(統計)抽樣統計量和其分配
$\overline{X}$
1.$\sigma^2$ 已知。
$\cfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$
2.$\sigma^2$ 未知。常態母體。
$\cfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t_{(n-1)}$
$S^2$
1.常態母體。
$\cfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{(n-1)}$
$\cfrac{S_1^2}{S_2^2}$
1.兩獨立常態母體。
$\cfrac{S_1^2\sigma_2^2}{S_2^2\sigma_1^2}\sim F_(n_1-1,n_2-1)$
(統計) 母體混合期望值，變異數
設二母體，$\mu_1 ,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,n_1,n_2$
$\mu_i=\displaystyle\sum_{j=1}^{n_i}X_{ij}$ $,i=1,2$
$\sigma_i^2=\displaystyle\sum_{j=1}^{n_i}\cfrac{(X_{ij}-\mu_i)^2}{n_i}$ $,i=1,2$
混合期望值:$\mu_{混}=\cfrac{n_1\mu_1+n_2\mu_2}{n_1+n_2}$
混合變異數=$\sigma_{混}^2=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}n_i\sigma_i^2+n_i\mu_i^2-n_i\mu_{混}^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}n_i}=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}n_i[\sigma_i^2+(\mu_i-\mu_{混})^2]}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}n_i}$
(統計)柯西分配 Cauchy Distribution
柯西分配 Cauchy Distribution
$X \sim Cauchy(\alpha,\beta)$
$f(x)=\cfrac{1}{\pi}\cfrac{\alpha}{\alpha^2 + (x-\beta)^2}\ \ ,\ -\infty<x<\infty$
標準柯西分配
$X \sim Cauchy(1,0)$
$f(x)=\cfrac{1}{\pi}\cfrac{1}{1+ x^2}\ \ ,\ -\infty<x<\infty$
$E(X) 不存在。$
$if \ X \sim N(0,1) \perp Y \sim N(0,1)$
$Z=\cfrac{X}{Y}\sim Cauchy(1,0)$
(汽車)2020 進口電動車馬力表
| 車型名稱 | PMR | 最大馬力(kW) | 最大馬力轉速(rpm) |
| BMW i BMW I3S 120AH A1 5D | 96.8 | 135 | 7000 |
| BMW i BMW I3 120AH A1 5D | 90.6 | 125 | 5200 |
| 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值 | |||
| Tesla Model 3 E1R A1 5D | 112.5 | 190 | 0 |
| Tesla Model 3 E1R 3D5 A1 5D | 112.5 | 192 | 0 |
| Tesla Model 3 E3DP A1 5D | 171.8 | 335 | 0 |
| 本車型組已符合M1 類120＜PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | |||
| Tesla Model 3 E3D A1 5D | 171.8 | 258 | 0 |
| Tesla Model S Long Range A1 5D | 159.2 | 370 | 0 |
| Tesla Model S Standard Range A1 5D | 159.2 | 280 | 0 |
| Tesla Model S Long Range Plus A1 5D | 159.2 | 370 | 0 |
| Tesla Model S Performance A1 5D | 166 | 390 | 0 |
| 本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | |||
| Tesla Model X Performance A1 5D | 148 | 390 | 0 |
| 本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | |||
| Tesla Model X Long Range A1 5D | 143.3 | 370 | 0 |
| 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | |||
| Tesla Model X Standard Range A1 5D | 143.3 | 280 | 0 |
| Tesla Model X Long Range Plus A1 5D | 143.3 | 370 | 0 |
| MERCEDES-BENZ EQC 400 4MATIC A1 5D | 120.2 | 300 | 4160 |
| HYUNDAI KONA-H A1 5D | 85.2 | 150 | 0 |
| NISSAN LEAF A1 5D 214HP | 91.1 | 160 | 0 |
| 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | |||
| Tesla Model S Long Range A1 5D | 159.2 | 370 | 0 |
| Tesla Model S Standard Range A1 5D | 159.2 | 280 | 0 |
