第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)
1.5 線性相關與線性獨立 (Linear Dependence and Linear Independence)
假設 $V$ 是一個在無限體上的向量空間，且 $W$ 是 $V$ 的一個子空間。除非 $W$ 是零子空間，否則 $W$ 是一個無限集合。我們希望找到一個能生成 $W$ 且「很小」的有限子集 $S$，因為這樣我們就能將 $W$ 中的每個向量描述為 $S$ 中有限個向量的線性組合。事實上，$S$ 越小，將 $W$ 中的向量表示為這類線性組合所需的計算量就越少。舉例來說，考慮由 $S=\{u_1, u_2, u_3, u_4\}$ 所生成的 $\mathbb{R}^3$ 子空間 $W$，其中 $u_1=(2,-1,4)$、$u_2=(1,-1,3)$、$u_3=(1,1,-1)$ 以及 $u_4=(1,-2,-1)$。讓我們嘗試找到一個同樣能生成 $W$ 的 $S$ 的真子集。尋找這個子集的過程，與「$S$ 中是否有些向量是 $S$ 中其他向量的線性組合」這個問題有關。現在，$u_4$ 是 $S$ 中其他向量的線性組合，若且唯若存在純量 $a_1, a_2$ 與 $a_3$ 使得
也就是說，若且唯若存在滿足以下條件的純量 $a_1, a_2$ 與 $a_3$：
因此，$u_4$ 是 $u_1, u_2$ 與 $u_3$ 的線性組合，若且唯若以下線性方程組
有解。讀者應自行驗證這樣的解並不存在。然而，這並沒有回答我們關於「$S$ 中是否有些向量是 $S$ 中其他向量的線性組合」的問題。事實上，可以證明 $u_3$ 是 $u_1, u_2$ 與 $u_4$ 的線性組合，即 $u_3 = 2u_1 - 3u_2 + 0u_4$。
在前面的例子中，要檢查 $S$ 中的某個向量是否為 $S$ 中其他向量的線性組合，可能需要我們先解出幾個不同的線性方程組，才能決定 $u_1, u_2, u_3$ 與 $u_4$ 中是否有任何一個是其他向量的線性組合。透過改變問題的表述方式，我們可以省下一些功夫。請注意，由於 $u_3 = 2u_1 - 3u_2 + 0u_4$，我們有
也就是說，因為 $S$ 中的某個向量是其他向量的線性組合，所以零向量可以被表示為 $S$ 中向量的線性組合，且其係數不全為零。這個敘述的逆命題也是對的：如果零向量可以被寫成 $S$ 中向量的線性組合，且其中的係數不全為零，那麼 $S$ 中的某個向量就是其他向量的線性組合。例如，在上述例子中，方程式 $-2u_1 + 3u_2 + u_3 - 0u_4 = 0$ 可以解出 $u_1, u_2$ 或 $u_3$ 中的任何一個，因為它們每一個都有非零的係數。因此，$u_1, u_2$ 或 $u_3$ 中的任何一個都可以寫成其他三個向量的線性組合。於是，與其去問 $S$ 中的某個向量是否為 $S$ 中其他向量的線性組合，更有效率的做法是問零向量是否能被表示為 $S$ 中向量的線性組合，且其係數不全為零。這個觀察引導我們得出以下的定義。
定義： 令 $S$ 為向量空間 $V$ 的一個子集。如果存在 $S$ 中的有限個相異向量 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 以及不全為零的純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$，使得
則稱 $S$ 為線性相關 (linearly dependent)。在這種情況下，我們也說 $S$ 的向量是線性相關的。
對於任何向量 $u_1, u_2, \dots, u_n$，如果 $a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$，我們必然有 $a_1 u_1 + a_2 u_2 + \dots + a_n u_n = 0$。我們稱此為將 $0$ 表示為 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 之線性組合的顯然表示 (trivial representation)。因此，一個集合要成為線性相關，必須存在一個將 $0$ 表示為集合中向量之線性組合的非顯然表示 (nontrivial representation)。由此可知，任何包含零向量的向量空間子集都是線性相關的，因為 $0 = 1 \cdot 0$ 是一個將 $0$ 表示為集合中向量之線性組合的非顯然表示。
範例 1
考慮在 $\mathbb{R}^4$ 中的集合
我們將證明 $S$ 是線性相關的，並接著將 $S$ 中的一個向量表示為 $S$ 中其他向量的線性組合。為了證明 $S$ 是線性相關的，我們必須找到不全為零的純量 $a_1, a_2, a_3$ 與 $a_4$，使得
