第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)
1.4 線性組合與線性方程組 (Linear Combinations and Systems of Linear Equations)
在 1.1 節中，我們曾說明空間中穿過三個不共線點 $A, B, C$ 的平面方程式為 $x = A + su + tv$，其中 $u$ 與 $v$ 分別表示從 $A$ 出發並以 $B$ 與 $C$ 為終點的向量，而 $s$ 與 $t$ 表示任意實數。當 $A$ 為原點時，會發生一個重要的特例。在這種情況下，平面方程式簡化為 $x = su + tv$，且此平面上的所有點所構成的集合是 $\mathbb{R}^3$ 的一個子空間。（這將在定理 1.5 中證明。）形式為 $su + tv$ 的表達式（其中 $s$ 與 $t$ 為純量，且 $u$ 與 $v$ 為向量）在向量空間理論中扮演著核心角色。這類表達式的適當推廣將在下列定義中呈現。
定義： 令 $V$ 為一個向量空間，$S$ 為 $V$ 的一個非空子集。如果存在 $S$ 中的有限個向量 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 以及 $F$ 中的純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$，使得 $v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \dots + a_n u_n$，則稱向量 $v \in V$ 為 $S$ 中向量的線性組合 (linear combination)。在這種情況下，我們也稱 $v$ 是 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 的線性組合，並稱 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 為該線性組合的係數 (coefficients)。
觀察可知，在任何向量空間 $V$ 中，對於每個 $v \in V$ 皆有 $0v = 0$。因此，零向量是 $V$ 的任何非空子集的線性組合。
表 1.1 某些食物每 100 克的維生素含量
| A (單位) | B1 (毫克) | B2 (毫克) | 菸鹼酸 (毫克) | C (毫克) | |
| 蘋果奶油 (Apple butter) | 0 | 0.01 | 0.02 | 0.2 | 2 |
| 生的、未削皮的蘋果（剛採收） | 90 | 0.03 | 0.02 | 0.1 | 4 |
| 椰心巧克力糖 | 0 | 0.02 | 0.07 | 0.2 | 0 |
| 蛤蜊（僅肉） | 100 | 0.10 | 0.18 | 1.3 | 10 |
| 預拌粉杯子蛋糕（乾燥形式） | 0 | 0.05 | 0.06 | 0.3 | 0 |
| 煮熟的粗麥粉（未強化） | $(0)^a$ | 0.01 | 0.01 | 0.1 | (0) |
| 果醬與蜜餞 | 10 | 0.01 | 0.03 | 0.2 | 2 |
| 椰子卡士達派（由預拌粉烤製） | 0 | 0.02 | 0.02 | 0.4 | 0 |
| 生糙米 (Raw brown rice) | (0) | 0.34 | 0.05 | 4.7 | (0) |
| 醬油 (Soy sauce) | 0 | 0.02 | 0.25 | 0.4 | 0 |
| 煮熟的義大利麵（未強化） | 0 | 0.01 | 0.01 | 0.3 | 0 |
| 生冰湖野米 (Raw wild rice) | (0) | 0.45 | 0.63 | 6.2 | (0) |
(來源：Bernice K. Watt and Annabel L. Merrill, Composition of Foods, 1963.)
