第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)
1.6 基底與維度 (Bases and Dimension)
在 1.5 節中我們看到，如果 $S$ 是子空間 $W$ 的生成集合，且 $S$ 的任何真子集都無法生成 $W$，那麼 $S$ 必須是線性獨立的。一個用於 $W$ 的線性獨立生成集合具備一個非常實用的性質：在 $W$ 中的每一個向量，都可以用唯一的一種方式表示為該集合中向量的線性組合。（這個性質將在下方的定理 1.8 中證明。）正是這個性質，使得線性獨立的生成集合成為向量空間的建構基石。
定義： 向量空間 $V$ 的基底 (basis) $\beta$ 是一個生成 $V$ 的線性獨立子集。如果 $\beta$ 是 $V$ 的基底，我們也說 $\beta$ 中的向量形成 (form) $V$ 的基底。
範例 1
回想 $span(\emptyset) = \{0\}$ 且 $\emptyset$ 是線性獨立的，我們可以看出 $\emptyset$ 是零向量空間的基底。
範例 2
在 $F^n$ 中，令 $e_1 = (1, 0, 0, \dots, 0)$、$e_2 = (0, 1, 0, \dots, 0), \dots, e_n = (0, 0, \dots, 0, 1)$；很容易看出 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 是 $F^n$ 的基底，並被稱為 $F^n$ 的標準基底 (standard basis)。
範例 3
在 $M_{m \times n}(F)$ 中，令 $E^{ij}$ 表示只有在第 $i$ 列第 $j$ 行的項為 1，其餘項皆為零的矩陣。那麼 $\{E^{ij} : 1 \le i \le m, 1 \le j \le n\}$ 是 $M_{m \times n}(F)$ 的基底。
範例 4
在 $P_n(F)$ 中，集合 $\{1, x, x^2, \dots, x^n\}$ 是一個基底。我們稱此基底為 $P_n(F)$ 的標準基底 (standard basis)。
範例 5
在 $P(F)$ 中，集合 $\{1, x, x^2, \dots\}$ 是一個基底。
觀察範例 5 可知，基底不一定是有限的。事實上，本節稍後將顯示 $P(F)$ 不可能存在有限基底。因此，並非每個向量空間都有有限基底。
下一個定理將在第 2 章中頻繁使用，它確立了基底最重要的性質。
定理 1.8
令 $V$ 為一個向量空間，且 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 為 $V$ 中相異的向量。那麼 $\beta = \{u_1, u_2, \dots, u_n\}$ 是 $V$ 的基底，若且唯若每個 $v \in V$ 都能唯一地表示為 $\beta$ 中向量的線性組合，也就是說，能表示為
的形式，其中純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 是唯一的。
證明：
令 $\beta$ 為 $V$ 的基底。如果 $v \in V$，那麼 $v \in span(\beta)$ 因為 $span(\beta) = V$。因此 $v$ 是 $\beta$ 中向量的線性組合。假設
是 $v$ 的兩種這類表示法。將第一個方程式減去第二個方程式可得：
因為 $\beta$ 是線性獨立的，由此可推得 $a_1 - b_1 = a_2 - b_2 = \dots = a_n - b_n = 0$。因此 $a_1 = b_1, a_2 = b_2, \dots, a_n = b_n$，所以 $v$ 可唯一地表示為 $\beta$ 中向量的線性組合。
反向的證明作為習題留給讀者。 $\blacksquare$
定理 1.8 顯示，如果向量 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 形成向量空間 $V$ 的基底，那麼 $V$ 中的每個向量都能被唯一地表示為
的形式（針對適當選擇的純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$）。因此，$v$ 決定了唯一的一個純量 $n$-元組 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$，反之亦然，每一個純量 $n$-元組也決定了 $V$ 中唯一的一個向量 $v$，這是藉由將該 $n$-元組的項作為 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 線性組合的係數來達成的。這個事實暗示了 $V$ 類似於向量空間 $F^n$，其中 $n$ 是 $V$ 中基底的向量數量。我們將在 2.4 節中看到確實如此。
在本教材中，我們主要感興趣的是具有有限基底的向量空間。定理 1.9 確認了一大類這種類型的向量空間。
定理 1.9
如果一個向量空間 $V$ 是由一個有限集合 $S$ 所生成，那麼 $S$ 的某個子集就是 $V$ 的基底。因此 $V$ 擁有有限基底。
證明：