尋找這樣的純量，等同於尋找以下線性方程組的非零解：
其中一組解為 $a_1 = 4, a_2 = -3, a_3 = 2$ 且 $a_4 = 0$。因此 $S$ 是 $\mathbb{R}^4$ 的一個線性相關子集，並且
由此可得
範例 2
在 $M_{2 \times 3}(\mathbb{R})$ 中，集合
是線性相關的，因為
定義： 一個不線性相關的向量空間子集 $S$ 稱為線性獨立 (linearly independent)。同前，我們也說 $S$ 的向量是線性獨立的。
關於線性獨立集合的下列事實，在任何向量空間中皆成立：
空集合是線性獨立的，因為線性相關集合必須是非空的。
僅包含單一非零向量的集合是線性獨立的。因為若 $\{u\}$ 是線性相關的，則存在某個非零純量 $a$ 使得 $au = 0$。因此
$$u = a^{-1}(au) = a^{-1}0 = 0$$一個集合是線性獨立的，若且唯若將 $0$ 表示為該集合中向量之線性組合的唯一方式是顯然表示。
第 3 點中的條件提供了一個判斷有限集合是否為線性獨立的實用方法。這個技巧將在接下來的範例中說明。
範例 3
為了證明集合
是線性獨立的，我們必須證明：唯一能使 $S$ 中向量的線性組合等於零向量的方式，是所有係數皆為零。假設 $a_1, a_2, a_3$ 與 $a_4$ 為純量，且滿足
將方程式左右兩邊對應的座標相等，我們得出以下的線性方程組：
顯然，這個系統唯一的解為 $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$，因此 $S$ 是線性獨立的。
範例 4
對於 $k = 0, 1, \dots, n$，令 $p_k(x) = x^k + x^{k+1} + \dots + x^n$。集合
在 $P_n(F)$ 中是線性獨立的。因為如果
對於某些純量 $a_0, a_1, \dots, a_n$ 成立，那麼
藉由使方程式兩側 $x^k$（對於 $k=0,1,2,\dots,n$）的係數相等，我們得到
顯然，這個線性方程組唯一的解為 $a_0 = a_1 = \dots = a_n = 0$。
以下重要的結果是線性相關與線性獨立定義的直接推論。
定理 1.6 令 $V$ 為一個向量空間，且令 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$。若 $S_1$ 是線性相關的，則 $S_2$ 也是線性相關的。
證明： 習題。
推論： 令 $V$ 為一個向量空間，且令 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$。若 $S_2$ 是線性獨立的，則 $S_1$ 也是線性獨立的。
證明： 習題。
在本節稍早，我們曾提到關於「$S$ 是否為其生成空間之最小生成集合」（亦即不存在 $S$ 的真子集也是生成集合）的問題，與「$S$ 中是否有些向量是 $S$ 中其他向量的線性組合」的問題有關。因此，關於 $S$ 是否為其生成空間之最小生成集合的議題，與 $S$ 是否為線性相關的議題有關。為了理解原因，考慮 $\mathbb{R}^3$ 的子集 $S = \{u_1, u_2, u_3, u_4\}$，其中 $u_1 = (2,-1,4)$、$u_2 = (1,-1,3)$、$u_3 = (1,1,-1)$ 以及 $u_4 = (1,-2,-1)$。我們之前已經注意到 $S$ 是線性相關的；事實上，
這個方程式意味著 $u_3$（或者 $u_1$ 或 $u_2$）是 $S$ 中其他向量的線性組合。例如，$u_3 = 2u_1 - 3u_2 + 0u_4$。因此，$S$ 中向量的每個線性組合 $a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 + a_4 u_4$ 都可以寫成 $u_1, u_2$ 與 $u_4$ 的線性組合：
因此，$S$ 的子集 $S' = \{u_1, u_2, u_4\}$ 與 $S$ 有著相同的生成空間 (span)！
更一般地說，假設 $S$ 是任何一個包含兩個或兩個以上向量的線性相關集合。那麼必定有某個向量 $v \in S$ 可以寫成 $S$ 中其他向量的線性組合，且從 $S$ 中移除 $v$ 後所得到的子集，與 $S$ 具有相同的生成空間。由此可知，如果沒有任何 $S$ 的真子集能生成 $S$ 的生成空間，那麼 $S$ 必須是線性獨立的。觀察前述敘述的另一種方式，如定理 1.7 所示。
定理 1.7 令 $S$ 為向量空間 $V$ 的一個線性獨立子集，且令 $v$ 為在 $V$ 中但不在 $S$ 中的一個向量。則 $S \cup \{v\}$ 是線性相關的，若且唯若 $v \in \text{span}(S)$。
