筆記

$\overline{X}$ 1.$\sigma^2$  已知。 $\cfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$ 2.$\sigma^2$  未知。常態母體。 $\cfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t_{(n-1)}$ $S^2$ 1.常態母體。 $\cfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{(n-1)}$ $\cfrac{S_1^2}{S_2^2}$ 1.兩獨立常態母體。 $\cfrac{S_1^2\sigma_2^2}{S_2^2\sigma_1^2}\sim F_(n_1-1,n_2-1)$

設二母體，$\mu_1 ,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,n_1,n_2$ $\mu_i=\displaystyle\sum_{j=1}^{n_i}X_{ij}$  $,i=1,2$ $\sigma_i^2=\displaystyle\sum_{j=1}^{n_i}\cfrac{(X_{ij}-\mu_i)^2}{n_i}$ $,i=1,2$ 混合期望值:$\mu_{混}=\cfrac{n_1\mu_1+n_2\mu_2}{n_1+n_2}$ 混合變異數=$\sigma_{混}^2=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}n_i\sigma_i^2+n_i\mu_i^2-n_i\mu_{混}^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}n_i}=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}n_i[\sigma_i^2+(\mu_i-\mu_{混})^2]}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}n_i}$

柯西分配 Cauchy Distribution $X \sim Cauchy(\alpha,\beta)$ $f(x)=\cfrac{1}{\pi}\cfrac{\alpha}{\alpha^2 + (x-\beta)^2}\ \ ,\ -\infty<x<\infty$ 標準柯西分配 $X \sim Cauchy(1,0)$ $f(x)=\cfrac{1}{\pi}\cfrac{1}{1+ x^2}\ \ ,\ -\infty<x<\infty$ $E(X) 不存在。$ $if \ X \sim N(0,1) \perp Y \sim N(0,1)$ $Z=\cfrac{X}{Y}\sim Cauchy(1,0)$

車型名稱 PMR 最大馬力(kW) 最大馬力轉速(rpm) BMW i BMW I3S 120AH A1 5D  96.8 135 7000 BMW i BMW I3 120AH A1 5D  90.6 125 5200 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值       Tesla Model 3 E1R A1 5D  112.5 190 0 Tesla Model 3 E1R 3D5 A1 5D  112.5 192 0 Tesla Model 3 E3DP A1 5D  171.8 335 0 本車型組已符合M1 類120＜PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。       Tesla Model 3 E3D A1 5D  171.8 258 0 Tesla Model S Long Range A1 5D  159.2 370 0 Tesla Model S Standard Range A1 5D  159.2 280 0 Tesla Model S Long Range Plus A1 5D  159.2 370 0 Tesla Model S Performance A1 5D  166 390 0 本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。       Tesla Model X Performance A1 5D  148 390 0 本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。       Tesla Model X Long Range A1 5D  143.3 370 0 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值。       Tesla Model X Standard Range A1 5D  143.3 280 0 Tesla Model X Long Range Plus A1 5D  143.3 370 0 MERC

車型名稱 最大馬力(kW) 最大馬力轉速(rpm) PORSCHE TAYCAN TURBO S A2 4D 460 6700 PORSCHE TAYCAN TURBO A2 4D 460 6700 AUDI e-tron SPORTBACK 55 quattro A1 4D HATCHBACK 300 0 AUDI e-tron 55 quattro A1 4D HATCHBACK 300 0 HYUNDAI KONA-N 0c.c. A1 5D 150 8000 HYUNDAI KONA-M 0c.c. A1 5D 100 8000 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值。      PORSCHE TAYCAN A2 4D 240.00 8600 PORSCHE TAYCAN A2 4D (280kW) 280.00 10000 本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第二階段汽車噪音管制標準值。      ENERGICA SS9+ CVT 街跑車 80 6000 ENERGICA EGO+ CVT 街跑車 107 6000 ENERGICA EVA RIBELLE CVT 街跑車 107 6000 ENERGICA EGO+RS CVT 街跑車 107 6000 ENERGICA EVA RIBELLE RS CVT 街跑車 107 6000 AUDI e-tron 50 SPORTBACK quattro A1 4D HATCHBACK 230 0 AUDI e-tron 50 quattro A1 4D HATCHBACK 230 0 AUDI e-tron SPORTBACK 55 quattro A1 4D HATCHBACK 300.00 0 本車型組已符合M1類PMR≦120第六期第一階段汽車噪音管制標準值。     AUDI e-tron 55 quattro A1 4D HATCHBACK 300.00 0 LEXUS UX300e A1 5D 150 6250

 $if\ \  F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t) dt  $  $\cfrac{dF(x)}{dx}=\cfrac{d\left[F(t)\right]_a^x}{dx}=\cfrac{d[F(x)-F(a)]}{dx}=f(x)$ $if\ \  F(x)=\displaystyle\int_{g_2(x)}^{g_1(x)} f(t) dt  $  $\cfrac{dF(x)}{dx}=\cfrac{d[F(t)]_{g_2(x)}^{g_1(x)}}{dx}=\cfrac{d[F(g_1(x))-F(g_2(x))]}{dx}\\=f(g_1(x))g_1'(x)-f(g_2(x))g_2'(x)$

 r.v. X 連續型。 f(x) 為 p.d.f. $f(x|X \leq a)=\cfrac{f(x)}{F(a)}$ , $x\leq a$ $f(x|X \geq a)=\cfrac{f(x)}{1-F(a)}$ , $x\geq a$ $f(x| a \leq  X \leq b )=\cfrac{f(x)}{F(a)-F(b)}$ , $a \leq x \leq b $