| Tesla Model S Long Range Plus A1 5D | 159.2 | 370 | 0 |
| Tesla Model S Performance A1 5D | 166 | 390 | 0 |
| 本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | |||
| Tesla Model X Performance A1 5D | 148 | 390 | 0 |
| 本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | |||
| Tesla Model X Long Range A1 5D | 143.3 | 370 | 0 |
| 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | |||
| Tesla Model X Standard Range A1 5D | 143.3 | 280 | 0 |
| Tesla Model X Long Range Plus A1 5D | 143.3 | 370 | 0 |
| Tesla Model 3 E1R A1 5D | 112.5 | 190 | 0 |
| 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值 | |||
| Tesla Model 3 E1R 3D5 A1 5D | 112.5 | 192 | 0 |
| Tesla Model 3 E3DP A1 5D | 171.8 | 335 | 0 |
| 本車型組已符合M1 類120＜PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | |||
| Tesla Model 3 E3D A1 5D | 171.8 | 258 | 0 |
| AUDI e-tron 50 SPORTBACK quattro A1 4D HATCHBACK | 90.9 | 230 | 0 |
| 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | |||
| AUDI e-tron 50 quattro A1 4D HATCHBACK | 90.9 | 230 | 0 |
| PORSCHE TAYCAN 4S A2 4D | 154.2 | 360 | 10000 |
| 本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | |||
| JAGUAR I-PACE A1 5D 294kW | 127.3 | 294 | 5000 |
(汽車)2021 進口電動車馬力表
| 車型名稱 | 最大馬力(kW) | 最大馬力轉速(rpm) |
| PORSCHE TAYCAN TURBO S A2 4D | 460 | 6700 |
| PORSCHE TAYCAN TURBO A2 4D | 460 | 6700 |
| AUDI e-tron SPORTBACK 55 quattro A1 4D HATCHBACK | 300 | 0 |
| AUDI e-tron 55 quattro A1 4D HATCHBACK | 300 | 0 |
| HYUNDAI KONA-N 0c.c. A1 5D | 150 | 8000 |
| HYUNDAI KONA-M 0c.c. A1 5D | 100 | 8000 |
| 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| PORSCHE TAYCAN A2 4D | 240.00 | 8600 |
| PORSCHE TAYCAN A2 4D (280kW) | 280.00 | 10000 |
| 本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第二階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| ENERGICA SS9+ CVT 街跑車 | 80 | 6000 |
| ENERGICA EGO+ CVT 街跑車 | 107 | 6000 |
| ENERGICA EVA RIBELLE CVT 街跑車 | 107 | 6000 |
| ENERGICA EGO+RS CVT 街跑車 | 107 | 6000 |
| ENERGICA EVA RIBELLE RS CVT 街跑車 | 107 | 6000 |
| AUDI e-tron 50 SPORTBACK quattro A1 4D HATCHBACK | 230 | 0 |
| AUDI e-tron 50 quattro A1 4D HATCHBACK | 230 | 0 |
| AUDI e-tron SPORTBACK 55 quattro A1 4D HATCHBACK | 300.00 | 0 |
| 本車型組已符合M1類PMR≦120第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| AUDI e-tron 55 quattro A1 4D HATCHBACK | 300.00 | 0 |
| LEXUS UX300e A1 5D | 150 | 6250 |
| 1.本車型組已符合M1類PMR≦120第六期第二階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| Tesla Model 3 E1R A1 5D | 190 | 0 |
| Tesla Model 3 E1R 3D5 A1 5D | 192 | 0 |
| Tesla Model 3 E3DP A1 5D | 335 | 0 |
| 本車型組已符合M1 類120＜PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| Tesla Model 3 E3D A1 5D | 258 | 0 |
| JAGUAR I-PACE A1 5D 294kW | 294 | 5000 |