證明： 若 $S \cup \{v\}$ 是線性相關的，則在 $S \cup \{v\}$ 中存在向量 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 使得 $a_1 u_1 + a_2 u_2 + \dots + a_n u_n = 0$（對於某些非零純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$）。因為 $S$ 是線性獨立的，其中一個 $u_i$（假設為 $u_1$）必等於 $v$。因此 $a_1 v + a_2 u_2 + \dots + a_n u_n = 0$，所以
因為 $v$ 是屬於 $S$ 的向量 $u_2, \dots, u_n$ 的線性組合，我們得出 $v \in \text{span}(S)$。
反之，假設 $v \in \text{span}(S)$。那麼在 $S$ 中存在向量 $v_1, v_2, \dots, v_m$ 以及純量 $b_1, b_2, \dots, b_m$ 使得 $v = b_1 v_1 + b_2 v_2 + \dots + b_m v_m$。因此
請注意，對於 $i=1, 2, \dots, m$，$v \neq v_i$，因為 $v \notin S$。因此在此線性組合中 $v$ 的係數為非零，所以集合 $\{v_1, v_2, \dots, v_m, v\}$ 是線性相關的。根據定理 1.6 可知 $S \cup \{v\}$ 是線性相關的。 $\blacksquare$
我們將在 1.6 節詳細探討線性獨立的生成集合。
習題 (Exercises)
將下列敘述標示為真 (True) 或假 (False)。
(a) 如果 $S$ 是一個線性相關集合，那麼 $S$ 中的每個向量都是 $S$ 中其他向量的線性組合。
(b) 任何包含零向量的集合都是線性相關的。
(c) 空集合是線性相關的。
(d) 線性相關集合的子集是線性相關的。
(e) 線性獨立集合的子集是線性獨立的。
(f) 如果 $a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n = 0$ 且 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是線性獨立的，那麼所有的純量 $a_i$ 皆為零。
判斷下列集合是線性相關還是線性獨立。
(a) $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 中的 $\left\{ \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ 4 & -8 \end{pmatrix} \right\}$
(b) $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 中的 $\left\{ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \right\}$
(c) $P_3(\mathbb{R})$ 中的 $\{x^3 + 2x^2, -x^2 + 3x + 1, x^3 - x^2 + 2x - 1\}$
(d) $P_3(\mathbb{R})$ 中的 $\{x^3 - x, 2x^2 + 4, -2x^3 + 3x^2 + 2x + 6\}$
(e) $\mathbb{R}^3$ 中的 $\{(1,-1,2), (1, 2, 1), (1, 1, 4)\}$
(f) $\mathbb{R}^3$ 中的 $\{(1,-1,2), (2,0,1), (-1,2,-1)\}$
(g) $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 中的 $\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 4 \end{pmatrix} \right\}$
(h) $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 中的 $\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \right\}$
(i) $P_4(\mathbb{R})$ 中的 $\{x^4 - x^3 + 5x^2 - 8x + 6, -x^4 + x^3 - 5x^2 + 5x - 3, x^4 + 3x^2 - 3x + 5, 2x^4 + 3x^3 + 4x^2 - x + 1, x^3 - x + 2\}$
(j) $P_4(\mathbb{R})$ 中的 $\{x^4 - x^3 + 5x^2 - 8x + 6, -x^4 + x^3 - 5x^2 + 5x - 3, x^4 + 3x^2 - 3x + 5, 2x^4 + x^3 + 4x^2 + 8x\}$
