(抽樣)分層抽樣法 ST

有限母體分割成$L$層，再從每一層中以$SRS$抽出部分樣本。

則 $N_1+N_2+\cdots+N_L=N$。

各層獨立$(\overline{y_1}\perp\overline{y_2}\perp \cdots \perp \overline{y_L} )$

注意事項:

1.抽樣單位個數$N_h$越大，應抽出越多樣本。

2.母體標準差$S_h$越大的層，應抽出越多樣本。

3.每單位調查成本$c_h$越小的層，應抽出越多樣本。

4.分層抽樣法適用於"層間變異大，層內變異小"。(使用SRS 變異小較佳)

母體平均數$\overline{Y}$ 

點估計:$\overline{y}_{st}=\cfrac{\displaystyle\sum_{h=1}^{L}N_h \overline{y}_h}{N}=\displaystyle\sum_{h=1}^{L}W_h\overline{y}_h$

點估計之標準誤估計值:$s_{\overline{y}_{st}}=\sqrt{\displaystyle\sum_{h=1}^{L}W_h^2(1-f_h)\cfrac{s_h^2}{n_h}}=\cfrac{1}{N}\sqrt{\displaystyle\sum_{h=1}^{L}N_h(N_h-n_h)\frac{s_h^2}{n_h}}$

其中:$f_h=\cfrac{n_h}{N_h}$  $s_h^2=\cfrac{\displaystyle\sum_{j=1}^{n_h}(y_{hj}-\overline{y_h})^2}{n_h-1}$

母體總和值 $Y=NY$

母體成功比例 $P$

母體總成功個數$A=NP$

決定樣本數

$n$固定，決定$n_h$

1.相等配置

$n_h=\cfrac{n}{L}$

2.談明配置(最佳配置)

$n_h=\cfrac{\frac{N_h S_h}{\sqrt{c_h}}}{\displaystyle\sum_{h=1}^{L} \frac{N_hS_h}{\sqrt{c_h} }}\times n$ ，或$w_h=\cfrac{\frac{N_h S_h}{\sqrt{c_h}}}{\displaystyle\sum_{h=1}^{L} \frac{N_hS_h}{\sqrt{c_h} }}$

其中 $c_h$:第$h$層每單位的調查費用。

3.紐門配置($c_1=c_2=\cdots=c_L$)

$n_h=\cfrac{N_h S_h}{\displaystyle\sum_{h=1}^{L} N_hS_h}\times n$，或$w_h=\cfrac{N_h S_h}{\displaystyle\sum_{h=1}^{L} N_hS_h}$

4.比例配置($c_1=c_2=\cdots=c_L$，$S_1=S_2=\cdots=S_L$)

$n_h=\cfrac{N_h}{\displaystyle\sum_{h=1}^{L}N_h}\times n$，或$w_h=\cfrac{N_h}{\displaystyle\sum_{h=1}^{L}N_h}=\cfrac{N_h}{N}=W_h$

決定$n$，決定$n_h$

$n=\cfrac{\displaystyle\sum_{h=1}^{L}\cfrac{N_h^2S_h^2}{w_h}}{VN^2+\displaystyle\sum_{h=1}^{L}N_hS_h^2}$，其中 $V=(\cfrac{B}{z_{\frac{\alpha}{2}}})^2$

若談明配置，代入$w_h=\cfrac{\frac{N_h S_h}{\sqrt{c_h}}}{\displaystyle\sum_{h=1}^{L} \frac{N_hS_h}{\sqrt{c_h} }}$

若紐門配置，代入$w_h=\cfrac{N_h S_h}{\displaystyle\sum_{h=1}^{L} N_hS_h}$

若比例配置，代入$w_h=\cfrac{N_h}{\displaystyle\sum_{h=1}^{L}N_h}$

若相等配置，代入$w_h=\cfrac{1}{L}$

  

(抽樣)系統抽樣法 SY

 已編號有限母體中，計算$\cfrac{N}{n}=k$，由$1\cdots k$中隨機抽取一數$i$，則在母體中抽出第$i,i+k,i+2k,\cdots,i+(n-1)k$，總數為$n$之抽樣單位成一組系統樣本。稱為$k$取$1$系統樣本。

$N=nk$

母體平均數$\overline{Y}$ 

點估計:$\overline{y}_{sy}=\overline{y}_{i\cdot}=\cfrac{\overline{y}_{i\cdot}}{n}$

點估計之標準誤估計值:$s_{\overline{y}_{sy}}=\sqrt{1-f}\cfrac{s}{\sqrt{n}}$，其中$f=\cfrac{n}{N}$為抽出率，$s=\sqrt{\cfrac{\displaystyle\sum_{j=1}^{n}(y_{ij}-\overline{y}_{i\cdot})^2}{n-1}}$

有限母體校正因子:$1-f=\cfrac{N-n}{N}$

誤差界限:$B=z_{\frac{\alpha}{2}}s_{\overline{y}_{sy}}$

區間估計:$(\overline{y}_{sy}\mp B)$

樣本數:$n=\cfrac{n_0}{1+\frac{n_0}{N}}，n_0=(\cfrac{z_{\frac{\alpha}{2}}S}{B})^2$