第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)
1.2 向量空間 (Vector Spaces)
在 1.1 節中，我們看到透過向量加法與純量乘法的自然定義，平面中的向量滿足了第 3 頁所列的八項性質。許多其他熟悉的代數系統也允許定義加法與純量乘法，並滿足這相同的八項性質。在本節中，我們將介紹其中一些系統，但首先我們要正式定義這種代數結構。
定義：
一個在體 (field) $F$（體在附錄 C 中討論）上的向量空間 (vector space)（或稱線性空間 linear space）$V$，包含一個集合，且在該集合上定義了兩種運算（分別稱為加法與純量乘法），使得對於 $V$ 中的每一對元素 $x, y$，在 $V$ 中都有唯一的元素 $x+y$；且對於 $F$ 中的每個元素 $a$ 與 $V$ 中的每個元素 $x$，在 $V$ 中都有唯一的元素 $ax$，並滿足以下條件：
(VS 1) 對於 $V$ 中所有的 $x, y$，$x+y = y+x$（加法交換律）。
(VS 2) 對於 $V$ 中所有的 $x, y, z$，$(x+y)+z = x+(y+z)$（加法結合律）。
(VS 3) $V$ 中存在一個記為 $0$ 的元素，使得對於 $V$ 中的每個 $x$，皆有 $x+0 = x$。
(VS 4) 對於 $V$ 中的每個元素 $x$，皆存在 $V$ 中的一個元素 $y$，使得 $x+y = 0$。
(VS 5) 對於 $V$ 中的每個元素 $x$，$1x = x$。
(VS 6) 對於 $F$ 中的每一對元素 $a, b$ 以及 $V$ 中的每個元素 $x$，$(ab)x = a(bx)$。
(VS 7) 對於 $F$ 中的每個元素 $a$ 以及 $V$ 中的每一對元素 $x, y$，$a(x+y) = ax+ay$。
(VS 8) 對於 $F$ 中的每一對元素 $a, b$ 以及 $V$ 中的每個元素 $x$，$(a+b)x = ax+bx$。
元素 $x+y$ 稱為 $x$ 與 $y$ 的和 (sum)，元素 $ax$ 則稱為 $a$ 與 $x$ 的積 (product)。
體 $F$ 的元素稱為純量 (scalars)，而向量空間 $V$ 的元素稱為向量 (vectors)。讀者不應將此處「向量」一詞的用法，與 1.1 節中所討論的物理實體混淆：現在「向量」一詞是用來描述向量空間中的任何元素。
通常我們在討論向量空間時，不會明確提及它們的純量體。然而，讀者必須記住，每個向量空間都被視為建立在某個給定的體之上的向量空間，該體記為 $F$。有時候我們會將注意力限制在實數體或複數體上，它們分別記為 $\mathbb{R}$ 與 $\mathbb{C}$。除非另有說明，否則我們假設本書範例與習題中所使用的體之特徵 (characteristic) 皆為零。
請注意，(VS 2) 允許我們明確地定義任意有限數量向量的加法（不需使用括號）。
在本節剩餘的部分中，我們將介紹幾個在本書中會持續探討的向量空間重要範例。請注意，在描述一個向量空間時，不僅需要指定向量，還必須指定加法與純量乘法的運算。讀者應自行驗證每個範例是否皆滿足條件 (VS 1) 到 (VS 8)。
形式如 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 的對象，其中項 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 為體 $F$ 的元素，稱為項來自 $F$ 的 $n$-元組 ($n$-tuple)。元素 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 稱為該 $n$-元組的項 (entries) 或分量 (components)。若兩個項來自體 $F$ 的 $n$-元組 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 與 $(b_1, b_2, \dots, b_n)$ 滿足 $a_i = b_i$（對於 $i = 1, 2, \dots, n$），則稱這兩個 $n$-元組相等。
範例 1
所有項皆來自體 $F$ 的 $n$-元組所構成的集合記作 $F^n$。此集合在體 $F$ 上是一個向量空間，其運算為逐分量加法與純量乘法；也就是說，若 $u = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n$，$v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n$，且 $c \in F$，則：