| 本車型組已符合M1 類120＜PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| PORSCHE TAYCAN 4S A2 4D | 360.00 | 10000 |
| 本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| PORSCHE TAYCAN 4S CROSS TURISMO A2 5D | 360.00 | 10000 |
| PORSCHE TAYCAN 4 CROSS TURISMO A2 5D | 280.00 | 10000 |
| 1.本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第二階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| ENERGICA SS9+ CVT 街跑車 | 80 | 6000 |
| ENERGICA EGO+ CVT 街跑車 | 107 | 6000 |
| ENERGICA EVA RIBELLE CVT 街跑車 | 107 | 6000 |
| ENERGICA EGO+RS CVT 街跑車 | 107 | 6000 |
| ENERGICA EVA RIBELLE RS CVT 街跑車 | 107 | 6000 |
| Audi e-tron GT quattro A1 4D HATCHBACK | 350 | 0 |
| 本車型組已符合M1類120＜PMR≦160第六期第二階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| Audi RS e-tron GT quattro A1 4D HATCHBACK | 440 | 0 |
| 本車型組已符合M1類120＜PMR≦160第六期第二階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| HYUNDAI IONIQ5-A A1 5D | 124.9 | 7400 |
| 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第二階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| HYUNDAI IONIQ5-B A1 5D | 160 | 9000 |
| 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第二階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| HYUNDAI IONIQ5-C A1 5D | 224.6 | 8600 |
| 1.本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第二階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| 2.本車型組PMR以額定功率224.6 kW/8600 rpm計算。 | ||
| PORSCHE TAYCAN 4S A2 4D | 360.00 | 10000 |
| PORSCHE TAYCAN 4S CROSS TURISMO A2 5D | 360.00 | 10000 |
| PORSCHE TAYCAN A2 4D | 240.00 | 8600 |
| 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| MERCEDES-BENZ EQC 400 4MATIC A1 5D | 300 | 4160 |
| 1.本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第二階段汽車噪音管制標準值。 | ||
| HYUNDAI KONA-N A1 5D | 150 | 3800-8000 |
| HYUNDAI KONA-M A1 5D | 100 | 2600-8000 |
| PORSCHE TAYCAN TURBO S A2 4D | 460 | - |
| PORSCHE TAYCAN TURBO A2 4D | 460 | - |
| PORSCHE TAYCAN 4 CROSS TURISMO A2 5D | 280 | - |
| MERCEDES-BENZ EQS 450+ A1 5D | 245 | 11544 |
| VOLVO XC40 P8 A1 5D | 300 | 4350-13900 |
(微積分)微積分基本定理
$if\ \ F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t) dt $
$\cfrac{dF(x)}{dx}=\cfrac{d\left[F(t)\right]_a^x}{dx}=\cfrac{d[F(x)-F(a)]}{dx}=f(x)$
$if\ \ F(x)=\displaystyle\int_{g_2(x)}^{g_1(x)} f(t) dt $
$\cfrac{dF(x)}{dx}=\cfrac{d[F(t)]_{g_2(x)}^{g_1(x)}}{dx}=\cfrac{d[F(g_1(x))-F(g_2(x))]}{dx}\\=f(g_1(x))g_1'(x)-f(g_2(x))g_2'(x)$
(統計) 有加成性之機率分配
1.$X \sim Bin(n,p)$ 二項分配
2.$X \sim NB(r,p)$ 負二項分配
3.$X(t) \sim Poission(\lambda )$ 卜瓦松分配
4.$X \sim Gamma(\alpha,\beta )$ Gamma分配
5.$X \sim N(\mu,\sigma^2)$ 常態分配
(統計)變數變換
Jacobian (r.v.連續型)
單變數
設$f_X(x)$ 為舊p.d.f.，$f_Y(y)$為新p.d.f.。
$Y=g(X)\implies X=g^{-1}(Y)$
$J=\left|\cfrac{dx}{dy}\right|=\left|\cfrac{d舊}{d新}\ \right|$
則 $f_Y(y)=f_X(x=g(y)^{-1})|J| $
雙變數