$^a$括號中的零表示存在的維生素量為無或太小而無法測量。
範例 1
表 1.1 顯示了 12 種食物每 100 克中關於維生素 A、$B_1$（硫胺素）、$B_2$（核黃素）、菸鹼酸與 C（抗壞血酸）的維生素含量。每 100 克食物的維生素含量可以記錄為 $\mathbb{R}^5$ 中的行向量；例如，蘋果奶油的維生素向量為
考慮杯子蛋糕、椰子卡士達派、生糙米、醬油與冰湖野米的維生素向量，我們可以看出：
因此，冰湖野米的維生素向量是杯子蛋糕、椰子卡士達派、生糙米與醬油的維生素向量的線性組合。所以，100 克的杯子蛋糕、100 克的椰子卡士達派、100 克的生糙米以及 200 克的醬油，提供了與 100 克生冰湖野米完全相同數量的這五種維生素。同樣地，因為
所以 200 克的蘋果奶油、100 克的蘋果、100 克的巧克力糖、100 克的粗麥粉、100 克的果醬與 100 克的義大利麵，提供了與 100 克蛤蜊完全相同數量的這五種維生素。
在第 1 章與第 2 章中，我們將會遇到許多不同的情況，需要判斷一個向量是否能表示為其他向量的線性組合，如果可以，該如何表示。這個問題通常會簡化為解一個線性方程組的問題。在第 3 章中，我們將探討一種利用矩陣來求解任何線性方程組的一般方法。目前，我們先說明如何解線性方程組，以判斷向量 $(2,6,8)$ 是否能表示為
$u_1 = (1,2,1), u_2 = (-2,-4,-2), u_3 = (0,2,3), u_4 = (2,0,-3), \text{ 與 } u_5 = (-3,8,16)$
的線性組合。
因此我們必須判斷是否存在純量 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ 使得
$(2,6,8) = a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 + a_4 u_4 + a_5 u_5$
$= a_1 (1,2,1) + a_2 (-2,-4,-2) + a_3 (0,2,3) + a_4 (2,0,-3) + a_5 (-3,8,16)$
$= (a_1 - 2a_2 + 2a_4 - 3a_5, \ 2a_1 - 4a_2 + 2a_3 + 8a_5, \ a_1 - 2a_2 + 3a_3 - 3a_4 + 16a_5)$
因此，$(2,6,8)$ 能表示為 $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5$ 的線性組合，若且唯若存在一組純量 5-元組 $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ 滿足以下線性方程組：
這是藉由令前述方程式中對應的座標相等而得出的。
為了解系統 (1)，我們將其替換為另一個具有相同解但更容易求解的系統。所使用的方法是透過從除了其中一個方程式以外的所有方程式中消去某些未知數，來將某些未知數用其他未知數表示。首先，我們透過將第一個方程式乘以 $-2$ 加到第二個方程式，並將第一個方程式乘以 $-1$ 加到第三個方程式，以從除了第一個方程式以外的每個方程式中消去 $a_1$。結果是以下的新系統：
在這個例子中，剛好發生在從除了第一個方程式以外的每個方程式中消去 $a_1$ 時，我們也同時從除了第一個方程式以外的每個方程式中消去了 $a_2$。這在一般情況下不一定會發生。現在我們希望使第二個方程式中 $a_3$ 的係數等於 1，然後從第三個方程式中消去 $a_3$。為此，我們先將第二個方程式乘以 $\frac{1}{2}$，得到
接著我們將第二個方程式乘以 $-3$ 加到第三個方程式，得到
我們繼續從 (3) 中除了第三個方程式以外的每個方程式中消去 $a_4$。這產生了
系統 (4) 是一個我們所需形式的系統：很容易將每個方程式中存在的第一個未知數（$a_1, a_3, a_4$）用其他未知數（$a_2$ 與 $a_5$）來表示。將系統 (4) 重寫為這種形式，我們發現
因此，對於純量 $a_2$ 與 $a_5$ 的任何選擇，形式為
的向量都是系統 (1) 的解。特別是，透過設定 $a_2 = 0$ 且 $a_5 = 0$ 所得到的向量 $(-4, 0, 7, 3, 0)$ 是 (1) 的一個解。因此
這意味著 $(2,6,8)$ 是 $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5$ 的線性組合。
剛剛說明的程序使用了三種運算來簡化原始系統：
交換系統中任意兩個方程式的順序；
將系統中的任意方程式乘以一個非零常數；
將系統中任意方程式的常數倍加到另一個方程式。
在 3.4 節中，我們將證明這些運算不會改變原始系統的解集合。請注意，我們運用了這些運算來獲得一個具備以下性質的方程組：
每個方程式中的第一個非零係數為 1。
如果一個未知數是某個方程式中第一個具有非零係數的未知數，那麼該未知數在所有其他方程式中的係數皆為零。
任何方程式中第一個具有非零係數的未知數，其下標必定大於任何前一個方程式中第一個具有非零係數的未知數的下標。
為了幫助釐清這些性質的意義，請注意下列系統都不滿足這些要求。
具體來說，系統 (5) 不滿足性質 1，因為第二個方程式中的第一個非零係數是 2；系統 (6) 不滿足性質 2，因為 $x_3$（第二個方程式中第一個具有非零係數的未知數）在第一個方程式中具有非零係數；系統 (7) 不滿足性質 3，因為 $x_2$（第三個方程式中第一個具有非零係數的未知數）的下標並沒有大於 $x_4$（第二個方程式中第一個具有非零係數的未知數）的下標。