因此，$\mathbb{R}^3$ 是 $\mathbb{R}$ 上的向量空間。在這個向量空間中：
同樣地，$\mathbb{C}^2$ 是 $\mathbb{C}$ 上的向量空間。在這個向量空間中：
$F^n$ 中的向量也可以寫成行向量 (column vectors) 而非橫向量。由於唯一的項來自 $F$ 的 $1$-元組可被視為 $F$ 的元素，我們通常將項來自 $F$ 的 $1$-元組向量空間寫作 $F$ 而非 $F^1$。
範例 2
一個項來自體 $F$ 的 $m \times n$ 矩陣 (matrix)，是一個形式如下的矩形陣列：
其中每一個項 $a_{ij} \in F$。我們稱矩陣 $A$ 有 $m$ 個列 (rows) 與 $n$ 個行 (columns)。這 $m$ 個列與 $n$ 個行分別為來自 $F$ 的 $n$-元組與 $m$-元組。例如，矩陣 $A$ 的第 $2$ 列是 $n$-元組 $(a_{21}, a_{22}, \dots, a_{2n})$，而 $A$ 的第 $3$ 行是 $m$-元組：
在不至於產生混淆的情況下，有時我們會直接將 $A$ 寫成 $A = (a_{ij})$。若兩個 $m \times n$ 矩陣 $A = (a_{ij})$ 與 $B = (b_{ij})$ 對於所有的 $i$ 與 $j$ 皆滿足 $a_{ij} = b_{ij}$，則稱這兩個矩陣相等。如果矩陣的列數與行數相等，則稱為方陣 (square matrix)。
在體 $F$ 上所有 $m \times n$ 矩陣所構成的集合記為 $M_{m \times n}(F)$。給定此集合中的兩個矩陣 $A = (a_{ij})$ 與 $B = (b_{ij})$ 以及一個純量 $c \in F$，我們定義 $A+B$ 與 $cA$ 分別為 $m \times n$ 矩陣 $C = (c_{ij})$ 與 $D = (d_{ij})$，其中 $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ 且 $d_{ij} = ca_{ij}$，對於所有的 $i, j$ 皆成立。也就是說，與 $n$-元組一樣，矩陣的加法與純量乘法也是逐項進行的。集合 $M_{m \times n}(F)$ 搭配這些運算構成了一個向量空間。此空間的零向量是所有項皆為零的 $m \times n$ 矩陣；這個矩陣稱為零矩陣 (zero matrix)，記為 $O$。
請注意，由於來自 $F$ 的 $n$-元組可以寫成由 $n$ 個列與 $1$ 個行組成的行向量，所以 $F^n$ 可以與 $M_{n \times 1}(F)$ 視為等同。
範例 3
令 $S$ 為任意非空集合，並令 $F$ 為任意體。令 $\mathcal{F}(S, F)$ 表示從 $S$ 映射至 $F$ 的所有函數所構成的集合。如果 $\mathcal{F}(S, F)$ 中的兩個函數 $f$ 與 $g$ 對於每個 $s \in S$ 皆滿足 $f(s) = g(s)$，則稱這兩個函數相等。集合 $\mathcal{F}(S, F)$ 在體 $F$ 上是一個向量空間，其加法與純量乘法運算針對 $f, g \in \mathcal{F}(S, F)$ 與 $c \in F$ 定義如下：對於每個 $s \in S$，$(f+g)(s) = f(s) + g(s)$ 且 $(cf)(s) = c(f(s))$。此空間中的零向量為恆為零的函數。也就是說，函數 $0$ 滿足對於所有 $s \in S$ 皆有 $0(s) = 0$。
範例 4
一個係數來自體 $F$ 的多項式 (polynomial)，是一個形式如下的表達式：
其中 $n$ 是一個非負整數，且每個係數 (coefficient) $a_k$ 皆為 $F$ 的元素。若 $a_n \neq 0$，則稱多項式 $f(x)$ 的次數 (degree) 為 $n$；在這種情況下，我們將 $f(x)$ 的次數記為 $\deg(f(x)) = n$。如果所有係數皆為零，則多項式稱為零多項式，記為 $0$；依照慣例，零多項式沒有次數。兩個多項式若其對應的同次項係數皆相等，則稱此兩多項式相等。
給定一個體 $F$，令 $P(F)$ 表示所有係數來自 $F$ 的多項式所構成的集合。對多項式定義如平常一般的加法運算與對純量定義的乘法運算。如果