如果 $S = \emptyset$ 或 $S = \{0\}$，那麼 $V = \{0\}$，且 $\emptyset$ 是 $S$ 的一個子集，它即為 $V$ 的基底。否則 $S$ 包含一個非零向量 $u_1$。由第 38 頁上的第 2 點可知，$\{u_1\}$ 是一個線性獨立集合。如果可能的話，繼續在 $S$ 中選擇向量 $u_2, \dots, u_k$，使得 $\{u_1, u_2, \dots, u_k\}$ 是一個包含 $k$ 個向量的線性獨立集合。由於 $S$ 是一個有限集合，這個過程必定會結束於某個線性獨立集合 $\beta = \{u_1, u_2, \dots, u_n\}$。這可能會發生在兩種情況：
(i) 集合 $\beta = S$。在這種情況下，$S$ 同時是線性獨立集合與 $V$ 的生成集合。也就是說，$S$ 本身就是 $V$ 的基底。
(ii) 集合 $\beta$ 是 $S$ 的真線性獨立子集，使得將任何在 $S$ 中但不在 $\beta$ 中的向量加入 $\beta$ 都會產生一個線性相關集合。在這種情況下，我們宣稱 $\beta$ 即為 $S$ 中我們所求且為 $V$ 之基底的子集。因為根據建構方式 $\beta$ 是線性獨立的，我們只需證明 $\beta$ 生成 $V$ 即可。由定理 1.5（第 31 頁）可知，我們需要證明 $S \subseteq span(\beta)$。令 $v \in S$。如果 $v \in \beta$，那麼顯然 $v \in span(\beta)$。否則，如果 $v \notin \beta$，則前述的建構顯示 $\beta \cup \{v\}$ 是線性相關的。因此由定理 1.7（第 40 頁）可知 $v \in span(\beta)$。於是 $S \subseteq span(\beta)$，完成證明。 $\blacksquare$
由於在定理 1.9 的證明中獲得基底 $\beta$ 的方法，這個定理經常被記為：可以將 $V$ 的一個有限生成集合「縮減 (reduced)」為 $V$ 的基底。這個方法在下一個範例中進行說明。
範例 6
令 $S = \{(2, -3, 5), (8, -12, 20), (1, 0, -2), (0, 2, -1), (7, 2, 0)\}$。
可以證明 $S$ 生成 $\mathbb{R}^3$。我們可以利用證明定理 1.9 時所用的技巧，從 $S$ 的子集中選出 $\mathbb{R}^3$ 的基底。首先，在 $S$ 中選擇任何一個非零向量作為基底中的向量，假設為 $(2, -3, 5)$。因為 $4(2, -3, 5) = (8, -12, 20)$，由 1.5 節的習題 9 可知集合 $\{(2, -3, 5), (8, -12, 20)\}$ 是線性相關的。因此我們不將 $(8, -12, 20)$ 包含在我們的基底中。另一方面，$(1, 0, -2)$ 不是 $(2, -3, 5)$ 的倍數，反之亦然，所以集合 $\{(2, -3, 5), (1, 0, -2)\}$ 是線性獨立的。因此我們將 $(1, 0, -2)$ 作為基底的一部分。
現在我們考慮透過將 $S$ 中的另一個向量加入我們已經包含在基底中的兩個向量，來獲得集合 $\{(2, -3, 5), (1, 0, -2), (0, 2, -1)\}$。與之前一樣，我們根據 $\{(2, -3, 5), (1, 0, -2), (0, 2, -1)\}$ 是線性獨立或線性相關，來決定是否將 $(0, 2, -1)$ 包含在基底中或排除在外。一個簡單的計算顯示這個集合是線性獨立的，所以我們將 $(0, 2, -1)$ 包含在基底中。以類似的方式，$S$ 中的最後一個向量會被包含或排除，取決於集合
是線性獨立還是線性相關。因為
所以我們從基底中排除 $(7, 2, 0)$。我們得出結論：
是 $S$ 的子集，且為 $\mathbb{R}^3$ 的基底。
下一個定理的推論可能是第 1 章中最顯著的結果。
定理 1.10（替換定理 Replacement Theorem）
令 $V$ 為一個由恰好包含 $n$ 個向量的集合 $G$ 所生成的向量空間，並令 $L$ 為 $V$ 中恰好包含 $m$ 個向量的線性獨立子集。那麼 $m \le n$，且存在一個恰好包含 $n - m$ 個向量的 $G$ 之子集 $H$，使得 $L \cup H$ 生成 $V$。
證明：
本證明採用對 $m$ 的數學歸納法。歸納從 $m = 0$ 開始；因為在這種情況下 $L = \emptyset$，所以取 $H = G$ 即給出所求之結果。
現在假設該定理對於某個整數 $m \ge 0$ 為真。我們證明該定理對 $m + 1$ 亦為真。令 $L = \{v_1, v_2, \dots, v_{m+1}\}$ 為 $V$ 中由 $m+1$ 個向量所組成的線性獨立子集。由定理 1.6 的推論（第 39 頁）可知，$\{v_1, v_2, \dots, v_m\}$ 是線性獨立的，因此我們可以套用歸納假設，推論出 $m \le n$，並且存在 $G$ 的一個子集 $\{u_1, u_2, \dots, u_{n-m}\}$，使得 $\{v_1, v_2, \dots, v_m\} \cup \{u_1, u_2, \dots, u_{n-m}\}$ 生成 $V$。因此存在純量 $a_1, a_2, \dots, a_m, b_1, b_2, \dots, b_{n-m}$ 使得
