第 1 章 向量空間 (Vector Spaces)
1.3 子空間 (Subspaces)
在探討任何代數結構時，檢查具備與所考慮之集合相同結構的子集是一件很有意義的事。本節將介紹向量空間中關於子結構的適當概念。
定義：
在體 (field) $F$ 上的向量空間 $V$ 中，若一個子集 $W$ 在 $V$ 所定義的加法與純量乘法運算下，本身也是一個在 $F$ 上的向量空間，則稱 $W$ 為 $V$ 的子空間 (subspace)。
請注意，在任何向量空間 $V$ 中，$V$ 與 $\{0\}$ 都是子空間。後者稱為 $V$ 的零子空間 (zero subspace)。
幸運的是，要證明一個子集是子空間，並不必須驗證所有的向量空間性質。因為性質 (VS 1)、(VS 2)、(VS 5)、(VS 6)、(VS 7) 與 (VS 8) 對於向量空間中的所有向量皆成立，這些性質自然也會對任何子集中的向量成立。因此，向量空間 $V$ 的子集 $W$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若下列四個性質成立：
每當 $x \in W$ 且 $y \in W$ 時，$x+y \in W$（$W$ 在加法下封閉）。
每當 $c \in F$ 且 $x \in W$ 時，$cx \in W$（$W$ 在純量乘法下封閉）。
$W$ 包含一個零向量。
$W$ 中的每個向量在 $W$ 中都有一個加法反元素。
下一個定理顯示，$W$ 的零向量必須與 $V$ 的零向量相同，且性質 4 是多餘的。
定理 1.3
令 $V$ 為一個向量空間，$W$ 為 $V$ 的一個子集。則 $W$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若在 $V$ 所定義的運算下，下列三個條件成立：
(a) $0 \in W$
(b) 每當 $x \in W$ 且 $y \in W$ 時，$x+y \in W$
(c) 每當 $c \in F$ 且 $x \in W$ 時，$cx \in W$
證明：
如果 $W$ 是 $V$ 的子空間，那麼 $W$ 在定義於 $V$ 上的加法與純量乘法下是一個向量空間。因此，條件 (b) 與 (c) 成立，並且在 $W$ 中存在一個向量 $0'$，使得對於每個 $x \in W$ 皆有 $x+0' = x$。但同時也有 $x+0 = x$，因此由定理 1.1（第 12 頁）可知 $0' = 0$。所以條件 (a) 成立。
反之，若條件 (a)、(b) 與 (c) 成立，本定理前面的討論顯示，如果 $W$ 中每個向量的加法反元素都落在 $W$ 中，那麼 $W$ 就是 $V$ 的子空間。但如果 $x \in W$，由條件 (c) 可知 $(-1)x \in W$，且由定理 1.2（第 12 頁）可知 $-x = (-1)x$。因此 $W$ 是 $V$ 的子空間。 $\blacksquare$
前述定理提供了一個簡單的方法，來判斷向量空間的給定子集是否為子空間。通常，我們正是使用這個結果來證明一個子集確實是子空間。
$m \times n$ 矩陣 $A$ 的轉置矩陣 (transpose) $A^t$，是一個將 $A$ 的列與行互換所得到的 $n \times m$ 矩陣；也就是說，$(A^t)_{ij} = A_{ji}$。例如，
以及
對稱矩陣 (symmetric matrix) 是一個滿足 $A^t = A$ 的矩陣 $A$。例如，上面顯示的 $2 \times 2$ 矩陣就是一個對稱矩陣。顯然，對稱矩陣必須是方陣。在 $M_{n \times n}(F)$ 中，所有對稱矩陣所構成的集合 $W$ 是 $M_{n \times n}(F)$ 的一個子空間，因為定理 1.3 的條件皆成立：
零矩陣等於其轉置矩陣，因此屬於 $W$。
我們很容易可以證明，對於任何矩陣 $A$ 與 $B$ 以及任何純量 $a$ 與 $b$，$(aA+bB)^t = aA^t + bB^t$。（見習題 3。）利用這個事實，我們證明對稱矩陣集合在加法與純量乘法下是封閉的。
如果 $A \in W$ 且 $B \in W$，那麼 $A^t = A$ 且 $B^t = B$。因此 $(A+B)^t = A^t + B^t = A + B$，所以 $A+B \in W$。
如果 $A \in W$，那麼 $A^t = A$。所以對於任何 $a \in F$，我們有 $(aA)^t = aA^t = aA$。因此 $aA \in W$。
接下來的範例提供了更多子空間概念的說明。前三個範例特別重要。
範例 1
令 $n$ 為一個非負整數，並令 $P_n(F)$ 由 $P(F)$ 中所有次數小於或等於 $n$ 的多項式所組成。因為零多項式的次數為 $-1$，所以它屬於 $P_n(F)$。此外，兩個次數小於或等於 $n$ 的多項式之和，是另一個次數小於或等於 $n$ 的多項式；且一個純量與一個次數小於或等於 $n$ 的多項式之乘積，也是一個次數小於或等於 $n$ 的多項式。所以 $P_n(F)$ 在加法與純量乘法下是封閉的。因此由定理 1.3 可得出 $P_n(F)$ 是 $P(F)$ 的一個子空間。