是 $P(F)$ 中的多項式，且 $c \in F$，我們定義 $f(x)+g(x)$ 為：
其中 $k$ 為 $m$ 與 $n$ 之中的較大者，而必要時，我們將缺少的係數定義為零。此外，我們定義：
搭配這些運算，集合 $P(F)$ 在體 $F$ 上構成一個向量空間。$P(F)$ 中的零向量即為零多項式。
我們也必須注意到，每個在 $P(F)$ 中的多項式都可以被視為一個從 $F$ 映射至 $F$ 的函數，因此可以被視為 $\mathcal{F}(F, F)$ 中的一個元素。（這種觀點將在 2.4 節中更詳細地探討。）
上述各項性質 (VS 1) 到 (VS 8) 可以用來推導出許多其他有關向量空間的有用結果。為了說明這點，我們證明以下兩個定理。
定理 1.1（消去律 Cancellation Law）
若 $x, y, z$ 為向量空間 $V$ 中的向量，且有 $x+z = y+z$，則 $x = y$。
證明：
存在一個在 $V$ 中的向量 $v$，使得 $z+v = 0$ (VS 4)。因此有：
由 (VS 2) 可得：
由於 $z+v = 0$，則有：
再由 (VS 3) 可得出 $x = y$。 $\blacksquare$
請注意，前述定理與證明的步驟（如 (VS 4)、(VS 2) 與 (VS 3) 的順序）與中學代數在處理實數方程式解法時的邏輯推導如出一轍。
定理 1.2
在任何向量空間 $V$ 中，以下敘述皆成立：
(a) 對於每一個向量 $x \in V$，$0x = 0$。
(b) 對於每一個純量 $a \in F$ 與每一個向量 $x \in V$，$(-a)x = -(ax) = a(-x)$。
(c) 對於每一個純量 $a \in F$，$a0 = 0$。
證明：
(a) 根據純量加法的性質以及 (VS 8)，我們有：
由定理 1.1 可得出 $0x = 0$。
(b) 元素 $-(ax)$ 是一個當加到 $ax$ 時等於 $0$ 的向量。因此，如果我們能證明 $(-a)x + ax = 0$ 且 $a(-x) + ax = 0$，就能確立 (b) 的結果。由 (VS 8) 可得：
再由 (a) 可知 $0x = 0$。由此可推得 $(-a)x = -(ax)$。同樣地，由 (VS 7) 與 (a) 也可以推得：
(c) 由 (VS 7) 與向量空間中 $0+0 = 0$ 的事實可得：
再由定理 1.1 可得出 $a0 = 0$。 $\blacksquare$
以下為 1.2 節剩餘部分（習題 1 至 22）的完整翻譯：
習題 (Exercises)
將下列敘述標示為真（True）或假（False）。
(a) 每個向量空間都包含一個零向量。
(b) 一個向量空間可能有一個以上的零向量。
(c) 在任何向量空間中，$ax=bx$ 意味著 $a = b$。
(d) 在任何向量空間中，$ax=ay$ 意味著 $x = y$。
(e) $F^n$ 中的向量可以被視為 $M_{n \times 1}(F)$ 中的矩陣。
(f) $m \times n$ 矩陣具有 $m$ 個行 (columns) 與 $n$ 個列 (rows)。
(g) 在 $P(F)$ 中，只有相同次數的多項式才能相加。
(h) 如果 $f$ 與 $g$ 為 $n$ 次多項式，則 $f+g$ 為 $n$ 次多項式。
(i) 如果 $f$ 為 $n$ 次多項式且 $c$ 為非零純量，則 $cf$ 為 $n$ 次多項式。
(j) $F$ 中的非零純量可被視為 $P(F)$ 中次數為零的多項式。
(k) $\mathcal{F}(S, F)$ 中的兩個函數相等，若且唯若它們在 $S$ 的每個元素上的值皆相同。
寫出 $M_{3 \times 4}(F)$ 的零向量。
如果
$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$$那麼 $M_{13}$、$M_{21}$ 與 $M_{22}$ 分別為何？
執行指定的運算。
(a) $\begin{pmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 1 & 0 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -2 & 5 \\ -5 & 3 & 2 \end{pmatrix}$