(註：除非使用科技工具，否則習題 2(g)、(h)、(i) 與 (j) 的計算會很繁瑣。)
在 $M_{3 \times 2}(F)$ 中，證明集合
$$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$$是線性相關的。
在 $F^n$ 中，令 $e_j$ 表示第 $j$ 個座標為 $1$，其餘座標皆為 $0$ 的向量。證明 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 是線性獨立的。
證明集合 $\{1, x, x^2, \dots, x^n\}$ 在 $P_n(F)$ 中是線性獨立的。
在 $M_{m \times n}(F)$ 中，令 $E^{ij}$ 表示只有在第 $i$ 列第 $j$ 行的值為 $1$，其他項皆為零的矩陣。證明 $\{E^{ij} : 1 \le i \le m, 1 \le j \le n\}$ 是線性獨立的。
回想 1.3 節中的範例 3，$M_{2 \times 2}(F)$ 中的對角矩陣集合是一個子空間。請找出一個生成這個子空間的線性獨立集合。
令 $S = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\}$ 為向量空間 $F^3$ 的一個子集。
(a) 證明如果 $F = \mathbb{R}$，那麼 $S$ 是線性獨立的。
(b) 證明如果 $F$ 的特徵 (characteristic) 為 $2$，那麼 $S$ 是線性相關的。
令 $u$ 與 $v$ 為向量空間 $V$ 中兩個相異的向量。證明 $\{u, v\}$ 是線性相關的，若且唯若 $u$ 或是 $v$ 為另一個的倍數。
舉出一個 $\mathbb{R}^3$ 中三個線性相關向量的例子，使得這三個向量中沒有任何一個是另一個的倍數。
令 $S = \{u_1, u_2, \dots, u_n\}$ 為在體 $\mathbb{Z}_2$ 上的向量空間 $V$ 中的一個線性獨立子集。在 $\text{span}(S)$ 中有多少個向量？請證明您的答案。
證明定理 1.6 及其推論。
令 $V$ 為在特徵不等於 2 的體上的向量空間。
(a) 令 $u$ 與 $v$ 為 $V$ 中相異的向量。證明 $\{u, v\}$ 是線性獨立的，若且唯若 $\{u+v, u-v\}$ 是線性獨立的。
(b) 令 $u, v$ 與 $w$ 為 $V$ 中相異的向量。證明 $\{u, v, w\}$ 是線性獨立的，若且唯若 $\{u+v, u+w, v+w\}$ 是線性獨立的。
證明集合 $S$ 是線性相關的，若且唯若 $S=\{0\}$ 或者在 $S$ 中存在相異的向量 $v, u_1, u_2, \dots, u_n$ 使得 $v$ 是 $u_1, u_2, \dots, u_n$ 的線性組合。
令 $S = \{u_1, u_2, \dots, u_n\}$ 為一個有限的向量集合。證明 $S$ 是線性相關的，若且唯若 $u_1 = 0$ 或者對於某個 $k$ ($1 \le k < n$) 有 $u_{k+1} \in \text{span}(\{u_1, u_2, \dots, u_k\})$。
證明向量的集合 $S$ 是線性獨立的，若且唯若 $S$ 的每一個有限子集都是線性獨立的。
令 $M$ 為一個具有非零對角線項的方形上三角矩陣（定義見 1.3 節第 19 頁）。證明 $M$ 的列向量 (行向量，原文 rows 通常指列向量，但依繁體中文習慣可譯為列向量) 是線性獨立的。
令 $S$ 為 $P(F)$ 中非零多項式的集合，且其中沒有任何兩個多項式具有相同的次數。證明 $S$ 是線性獨立的。
證明如果 $\{A_1, A_2, \dots, A_k\}$ 是 $M_{n \times n}(F)$ 中的一個線性獨立子集，那麼 $\{A_1^t, A_2^t, \dots, A_k^t\}$ 也是線性獨立的。
令 $f, g \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 為定義成 $f(t) = e^{rt}$ 與 $g(t) = e^{st}$ 的函數，其中 $r \neq s$。證明 $f$ 與 $g$ 在 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 中是線性獨立的。
令 $S_1$ 與 $S_2$ 為 $V$ 中不相交（互斥）的線性獨立子集。證明 $S_1 \cup S_2$ 是線性相關的，若且唯若 $\text{span}(S_1) \cap \text{span}(S_2) \neq \{0\}$。
沒有留言:
張貼留言