設$f_{X_1,X_2(x_1,x_2)}$為舊p.d.f.，$f_{Y_1,Y_2(y_1,y_2)}$為新p.d.f.。
$(Y_1,Y_2)=g(X_1,X_2)\implies (X_1,X_2)=g^{-1}(Y_1,Y_2) $
$J=\begin{vmatrix} \cfrac{\partial x_1}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_1}{\partial y_2} \\ \cfrac{\partial x_2}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_2}{\partial y_2} \end{vmatrix}$
$J=\begin{vmatrix} \cfrac{\partial 舊_1}{\partial 新_1} & \cfrac{\partial 舊_1}{\partial 新_2} \\ \cfrac{\partial 舊_2}{\partial 新_1} & \cfrac{\partial 舊_2}{\partial 新_2} \end{vmatrix}$
列舊行新。
變數縮減
$(X,Y)\to(W)$，增一變數 $V=g(X)\ or\ V=g(Y) $，使得 $(X,Y)\to(W,V)$，同雙變數變數變換運算。
C.D.F法
min，max，$X^{2n}$ 時使用
(統計)三個統計常用積分，$Gamma(\Gamma)$積分，$Beta(\beta)$積分，常態$(Norma)$積分。
$Gamma(\Gamma)$積分
$\alpha>0$，$\lambda>0$
$$\displaystyle\int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}dx=\cfrac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^{\alpha}}$$
$\Gamma(n)=(n-1)!$
$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt(\pi)$
$Beta(\beta)$積分
$\alpha>0$，$\beta>0$
$$\displaystyle\int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx=\cfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$
常態$(Norma)$積分
$a\in\Re$，$b>0$
$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^\left[{\cfrac{-(x-a)^2}{2b^2}}\right]dx=\sqrt{2\pi}\cdot b$$
(統計)(機率論) 先贏問題
1.甲乙丙三人按順序(甲->乙->丙)投擲一公正硬幣，先出現正面者贏，試問甲、乙、丙獲勝機率為何?
甲贏: 正 ，反反反正，反反反 反反反正，$\cdots$。
乙贏: 反正 ，反反反反正，反反反 反反反 反正，$\cdots$。
丙贏: 反反正 ，反反反反反正，反反反 反反反 反反正，$\cdots$。
$P(甲贏)=\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^3\times(\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2})^6\times(\cfrac{1}{2}) \cdots=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{1-(\cfrac{1}{2})^3}=\cfrac{4}{7}$
$P(乙贏)=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^4\times(\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2})^7\times(\cfrac{1}{2}) \cdots=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{\cfrac{1}{2}}{1-(\cfrac{1}{2})^3}=\cfrac{2}{7}$
$P(丙贏)=(\cfrac{1}{2})^2\times\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^5\times\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^8\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{(\cfrac{1}{2})^2}{1-(\cfrac{1}{2})^3}=\cfrac{1}{7}$
2.重複投擲兩個均勻骰子，若出現點數和為8，則甲贏，若先出現點數和為10，則乙贏。當比賽出現勝負時，甲乙兩人贏的機率為何？
(統計)(特殊機率分配) 二項分配和超幾何分配之比較
| 同 | 異 | 期望值 | 變異數 | |
| $Bin$(二項分配) | r.v.表示成功總次數 | 抽後放回 | $np$ | $np(1-p)$ |
| $Hyper(超幾何分配)$ | r.v.表示成功總次數 | 抽後不放回 | $n\frac{m}{N}$ | $n\frac{m}{N}(1-\frac{m}{N})(\frac{N-n}{N-1})$ |
(統計)(特殊機率分布)伯努利過程(Bernoulli process)
特性
1.實驗間相互獨立。
2.$p=p(成功)$皆相同，只有成功/失敗兩種互斥情況。
伯努利過程之機率分配:
各分配之間的r.v. 意義不同。
1.$Bin$(二項分配) :在 n 次實驗中成功總次數。
2.$Geo$(幾何分配):直到第一次成功之總實驗次數。(無記憶)
3.$NB$(負二項分配):直到第 r 次成功之總實驗次數。
$Geo(p)=NB(1,p)$
所以以上3種分配，事件機率可以相互計算。
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