請注意 $n - m > 0$，否則 $v_{m+1}$ 將會是 $v_1, v_2, \dots, v_m$ 的線性組合，這由定理 1.7（第 40 頁）會與 $L$ 是線性獨立的假設相矛盾。因此 $n > m$；也就是說，$n \ge m + 1$。此外，某些 $b_i$（假設為 $b_1$）為非零，否則我們同樣會得到矛盾。將 (9) 式對 $u_1$ 求解可得
令 $H = \{u_2, \dots, u_{n-m}\}$。那麼 $u_1 \in span(L \cup H)$，而且因為 $v_1, v_2, \dots, v_m, u_2, \dots, u_{n-m}$ 顯然都在 $span(L \cup H)$ 中，由此可知
因為集合 $\{v_1, v_2, \dots, v_m, u_1, u_2, \dots, u_{n-m}\}$ 生成 $V$，定理 1.5（第 31 頁）暗示了 $span(L \cup H) = V$。由於 $H$ 是 $G$ 的一個子集，包含 $(n - m) - 1 = n - (m + 1)$ 個向量，因此該定理對 $m + 1$ 為真。這完成了歸納證明。 $\blacksquare$
推論 1：
令 $V$ 為一個具有有限基底的向量空間。那麼 $V$ 的所有基底都是有限的，而且 $V$ 的每個基底都包含相同數量的向量。
證明：
假設 $\beta$ 是 $V$ 的一個有限基底，且恰好包含 $n$ 個向量，並令 $\gamma$ 為 $V$ 的任何其他基底。如果 $\gamma$ 包含超過 $n$ 個向量，那麼我們可以選擇 $\gamma$ 的一個恰好包含 $n+1$ 個向量的子集 $S$。由於 $S$ 是線性獨立的，且 $\beta$ 生成 $V$，替換定理暗示了 $n+1 \le n$，這是一個矛盾。因此 $\gamma$ 是有限的，且 $\gamma$ 中向量的數量 $m$ 滿足 $m \le n$。反轉 $\beta$ 與 $\gamma$ 的角色並如前述論證，我們得到 $n \le m$。因此 $m = n$。 $\blacksquare$
如果一個向量空間有一個有限基底，推論 1 斷言 $V$ 的任何基底中的向量數量都是 $V$ 固有的屬性。這個事實使得以下重要的定義成為可能。
定義： 一個向量空間若具有一個由有限數量之向量所組成的基底，則稱為有限維 (finite-dimensional)。使得 $V$ 的每個基底都恰好包含 $n$ 個元素的唯一整數 $n$，稱為 $V$ 的維度 (dimension)，並記為 $dim(V)$。非有限維的向量空間則稱為無限維 (infinite-dimensional)。
以下結果是範例 1 至 4 的推論。
範例 7
向量空間 $\{0\}$ 的維度為零。
範例 8
向量空間 $F^n$ 的維度為 $n$。
範例 9
向量空間 $M_{m \times n}(F)$ 的維度為 $mn$。
範例 10
向量空間 $P_n(F)$ 的維度為 $n+1$。
以下的範例顯示，向量空間的維度取決於其純量體 (field of scalars)。
範例 11
在複數體上，複數向量空間的維度為 1。（基底為 $\{1\}$。）
範例 12
在實數體上，複數向量空間的維度為 2。（基底為 $\{1, i\}$。）
在維度的術語中，替換定理的第一個結論指出：如果 $V$ 是一個有限維向量空間，那麼 $V$ 的任何線性獨立子集都不能包含超過 $dim(V)$ 個向量。
範例 13
向量空間 $P(F)$ 是無限維的，因為根據範例 5，它擁有一個無限的線性獨立集合，即 $\{1, x, x^2, \dots\}$。
在範例 13 中，無限線性獨立集合 $\{1, x, x^2, \dots\}$ 實際上是 $P(F)$ 的一個基底。然而，我們在本節中所證明的一切，都不能保證無限維向量空間必定有基底。不過，在 1.7 節中我們將顯示，每一個向量空間都有一個基底。
正如有限維向量空間 $V$ 的線性獨立子集不能包含超過 $dim(V)$ 個向量一樣，我們也可以對生成集合的大小做出相對應的陳述。
推論 2： 令 $V$ 為一個維度為 $n$ 的向量空間。
(a) 任何 $V$ 的有限生成集合都包含至少 $n$ 個向量，且恰好包含 $n$ 個向量的 $V$ 之生成集合就是 $V$ 的基底。
(b) 任何恰好包含 $n$ 個向量的 $V$ 之線性獨立子集就是 $V$ 的基底。
(c) $V$ 的每一個線性獨立子集都可以擴充 (extended) 為 $V$ 的基底，也就是說，如果 $L$ 是 $V$ 的一個線性獨立子集，那麼存在一個 $V$ 的基底 $\beta$ 使得 $L \subseteq \beta$。
證明： 令 $\beta$ 為 $V$ 的基底。
(a) 令 $G$ 為 $V$ 的有限生成集合。由定理 1.9 可知，$G$ 的某個子集 $H$ 是 $V$ 的基底。推論 1 暗示了 $H$ 恰好包含 $n$ 個向量。由於 $G$ 的一個子集包含 $n$ 個向量，所以 $G$ 必定包含至少 $n$ 個向量。此外，如果 $G$ 恰好包含 $n$ 個向量，那麼我們必定有 $H = G$，所以 $G$ 是 $V$ 的基底。