一旦獲得了具備性質 1、2 與 3 的系統，就很容易將某些未知數用其他未知數來求解（如前述範例）。然而，如果在利用運算 1、2 與 3 的過程中，得出了一個形式為 $0 = c$ 的方程式（其中 $c$ 不為零），那麼原始系統將無解。（見範例 2。）
我們將在第 3 章回到線性方程組的探討。屆時我們將討論這種解線性方程組方法的理論基礎，並透過使用矩陣進一步簡化此程序。
範例 2
我們宣稱
是 $P_3(\mathbb{R})$ 中
的線性組合，但
則不是。在第一種情況下，我們希望找到純量 $a$ 與 $b$ 使得
因此我們被引導至以下線性方程組：
將適當倍數的第一個方程式加到其他方程式以消去 $a$，我們發現
現在將適當倍數的第二個方程式加到其他方程式中得出
因此
在第二種情況下，我們希望證明不存在純量 $a$ 與 $b$ 使得
利用前述的技巧，我們得出一個線性方程組：
如同之前一樣消去 $a$ 可得：
但是矛盾方程式 $0 = 17$ 的出現，表示 (8) 沒有解。因此 $3x^3 - 2x^2 + 7x + 8$ 不是 $x^3 - 2x^2 - 5x - 3$ 與 $3x^3 - 5x^2 - 4x - 9$ 的線性組合。
接續 1.4 節的翻譯，以下為定理 1.5 及其後的完整內容，包含所有的範例與習題：
定義： 令 $S$ 為向量空間 $V$ 的一個非空子集。$S$ 的生成空間 (span)，記為 $\text{span}(S)$，是指由 $S$ 中向量的所有線性組合所構成的集合。為了方便起見，我們定義 $\text{span}(\emptyset) = \{0\}$。
例如在 $\mathbb{R}^3$ 中，集合 $\{(1,0,0), (0,1,0)\}$ 的生成空間包含了所有形式為 $a(1,0,0)+b(0,1,0)=(a,b,0)$ 的 $\mathbb{R}^3$ 向量（其中 $a$ 與 $b$ 為純量）。因此 $\{(1,0,0), (0,1,0)\}$ 的生成空間包含了 $xy$-平面上的所有點。在這個例子中，該集合的生成空間是 $\mathbb{R}^3$ 的一個子空間。這個事實一般而言也是成立的。
定理 1.5 向量空間 $V$ 之任意子集 $S$ 的生成空間，是一個包含 $S$ 的 $V$ 的子空間。此外，任何包含 $S$ 的 $V$ 的子空間，必然也包含 $S$ 的生成空間。
證明： 若 $S=\emptyset$，由於 $\text{span}(\emptyset)=\{0\}$，這是一個包含 $S$ 且包含於 $V$ 之任意子空間的子空間，因此結果立即成立。
若 $S \neq \emptyset$，則 $S$ 包含一個向量 $z$。所以 $0z = 0$ 落在 $\text{span}(S)$ 中。令 $x, y \in \text{span}(S)$。那麼存在 $S$ 中的向量 $u_1, u_2, \dots, u_m, v_1, v_2, \dots, v_n$ 以及純量 $a_1, a_2, \dots, a_m, b_1, b_2, \dots, b_n$ 使得
於是
並且，對於任意純量 $c$，
顯然都是 $S$ 中向量的線性組合；所以 $x+y$ 與 $cx$ 都落在 $\text{span}(S)$ 中。因此 $\text{span}(S)$ 是 $V$ 的一個子空間。此外，若 $v \in S$，那麼 $v = 1 \cdot v \in \text{span}(S)$；所以 $S$ 的生成空間包含 $S$。
現在令 $W$ 表示 $V$ 中任何一個包含 $S$ 的子空間。如果 $w \in \text{span}(S)$，那麼 $w$ 具有 $w = c_1 w_1 + c_2 w_2 + \dots + c_k w_k$ 的形式，其中 $w_1, w_2, \dots, w_k$ 為 $S$ 中的某些向量，且 $c_1, c_2, \dots, c_k$ 為某些純量。由於 $S \subseteq W$，我們有 $w_1, w_2, \dots, w_k \in W$。由 1.3 節的習題 20 可知 $w = c_1 w_1 + c_2 w_2 + \dots + c_k w_k$ 落在 $W$ 中。因為 $w$ 是 $\text{span}(S)$ 中的任意向量且屬於 $W$，由此可推得 $\text{span}(S) \subseteq W$。 $\blacksquare$
定義： 若 $\text{span}(S) = V$，則稱向量空間 $V$ 的一個子集 $S$ 生成 (generates 或 spans) $V$。在這種情況下，我們也說 $S$ 中的向量生成 $V$。
範例 3
向量 $(1, 1, 0)$、$(1, 0, 1)$ 與 $(0, 1, 1)$ 生成 $\mathbb{R}^3$，因為 $\mathbb{R}^3$ 中的任意向量 $(a_1, a_2, a_3)$ 都是這三個給定向量的線性組合；事實上，滿足
的純量 $r, s, t$ 為
範例 4
多項式 $x^2 + 3x - 2$、$2x^2 + 5x - 3$ 與 $-x^2 - 4x + 4$ 生成 $P_2(\mathbb{R})$，因為這三個給定的多項式每一個都屬於 $P_2(\mathbb{R})$，而且 $P_2(\mathbb{R})$ 中的每個多項式 $ax^2 + bx + c$ 都是這三者的線性組合，即：
