(統計)順序統計量，Order Statistics

 設$X_1,X_2,\cdots,X_n\ \stackrel{ iid}{\sim}f(x)_{連續} 且X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq ,\cdots,\leq X_{(n)} $，則順序統計量 joint pdf 

$f_{X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq ,\cdots,\leq X_{(n)}}(x_1,x_2 ,\cdots,x_n)=n!f(x_1,x_2 ,\cdots,x_n)$

因為沒有順序的樣本機率值為零，為了機率加總=1，順序統計量 joint pdf需乘$n!$

$f_{X(1)}(x)=n[1-F(x)]^{n-1}f(x)$    n個樣本中，比$x$大的有$n-1$個，恰有一個等於$x$。

$f_{X(n)}(x)=n[F(x)]^{n-1}f(x)$        n個樣本中，比$x$小的有$n-1$個，恰有一個等於$x$。

$f_{X(j)}(x)=\cfrac{n!}{(j-1)!(n-j)!}[F(x)]^{j-1}[1-F(x)]^{n-j}f(x)$ ，

第$j$個排序樣本，$j-1$個比$x$小，$n-j$個比$x$大，恰有一個等於$x$。