(b) 令 $L$ 為一個恰好包含 $n$ 個向量的 $V$ 之線性獨立子集。從替換定理可推論出，存在一個 $\beta$ 的子集 $H$ 包含 $n - n = 0$ 個向量，使得 $L \cup H$ 生成 $V$。因此 $H = \emptyset$，且 $L$ 生成 $V$。因為 $L$ 也是線性獨立的，所以 $L$ 是 $V$ 的基底。
(c) 如果 $L$ 是一個包含 $m$ 個向量的 $V$ 之線性獨立子集，那麼替換定理斷言存在一個 $\beta$ 的子集 $H$ 恰好包含 $n - m$ 個向量，使得 $L \cup H$ 生成 $V$。現在 $L \cup H$ 最多包含 $n$ 個向量；因此 (a) 暗示了 $L \cup H$ 恰好包含 $n$ 個向量，並且 $L \cup H$ 是 $V$ 的基底。 $\blacksquare$
範例 14
由 1.4 節的範例 4 以及推論 2 的 (a) 可知
是 $P_2(\mathbb{R})$ 的基底。
範例 15
由 1.4 節的範例 5 以及推論 2 的 (a) 可知
是 $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 的基底。
範例 16
由 1.5 節的範例 3 以及推論 2 的 (b) 可知
是 $\mathbb{R}^4$ 的基底。
範例 17
對於 $k = 0, 1, \dots, n$，令 $p_k(x) = x^k + x^{k+1} + \dots + x^n$。由 1.5 節的範例 4 以及推論 2 的 (b) 可知
是 $P_n(F)$ 的基底。
將生成集合縮減為基底的程序在範例 6 中已說明過。在 3.4 節中，當我們學到更多關於求解線性方程組的知識時，我們將會發現一種更簡單的方法，能將生成集合縮減為基底。這個程序也可以被用來將線性獨立集合擴充為基底，正如推論 2 的 (c) 所斷言是可行的。
維度與其結果之總覽
定理 1.9 以及替換定理與其推論，包含了豐富的關於線性獨立集合、基底與生成集合之間關係的資訊。為此，我們在此總結本節的主要結果，以便將它們放在更好的視角中檢視。
向量空間 $V$ 的基底是一個生成 $V$ 的線性獨立子集。如果 $V$ 有一個有限基底，那麼 $V$ 的每一個基底都包含相同數量的向量。這個數字被稱為 $V$ 的維度，且 $V$ 被稱為有限維。因此，如果 $V$ 的維度為 $n$，則 $V$ 的每個基底都恰好包含 $n$ 個向量。此外，$V$ 的每一個線性獨立子集包含的向量都不超過 $n$ 個，並且可以透過包含適當選擇的向量來擴充為 $V$ 的基底。同樣地，$V$ 的每個生成集合都至少包含 $n$ 個向量，並且可以透過排除適當選擇的向量來縮減為 $V$ 的基底。（書中的文氏圖圖 1.6 描繪了「線性獨立集合」與「生成集合」的交集即為「基底」的關係。）
子空間的維度
我們的下一個結果將子空間的維度與包含它的向量空間的維度聯繫起來。
定理 1.11
令 $W$ 為一個有限維向量空間 $V$ 的子空間。那麼 $W$ 是有限維的，且 $dim(W) \le dim(V)$。此外，如果 $dim(W) = dim(V)$，那麼 $V = W$。
證明：
令 $dim(V) = n$。如果 $W = \{0\}$，那麼 $W$ 是有限維的且 $dim(W) = 0 \le n$。否則，$W$ 包含一個非零向量 $x_1$；所以 $\{x_1\}$ 是一個線性獨立集合。繼續在 $W$ 中選擇向量 $x_1, x_2, \dots, x_k$ 使得 $\{x_1, x_2, \dots, x_k\}$ 是線性獨立的。由於 $V$ 中沒有線性獨立子集能包含超過 $n$ 個向量，這個過程必定會在某個階段停止，此時 $k \le n$ 且 $\{x_1, x_2, \dots, x_k\}$ 是線性獨立的，但從 $W$ 中加入任何其他向量都會產生線性相關的集合。定理 1.7（第 40 頁）暗示了 $\{x_1, x_2, \dots, x_k\}$ 生成 $W$，因此它是 $W$ 的基底。所以 $dim(W) = k \le n$。
如果 $dim(W) = n$，那麼 $W$ 的基底就是一個包含 $n$ 個向量的 $V$ 之線性獨立子集。但替換定理的推論 2 暗示了這個 $W$ 的基底同時也是 $V$ 的基底；所以 $W = V$。 $\blacksquare$
範例 18
令 $W = \{(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \in F^5 : a_1 + a_3 + a_5 = 0, a_2 = a_4\}$。
我們很容易可以證明 $W$ 是 $F^5$ 的子空間，且具有
作為基底。因此 $dim(W) = 3$。
範例 19
對角 $n \times n$ 矩陣的集合是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間 $W$（見 1.3 節的範例 3）。$W$ 的一個基底是