範例 5
矩陣
生成 $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$，因為在 $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 中的任意矩陣 $A$ 皆可表示為這四個給定矩陣的線性組合，如下所示：
另一方面，矩陣
並不生成 $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$，因為這些矩陣中的每一個都有相等的對角線項。所以這些矩陣的任何線性組合也會有相等的對角線項。因此並非每個 $2 \times 2$ 矩陣都是這三個矩陣的線性組合。
在本節開始時我們提到，空間中穿過三個不共線點（其中之一為原點）的平面方程式形式為 $x = su + tv$，其中 $u, v \in \mathbb{R}^3$ 且 $s$ 與 $t$ 為純量。因此 $x \in \mathbb{R}^3$ 是 $u, v \in \mathbb{R}^3$ 的線性組合，若且唯若 $x$ 位於包含 $u$ 與 $v$ 的平面上。（見圖 1.5）
通常有許多不同的子集可以生成一個子空間 $W$。（見習題 13。）很自然地，我們會尋找一個能生成 $W$ 且盡可能小的 $W$ 的子集。在下一節中，我們將探討在何種情況下可以從一個生成集合中移除一個向量，以獲得一個較小的生成集合。
習題 (Exercises)
將下列敘述標示為真 (True) 或假 (False)。
(a) 零向量是任何非空向量集合的線性組合。
(b) 空集合 $\emptyset$ 的生成空間為 $\emptyset$。
(c) 如果 $S$ 是向量空間 $V$ 的子集，那麼 $\text{span}(S)$ 等於包含 $S$ 的所有 $V$ 的子空間的交集。
(d) 在解線性方程組時，允許將方程式乘以任何非零常數。
(e) 在解線性方程組時，允許將一個方程式的任何倍數加到另一個方程式中。
(f) 每個線性方程組都有解。
使用本節介紹的方法求解下列線性方程組。
(a)
$$\begin{matrix} 2x_1 - 2x_2 - 3x_3 = -2 \\ 3x_1 - 3x_2 - 2x_3 + 5x_4 = 7 \\ x_1 - x_2 - 2x_3 - x_4 = -3 \end{matrix}$$(b)
$$\begin{matrix} 3x_1 - 7x_2 + 4x_3 = 10 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 = 3 \\ 2x_1 - x_2 - 2x_3 = 6 \end{matrix}$$(c)
$$\begin{matrix} x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 5 \\ x_1 + 4x_2 - 3x_3 - 3x_4 = 6 \\ 2x_1 + 3x_2 - x_3 + 4x_4 = 8 \end{matrix}$$(d)
$$\begin{matrix} x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 2 \\ x_1 + 8x_3 + 5x_4 = -6 \\ x_1 + x_2 + 5x_3 + 5x_4 = 3 \end{matrix}$$(e)
$$\begin{matrix} x_1 + 2x_2 - 4x_3 - x_4 + x_5 = 7 \\ -x_1 + 10x_3 - 3x_4 - 4x_5 = -16 \\ 2x_1 + 5x_2 - 5x_3 - 4x_4 - x_5 = 2 \\ 4x_1 + 11x_2 - 7x_3 + 10x_4 - 2x_5 = 7 \end{matrix}$$(f)
$$\begin{matrix} x_1 + 2x_2 + 6x_3 = -1 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 8 \\ 3x_1 + x_2 - x_3 = 15 \\ x_1 + 3x_2 + 10x_3 = -5 \end{matrix}$$對於下列各組在 $\mathbb{R}^3$ 中的向量列表，判斷第一個向量是否可以表示為其他兩個向量的線性組合。
(a) $(-2,0,3), (1, 3,0), (2, 4, -1)$
(b) $(1,2,3), (-3, 2, 1), (2, -1, -1)$
(c) $(3, 4, 1), (1, -2, 1), (-2,-1,1)$
(d) $(2,-1,0), (1, 2, 3), (1, -3,2)$
(e) $(5,1,-5), (1, -2, -3), (-2, 3, -4)$
(f) $(-2,2,2), (1, 2, -1), (-3, -3, 3)$
對於下列各組在 $P_3(\mathbb{R})$ 中的多項式列表，判斷第一個多項式是否可以表示為其他兩個多項式的線性組合。
(a) $x^3 - 3x + 5, x^3 + 2x^2 - x + 1, x^3 + 3x^2 - 1$
(b) $4x^3 + 2x^2 - 6, x^3 - 2x^2 + 4x + 1, 3x^3 - 6x^2 + x + 4$
