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(統計)估計式之評估準則。
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1. 不偏性 : 準確 $E(\hat{\theta})=\theta$ 2. 有效性 :精確 $MSE(\hat{\theta})=E(\hat{\theta}-\theta)^2=Var(\hat{\theta})+[E(\hat{\theta})-\theta]^2(計算用)$ $ if \ E(\hat{\theta})=\theta \ ,\ MSE(\hat{\theta})=V(\hat{\theta})$ MSE 越小越有效。 3. 一致性 : 機率收斂 $\forall \varepsilon>0$,滿足 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}P(\mid \hat{\theta}-\theta \mid < \varepsilon)=1$ ,則 $\hat{\theta}$ 為 $\theta$ 一致估計量。 計算用: 若$\displaystyle\lim_{x\to\infty}MSE(\hat{\theta})=0$,則 $\hat{\theta}$ 為 $\theta$ 一致估計量。 即 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}E(\hat{\theta})=\theta$,$\displaystyle\lim_{x\to\infty}Var(\hat{\theta})=0$ 4. 充分性 : 設 $T(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 為 $\theta$ 之統計量,若滿足 $P((X_1,X_2,\cdots,X_n)\mid T(X_1,X_2,\cdots,X_n)=t)$ 與 $\theta$ 無關,則稱 $T(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 為 $\theta$之充分統計量。 只要能求出統計值$t$與參數$\theta$的函數關係$g(t;\theta)$,則可由$t$值充分掌握$\theta$值之大小,因此稱$t$為$\theta$之充分統計量。
(統計)順序統計量,Order Statistics
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設$X_1,X_2,\cdots,X_n\ \stackrel{ iid}{\sim}f(x)_{連續} 且X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq ,\cdots,\leq X_{(n)} $,則順序統計量 joint pdf $f_{X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq ,\cdots,\leq X_{(n)}}(x_1,x_2 ,\cdots,x_n)=n!f(x_1,x_2 ,\cdots,x_n)$ 因為沒有順序的樣本機率值為零,為了機率加總=1,順序統計量 joint pdf需乘$n!$ $f_{X(1)}(x)=n[1-F(x)]^{n-1}f(x)$ n個樣本中,比$x$大的有$n-1$個,恰有一個等於$x$。 $f_{X(n)}(x)=n[F(x)]^{n-1}f(x)$ n個樣本中,比$x$小的有$n-1$個,恰有一個等於$x$。 $f_{X(j)}(x)=\cfrac{n!}{(j-1)!(n-j)!}[F(x)]^{j-1}[1-F(x)]^{n-j}f(x)$ , 第$j$個排序樣本,$j-1$個比$x$小,$n-j$個比$x$大,恰有一個等於$x$。
(統計)抽樣分配
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設 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ $\stackrel{ iid}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$,則$\overline{X}\ \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $\mu$已知,$\cfrac{nS^2}{\sigma^2}\ \sim \chi^2(n)$, $\mu$未知,用$\overline{X}$取代,$\cfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\ \sim \chi^2(n-1)$ 設$X_1,X_2,\cdots,X_n$ $\stackrel{ iid}{\sim} N(\mu_1,\sigma_1^2)$ $Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$ $\stackrel{ iid}{\sim} N(\mu_2,\sigma_2^2)$ $\implies $ $\overline{X}- \overline{Y}\ \stackrel{ iid}{\sim}N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n}+\frac{\sigma_2^2}{n})$