範例 2
令 $C(\mathbb{R})$ 表示定義在 $\mathbb{R}$ 上的所有連續實值函數之集合。顯然 $C(\mathbb{R})$ 是在 1.2 節範例 3 中所定義之向量空間 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 的一個子集。我們宣稱 $C(\mathbb{R})$ 是 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 的一個子空間。首先注意到 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 的零元素是定義為對於所有 $t \in \mathbb{R}$ 皆滿足 $f(t)=0$ 的常數函數。因為常數函數是連續的，所以我們有 $f \in C(\mathbb{R})$。此外，兩個連續函數之和是連續的，且一個實數與一個連續函數之積也是連續的。所以 $C(\mathbb{R})$ 在加法與純量乘法下是封閉的，因此由定理 1.3 可知其為 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 的子空間。
有兩種特殊類型的矩陣經常引起我們的興趣。一個 $m \times n$ 矩陣 $A$ 如果其對角線以下的所有項皆為零（即當 $i > j$ 時 $A_{ij} = 0$），則稱為上三角矩陣 (upper triangular matrix)。一個 $n \times n$ 矩陣 $M$ 如果當 $i \neq j$ 時 $M_{ij} = 0$（即其所有非對角線的項皆為零），則稱為對角矩陣 (diagonal matrix)。例如，如果
且
那麼 $A$ 是一個上三角 $3 \times 4$ 矩陣，而 $B$ 是一個 $3 \times 3$ 對角矩陣。
範例 3
零矩陣顯然是一個對角矩陣，因為它的所有項都是 $0$。此外，如果 $A$ 與 $B$ 是對角 $n \times n$ 矩陣，那麼每當 $i \neq j$ 時，
對於任何純量 $c$ 皆成立。因此，對於任何純量 $c$，$A+B$ 與 $cA$ 都是對角矩陣。由定理 1.3 可知，對角矩陣的集合是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間。
範例 4
一個 $n \times n$ 矩陣 $M$ 的跡 (trace)，記為 $\text{tr}(M)$，是 $M$ 的對角線項之和；也就是說，
由習題 6 可推導出，跡等於零的 $n \times n$ 矩陣集合，是 $M_{n \times n}(F)$ 的一個子空間。
範例 5
在 $M_{m \times n}(\mathbb{R})$ 中，具有非負項的矩陣集合並不是 $M_{m \times n}(\mathbb{R})$ 的子空間，因為它在純量乘法（乘以負的純量）下並不封閉。
下一個定理顯示如何從其他的子空間構造出一個新的子空間。
定理 1.4 任何向量空間 $V$ 的子空間之交集，也是 $V$ 的一個子空間。
證明：
令 $\mathcal{C}$ 為 $V$ 的子空間的一個集合族，並令 $W$ 表示 $\mathcal{C}$ 中所有子空間的交集。因為每個子空間都包含零向量，所以 $0 \in W$。令 $a \in F$ 且 $x, y \in W$。那麼 $x$ 與 $y$ 皆包含在 $\mathcal{C}$ 的每個子空間中。因為 $\mathcal{C}$ 中的每個子空間在加法與純量乘法下都是封閉的，所以可推得 $x+y$ 與 $ax$ 也包含在 $\mathcal{C}$ 的每個子空間中。因此 $x+y$ 與 $ax$ 也包含在 $W$ 中，由定理 1.3 可知 $W$ 是 $V$ 的子空間。 $\blacksquare$
在證明了向量空間 $V$ 的子空間的交集是 $V$ 的子空間之後，很自然地會考慮 $V$ 的子空間的聯集是否也是 $V$ 的子空間。很容易可以看出，子空間的聯集必定包含零向量且在純量乘法下封閉，但一般而言，$V$ 的子空間的聯集在加法下不一定是封閉的。事實上，可以輕易證明，$V$ 的兩個子空間的聯集是 $V$ 的子空間，若且唯若其中一個子空間包含另一個子空間。（見習題 19。）然而，有一種自然的方法可以結合兩個子空間 $W_1$ 與 $W_2$，以獲得一個同時包含 $W_1$ 與 $W_2$ 的子空間。正如我們先前所暗示的，找到這個子空間的關鍵在於確保它在加法下必須是封閉的。這個想法將在習題 23 中進一步探討。
以下為 1.3 節剩餘部分（習題 1 至 31 題）的完整重新翻譯，並已特別強化所有的數學公式與矩陣排版，確保能正確渲染：
習題 (Exercises)
將下列敘述標示為真 (True) 或假 (False)。
(a) 如果 $V$ 是一個向量空間，且 $W$ 是 $V$ 的一個子集且 $W$ 是一個向量空間，那麼 $W$ 是 $V$ 的一個子空間。
(b) 空集合是每個向量空間的子空間。
(c) 如果 $V$ 是除了零向量空間以外的向量空間，那麼 $V$ 包含一個子空間 $W$ 使得 $W \neq V$。
