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(統計)抽樣統計量和其分配

- 9月 22, 2023

$\overline{X}$ 1.

$\sigma^2$ 已知。

$\cfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$ 2.

$\sigma^2$ 未知。常態母體。

$\cfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t_{(n-1)}$

$S^2$ 1.常態母體。

$\cfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{(n-1)}$

$\cfrac{S_1^2}{S_2^2}$ 1.兩獨立常態母體。

$\cfrac{S_1^2\sigma_2^2}{S_2^2\sigma_1^2}\sim F_(n_1-1,n_2-1)$

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(統計) 母體混合期望值，變異數

- 9月 20, 2023

設二母體，

$\mu_1 ,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,n_1,n_2$

$\mu_i=\displaystyle\sum_{j=1}^{n_i}X_{ij}$

$,i=1,2$

$\sigma_i^2=\displaystyle\sum_{j=1}^{n_i}\cfrac{(X_{ij}-\mu_i)^2}{n_i}$

$,i=1,2$ 混合期望值:

$\mu_{混}=\cfrac{n_1\mu_1+n_2\mu_2}{n_1+n_2}$ 混合變異數=

$\sigma_{混}^2=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}n_i\sigma_i^2+n_i\mu_i^2-n_i\mu_{混}^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}n_i}=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}n_i[\sigma_i^2+(\mu_i-\mu_{混})^2]}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2}n_i}$

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(統計)柯西分配 Cauchy Distribution

- 9月 19, 2023

柯西分配 Cauchy Distribution

$X \sim Cauchy(\alpha,\beta)$

$f(x)=\cfrac{1}{\pi}\cfrac{\alpha}{\alpha^2 + (x-\beta)^2}\ \ ,\ -\infty<x<\infty$ 標準柯西分配

$X \sim Cauchy(1,0)$

$f(x)=\cfrac{1}{\pi}\cfrac{1}{1+ x^2}\ \ ,\ -\infty<x<\infty$

$E(X) 不存在。$

$if \ X \sim N(0,1) \perp Y \sim N(0,1)$

$Z=\cfrac{X}{Y}\sim Cauchy(1,0)$

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(汽車)2020 進口電動車馬力表

- 9月 18, 2023

車型名稱 PMR 最大馬力(kW) 最大馬力轉速(rpm) BMW i BMW I3S 120AH A1 5D 96.8 135 7000 BMW i BMW I3 120AH A1 5D 90.6 125 5200 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值 Tesla Model 3 E1R A1 5D 112.5 190 0 Tesla Model 3 E1R 3D5 A1 5D 112.5 192 0 Tesla Model 3 E3DP A1 5D 171.8 335 0 本車型組已符合M1 類120＜PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 Tesla Model 3 E3D A1 5D 171.8 258 0 Tesla Model S Long Range A1 5D 159.2 370 0 Tesla Model S Standard Range A1 5D 159.2 280 0 Tesla Model S Long Range Plus A1 5D 159.2 370 0 Tesla Model S Performance A1 5D 166 390 0 本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 Tesla Model X Performance A1 5D 148 390 0 本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 Tesla Model X Long Range A1 5D 143.3 370 0 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 ...

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(汽車)2021 進口電動車馬力表

- 9月 18, 2023

車型名稱最大馬力(kW) 最大馬力轉速(rpm) PORSCHE TAYCAN TURBO S A2 4D 460 6700 PORSCHE TAYCAN TURBO A2 4D 460 6700 AUDI e-tron SPORTBACK 55 quattro A1 4D HATCHBACK 300 0 AUDI e-tron 55 quattro A1 4D HATCHBACK 300 0 HYUNDAI KONA-N 0c.c. A1 5D 150 8000 HYUNDAI KONA-M 0c.c. A1 5D 100 8000 本車型組已符合M1 類PMR ≦ 120第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 PORSCHE TAYCAN A2 4D 240.00 8600 PORSCHE TAYCAN A2 4D (280kW) 280.00 10000 本車型組已符合M1 類120 < PMR ≦ 160第六期第二階段汽車噪音管制標準值。 ENERGICA SS9+ CVT 街跑車 80 6000 ENERGICA EGO+ CVT 街跑車 107 6000 ENERGICA EVA RIBELLE CVT 街跑車 107 6000 ENERGICA EGO+RS CVT 街跑車 107 6000 ENERGICA EVA RIBELLE RS CVT 街跑車 107 6000 AUDI e-tron 50 SPORTBACK quattro A1 4D HATCHBACK 230 0 AUDI e-tron 50 quattro A1 4D HATCHBACK 230 0 AUDI e-tron SPORTBACK 55 quattro A1 4D HATCHBACK 300.00 0 本車型組已符合M1類PMR≦120第六期第一階段汽車噪音管制標準值。 AUDI e-tron 55 quattro A1 4D HATCHBACK 300.00...