(c) $-2x^3 - 11x^2 + 3x + 2, x^3 - 2x^2 + 3x - 1, 2x^3 + x^2 + 3x - 2$
(d) $x^3 + x^2 + 2x + 13, 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1, x^3 - x^2 + 2x + 3$
(e) $x^3 - 8x^2 + 4x, x^3 - 2x^2 + 3x - 1, x^3 - 2x + 3$
(f) $6x^3 - 3x^2 + x + 2, x^3 - x^2 + 2x + 3, 2x^3 - 3x + 1$
在下列各題中，判斷給定的向量是否在 $S$ 的生成空間內。
(a) $(2,-1,1), S=\{(1,0,2),(-1,1,1)\}$
(b) $(-1,2,1), S=\{(1,0,2),(-1,1,1)\}$
(c) $(-1, 1, 1, 2), S=\{(1,0,1,-1),(0,1,1,1)\}$
(d) $(2,-1, 1, -3), S=\{(1,0,1,-1),(0,1,1,1)\}$
(e) $-x^3 + 2x^2 + 3x + 3, S=\{x^3 + x^2 + x + 1, x^2 + x + 1, x + 1\}$
(f) $2x^3 - x^2 + x + 3, S=\{x^3 + x^2 + x + 1, x^2 + x + 1, x + 1\}$
(g) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{matrix}, S=\left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right\}$
(h) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}, S=\left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right\}$
證明向量 $(1,1,0)$、$(1,0,1)$ 與 $(0,1,1)$ 生成 $F^3$。
在 $F^n$ 中，令 $e_j$ 表示第 $j$ 個座標為 1，其餘座標皆為 0 的向量。證明 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 生成 $F^n$。
證明 $P_n(F)$ 由 $\{1, x, \dots, x^n\}$ 所生成。
證明矩陣
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \text{ 與 } \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$生成 $M_{2 \times 2}(F)$。
證明如果
那麼 $\{M_1, M_2, M_3\}$ 的生成空間是所有對稱 $2 \times 2$ 矩陣的集合。
證明對於向量空間中任何向量 $x$，$\text{span}(\{x\}) = \{ax : a \in F\}$。在 $\mathbb{R}^3$ 中對此結果提出幾何詮釋。
證明向量空間 $V$ 的子集 $W$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若 $\text{span}(W) = W$。
證明如果 $S_1$ 與 $S_2$ 是向量空間 $V$ 的子集且滿足 $S_1 \subseteq S_2$，那麼 $\text{span}(S_1) \subseteq \text{span}(S_2)$。特別是，推導出如果 $S_1 \subseteq S_2$ 且 $\text{span}(S_1) = V$，那麼 $\text{span}(S_2) = V$。前往 goo.gl/Fi8Epr 以獲取解答。
證明如果 $S_1$ 與 $S_2$ 是向量空間 $V$ 的任意子集，那麼 $\text{span}(S_1 \cup S_2) = \text{span}(S_1) + \text{span}(S_2)$。（兩個子集的和在 1.3 節的習題中定義。）
令 $S_1$ 與 $S_2$ 為向量空間 $V$ 的子集。證明 $\text{span}(S_1 \cap S_2) \subseteq \text{span}(S_1) \cap \text{span}(S_2)$。舉出一個 $\text{span}(S_1 \cap S_2)$ 與 $\text{span}(S_1) \cap \text{span}(S_2)$ 相等的例子，以及一個兩者不相等的例子。
令 $V$ 為一個向量空間，$S$ 為 $V$ 的子集，並具備以下性質：每當 $v_1, v_2, \dots, v_n \in S$ 且 $a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n = 0$，必然有 $a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$。證明在 $S$ 的生成空間中的每個向量，都可以唯一地寫成 $S$ 中向量的線性組合。
令 $W$ 為向量空間 $V$ 的子空間。在何種條件下，只存在有限多個 $W$ 的相異子集 $S$ 使得 $S$ 生成 $W$？
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