(b) $\begin{pmatrix} -6 & 4 \\ 3 & -2 \\ 1 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ 0 & -3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$
(c) $4 \begin{pmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 1 & 0 & 7 \end{pmatrix}$
(d) $-5 \begin{pmatrix} -6 & 4 \\ 3 & -2 \\ 1 & 8 \end{pmatrix}$
(e) $(2x^4 - 7x^3 + 4x + 3) + (8x^3 + 2x^2 - 6x + 7)$
(f) $(-3x^3 + 7x^2 + 8x - 6) + (2x^3 - 8x + 10)$
(g) $5(2x^7 - 6x^4 + 8x^2 - 3x)$
(h) $3(x^5 - 2x^3 + 4x + 2)$
習題 5 與 6 說明了為何矩陣加法與純量乘法的定義（如範例 2 所定義）是適當的。
Richard Gard ("Effects of Beaver on Trout in Sagehen Creek, California," J. Wildlife Management, 25, 221-242) 報告了以下在 Sagehen 溪中穿越河狸水壩的鱒魚數量。
上游穿越 (Upstream Crossings)
| 秋季 (Fall) | 春季 (Spring) | 夏季 (Summer) | |
| 美洲紅點鮭 (Brook trout) | 8 | 3 | 1 |
| 虹鱒 (Rainbow trout) | 3 | 0 | 0 |
| 褐鱒 (Brown trout) | 3 | 0 | 0 |
下游穿越 (Downstream Crossings)
| 秋季 (Fall) | 春季 (Spring) | 夏季 (Summer) | |
| 美洲紅點鮭 (Brook trout) | 9 | 1 | 4 |
| 虹鱒 (Rainbow trout) | 3 | 0 | 0 |
| 褐鱒 (Brown trout) | 1 | 1 | 0 |
將上游與下游穿越的數據記錄在兩個 $3 \times 3$ 矩陣中，並驗證這兩個矩陣之和即為按鱒魚種類與季節分類的穿越總數（包含上游與下游）。
在五月底，一家家具店有以下的庫存。
| 早期美式 (Early American) | 西班牙式 (Spanish) | 地中海式 (Mediterranean) | 丹麥式 (Danish) | |
| 客廳組 (Living room suites) | 4 | 2 | 1 | 3 |
| 臥室組 (Bedroom suites) | 5 | 1 | 1 | 4 |
| 餐廳組 (Dining room suites) | 3 | 1 | 2 | 6 |
將這些數據記錄為一個 $3 \times 4$ 矩陣 $M$。為準備六月份的特賣，該店決定將前表中列出的每項商品庫存加倍。假設在額外家具送達前，現有庫存皆未售出，請驗證訂單補齊後的現有庫存是由矩陣 $2M$ 所描述。如果六月底的庫存由以下矩陣描述：
請解釋 $2M - A$ 的意義。在六月特賣期間共售出了多少組家具？
令 $S=\{0, 1\}$ 且 $F=\mathbb{R}$。在 $\mathcal{F}(S, \mathbb{R})$ 中，證明 $f=g$ 且 $f+g=h$，其中 $f(t) = 2t+1$、$g(t) = 1+4t-2t^2$，且 $h(t) = 5^t+1$。
在任何向量空間 $V$ 中，證明對於任意 $x, y \in V$ 與任意 $a, b \in F$，皆有 $(a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by$。
證明定理 1.1 的推論 1 與推論 2，以及定理 1.2(c)。造訪 goo.gl/WFWgzX 以獲取解答。
令 $V$ 表示定義在實數線上之所有可微實值函數的集合。證明 $V$ 在範例 3 所定義的加法與純量乘法運算下是一個向量空間。
令 $V=\{0\}$ 僅包含單一向量 $0$，並定義 $0+0=0$ 以及對於 $F$ 中的每個純量 $c$ 定義 $c0=0$。證明 $V$ 是一個在 $F$ 上的向量空間。（$V$ 稱為零向量空間。）
一個定義在實數線上的實值函數 $f$ 若對於每個實數 $t$ 皆滿足 $f(-t) = f(t)$，則稱之為偶函數 (even function)。證明定義在實數線上的偶函數集合，在範例 3 所定義的加法與純量乘法運算下是一個向量空間。