(d) $V$ 的任意兩個子集的交集是 $V$ 的子空間。
(e) 一個 $n \times n$ 對角矩陣不可能有超過 $n$ 個非零項。
(f) 一個方陣的跡 (trace) 是其對角線項的乘積。
(g) 令 $W$ 為 $\mathbb{R}^3$ 中的 $xy$-平面；也就是說，$W = \{(a_1, a_2, 0) : a_1, a_2 \in \mathbb{R}\}$。那麼 $W = \mathbb{R}^2$。
求出下列各矩陣的轉置矩陣。此外，若矩陣為方陣，請計算其跡。
(a)
$$\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}$$(b)
$$\begin{pmatrix} 0 & 8 & -6 \\ 3 & 4 & 7 \end{pmatrix}$$(c)
$$\begin{pmatrix} -3 & 9 \\ 0 & -2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$$(d)
$$\begin{pmatrix} 10 & 0 & -8 \\ 2 & -4 & 3 \\ -5 & 7 & 6 \end{pmatrix}$$(e)
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$$(f)
$$\begin{pmatrix} -2 & 5 & 1 & 4 \\ 7 & 0 & 1 & -6 \end{pmatrix}$$(g)
$$\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}$$(h)
$$\begin{pmatrix} -4 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & -3 \\ 6 & -3 & 5 \end{pmatrix}$$證明對於任何
$A, B \in M_{m \times n}(F)$ 與任何 $a, b \in F$，皆有 $(aA+bB)^t = aA^t + bB^t$。 證明對於每個
$A \in M_{m \times n}(F)$， $(A^t)^t = A$。 證明對於任何方陣
$A$， $A + A^t$ 是對稱矩陣。 證明對於任何
$A, B \in M_{n \times n}(F)$，皆有 $\text{tr}(aA+bB) = a \cdot \text{tr}(A) + b \cdot \text{tr}(B)$。 證明對角矩陣是對稱矩陣。
判斷下列集合在 $\mathbb{R}^3$ 上所定義的加法與純量乘法運算下，是否為 $\mathbb{R}^3$ 的子空間。請證明您的答案。
(a) $W_1 = \{(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 : a_1 = 3a_2 \text{ 且 } a_3 = -a_2\}$
(b) $W_2 = \{(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 : a_1 = a_3 + 2\}$
(c) $W_3 = \{(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 : 2a_1 - 7a_2 + a_3 = 0\}$
(d) $W_4 = \{(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 : a_1 - 4a_2 - a_3 = 0\}$
(e) $W_5 = \{(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 : a_1 + 2a_2 - 3a_3 = 1\}$
(f) $W_6 = \{(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 : 5a_1^2 - 3a_2^2 + 6a_3^2 = 0\}$
令 $W_1, W_3$ 與 $W_4$ 如習題 8 所定義。描述 $W_1 \cap W_3$、$W_1 \cap W_4$ 與 $W_3 \cap W_4$，並觀察它們每一個都是 $\mathbb{R}^3$ 的子空間。
證明 $W_1 = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n : a_1 + a_2 + \dots + a_n = 0\}$ 是 $F^n$ 的子空間，但 $W_2 = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n : a_1 + a_2 + \dots + a_n = 1\}$ 不是。
若 $n \ge 1$，集合 $W = \{f(x) \in P(F) : f(x) = 0 \text{ 或 } f(x) \text{ 的次數為 } n\}$ 是 $P(F)$ 的子空間嗎？請證明您的答案。