其中 $E^{ij}$ 是只有在第 $i$ 列第 $j$ 行的項為 1，其餘項為非零（應為零，原文 only nonzero entry is a 1）的矩陣。因此 $dim(W) = n$。
範例 20
我們在 1.3 節中看到對稱 $n \times n$ 矩陣的集合是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間 $W$。$W$ 的一個基底是
其中 $A^{ij}$ 是一個 $n \times n$ 矩陣，在第 $i$ 列第 $j$ 行與第 $j$ 列第 $i$ 行有 1，其他地方為 0。由此可知
推論： 如果 $W$ 是有限維向量空間 $V$ 的子空間，那麼 $W$ 的任何基底都可以擴充為 $V$ 的基底。
證明： 令 $S$ 為 $W$ 的基底。因為 $S$ 是 $V$ 的一個線性獨立子集，替換定理的推論 2 保證了 $S$ 可以擴充為 $V$ 的基底。 $\blacksquare$
範例 21
所有形式為
（其中 $a_{18}, a_{16}, \dots, a_2, a_0 \in F$）的多項式集合，是 $P_{18}(F)$ 的一個子空間 $W$。$W$ 的一個基底是 $\{1, x^2, \dots, x^{16}, x^{18}\}$，它是 $P_{18}(F)$ 標準基底的子集。
我們可以應用定理 1.11 來決定 $\mathbb{R}^2$ 和 $\mathbb{R}^3$ 的子空間。因為 $\mathbb{R}^2$ 的維度為 2，所以 $\mathbb{R}^2$ 的子空間維度只能是 0、1 或 2。維度為 0 或 2 的子空間分別只有 $\{0\}$ 和 $\mathbb{R}^2$。任何維度為 1 的 $\mathbb{R}^2$ 子空間，都是由 $\mathbb{R}^2$ 中某個非零向量的所有純量倍數所組成（1.4 節習題 11）。
如果用自然的方式將 $\mathbb{R}^2$ 的一個點等同於歐幾里得平面上的一個點，那麼我們就能在幾何上描述 $\mathbb{R}^2$ 的子空間：$\mathbb{R}^2$ 中維度為 0 的子空間由歐幾里得平面的原點組成，維度為 1 的子空間由穿過原點的一條直線組成，而維度為 2 的子空間就是整個歐幾里得平面。
同樣地，$\mathbb{R}^3$ 的子空間必定具有維度 0、1、2 或 3。對這些可能性進行幾何上的詮釋，我們可以看出維度為 0 的子空間必定是歐幾里得 3 維空間的原點，維度為 1 的子空間是一條穿過原點的直線，維度為 2 的子空間是一個穿過原點的平面，而維度為 3 的子空間就是歐幾里得 3 維空間本身。
拉格朗日插值公式 (The Lagrange Interpolation Formula)
在許多應用中，我們有一組來自實驗或樣本的數據集合。例如，我們可能知道一架從紐約飛往倫敦的飛機在某些時間點的位置，並希望能估計該飛機在一個或多個中間時間點的位置。從已知值來估計變數中間值的過程稱為插值 (interpolation)。
替換定理的推論 2（定理 1.10）可被用來獲得一個有用的公式，使我們能夠用一個多項式函數來近似未知函數的值。令 $c_0, c_1, \dots, c_n$ 為無限體 $F$ 中相異的純量。由
所定義的多項式 $f_0(x), f_1(x), \dots, f_n(x)$ 稱為拉格朗日多項式 (Lagrange polynomials)（關聯於 $c_0, c_1, \dots, c_n$）。請注意每個 $f_i(x)$ 都是次數為 $n$ 的多項式，因此屬於 $P_n(F)$。如果我們將 $f_i(x)$ 視為多項式函數 $f_i : F \rightarrow F$，我們可以看出
拉格朗日多項式的這個性質可以被用來證明 $\beta = \{f_0, f_1, \dots, f_n\}$ 是 $P_n(F)$ 的一個線性獨立子集。假設對於某些純量 $a_0, a_1, \dots, a_n$，
其中 0 表示零函數。那麼
但同時由 (10) 可知
因此對於 $j=0, 1, \dots, n$，$a_j = 0$；所以 $\beta$ 是線性獨立的。因為 $P_n(F)$ 的維度為 $n+1$，由替換定理的推論 2 可推得 $\beta$ 是 $P_n(F)$ 的一個基底。
因為 $\beta$ 是 $P_n(F)$ 的基底，$P_n(F)$ 中的每個多項式函數 $g$ 都是 $\beta$ 中多項式函數的線性組合，例如：
由此可知
所以
這就是將 $g$ 表示為 $\beta$ 元素之線性組合的唯一表示法。這個表示法被稱為拉格朗日插值公式 (Lagrange interpolation formula)。請注意，前面的論證顯示如果 $b_0, b_1, \dots, b_n$ 是 $F$ 中的任何 $n+1$ 個純量（不一定相異），那麼多項式函數
就是 $P_n(F)$ 中唯一一個在其定義域內的給定點 $c_j$ 上，具有指定值 $b_j$ 的多項式（對於 $j=0, 1, \dots, n$）。例如，讓我們來建構一個次數最多為 2 的實係數多項式 $g$，使其圖形包含點 $(1, 8)$、$(2, 5)$ 與 $(3, 4)$。（因此，在上述符號中，$c_0=1, c_1=2, c_2=3, b_0=8, b_1=5$, 且 $b_2=4$。）與 $c_0, c_1$ 及 $c_2$ 相關的拉格朗日多項式為