  1.$X \sim Bin(n,p)$ 二項分配 2.$X \sim NB(r,p)$  負二項分配 3.$X(t) \sim Poission(\lambda )$ 卜瓦松分配 4.$X \sim Gamma(\alpha,\beta )$  Gamma分配 5.$X \sim N(\mu,\sigma^2)$   常態分配

 Jacobian (r.v.連續型) 單變數 設$f_X(x)$ 為舊p.d.f.，$f_Y(y)$為新p.d.f.。 $Y=g(X)\implies X=g^{-1}(Y)$ $J=\left|\cfrac{dx}{dy}\right|=\left|\cfrac{d舊}{d新}\ \right|$ 則 $f_Y(y)=f_X(x=g(y)^{-1})|J| $ 雙變數 設$f_{X_1,X_2(x_1,x_2)}$為舊p.d.f.，$f_{Y_1,Y_2(y_1,y_2)}$為新p.d.f.。 $(Y_1,Y_2)=g(X_1,X_2)\implies (X_1,X_2)=g^{-1}(Y_1,Y_2) $ $J=\begin{vmatrix} \cfrac{\partial x_1}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_1}{\partial y_2} \\ \cfrac{\partial x_2}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_2}{\partial y_2} \end{vmatrix}$ $J=\begin{vmatrix} \cfrac{\partial 舊_1}{\partial 新_1} & \cfrac{\partial 舊_1}{\partial 新_2} \\ \cfrac{\partial 舊_2}{\partial 新_1} & \cfrac{\partial 舊_2}{\partial 新_2} \end{vmatrix}$ 列舊行新。 變數縮減 $(X,Y)\to(W)$，增一變數 $V=g(X)\ or\ V=g(Y)  $，使得 $(X,Y)\to(W,V)$，同雙變數變數變換運算。 C.D.F法 min，max，$X^{2n}$ 時使用

$Gamma(\Gamma)$積分 $\alpha>0$，$\lambda>0$ $$\displaystyle\int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}dx=\cfrac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^{\alpha}}$$ $\Gamma(n)=(n-1)!$ $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt(\pi)$ $Beta(\beta)$積分 $\alpha>0$，$\beta>0$ $$\displaystyle\int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx=\cfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$ 常態$(Norma)$積分 $a\in\Re$，$b>0$ $$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^\left[{\cfrac{-(x-a)^2}{2b^2}}\right]dx=\sqrt{2\pi}\cdot b$$

  1.$Ber$ 是 $Bin$的特例。 2.$Geo$是 $NB$的特例。 3.$Exp$ 和 $\chi^2 $是 $Gamma$的特例。

1.甲乙丙三人按順序(甲->乙->丙)投擲一公正硬幣，先出現正面者贏，試問甲、乙、丙獲勝機率為何? 甲贏: 正 ，反反反正，反反反 反反反正，$\cdots$。 乙贏: 反正 ，反反反反正，反反反 反反反 反正，$\cdots$。 丙贏: 反反正 ，反反反反反正，反反反 反反反 反反正，$\cdots$。 $P(甲贏)=\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^3\times(\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2})^6\times(\cfrac{1}{2}) \cdots=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{1-(\cfrac{1}{2})^3}=\cfrac{4}{7}$ $P(乙贏)=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^4\times(\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2})^7\times(\cfrac{1}{2}) \cdots=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{\cfrac{1}{2}}{1-(\cfrac{1}{2})^3}=\cfrac{2}{7}$ $P(丙贏)=(\cfrac{1}{2})^2\times\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^5\times\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^8\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{(\cfrac{1}{2})^2}{1-(\cfrac{1}{2})^3}=\cfrac{1}{7}$ 2.重複投擲兩個均勻骰子，若出現點數和為8，則甲贏，若先出現點數和為10，則乙贏。當比賽出現勝負時，甲乙兩人贏的機率為何？

同   異   期望值  變異數  $Bin$(二項分配)  r.v.表示成功總次數  抽後放回  $np$ $np(1-p)$           $Hyper(超幾何分配)$  r.v.表示成功總次數  抽後不放回  $n\frac{m}{N}$ $n\frac{m}{N}(1-\frac{m}{N})(\frac{N-n}{N-1})$

特性  1.實驗間相互獨立。 2.$p=p(成功)$皆相同，只有成功/失敗兩種互斥情況。 伯努利過程之機率分配: 各分配之間的r.v. 意義不同。 1.$Bin$(二項分配) :在 n 次實驗中成功總次數。 2.$Geo$(幾何分配):直到第一次成功之總實驗次數。(無記憶) 3.$NB$(負二項分配):直到第 r 次成功之總實驗次數。 $Geo(p)=NB(1,p)$ 所以以上3種分配，事件機率可以相互計算。