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(微積分)微積分基本定理

- 9月 16, 2023

$if\ \ F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t) dt$

$\cfrac{dF(x)}{dx}=\cfrac{d\left[F(t)\right]_a^x}{dx}=\cfrac{d[F(x)-F(a)]}{dx}=f(x)$

$if\ \ F(x)=\displaystyle\int_{g_2(x)}^{g_1(x)} f(t) dt$

$\cfrac{dF(x)}{dx}=\cfrac{d[F(t)]_{g_2(x)}^{g_1(x)}}{dx}=\cfrac{d[F(g_1(x))-F(g_2(x))]}{dx}\\=f(g_1(x))g_1'(x)-f(g_2(x))g_2'(x)$

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(統計)截尾分配

- 9月 14, 2023

r.v. X 連續型。 f(x) 為 p.d.f.

$f(x|X \leq a)=\cfrac{f(x)}{F(a)}$ ,

$x\leq a$

$f(x|X \geq a)=\cfrac{f(x)}{1-F(a)}$ ,

$x\geq a$

$f(x| a \leq X \leq b )=\cfrac{f(x)}{F(a)-F(b)}$ ,

$a \leq x \leq b$

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(統計) 有加成性之機率分配

- 9月 13, 2023

$X \sim Bin(n,p)$ 二項分配 2.

$X \sim NB(r,p)$ 負二項分配 3.

$X(t) \sim Poission(\lambda )$ 卜瓦松分配 4.

$X \sim Gamma(\alpha,\beta )$ Gamma分配 5.

$X \sim N(\mu,\sigma^2)$ 常態分配

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(統計)變數變換

- 9月 07, 2023

Jacobian (r.v.連續型) 單變數設

$f_X(x)$ 為舊p.d.f.，

$f_Y(y)$ 為新p.d.f.。

$Y=g(X)\implies X=g^{-1}(Y)$

$J=\left|\cfrac{dx}{dy}\right|=\left|\cfrac{d舊}{d新}\ \right|$ 則

$f_Y(y)=f_X(x=g(y)^{-1})|J|$ 雙變數設

$f_{X_1,X_2(x_1,x_2)}$ 為舊p.d.f.，

$f_{Y_1,Y_2(y_1,y_2)}$ 為新p.d.f.。

$(Y_1,Y_2)=g(X_1,X_2)\implies (X_1,X_2)=g^{-1}(Y_1,Y_2)$

$J=\begin{vmatrix} \cfrac{\partial x_1}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_1}{\partial y_2} \\ \cfrac{\partial x_2}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_2}{\partial y_2} \end{vmatrix}$

$J=\begin{vmatrix} \cfrac{\partial 舊_1}{\partial 新_1} & \cfrac{\partial 舊_1}{\partial 新_2} \\ \cfrac{\partial 舊_2}{\partial 新_1} & \cfrac{\partial 舊_2}{\partial 新_2} \end{vmatrix}$ 列舊行新。變數縮減

$(X,Y)\to(W)$ ，增一變數

$V=g(X)\ or\ V=g(Y)$ ，使得

$(X,Y)\to(W,V)$ ，同雙變數變數變換運算。 C.D.F法 min，max，

$X^{2n}$ 時使用

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(統計)三個統計常用積分， $Gamma(\Gamma)$ 積分， $Beta(\beta)$ 積分，常態 $(Norma)$ 積分。

- 9月 06, 2023

$Gamma(\Gamma)$ 積分

$\alpha>0$ ，

$\lambda>0$

$\displaystyle\int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}dx=\cfrac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^{\alpha}}$

$\Gamma(n)=(n-1)!$

$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt(\pi)$

$Beta(\beta)$ 積分

$\alpha>0$ ，

$\beta>0$

$\displaystyle\int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx=\cfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ 常態

$(Norma)$ 積分

$a\in\Re$ ，

$b>0$

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^\left[{\cfrac{-(x-a)^2}{2b^2}}\right]dx=\sqrt{2\pi}\cdot b$

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(統計) 機率分布之間特例關係

- 9月 06, 2023

$Ber$ 是

$Bin$ 的特例。 2.

$Geo$ 是

$NB$ 的特例。 3.

$Exp$ 和

$\chi^2$ 是

$Gamma$ 的特例。

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(統計)(機率論) 先贏問題

- 9月 03, 2023

1.甲乙丙三人按順序(甲->乙->丙)投擲一公正硬幣，先出現正面者贏，試問甲、乙、丙獲勝機率為何? 甲贏: 正，反反反正，反反反反反反正，

$\cdots$ 。乙贏: 反正，反反反反正，反反反反反反反正，

$\cdots$ 。丙贏: 反反正，反反反反反正，反反反反反反反反正，

$\cdots$ 。

$P(甲贏)=\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^3\times(\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2})^6\times(\cfrac{1}{2}) \cdots=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{1-(\cfrac{1}{2})^3}=\cfrac{4}{7}$

$P(乙贏)=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^4\times(\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2})^7\times(\cfrac{1}{2}) \cdots=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{\cfrac{1}{2}}{1-(\cfrac{1}{2})^3}=\cfrac{2}{7}$

$P(丙贏)=(\cfrac{1}{2})^2\times\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^5\times\cfrac{1}{2}+(\cfrac{1}{2})^8\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{(\cfrac{1}{2})^2}{1-(\cfrac{1}{2})^3}=\cfrac{1}{7}$ 2.重複投擲兩個均勻骰子，若出現點數和為8，則甲贏，若先出現點數和為10，則乙贏。當比賽出現勝負時，甲乙兩人贏的機率為何？