以及
因此所求之多項式為
拉格朗日插值公式的一個重要結論是以下結果：如果 $f \in P_n(F)$ 且對於 $F$ 中 $n+1$ 個相異的純量 $c_0, c_1, \dots, c_n$ 都有 $f(c_i) = 0$，那麼 $f$ 就是零函數。
習題 (Exercises)
將下列敘述標示為真 (True) 或假 (False)。
(a) 零向量空間沒有基底。
(b) 每個由有限集合所生成的向量空間都擁有一個基底。
(c) 每個向量空間都有一個有限基底。
(d) 一個向量空間不可能有一個以上的基底。
(e) 如果一個向量空間有一個有限基底，那麼每一個基底中的向量數量都是相同的。
(f) $P_n(F)$ 的維度為 $n$。
(g) $M_{m \times n}(F)$ 的維度為 $m+n$。
(h) 假設 $V$ 是一個有限維向量空間，且 $S_1$ 是 $V$ 的一個線性獨立子集，而 $S_2$ 是 $V$ 中生成 $V$ 的一個子集。那麼 $S_1$ 包含的向量數量不可能多於 $S_2$。
(i) 如果 $S$ 生成向量空間 $V$，那麼 $V$ 中的每一個向量都只能以唯一的一種方式寫成 $S$ 中向量的線性組合。
(j) 有限維空間的每一個子空間都是有限維的。
(k) 如果 $V$ 是維度為 $n$ 的向量空間，那麼 $V$ 恰好有一個維度為 $0$ 的子空間，且恰好有一個維度為 $n$ 的子空間。
(l) 如果 $V$ 是維度為 $n$ 的向量空間，且 $S$ 是 $V$ 中具有 $n$ 個向量的子集，那麼 $S$ 是線性獨立的若且唯若 $S$ 生成 $V$。
判斷下列哪些集合是 $\mathbb{R}^3$ 的基底。
(a) $\{(1,0,-1), (2, 5, 1), (0, -4, 3)\}$
(b) $\{(2,-4,1), (0, 3, 1), (6, 0, -1)\}$
(c) $\{(1,2,-1), (1, 0, 2), (2, 1, 1)\}$
(d) $\{(-1,3,1), (2, -4, -3), (-3,8,2)\}$
(e) $\{(1,-3,-2), (-3, 1, 3), (-2, -10, -2)\}$
判斷下列哪些集合是 $P_2(\mathbb{R})$ 的基底。
(a) $\{1-x+2x^2, 2+x-x^2, 1-2x+4x^2\}$
(b) $\{1+2x+x^2, 3+x^2, x+x^2\}$
(c) $\{1-2x-2x^2, -2+3x-x^2, 1-x+6x^2\}$
(d) $\{-1+2x+4x^2, 3-4x-10x^2, -2-5x-6x^2\}$
(e) $\{1+2x-x^2, 4-2x+x^2, -1+18x-9x^2\}$
多項式 $x^3-2x^2+1$、$4x^2-x+3$ 與 $3x-2$ 是否生成 $P_3(\mathbb{R})$？請證明您的答案。
集合 $\{(1,4,6), (1, 5, 8), (2, 1, 1), (0,1,0)\}$ 是一個線性獨立的 $\mathbb{R}^3$ 子集嗎？請證明您的答案。
為 $F^2$ 與 $M_{2 \times 2}(F)$ 各給出三個不同的基底。
向量 $u_1=(2,-3,1)$、$u_2=(1,4,-2)$、$u_3=(-8,12,-4)$、$u_4=(1,37, -17)$ 與 $u_5=(-3,-5,8)$ 生成 $\mathbb{R}^3$。請找出集合 $\{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5\}$ 的一個子集，使其成為 $\mathbb{R}^3$ 的基底。
令 $W$ 表示由所有座標總和為零的向量所組成的 $\mathbb{R}^5$ 子空間。向量
$$u_1=(2,-3,4,-5,2), \quad u_2=(-6,9,-12,15,-6),$$$$u_3=(3,-2,7,-9,1), \quad u_4=(2,-8,2,-2,6),$$$$u_5=(-1,1,2,1,-3), \quad u_6 = (0, -3, -18, 9, 12),$$$$u_7=(1,0,-2,3,-2), \quad u_8=(2,-1,1,-9,7)$$生成 $W$。請找出集合 $\{u_1, u_2, \dots, u_8\}$ 的一個子集，使其成為 $W$ 的基底。
向量 $u_1=(1,1,1,1)$、$u_2=(0,1,1,1)$、$u_3=(0,0,1,1)$ 與 $u_4=(0,0,0,1)$ 形成 $F^4$ 的基底。請找出任意向量 $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ 在 $F^4$ 中表示為 $u_1, u_2, u_3$ 與 $u_4$ 之線性組合的唯一表示法。
在下列各題中，利用拉格朗日插值公式構造出圖形包含以下給定點且次數最小的多項式。
(a) $(-2,-6), (-1,5), (1, 3)$
(b) $(-4, 24), (1,9), (3, 3)$