證明 $m \times n$ 上三角矩陣的集合是 $M_{m \times n}(F)$ 的子空間。
令 $S$ 為一個非空集合，且 $F$ 為一個體。證明對於任何 $s_0 \in S$，$\{f \in \mathcal{F}(S, F) : f(s_0) = 0\}$ 是 $\mathcal{F}(S, F)$ 的子空間。
令 $S$ 為一個非空集合，且 $F$ 為一個體。令 $\mathcal{C}(S, F)$ 表示所有函數 $f \in \mathcal{F}(S, F)$ 的集合，使得除了 $S$ 中有限個元素之外，其餘皆有 $f(s) = 0$。證明 $\mathcal{C}(S, F)$ 是 $\mathcal{F}(S, F)$ 的子空間。
定義在 $\mathbb{R}$ 上的所有可微實值函數之集合，是 $C(\mathbb{R})$ 的子空間嗎？請證明您的答案。
令 $C^n(\mathbb{R})$ 表示定義在實數線上且具有連續 $n$ 階導數的所有實值函數之集合。證明 $C^n(\mathbb{R})$ 是 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 的子空間。
證明向量空間 $V$ 的子集 $W$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若 $W \neq \emptyset$，並且每當 $a \in F$ 且 $x, y \in W$ 時，皆有 $ax \in W$ 且 $x+y \in W$。
證明向量空間 $V$ 的子集 $W$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若 $0 \in W$，並且每當 $a \in F$ 且 $x, y \in W$ 時，皆有 $ax+y \in W$。
令 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的子空間。證明 $W_1 \cup W_2$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若 $W_1 \subseteq W_2$ 或 $W_2 \subseteq W_1$。
證明如果 $W$ 是向量空間 $V$ 的子空間，且 $w_1, w_2, \dots, w_n$ 都在 $W$ 中，那麼對於任何純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$，$a_1 w_1 + a_2 w_2 + \dots + a_n w_n \in W$。造訪 goo.gl/KTg35w 以獲取解答。
令 $V$ 表示如同 1.2 節範例 5 所定義，在 $\mathbb{R}$ 中數列的向量空間。證明收斂數列 $(a_n)$（即滿足 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在的數列）的集合是 $V$ 的子空間。
令 $F_1$ 與 $F_2$ 為體。一個函數 $g \in \mathcal{F}(F_1, F_2)$ 若對於每個 $t \in F_1$ 皆滿足 $g(-t) = g(t)$，則稱為偶函數 (even function)；若對於每個 $t \in F_1$ 皆滿足 $g(-t) = -g(t)$，則稱為奇函數 (odd function)。證明 $\mathcal{F}(F_1, F_2)$ 中所有偶函數的集合與所有奇函數的集合，皆為 $\mathcal{F}(F_1, F_2)$ 的子空間。
下列定義用於習題 23 至 30 中。
定義。 如果 $S_1$ 與 $S_2$ 是向量空間 $V$ 的非空子集，那麼 $S_1$ 與 $S_2$ 的和 (sum)，記為 $S_1 + S_2$，是指集合 $\{x+y : x \in S_1 \text{ 且 } y \in S_2\}$。
定義。 若 $W_1$ 與 $W_2$ 是 $V$ 的子空間，且滿足 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ 以及 $W_1 + W_2 = V$，則稱向量空間 $V$ 是 $W_1$ 與 $W_2$ 的直和 (direct sum)。我們將 $V$ 是 $W_1$ 與 $W_2$ 的直和記為 $V = W_1 \oplus W_2$。
令 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的子空間。
(a) 證明 $W_1 + W_2$ 是 $V$ 的子空間，且同時包含 $W_1$ 與 $W_2$。
(b) 證明 $V$ 的任何一個同時包含 $W_1$ 與 $W_2$ 的子空間，必然也包含 $W_1 + W_2$。
證明 $F^n$ 是以下子空間的直和：
$W_1 = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n : a_n = 0\}$
與
