和 $(6,4,2)$

   (b) $(-3,1,7)$ 和 $(9,-3,-21)$

   (c) $(5,6,7)$ 和 $(-5,6,-7)$

   (d) $(2,0,-5)$ 和 $(5,0,-2)$

2. 求出空間中穿過以下各對點的直線方程式：

   (a) $(3,2,4)$ 和 $(-5,7,1)$

   (b) $(2,4,0)$ 和 $(-3,-6,0)$

   (c) $(3,7,2)$ 和 $(3,7,-8)$

   (d) $(-2,-1,5)$ 和 $(3,9,7)$

3. 求出包含空間中以下各點的平面方程式：

   (a) $(2,-5,-1), (0,4,6)$ 和 $(-3,7,1)$

   (b) $(3,6,7), (-2,0,-4)$ 和 $(5,-9,-2)$

   (c) $(-8,2,0), (1,3,0)$ 和 $(6,-5,0)$

   (d) $(1,1,1), (5,5,5)$ 和 $(-6,4,2)$

4. 在滿足第 3 頁性質 3 的歐幾里得平面中，向量 $0$ 的座標為何？請證明您的答案。

5. 證明若向量 $x$ 從歐幾里得平面的原點出發並終止於座標為 $(a_1, a_2)$ 的點，則從原點出發的向量 $tx$ 會終止於座標為 $(ta_1, ta_2)$ 的點。

6. 證明連接點 $(a, b)$ 與 $(c, d)$ 的線段中點為 $(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2})$。

7. 證明平行四邊形的對角線會互相平分。