(c) $(-2,3), (-1,-6), (1,0), (3, -2)$
(d) $(-3,-30), (-2, 7), (0, 15), (1, 10)$
令 $u$ 與 $v$ 為向量空間 $V$ 中相異的向量。證明如果 $\{u, v\}$ 是 $V$ 的基底，且 $a$ 與 $b$ 為非零純量，那麼 $\{u+v, au\}$ 與 $\{au, bv\}$ 也都是 $V$ 的基底。
令 $u, v$ 與 $w$ 為向量空間 $V$ 中相異的向量。證明如果 $\{u, v, w\}$ 是 $V$ 的基底，那麼 $\{u+v+w, v+w, w\}$ 也是 $V$ 的基底。
線性方程組
$$x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$$$$2x_1 - 3x_2 + x_3 = 0$$的解集合是 $\mathbb{R}^3$ 的子空間。請找出此子空間的基底。
找出下列 $F^5$ 子空間的基底：
$$W_1 = \{(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \in F^5 : a_1 - a_3 - a_4 = 0\}$$與
$$W_2 = \{(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \in F^5 : a_2 = a_3 = a_4 \text{ 且 } a_1 + a_5 = 0\}$$請問 $W_1$ 與 $W_2$ 的維度為何？
所有跡 (trace) 等於零的 $n \times n$ 矩陣集合，是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間 $W$（參見 1.3 節的範例 4）。找出 $W$ 的基底。$W$ 的維度為何？
所有上三角 $n \times n$ 矩陣的集合，是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間 $W$（參見 1.3 節的習題 12）。找出 $W$ 的基底。$W$ 的維度為何？
所有反對稱 $n \times n$ 矩陣的集合，是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間 $W$（參見 1.3 節的習題 28）。找出 $W$ 的基底。$W$ 的維度為何？
令 $V$ 表示如同 1.2 節範例 5 所定義，在體 $F$ 中所有數列的向量空間。請找出 $V$ 的子空間 $W$ 的基底，其中 $W$ 是由僅有有限多個非零項 $a_n$ 的數列 $(a_n)$ 所組成。請證明您的答案。
完成定理 1.8 的證明。
令 $V$ 為一個維度為 $n$ 的向量空間，並令 $S$ 為一個生成 $V$ 的 $V$ 之子集。
(a) 證明存在一個 $S$ 的子集是 $V$ 的基底。（請注意不要假設 $S$ 是有限的。）
(b) 證明 $S$ 至少包含 $n$ 個向量。造訪 goo.gl/wE2wwA 以獲取解答。
證明一個向量空間是無限維的，若且唯若它包含一個無限的線性獨立子集。
令 $W_1$ 與 $W_2$ 為有限維向量空間 $V$ 的子空間。請決定使得 $dim(W_1 \cap W_2) = dim(W_1)$ 的必要且充分條件。
令 $v_1, v_2, \dots, v_k, u$ 為向量空間 $V$ 中的向量，並定義 $W_1 = \text{span}(\{v_1, v_2, \dots, v_k\})$ 與 $W_2 = \text{span}(\{v_1, v_2, \dots, v_k, v\})$。
(a) 找出關於 $v$ 的必要且充分條件，使得 $dim(W_1) = dim(W_2)$。
(b) 在 $dim(W_1) \neq dim(W_2)$ 的情況下，敘述並證明一個涉及 $dim(W_1)$ 與 $dim(W_2)$ 的關係式。
令 $f(x)$ 為 $P_n(\mathbb{R})$ 中次數為 $n$ 的多項式。證明對於任何 $g(x) \in P_n(\mathbb{R})$，皆存在純量 $c_0, c_1, \dots, c_n$ 使得
$$g(x) = c_0f(x) + c_1f'(x) + c_2f''(x) + \dots + c_nf^{(n)}(x)$$其中 $f^{(n)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的第 $n$ 階導數。
令 $V, W$ 與 $Z$ 如 1.2 節習題 21 所定義。如果 $V$ 與 $W$ 是在 $F$ 上的向量空間，且其維度分別為 $m$ 與 $n$，請決定 $Z$ 的維度。
對於固定的 $a \in \mathbb{R}$，決定由 $\{f \in P_n(\mathbb{R}) : f(a) = 0\}$ 所定義之 $P_n(\mathbb{R})$ 子空間的維度。
令 $W_1$ 與 $W_2$ 為 1.3 節習題 25 中所定義之 $P(F)$ 的子空間。請決定子空間 $W_1 \cap P_n(F)$ 與 $W_2 \cap P_n(F)$ 的維度。