$W_2 = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n : a_1 = a_2 = \dots = a_{n-1} = 0\}$。
令 $W_1$ 表示 $P(F)$ 中所有多項式 $f(x)$ 的集合，使得在表示式
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ 中，
只要 $i$ 是偶數皆有 $a_i = 0$。同樣地，令 $W_2$ 表示 $P(F)$ 中所有多項式 $g(x)$ 的集合，使得在表示式
$g(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0$ 中，
只要 $i$ 是奇數皆有 $b_i = 0$。證明 $P(F) = W_1 \oplus W_2$。
在 $M_{m \times n}(F)$ 中，定義 $W_1 = \{A \in M_{m \times n}(F) : A_{ij} = 0 \text{ 當 } i > j\}$ 以及 $W_2 = \{A \in M_{m \times n}(F) : A_{ij} = 0 \text{ 當 } i \le j\}$。($W_1$ 就是在第 19 頁中所定義的所有上三角矩陣的集合)。證明 $M_{m \times n}(F) = W_1 \oplus W_2$。
令 $V$ 表示所有上三角 $n \times n$ 矩陣的向量空間（定義於第 19 頁），並令 $W_1$ 表示 $V$ 中由所有對角矩陣所組成的子空間。定義 $W_2 = \{A \in V : A_{ij} = 0 \text{ 當 } i \ge j\}$。證明 $V = W_1 \oplus W_2$。
一個矩陣 $M$ 若滿足 $M^t = -M$，則稱為反對稱矩陣 (skew-symmetric matrix)。顯然，反對稱矩陣必為方陣。令 $F$ 為一個體。證明所有具有 $F$ 中元素的 $n \times n$ 反對稱矩陣之集合 $W_1$，是 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間。現在假設 $F$ 的特徵不為 2 (請參閱第 549 頁)，並令 $W_2$ 為 $M_{n \times n}(F)$ 中所有對稱 $n \times n$ 矩陣的子空間。證明 $M_{n \times n}(F) = W_1 \oplus W_2$。
令 $F$ 為一個特徵不為 2 的體。定義
$W_1 = \{A \in M_{n \times n}(F) : A_{ij} = 0 \text{ 當 } i \le j\}$
並令 $W_2$ 為具有 $F$ 中元素的所有對稱 $n \times n$ 矩陣之集合。$W_1$ 與 $W_2$ 皆為 $M_{n \times n}(F)$ 的子空間。證明 $M_{n \times n}(F) = W_1 \oplus W_2$。將此習題與習題 28 進行比較。
令 $W_1$ 與 $W_2$ 為向量空間 $V$ 的子空間。證明 $V$ 是 $W_1$ 與 $W_2$ 的直和，若且唯若 $V$ 中的每個向量皆能唯一地寫成 $x_1 + x_2$ 的形式，其中 $x_1 \in W_1$ 且 $x_2 \in W_2$。
令 $W$ 為向量空間 $V$ 佈於體 $F$ 上的子空間。對於任何 $v \in V$，集合 $\{v\} + W = \{v + w : w \in W\}$ 稱為包含 $v$ 的 $W$ 的陪集 (coset)。習慣上將此陪集記為 $v + W$，而非 $\{v\} + W$。
(a) 證明 $v + W$ 是 $V$ 的子空間，若且唯若 $v \in W$。
(b) 證明 $v_1 + W = v_2 + W$ 若且唯若 $v_1 - v_2 \in W$。
在由 $W$ 的所有陪集所構成的集合 $\mathcal{S} = \{v + W : v \in V\}$ 中，可如下定義加法與由 $F$ 中的純量進行的純量乘法：
$(v_1 + W) + (v_2 + W) = (v_1 + v_2) + W$ 對於所有 $v_1, v_2 \in V$
並且
$a(v + W) = av + W$ 對於所有 $v \in V$ 與 $a \in F$。
(c) 證明前述運算是良好定義的 (well defined)；也就是說，證明若 $v_1 + W = v_1^{\prime} + W$ 且 $v_2 + W = v_2^{\prime} + W$，則
$(v_1 + W) + (v_2 + W) = (v_1^{\prime} + W) + (v_2^{\prime} + W)$
且對於所有的 $a \in F$，皆有
$a(v_1 + W) = a(v_1^{\prime} + W)$。
(d) 證明集合 $\mathcal{S}$ 在 (c) 所定義的運算下是一個向量空間。這個向量空間稱為 $V$ 模 $W$ 的商空間 (quotient space V modulo W)，並記為 $V/W$。
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