令 $V$ 表示實數有序對的集合。如果 $(a_1, a_2)$ 與 $(b_1, b_2)$ 是 $V$ 的元素，且 $c \in \mathbb{R}$，定義
$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1+b_1, a_2b_2)$ 並且 $c(a_1, a_2) = (ca_1, a_2)$。
在這些運算下，$V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的向量空間嗎？請證明您的答案。
令 $V = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) : a_i \in \mathbb{C} \text{ for } i=1, 2, \dots, n\}$；由範例 1 可知 $V$ 是一個在 $\mathbb{C}$ 上的向量空間。在逐分量加法與乘法的運算下，$V$ 是一個在實數體上的向量空間嗎？
令 $V = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) : a_i \in \mathbb{R} \text{ for } i=1, 2, \dots, n\}$；由範例 1 可知 $V$ 是一個在 $\mathbb{R}$ 上的向量空間。在逐分量加法與乘法的運算下，$V$ 是一個在複數體上的向量空間嗎？
令 $V$ 表示所有具實數項的 $m \times n$ 矩陣之集合；由範例 2 可知 $V$ 是一個在 $\mathbb{R}$ 上的向量空間。令 $F$ 為有理數體。在通常的矩陣加法與純量乘法定義下，$V$ 是一個在 $F$ 上的向量空間嗎？
令 $V = \{(a_1, a_2) : a_1, a_2 \in F\}$，其中 $F$ 是一個體。將 $V$ 的元素加法定義為逐分量相加，並且對於 $c \in F$ 與 $(a_1, a_2) \in V$，定義 $c(a_1, a_2) = (a_1, 0)$。
在這些運算下，$V$ 是 $F$ 上的向量空間嗎？請證明您的答案。
令 $V = \{(a_1, a_2) : a_1, a_2 \in \mathbb{R}\}$。對於 $(a_1, a_2), (b_1, b_2) \in V$ 與 $c \in \mathbb{R}$，定義
$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1+2b_1, a_2+3b_2)$ 並且 $c(a_1, a_2) = (ca_1, ca_2)$。
在這些運算下，$V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的向量空間嗎？請證明您的答案。
令 $V = \{(a_1, a_2) : a_1, a_2 \in \mathbb{R}\}$。將 $V$ 的元素加法定義為逐分量相加，並且對於 $V$ 中的 $(a_1, a_2)$ 與 $c \in \mathbb{R}$，定義
$c(a_1, a_2) = \begin{cases} (0,0) & \text{if } c = 0 \\ (ca_1, \frac{a_2}{c}) & \text{if } c \neq 0 \end{cases}$。
在這些運算下，$V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的向量空間嗎？請證明您的答案。
令 $V$ 表示定義在實數線上且滿足 $f(1)=0$ 的所有實值函數 $f$ 之集合。證明 $V$ 在範例 3 所定義的加法與純量乘法運算下是一個向量空間。
令 $V$ 與 $W$ 為體 $F$ 上的向量空間。令
$Z = \{(v, w) : v \in V \text{ and } w \in W\}$。
證明 $Z$ 在以下運算下是 $F$ 上的向量空間：
$(v_1, w_1) + (v_2, w_2) = (v_1+v_2, w_1+w_2)$ 並且 $c(v_1, w_1) = (cv_1, cw_1)$。
向量空間 $M_{m \times n}(Z_2)$ 中有多少個矩陣？（請參見附錄 C。）
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