令 $V$ 為在 $\mathbb{C}$ 上的有限維向量空間，其維度為 $n$。證明如果現在將 $V$ 視為在 $\mathbb{R}$ 上的向量空間，那麼 $\dim(V) = 2n$。（請參閱範例 11 與 12。）
習題 29 至 34 需要具備如 1.3 節習題中所定義的「子空間的和」與「直和」的相關知識。
(a) 證明如果 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的有限維子空間，那麼子空間 $W_1 + W_2$ 也是有限維的，且
$$dim(W_1 + W_2) = dim(W_1) + dim(W_2) - dim(W_1 \cap W_2)$$提示：從 $W_1 \cap W_2$ 的基底 $\{u_1, u_2, \dots, u_k\}$ 開始，並將此集合擴充為 $W_1$ 的基底 $\{u_1, u_2, \dots, u_k, v_1, v_2, \dots, v_m\}$，以及擴充為 $W_2$ 的基底 $\{u_1, u_2, \dots, u_k, w_1, w_2, \dots, w_p\}$。
(b) 令 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的有限維子空間，且令 $V = W_1 + W_2$。推導出 $V$ 是 $W_1$ 與 $W_2$ 的直和若且唯若 $dim(V) = dim(W_1) + dim(W_2)$。
令 $V = M_{2 \times 2}(F)$，
$$W_1 = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix} \in V : a,b,c \in F \right\} \quad \text{與} \quad W_2 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & b \end{pmatrix} \in V : a,b \in F \right\}$$證明 $W_1$ 與 $W_2$ 是 $V$ 的子空間，並找出 $W_1, W_2, W_1+W_2$ 與 $W_1 \cap W_2$ 的維度。
令 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的子空間，其維度分別為 $m$ 與 $n$，其中 $m \ge n$。
(a) 證明 $dim(W_1 \cap W_2) \le n$。
(b) 證明 $dim(W_1 + W_2) \le m + n$。
找出 $\mathbb{R}^3$ 中子空間 $W_1$ 與 $W_2$ 的例子，使得 $dim(W_1) > 0$、$dim(W_2) > 0$，且滿足：
(a) $dim(W_1 \cap W_2) = dim(W_2)$
(b) $dim(W_1 + W_2) = dim(W_1) + dim(W_2)$
(c) $dim(W_1 + W_2) < dim(W_1) + dim(W_2)$
(a) 令 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的子空間，使得 $V = W_1 \oplus W_2$。如果 $\beta_1$ 與 $\beta_2$ 分別是 $W_1$ 與 $W_2$ 的基底，證明 $\beta_1 \cap \beta_2 = \emptyset$ 且 $\beta_1 \cup \beta_2$ 是 $V$ 的基底。
(b) 反之，令 $\beta_1$ 與 $\beta_2$ 分別為向量空間 $V$ 之子空間 $W_1$ 與 $W_2$ 的不相交（互斥）基底。證明如果 $\beta_1 \cup \beta_2$ 是 $V$ 的基底，那麼 $V = W_1 \oplus W_2$。
(a) 證明如果 $W_1$ 是有限維向量空間 $V$ 的任何一個子空間，那麼存在 $V$ 的一個子空間 $W_2$ 使得 $V = W_1 \oplus W_2$。
(b) 令 $V = \mathbb{R}^2$ 且 $W_1 = \{(a_1, 0) : a_1 \in \mathbb{R}\}$。給出兩個不同的子空間 $W_2$ 與 $W_2'$ 的例子，使得 $V = W_1 \oplus W_2$ 且 $V = W_1 \oplus W_2'$。
以下的習題需要熟悉 1.3 節習題 31 的內容。
令 $W$ 為有限維向量空間 $V$ 的子空間，並考慮 $W$ 的基底 $\{u_1, u_2, \dots, u_k\}$。令 $\{u_1, u_2, \dots, u_k, u_{k+1}, \dots, u_n\}$ 為將此基底擴充為 $V$ 之基底的集合。
(a) 證明 $\{u_{k+1} + W, u_{k+2} + W, \dots, u_n + W\}$ 是商空間 $V/W$ 的基底。
(b) 推導出一個關聯 $dim(V)$、$dim(W)$ 與 $dim(V/W)$ 的公式。
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